Cette vidéo m'est très utile en tant qu'anglophone qui tente d'apprendre le français pour étudier les maths en France - j'ai déjà plein de compétences en maths mais je peine toujours à parler français, même après 8 ans d'études.
J'ai une situation pareille. Le math en français, c'est super, pas seulement pour l'apprentissage de math lui-même, mais pour l'acquise de la langue dit de Molière. Salut, depuis la République dominicaine !!
En regardant cette vidéo après avoir regardé une vidéo de vulgarisation sur le même sujet (la théorie des ensembles), j'ai compris qu'un peu d'histoire sur comment ils sont parvenus à mettre au point une telle théorie permettrait peut-être de mieux comprendre ce dont on parle. Cela peut surtout nous faire comprendre pourquoi les mathématiciens ont voulu mettre au point une telle théorie.
Merci beaucoup à vous, c'est agréable de tomber totalement aléatoirement sur une chaîne qui partage la connaissance de manière claire. The show must go on! ^^
Bonjour je me présente je m'appelle cedric j'ai 16 ans et j'ai pris option maths en spécialité au lycée, j'ai beaucoup de mal avec le niveau de la classe qui est beaucoup plus élevé par rapport au miens mon professeur mr Lavoine Marc explique très mal son cours grâce à vous j'arrive à me rattraper merci beaucoup et gros big up a Thierry
Sérieusement, vous avez un débit de fou furieux 😂 je me suis perdu dans les 5 premiers minutes...je me disais qu'en sachant lire les maths ça irait mieux mais là c'est encore pire. Je parle pour ma personne en sachant que j'ai un niveau en mathématique qui est very bad.
J'ai noté 2 choses particulièrement intéressantes qui m'ont fait avancer. * On peut considérer qu'un élément d'un ensemble est aussi un ensemble...j'avais tendance à "graduer" et m'interdire d'écrire "x appartient à x". * A chaque étape d'une division euclidienne, les restes sont en nombre fini. On retombe toujours sur les mêmes donc le développement décimal d'un rationnel se répète ! Vu comme ça ... Merci
4: 41 est-ce que F est aussi un élément de E ? Les qualifications d'élément et de partie peuvent se supperposer ou le terme de partie est reservé aux ensemble ? Merci beaucoup !
bonjour peut on avoir un ensemble contenant des éléments qui n'ont à priori rien à voir entre eux comme par exemple en extension E={guitare, voiture, maison} ? Et si oui, comment les représenteriez-vous en compréhension E={x appartenant à A ; tel que P(x)}, comment qualifierez-vous P(x) ? merci
Bonjour, lorsque j’étais en prépa j’ai créé une chaîne RUclips de mathématiques sur laquelle il y a plus de 200 vidéos d’exercices et de leçons !! N’hésitez pas à jeter un coup d’œil ou à me poser toute question
Je viens de jeter un coup d'oeil, je vois que tu t'es inspiré de l'astuce de calcul rapide qui est sur la chaîne (j'ai eu peur que tu ne l'aie posté avant mais non ;-) )
Aussi autre questions que je me suis toujours poser : on a vue que i nous permets de faire 1/4 de tour de la demi droite des réels R+. 1 va sur i, 2 sur 2i etc... (tandis que -1 permets de faire 1/2 tour à la demi droite. 1 va sur -1, 2 sur -2 etc...) Mais que ce passe t'il si on veut faire 1/8 de tour ? C'est surement un complexes, sans doute racine(1/2)+racine(1/2)i. Autre question du même type : un complexes est former d'une paires ordonnés (un couple) (x,y), J'ai vue que quaternions c'est de dimensions 4 : (x,y,z,a). Mais du coup existe-t-il un nombre de dimension 3 ? Je sais aussi qu'un octonions est un nombres de dimension 8, mais du coup existe-t-il des nombres de dimension 5, 6, 7 etc ... généralisable en : existe t-il des nombres de dimensions différents de 2^n ? Si tu me dit que les quaternions, octo etc ... n'est pas un nombre alors dit moi pourquoi un complexes former de 2 nombres réels (un réels et un imaginaires) est UN nombre.
