Profesor, ¿qué le parece hacer un video enseñándonos a determinar las rectas A(3, 3), B(6, 9) y C(12, -4) y encontrar el área de ese triángulo mediante integración?
@@profecristhian, Sí. Me gusta visualizar las cosas desde varios ángulos, solo creo que es aburrido resolver un problema con una solución tan simple como Herón. Estoy esperando su video, profesor. Gracias por responderme. Por cierto, ¡sus videos son geniales! Felicitaciones por la dinámica de su enseñanza. Es poderosa, por eso recurrí a usted. ¡Hasta pronto!"
Hice un procedimiento distinto. Teniendo el área entre x²+y²=2 & y=x², podemos hallar los puntos de intersección igualando las curvas de modo que x²-y=0=x²+y²-2 Por lo cual, y²+y-2=0, que al resolver nos lleva a y=-2 ∨ y=1. Si y=-2, entonces -2=x² no tiene solución en los reales así que lo descartamos, por lo cual y=1 (por lo cual x=±1) es la intersección entre las dos curvas. Como solo nos importa el semicírculo superior, perfectamente podemos trabajarlo como función tomando la raíz positiva del despeje de y, es decir, y=√(2-x²). Y, al observar que ambas son funciones pares, entonces sencillamente calculamos 2∫(√(2-x²)-x²)dx desde 0 hasta 1, que por propiedades de la integral podemos trabajar como 2(∫√(2-x²)dx-∫x²dx),. La segunda no tiene mucho misterio y es -1/3, pero la primera requiere de un análisis más cuidadoso. Hacemos √2cost=x y, en consecuencia, -√2sentdt=dx, √2sent=√(2-x²), x→0 ⟹t→π/2 & x→1 ⟹ t→π/4 Son todas verdaderas. Luego, nuestra integral ∫₀¹√(2-x²)dt=2∫sen²tdt desde π/4 hasta π/2. También, como sen²t=(1/2-cos(2t)/2), hacemos ∫dt-∫cos(2t)dt Es decir, π/4-(sen(2(π/2))/2-(sen(2(π/4))/2) =π/4-(0-1/2) =π/4+1/2 Por tanto, la solución ha de ser 2(π/4+1/2-1/3) =2(π/4+3/6-2/6) =2(π/4+1/6) =π/2+1/3.
Con cálculo integral, considerando la simetría y la identidad cos²w=(cos(2w)+1)/2: A=2∫(√(2-x²)-x²)dx|[0,1]=2∫√(2-x²)dx|[0-1]-2(x²/3)|[0,1]=2∫√(2-x²)dx|[0-1]-2/3. Se hace el cambio de variable senw=x/√2-> x=√2senw -> dx=√2coswdw -> √(2-x²)=√2cosw, y entonces ∫√(2-x²)dx|[0,1]=∫√2cosw√2coswdw|[0,π/4]=2∫cos²wdw|[0,π/4]=2∫((cos(2w)+1)/2)dw|[0,π/4]=∫(cos(2w)+1)dw|[0,π/4]=(sen(2w)/2+w)|[0,π/4]=sen(π/2)/2+π/4=sen(90º)/2+pi/4=1/2+π/4; y finalmente A=2(1/2+π/4)-2/3=1+π/2-2/3=1/3+π/2.
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me encantó este
Muy bueno
Profesor, ¿qué le parece hacer un video enseñándonos a determinar las rectas A(3, 3), B(6, 9) y C(12, -4) y encontrar el área de ese triángulo mediante integración?
Hola, esa es una magnífica idea, muchas gracias.
Aunque va a haber bastante hate jajajaj ya que se puede sacar con la formula de herón, pero es muy buena idea aprender Integrales así
@@profecristhian, Sí. Me gusta visualizar las cosas desde varios ángulos, solo creo que es aburrido resolver un problema con una solución tan simple como Herón. Estoy esperando su video, profesor.
Gracias por responderme. Por cierto, ¡sus videos son geniales!
Felicitaciones por la dinámica de su enseñanza. Es poderosa, por eso recurrí a usted. ¡Hasta pronto!"
Para algo existen los determinantes...
Muy interesante ,profesor un video donde halle le ecuación de la recta de Euler.
Me encanta la idea, voy a hacer un video sobre eso pronto.
La ecuacion de la circuferencia es una relacion no una funcion, corrigame si me equivoco en mi respuesta
El cambio de variable de x a u está de más ya que basta con reemplazar y = x^2, quedando y + y^2 = 2.
Sera verdad, exacta, precisa al final las Matemáticas es la vida ciencia no factica
Nos puedes hacer una playlist de Calculo general, profe😢
Hola, te refieres a una playlist de retos sólo de cálculo?
si@@profecristhian
Es más fácil reemplazar X^2 por Y y te queda una cuadrática en Y.
Hola, claro pero los valores que buscaba era en x aunque se pudo extrapolar, bueno ya está jajaja
Hice un procedimiento distinto. Teniendo el área entre x²+y²=2 & y=x², podemos hallar los puntos de intersección igualando las curvas de modo que
x²-y=0=x²+y²-2
Por lo cual, y²+y-2=0, que al resolver nos lleva a y=-2 ∨ y=1. Si y=-2, entonces -2=x² no tiene solución en los reales así que lo descartamos, por lo cual y=1 (por lo cual x=±1) es la intersección entre las dos curvas.
Como solo nos importa el semicírculo superior, perfectamente podemos trabajarlo como función tomando la raíz positiva del despeje de y, es decir, y=√(2-x²).
Y, al observar que ambas son funciones pares, entonces sencillamente calculamos 2∫(√(2-x²)-x²)dx desde 0 hasta 1, que por propiedades de la integral podemos trabajar como
2(∫√(2-x²)dx-∫x²dx),.
La segunda no tiene mucho misterio y es -1/3, pero la primera requiere de un análisis más cuidadoso.
Hacemos √2cost=x y, en consecuencia,
-√2sentdt=dx,
√2sent=√(2-x²),
x→0 ⟹t→π/2 &
x→1 ⟹ t→π/4
Son todas verdaderas.
Luego, nuestra integral
∫₀¹√(2-x²)dt=2∫sen²tdt desde π/4 hasta π/2.
También, como sen²t=(1/2-cos(2t)/2), hacemos
∫dt-∫cos(2t)dt
Es decir, π/4-(sen(2(π/2))/2-(sen(2(π/4))/2)
=π/4-(0-1/2)
=π/4+1/2
Por tanto, la solución ha de ser
2(π/4+1/2-1/3)
=2(π/4+3/6-2/6)
=2(π/4+1/6)
=π/2+1/3.
Con coordenadas polares se puede evaluar más rápido.
No era más fácil con una integral doble?
Con cálculo integral, considerando la simetría y la identidad cos²w=(cos(2w)+1)/2: A=2∫(√(2-x²)-x²)dx|[0,1]=2∫√(2-x²)dx|[0-1]-2(x²/3)|[0,1]=2∫√(2-x²)dx|[0-1]-2/3. Se hace el cambio de variable senw=x/√2-> x=√2senw -> dx=√2coswdw -> √(2-x²)=√2cosw, y entonces ∫√(2-x²)dx|[0,1]=∫√2cosw√2coswdw|[0,π/4]=2∫cos²wdw|[0,π/4]=2∫((cos(2w)+1)/2)dw|[0,π/4]=∫(cos(2w)+1)dw|[0,π/4]=(sen(2w)/2+w)|[0,π/4]=sen(π/2)/2+π/4=sen(90º)/2+pi/4=1/2+π/4; y finalmente A=2(1/2+π/4)-2/3=1+π/2-2/3=1/3+π/2.