Maturità 2018 - Geometria analitica nello spazio (Tetraedro) - QUESITO 9
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- Опубликовано: 30 сен 2024
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Compplimenti, chiarissimo. Quando ho sentito parlare della differenza tra "vertice" e "spigolo", mi è venuta in mente una domanda posta (più volte) al quiz "Chi vuol essere milionario?" in cui si chiedeva quanti SPIGOLI avesse un cubo. Tutti i concorrenti pensavano subito ai vertici e rispondevano "otto", mentre la risposta corretta è "dodici" :-)
Salve prof, mi chiamo Simone Pollara e io insieme ad un gruppo abbiamo creato un sito per la divulgazione delle materie scientifiche: iNotes.
Le interesserebbe far parte di questo progetto con i suoi video di matematica e fisica?
Mi può interessare.
Scrivetemi a x.pattaro@gmail.com
Per risolvere i quesito ho utilizzato i triangoli formati dalle proiezioni sugli assi xy xz zy del triangolo in quanto ho notato che i punti AB BC AC condividono una coordinata rispettivamente negli assi x z y quindi ho disegnato i punti ABC sul piano xy come se stessi guardando il triangolo ABC perpendicolarmente all asse z quello che ottengo è un triangolo rettangolo con cateti di lato 2 di cui è facile calcolare l ipotenusa che corrisponde al segmento BC dato che sia B che C hanno la stessa coordinata z quindi la stessa altezza dal piano xy il valore di questa ipotenusa 2*2^1/2 è proprio il valore del segmento BC del triangolo nel piano x+y+z-4=0.
Ripeto lo stesso procedimento nel piano xz ed ottengo sempre un triangolo rettangolo la cui ipotenusa AC ha lo stesso valore di BC anche in questo caso i punti A C hanno la stessa coordinata y quindi questa ipotenusa è proprio il valore del lato AC del triangolo infine ripeto il procedimento sul piano zy ed ottengo un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è il segmento AB il cui valore è uguale a quello di AC e BC anche in questo caso i punti A è B hanno la stessa coordinata quindi la proiezione di AB ha la stessa lunghezza del lato AB del triangolo.
Per trovare le coordinate del punto P mi sono chiesto dove questo punto dovrebbe apparire proiettato nei piani xy xz zy
Prendiamo il piano xy e facciamo ruotare la proiezione del triangolo sul segmento BC che ricordo i punti B e C condividono la stessa coordinata z. Potrò avere due rotazioni una di 90 gradi che descrivera la punta verso l alto del tetraedro ma questa non mi aiuta in quanto il punto P cadrà in mezzo al segmento BC quindi provo con la punta verso il basso del tetraedro ruotando il triangolo sempre dal segmento BC di 180 gradi questa volta ottengo il punto P che forma un quadrato di lato 2 con gli altri punti ABC la diagonale di questo quadrato rappresenta il segmento PA calcolando questa diagonale viene fuori che ha valore 2*2^1/2 cioè il valore dei segmenti AB CA BC quindi il punto P deve avere la stessa coordinata z del punto A
Ripetendo lo stesso ragionamento sul piano xz e ruotando il triangolo di 180 gradi a partire dal segmento AC si costruisce un quadrato la cui diagonale PB ha un valore uguale a AB BC AC quindi P deve condividere la stessa coordinata y con il punto B
Infine ripetendo il procedimento sul piano zy e ruotando il triangolo dal segmento AB si ottiene sempre lo stesso quadrato con diagonale PC il cui valore è uguale a AB AC BC quindi P deve condividere la stessa coordinata x con C quindi P (1,-1,0)
I punti P sono anche quelli appartenenti alla retta perpendicolare al piano passante per il baricentro (incentro) del triangolo ABC e aventi distanza l× radice (6) / 3 dal piano, con l lato del triangolo...
Si, ma sono sempre quei due punti.
@@ValerioPattaro certo, era solo un procedimento alternativo
Dato che avevi scritto “sono anche quelli” ho pensato ritenessi che si ottenevano punti diversi.
Piccoli equivoci dovuti alla messaggistica.
Grazie a te e tutti gli altri per i commenti.
Il baricentro si trova presto, sommando le coordinate di A, B, C e dividendo per 3.
Visto che viene dato il piano su cui giace il triangolo si sa già che la retta perpendicolare è quella di direzione (1,1,1).
Quindi applicando questo metodo sono davvero pochi conti.