tu réponds correctement à ta première question :-) bravo ! Lorsqu'on dit d'un élément d'un ensemble qu'il s'agit d'un "nombre" cela signifie en général que l'ensemble en question est un corps (fr.wikipedia.org/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)). C est un corps qui est également un R-espace vectoriel de dimension 2, donc il contient des nombres que l'on peut voir comme un couple de réels. On ne peut pas définir un corps qui soit un R-espace vectoriel de dimension 3 (je n'en connais pas vraiment la preuve mais c'est un résultat classique). Et Pour les quaternions comme tu le dis dans ton commentaire, la seule façon d'y parvenir est d'oublier la commutativité. Les quaternions ont néanmoins pas mal d'utilité pour décrire des espaces de dimension 3 ou 4 (pour la dimension 3 on se contente des "quaternions purs" (dont la partie réelle est nulle). Pour les octonions et autres ensembles, la perte de l'associativité fait que de mon point de vue (et celui de pas mal de mes confrères je pense) on ne peut plus vraiment les appeler des nombres....
Le barbier peut se faire raser par un autre barbier, un collègue ou un concurrent par exemple. Il se peut qu'il soit imberbe, un comble pour un barbier mais c'est également une possibilité ^^.
12:50 Ok admettons que les complexes permettre de résoudre toutes les équations polynomiales à coef complexes. Cela veut dire que e et Pi (et tout autre nombre transcendant) peuvent être racine d'un polynôme ? (j'ai fait une recherche et les transcendant ne peuvent pas etre une solution que pour des coefs rationnel, par contre pour coefs rééls je sais toujours pas. et du coup quel serais les valeurs que les racines ne peuvent pas prendre avec les coefs rééls, j'imagine que c'est des racines complexes :/ ) Et du coup qu'elle est l'utilité des Hyper-complexes ? (Je sais notamment que l'ont se sert des quaternions pour la localisations et prise en compte du spin des particules) Utilité en terme de résolutions d'équations ? Car il n'y a pas que les équations polynomiales ^^ Ainsi je sais qu'il y à au delà des complexes : les Quaternions, les Octonions et les sédénions qui sont de rang respectivement 2, 3, 4 (les réels sont de rang 0 et les complexes de rang 1). A chaque rang la dimension de l’algèbre est doublé : 1 dimension ( 1 axe) pour les réels, 2 dimensions pour les complexes, 4 pour les quaternions, 8 pour les octo, 16 pour les sédénions. Mais à chaque rangs ont perds des propriétés : -complexes : perte de la Comparaisons (Plus de Relation d'ordre) -quaternions : perte de la commutativité -octonions : perte de l'associativité -sédénions : pertes de l'alternativité (si (xx)y = x(xy) et si y(xx) = (yx)x ) et de l'intégrité (il ne possède aucun diviseur de zéro.) Ainsi ont pourrais théoriquement allez jusqu'à des rangs aussi grand que l'on veut mais la structures du "système" dégénère (perds des propriétés). d'ailleurs se serrais intéressant de voir si pour certaines valeurs de n (le rang), des propriétés réapparaissent. ex : peut etre que pour n = 16 de dimension 2^16 la structure est à nouveau un groupe. (j'ai dis n=16 comme j'aurais pu dire n=23)
Donc oui, Pi est la solution de X - Pi = 0 :-) Mais je ne vois pas bien le rapport avec le théorème de d'Alembert-Gauss, le fait que toute équation soit résoluble ne dis pas que tout élément est solution d'un polynôme...
Je vous invite à aller voir les playlist sur les tableaux avec les cinq couleurs des familles des composants ou je parle des facteurs de encense additive et je joins les deux bouts de tous les cardinaux de la moi à la base justement de ces nombres là bien sûr qu’on a tous les composés composant de manière ordonnée c’est ce que je démontre dans un théorème fini
Par exemple si on a 20sur4 et il faut savoir si c'est un entier relatif il faut le diviser et donc sa donne 5 et on repond avec cette reponse ou on laisse comme ça sans calcule et on repond
je crois que dans les ensembles de base, pour les nombres rationnels vous vouliez écrire Z* et pas N*.. non? On peut avoir un nombre négatif au dénominateur d'une fraction...
Coucou prof. Comme je ne trouve pas de démonstration qui me parle pour démontrez le raisonnement par récurrence, voici une démonstration de mon cru '(adaptée d'un livre de Serge LANG sur lequel je n'arrive pas à remettre la main dessus) mais aussi augmenté de certaines remarques qui font que contrairement à ce qu'on voit souvent dans la littérature mathématique, il n'est pas nécessaire de supposer dans la seconde hypothèse (voir vers la fin) que P(n) vrai implique o(m+1) vrai mais plutôt de supposer que (P(n) implique o(m+1) ) est vrai. Voici la démonstration: Première forme de raisonnement par récurrence. Soit P une propriété définie sur I tel que I={n,n∈N | n≥n_0} où n_0 est un entier naturel (pas nécesairement zéro) pour lequel on vérifie que P_((n_0 ) ) est vraie. On veut démontrer que pour tout n, n∈I, P_((n) ) est une assertion vraie. Donnons-nous alors un ensemble E tel que E={n,n∈I | P_((n) )}. Comme P_((n_0 ) ) vraie on en déduit que n_0∈E, et l’on peut alors affirmer que E≠∅. Posons alors la propriété Q ayant la définition suivante « ∃n, n∈ I, ¬P_((n) ) » (le but étant par la suite de démontrer que cette propriété Q est fausse et donc que la propriété ¬Q est vraie, c’est-à-dire que la propriété ∀n, n∈ I, P_((n) ) est vrai et donc que E=I). De cette propriété Q, on en déduit qu’il existe un ensemble J tel que J={n, n∈ I| ¬P_((n) )} et donc que J≠∅. Ainsi, d’après l’axiome du bon ordre, ∃p_0, p_0∈ J tel que p_0=〖min〗_I (J), autrement dit ¬P_((p_0 ) ) est vraie. Comme J⊂I, alors on déduit que p_0≥n_0 mais comme on a ¬P_((p_0 ) ) vraie et P_((n_0 ) ) vraie, on ne peut pas avoir p_0= n_0 car cela signifierait que ¬P_((p_0 ) )⇔P_((p_0 ) ) donc on a p_0≠n_0 et finalement p_0>n_0. Comme p_0>n_0, p_0 ne peut être nul (puisque n_0≥0) et donc p_0 possède alors un prédécesseur q_0, q_0=p_0-1≥ n_0, et comme p_0=〖min〗_I (J), alors q_0∉J, autrement dit q_0∈E, ce qui permet de déduire que P_((q_0 ) ) est vraie. Supposons que le calcul de la récurrence sur P_((n) ) permettant de déterminé que ∀n, n∈ I, on obtient bien P_((n+1) ) partir de P_((n) ), c’est-à-dire que la propostion [P_((n) ) ⇒P_((n+1) )] est vraie. On peut alors écrire [P_((q_0 ) ) ⇒P_((p_0 ) )] et comme on a P_((q_0 ) ) qui est vraie alors on ne peut avoir que P_((p_0 ) ) vraie. Or cette dernière remarque (P_((p_0 ) ) vraie) est en contradiction avec le fait que l’on ait supposé au début dans la formulation de la propriété Q que ¬P_((p_0 ) ) était vraie, en effet, on ne peut avoir [¬P_((p_0 ) ) ⇒P_((p_0 ) )] où ¬P_((p_0 ) ) et P_((p_0 ) ) seraient vraies simultanément. Or comme la démonstration s’est déroulé correctement, cela signifie que [¬P_((p_0 ) ) ⇒P_((p_0 ) )] est malgré tout une proposition vraie et donc la seule alternative est que ¬P_((p_0 ) ) soit fausse et donc que P_((p_0 ) ) soit définitivement vraie. Comme ¬P_((p_0 ) ) est une conséquence de la propriété Q, cela signifie que cette propriété Q à partir de laquel on a déduit tout le reste est fausse donc c’est sa négation ¬Q définie par ¬(∃n, n∈ I, ¬P_((n) )) qui est vraie, autrement dit, ∀n, n∈ I, ¬(¬P_((n) )) est vraies, ce qui signifie donc que ∀n, n∈ I, P_((n) ). Finalement E={n,n∈ I│P_((n) ) }= I, autrement dit l’assertion P_((n) ) et vraie ∀n, n∈ I, CQFD. Reformulons plus académiquement la preuve de la première forme de raisonnement par récurrence: Soit n_0, n_0∈N, et P une propriété définie sur un ensemble I tel que I={n,n∈N | n≥n_0}. Supposons que les deux propositions suivantes soient vraie : 1) P_((n_0 ) ) 2) ∀n, n∈ I, [P_((n) ) ⇒P_((n+1) )] Démontrons que la proposition qui suit est vraie : ∀n, n∈ I, P_((n) ). On