Anche io ho fatto lo stesso ragionamento per trovare i due punti P
Non so come sia l'esame di maturità al liceo scientifico oggi. Ricordo che nel mio esame ('96) c'erano tre problemi molto impegnativi, non per niente credo avessimo 5 ore a disposizione. Forse questo è solo una parte di un esercizio? Oppure sono io che posso avere una percezione diversa delle difficoltà degli esercizi? nel senso che ciò che allora mi sembrava molto complesso oggi mi appare un po' più "terreno". Mi piacerebbe avere un'opinione degli iscritti al canale e soprattutto del prof. Pattaro a cui rinnovo i miei complimenti per il suo utilissimo lavoro.
Un saluto.
Il compito di maturità consta di un problema (lungo) è di quattro/cinque quesiti (brevi).
Il tempo a disposizione è sei ore.
La difficoltà è all’incirca la stessa di quella degli anni 90, certi anni è un po’ più semplice certi anni è un po’ più difficile.
Ottimo ripasso!!! Grazie mille...
Questo quesito era molto semplice, devo dire :) Tra l'altro, per il terzo punto del quesito, se conosci bene le regole di raccoglimento oltre a quelle dei sistemi di equazioni lineari, dovresti sbrigartela anche molto velocemente :P
Infatti, una volta fatte le semplificazioni, abbiamo:
(y-1)^2 + z^2 = (y+1)^2 + (z-2)^2 => (y-1)^2 - (y+1)^2 = (z-2)^2 - z^2
(x-3)^2 + z^2 = (x-1)^2 + (z-2)^2 => (x-3)^2 - (x-1)^2 = (z-2)^2 - z^2
(x-3)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 8
Le prime due equazioni mostrano ad entrambi membri delle differenze di quadrati, quindi abbiamo:
(y-1+y+1)(y-1-y-1) = (z-2+z)(z-2-z) => -4y = -2(2z-2) => -4y = -4(z-1) => y = z-1
(x-3+x-1)(x-3-x+1) = (z-2+z)(z-2-z) => -2(2x-4) = -4(z-1) => -4(x-2) = -4(z-1) => x-2 = z -1 => x= z+1
E quindi si va a sostituire nella terza equazione, ottenendo i risultati che hai avuto tu. Cmq in questo modo si evita di sviluppare i quadrati. Si potrebbe provare anche le tecniche di riduzione dei sistemi lineari a questo punto, sottraendo membro a membro due equazioni alla volta e vedere cosa esce :P
Per evitare il sistema a 3 incognite ho preferito calcolare le coordinate del baricentro del triangolo e partendo da questo punto lungo il vettore perpendicolare al piano trovare i punti P lungo tale vettore a distanza √8 da A B o C,
il terzo quesito l'ho risolto così (per sommi capi):
- calcolo l'intersezione H di due mediane
- ricavo un vettore ortogonale al piano
- calcolo r retta ortogonale al triangolo/piano passante per H (su cui giacciono i 2 punti P) in forma parametrica
- calcolo P ponendo AP=AB
però mi viene il dubbio di avere usato delle tecniche che forse alle superiori non si fanno, non ricordo
Nono, nella maggior parte dei licei scientifici si studia Geo Analitica nello spazio impiegando le stesse tecniche di risoluzione che hai usato tu (o almeno è possibile usarle, dato che, di solito, si preferisce un approccio più semplice, come quello del caro Prof. Pattaro)
Grazie professore e buon primo maggio ❤️🍀
Sfiziosi questi test di maturità.👍🏽
Salve professore, non so se pongo una domanda stupida (e ben poco attinente col video) ma ultimamente mi è sorto questo dubbio. I numeri razionali sono tutti quei numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione. Inoltre, π, per definizione, è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, eppure si tratta di un numero irrazionale. La mia domanda quindi è: come fa un numero che è per definizione una frazione essere irrazionale? Grazie
Perché raggio e circonferenza sono incommensurabili. Significa che non hanno un sottomultiplo in comune, quindi il loro rapporto non potrà mai essere espresso come rapporto tra numeri interi
Si può fare un discorso analogo sulla radice quadrata di due, che è il rapporto tra la diagonale e lato del quadrato ed è anch’essa irrazionale.
Irrazionalità radq(2) - Dimostrazione classica
ruclips.net/video/LWwvVFZSE1Y/видео.html
@@ValerioPattaro grazie mille!
Ottimo.
Siccome non trovo nulla sull' argomento, volevo chiederle : in un motore elettrico a magneti permanenti...questi ultimi come vengono scelti in base al rotore? Cioè devono avere una certa forza magnetica?
Nella prima risposta, che le distanze dei punti siano uguali, é una condizione necessaria ma non sufficiente.
Bisogna aggiungere che i vertici abbiamo due coordinate comuni.
Mhh non credo di aver capito cosa intendi. Potresti spiegarmi meglio?
Secondo me invece é sufficiente. Se le distanze tra AB , BC e AC sono uguali i tre punti formano un triangolo equilatero.