suppose la propriété Q : ∃n, n∈ I, ¬P_((n) ), d’où J={n, n∈ I| ¬P_((n) )}≠∅, alors ∃p_0, p_0∈ J tel que p_0=〖inf〗_I (J), c’est-à-dire que l’on a ¬P_((p_0 ) ), soit P_((p_0 ) ) fausse. Or comme J⊂I, p_0≥n_0 mais comme on a P_((n_0 ) ) vraie, alors , p_0>n_0. De plus p_0>n_0≥0, ainsi, p_0≠0, et p_0 admet alors un prédécesseur q_0=p_0-1. Or q_0∉J donc P_((q_0 ) ) est vraie et d’après (2), P_((p_0 ) ) est aussi vraie, ce qui est en contradiction avec P_((p_0 ) ) fausse. Donc J≠∅ et par suite la propriété Q est fausse, c’est-à-dire ¬(∃n, n∈ I, ¬P_((n) )), ce qui signifie que ∀n, n∈ I, P_((n) ), CQFD.
A 4:30: j'ai creusé à un certain niveau de détail l'analyse de la réciproque de l'axiome d’extensionnalité et l'axiome d’extensionnalité lui-même et je suis arrivé à une conclusion intrigante voire stupéfiante. Si vous pouvez jeter un coup d’œil quand vous avez le temps et si bien sûr vous en avez l'envie car je n'arrive pas à trouver ce qui coince dans mon raisonnement . Merci de tout cœur. Nota : Bien différencier dans le teste qui suit le "et" conjonction de coordination et le "ET" connecteur binaire de conjonction. Définition préalable de l’inclusion Soit Ω, un ensemble de référence (référentiel ou univers), ∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [(∀x, x∈Ω (x∈F ⇒ x∈E)) ⇔ (F ⊂ E)] Recherche d'une définition de l’égalité entre ensemble s basée sur l'axiome d’extensionnalité et sa réciproque : Analyse de la réciproque de l'axiome d’extensionnalité (appelée 'Propriété 1') Propriété 1 : (∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [(E= F) ⇒ ((E⊂F) ET (F⊂E))]) Il semble triviale de remarquer que : Si deux ensembles sont égaux, alors tout élément de l’un est élément de l’autre et vice-versa. En effet, un ensemble est toujours inclus dans lui-même et si cet ensemble revêt des noms différents alors chacun de ces noms désigne le même ensemble et donc cet ensemble désigné par un nom est toujours inclus dans ce même ensemble désigné par un autre nom et vice-versa. D'un point de vue analytique, soit Ω, un ensemble de référence (référentiel ou univers), et soit E et F, deux parties de Ω, en définissant le symbole « ⊂_strict » par « strictement inclus dans » on peut détaille l’égalité E = F de la manière suivante : (E = F) ⇒ ((E = F) OU (E ⊂_strict F) mais on a aussi (E = F) ⇒ ((E = F) OU (F ⊂_strict E)), ainsi l’on peut trivialement écrire : (E= F) ⇔ ((E = F) ET (E = F)) or ((E= F) ET (E= F)) ⇒ (((E = F) OU (E⊂_strict F)) ET ((E=F) OU (F⊂_strict E))), donc par transitivité, on a : (E= F) ⇒ (((E = F) OU (E⊂_strict F) ET ((E = F) OU (F ⊂_strict E))), En utilisant le symbole habituelle ⊂ avec le sens « plus petit ou égal à », on produit les équivalences suivantes : ((E = F) OU (E⊂_strict F)) ⇔ (E ⊂ F) et aussi ((E=F) OU (F⊂_strict E)) ⇔ (F ⊂ E). Ainsi, l’on abouti a (E = F) ⇒ ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)). La propriété 1, mettant en relation égalité et inclusion, s’écrit finalement : Soit Ω, un ensemble de référence (référentiel ou univers), ∀(E, F),(E, F) ⊂ Ω^2 [(E = F) ⇒ ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E))]. En tenant compte de l’équivalence dans la définition de d’inclusion au début du texte, on peut alors écrire : ∀(E, F),(E ,F) ⊂ Ω^2 [(E = F) ⇒ (∀x, x∈Ω (x∈E ⇒ x∈F) et (x∈F ⇒ x∈E)). Analysons plus en détail l'expression (E ⊂ F) et (F ⊂ E) afin de pouvoir produire une table de vérité de la réciproque de l'axiome d’extensionnalité. Il apparaît que si l’on décompose les termes (E ⊂ F) et (F ⊂ E), on obtient : (E ⊂ F) ⇔ ((E⊂_strict F) OU (E= F)) et (F⊂E) ⇔ ((F ⊂_strict E) OU (F=E)), On a donc ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇔ ((E ⊂_strict F) OU (E = F)) ET ((F ⊂_strict E) OU (F = E)). D’où, en appliquant la distributivité du connecteur ET par rapport au connecteur OU : ((E⊂ F) ET (F ⊂E)) ⇔ ((E ⊂_strict F) OU (E = F)) ET ((F⊂_strict E) OU (F=E)) ⇔ ((E⊂_strict F) ET (F ⊂_strict E)) OU ((E ⊂_strict F) ET (F = E)) OU ((E = F) ET (F〖⊂_strict E)) OU ((E = F) ET (F = E)), or : ((E ⊂_strict F) ET (F〖⊂_strict E)) est une expression toujours fausse, ((E ⊂_strict F) ET (F = E)) est une expression toujours fausse, ((E = F) ET (F〖⊂_strict E)) est une expression toujours fausse, mais ((E = F) ET (F = E)) qui est simplement une expression équivalente à (E = F) est une expression contingente puisqu’elle n’est vraie que si et seulement si E = F et fausse dans le cas contraire. De ce fait, toute l’expression ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) n’est vraie que si E = F.
En faisant le tableau de vérité de cette proposition, on remarque qu'il s'agit d'une tautologie. Scénario E = F (( E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ((E= F) ⇒ ((E⊂ F) ET (F ⊂E)) ) 1 Vrai Vrai (quand ((E = F) ET (F = E))) Vrai 2 Vrai Faux * NA** 3 Faux Vrai * NA** 4 Faux Faux (quand E≠F) Vrai Légende : * Impossible par application du principe de non-contradiction ** Non Applicable (de l’anglais : Not Applicable) En vertu du principe de non-contradiction, les scénarios 2 et 3 ne se réalisent jamais. En effet, sur une même ligne (un même scénario) dans une table de vérité, on ne peut avoir simultanément une expression logique et sa négation. Ici, on ne peut avoir à la fois E = F et E ≠ F. Ainsi, la propriété 1, réciproque de l'axiome d’extensionnalité, qui est une tautologie, ne se réalise qu'aux scénarios 1 et 4. Propriété 2 (implication réciproque de la propriété 1 ou Axiome d’extensionnalité) : On pourrait penser que l’implication réciproque de la propriété 1 est aussi triviale et dire : Si tout élément d’un ensemble est élément d’un autre et vice-versa, alors ces deux ensembles sont égaux. Ce qui s’écrirait symbolique par : Soit Ω, un ensemble de référence (référentiel ou univers), ∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E = F)]. En tenant compte de l’équivalence dans la définition de d’inclusion, on pourrait même écrire : ∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [(∀x, x∈Ω ((x∈E ⇒x∈F) ET (x∈F⇒x∈E)) ⇒ (E= F)). Analysons maintenant les expressions de l’implication réciproque de la propriété 1, c'est-à-dire de l"axiome d’extensionnalité, dans le but de tenter, démontrer si possible, que [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E = F)] est une expression valide. Dans ce paragraphe je reproduit, pour rappel, exactement la même analyse de l’expression (E ⊂ F) et (F ⊂ E),faite préc"demment. Ainsi, en utilisant le symbole « ⊂_strict » déjà décrit précédemment, il apparaît que si l’on décompose les termes (E ⊂ F) et (F ⊂ E), on obtient : (E ⊂ F) ⇔ ((E⊂_strict F) OU (E= F)) et (F⊂E) ⇔ ((F ⊂_strict E) OU (F=E)), On a donc ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇔ ((E ⊂_strict F) OU (E = F)) ET ((F ⊂_strict E) OU (F = E)). D’où, en appliquant la distributivité du connecteur ET par rapport au connecteur OU : ((E⊂ F) ET (F ⊂E)) ⇔ ((E ⊂_strict F) OU (E = F)) ET ((F⊂_strict E) OU (F=E)) ⇔ ((E⊂_strict F) ET (F ⊂_strict E)) OU ((E ⊂_strict F) ET (F = E)) OU ((E = F) ET (F〖⊂_strict E)) OU ((E = F) ET (F = E)), or : ((E ⊂_strict F) ET (F〖⊂_strict E)) est une expression toujours fausse, ((E ⊂_strict F) ET (F = E)) est une expression toujours fausse, ((E = F) ET (F〖⊂_strict E)) est une expression toujours fausse, mais ((E = F) ET (F = E)) qui est simplement une expression équivalente à (E = F) est une expression contingente puisqu’elle n’est vraie que si et seulement si E= F et fausse dans le cas contraire. De ce fait, toute l’expression ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) n’est vraie que si E = F. Ainsi, d’après le connecteur d’implication, on peut établir la table suivante : Scénario ((E⊂ F) ET (F ⊂E)) E= F ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E= F)) 1 Vrai (quand ((E = F) ET (F = E))) Vrai Vrai 2 Vrai (quand ((E = F) ET (F = E))) Faux * NA** 3 Faux (quand E≠F) Vrai * NA** 4 Faux (quand E≠F) Faux Vrai Légende : * Impossible par application du principe de non-contradiction ** Non Applicable (de l’anglais : Not Applicable) En vertu du principe de non-contradiction, les scénarios 2 et 3 ne se réalisent jamais. En effet, sur une même ligne (un même scénario) dans une table de vérité, on ne peut avoir simultanément une expression logique et sa négation. Ici, on ne peut avoir à la fois E = F et E ≠ F. Conclusion intrigante : Du point de vue de la logique standard, l’expression de la réciproque de la propriété 1 ou ou axiome d’extensionnalité, ∀(E, F),( E, F)⊂ Ω^2 [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E = F)], est vraie dans le cas où E = F et dans le cas où E ≠ F.. Il semble donc s'agir d'une tautologie aux vues de l'analyse logique et donc visiblement pas d’un axiome!!! Conclusion finale : On a donc montré la réciproque de l'axiome d’extensionnalité ∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E = F)]. ainsi que l'axiome d’extensionnalité lui-même ∀(E, F),( E, F)⊂ Ω^2 [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E = F)], Ces deux propriétés étant vraies quelles que soient les valeurs possibles de vérité que peuvent prendre leurs expressions dans les scénarios qui le permettent; c'est-à-dire les scénarios 1 et 4 de chaque tableau, on en déduit l'équivalence suivante qui se trouve alors définir l'égalité entre deux ensembles : ∀(E, F),( E, F)⊂ Ω^2 [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇔ (E = F)], C'est-à-dire : Deux ensembles sont égaux si t seulement si ils sont inclus l'un dans l'autre. Remarque finale : On aurait pu faire tous ces calculs en une seule fois, juste en remarquant que les deux tables logiques peuvent se rassembler en une seule qui montre directement la tautologie de l'expression de l'équivalence.
Commentaire sur « Cette phrase est fausse » : Que peut-on dire de l’état de vérité de la phrase « Cette phrase est fausse » ? Si la phrase « Cette phrase est fausse » est vraie, alors comme elle s’auto-réfère, c’est-à-dire qu’elle parle d’elle-même, alors elle dit d'elle-même qu'elle est fausse. Cela signifie que si cette phrase est vraie alors elle est fausse. Si par contre si cette même phrase « Cette phrase est fausse » est fausse, du fait encore qu’elle s’auto-réfère elle dit donc qu’elle est vraie. Cela signifie que si cette phrase est fausse alors elle est vraie. On en déduit un paradoxe qui nous empêche de statuer sur l’état de vérité de cette phrase. Ainsi, bien que la phrase « Cette phrase est fausse » est syntaxiquement correcte elle présente une anomalie sémantique qui interdit de lui donner un quelconque état de vérité. Ainsi cette phrase ne peut être élevée au rang de proposition puisqu'une proposition est soit vraie, soit fausse (principe du tiers exclu, c'est-à-dire qui'il n'y a pas d'autres valeurs de vérité que le "Vrai" et le "Faux"). et elle ne peut pas avoir ces deux états de vérité en même temps (principe de non-contradiction).
@@MathsAdultes Merci mais je ne suis pas mathématicien, j'apprends donc c'est surtout grâce à ce que vous dites professeur et un peu grâce à mes connaissances antérieures que je me permet de faire des commentaires :) Vos cours sont super car ils donnent à réfléchir, à voir plus loin. Merci beaucoup pour votre investissement.
Merci pour la vidéo mais le son est très faible, notamment par rapport au générique (ceci est vrai pour l'ensemble ;) de vos vidéos). Pouvez-vous améliorer cela ?
Coucou prof, ce coup ci je pense que j'ai vraiment trouver le pourquoi du comment de l'axiome d'extensionalité et la ça vaut le coup que vous y jetiez un œil :) En fait, en prenant comme définition axiomatique le fait que dans l'univers Ω, il n’existe pas deux ensembles qui distincts l’un de l’autre, ont exactement les mêmes éléments et en traduisant ça en symboles mathématiques et logique, il vient : ¬[∃(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 ((E≠F)∧(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F)))] ⇔ ∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2¬((E≠F)∧(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F))) ⇔ ∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 (¬(E≠F)∨¬(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F))) ⇔ ∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 ((E=F)∨¬(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F))) ⇔ ∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 ((∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F)) ⇒ (E=F)). Voili-voilou :)
Si le Barbier se rase lui-même alors cela veut dire qu'il ne rase plus seulement tous les hommes qui ne se rasent pas eux même donc il doit, a priori ne pas se raser lui-même pour être celui qui ne rase seulement que tous les hommes qui ne se rasent pas eux-même. Or, s'il ne se rase pas lui-même il doit alors se faire raser par celui qui rase les hommes qui ne se rasent pas eux-même, c'est-à-dire par le barbier (comprenons ici qu'il n'y a qu'un seul barbier qui est celui de Séville ;) )... et comme il est justement barbier et le seule barbier, il doit alors se faire raser par lui-même mais s'il se rase lui-même il ne rase plus seulement tous les hommes qui ne se rasent pas eux-même donc il doit ne pas se raser lui-même et s'il ne se rase pas lui-même, il doit se faire raser par celui qui ne rasent que tous ceux qui ne se rasent pas eux-même, c'est-à-dire par le barbier... qui n'est que lui-même... La solution est : IL FAUT SE LAISSER POUSSER LA BARBE loool
Je vous invite sur ma chaîne pour vous montrer que j’ai l’expression des N et des R de tous les réels ou de Q prime du Q Des ensembles de de la plus grande partie de E & F Évidemmentapplication de la fonction bijective. /45°
Du coup, comme je suis un pitbull des mathématiques lol, je m'accroche jusqu'à ce que je comprenne et comme cet axiome d'extensionalité me turlupine, j'ai tenté de trouver une explication à ma sauce mais je ne suis sûr de rien car je n'ai pas assez de recul en mathématiques en général et sur les théories (comme visiblement il y en a plusieurs) des ensembles en particulier. Explication de mon cru à propos de d'axiome d'extensionalité (peut-être à mettre dans la cuvette des toilettes et tirer la chasse, voire nettoyer la cuvette aussi après lol) : Soit Ω, un ensemble de référence (référentiel ou univers), ∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [(E ⊂F ET F ⊂E) ⇒(E=F)] En utilisant la définition de l’inclusion, l’expression : ∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [(E ⊂F ET F ⊂E) peut se réécrire : ∀(E ,F), ( E ,F)⊂Ω^2 [(∀x∈Ω ((x∈E ⇒ x∈F) ET (x∈F ⇒ x∈E))], qui peut encore s’écrire : ∀(E ,F), ( E ,F)⊂Ω^2 [(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F))], d’où finalement, l’axiome d’extensionalité se réécrit : ∀(E ,F), ( E ,F)⊂Ω^2 [(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F)) ⇒(E=F)], De cette formulation on peut plus facilement extirper la signification profonde de l’axiome d’extensionalité. En effet, le mot même « extensionalité » fait référence au fait que l’on s’intéresse avant tout aux éléments d’un ensemble (ce qui est décrit par « ∀x∈Ω» dans la formulation de d’axiome d’extensionalité) et non pas à la propriété que pourraient avoir son ou ses éléments. Il est à noter que l’on part de deux ensembles dont les noms (E et F) sont différents, ce qui en soit, permet de les distinguer. La propriété « (∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F) » signifie que les deux ensembles on exactement les mêmes éléments. On peut se poser la question à savoir, est-ce que le fait qu’ils aient exactement le ou les mêmes éléments, confère à ces ensembles la propriété d’être automatiquement égaux entre eux ? Bien pas forcément. En effet, un ensemble en extension qui est décrit par les éléments qu’il contient ainsi que par le nom qui l’identifie fait donc apparaître deux caractérisations qui sont justement d’une part, les éléments qu’il contient et d’autre part le nom qui l’identifie et de ce point de vue, on pourrait penser qu’un ensemble est unique si et seulement si il possède ces deux caractérisations de manière unique. C’est-à-dire, à la manière d’un couple composé d’un premier élément qui serait la caractérisation des éléments que contient l’ensemble (symbolisé par e par exemple) et d’un second élément qui serait le nom de l’ensemble (ici soit E soit F). Ainsi, le couple (e,E) est de toute évidence pas la même chose que le couple (e,F). Mais si ‘on pose comme loi que, si le premier élément du couple est le même dans deux couples différent alors on admet que les deux couples sont identiques, on obtient finalement (e,E)=(e,F) et donc E=F. C’est-à-dire que l’égalité de deux ensembles dépend des éléments qu’ils contiennent et non pas de leurs noms. Ainsi un ensemble est considérer comme unique par la seule caractérisation des éléments qu’il contient et le nom qui l’identifie n’importe pas.
@@MathsAdultes Merci prof, ça m'a pris au moins deux semaines pour arriver à dépatouiller ce truc mais comme je vous l'ai dit, je n'ai pas assez de recule en maths donc je ne suis pas sûr du tout de ce que j'avance en général. lol
Une seconde... _"Le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes"_ veut dire que le barbier rasera tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et non pas qu'il rase *seulement* les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes. Si le barbier est un homme qui se rase lui-même, selon la première proposition, il _ne va pas forcément_ se raser. Mais rien ne l'empêche de le faire. C'est seulement dans la seconde proposition que la contradiction apparaît.
Je ne suis pas certain d'avoir bien compris votre objection, mais je crois que j'ai oublié de dire que tous les hommes de ce village sont rasés de près ;-)
@@MathsAdultes Si c'est plus compréhensible, _"Le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes"_ n'implique pas que _"Le barbier ne rasera pas tous les hommes qui se rasent eux-même",_ comme vous l'avez abordé avec la négation dans un autre épisode. Ceci veut dire qu'il existe un homme qui se rase lui-même et que le barbier va raser, et cet homme n'est autre que... bah le barbier.
REINSPECTION PLUS RIGOUREUSE DANS LA MANIER DE PR2SENTER LE PROBLUME ENONCE DANS MON MESSAGE PR2CEDENT / A 4:30: Toujours à propos de l'axiome d'extensionalité. Contrairement au message précédent, j'expose le problème plus directement et plus clairement mais la conclusion en est encore renforcée. Pouvez-vous, je vous prie, quand vous avez le temps et l'envie, jeter un dernier coup d’œil? Merci infiniment. Revisitons le contexte On rappelle que la relation binaire "⊂" est une inclusion au sens large et quà ce titre, il est nécessaire pour la suite de définir le symbole « ⊂_strict » signifiant « strictement inclus dans »): Ainsi, écrire (E⊂F), c'est écrire ((E ⊂_strict F) OU (E = F)) et de même, Ecrire F⊂E, c'est écrire ((F ⊂_strict E) OU (F = E)). Ainsi, écrire (E⊂F ET F⊂E), c'est écrire ((E ⊂_strict F) OU (E = F)) ET ((F ⊂_strict E) OU (F = E)). Commençons alors la démonstration consistant à mettre en lumière que l'axiome d'extensionalité semble peut-être être une proposition démontrable : Partons de la propositon (E⊂F ET F⊂E). En développant (E⊂F ET F⊂E) par la distributivité de la conjonction par rapport à la disjonction, il vient : ((E ⊂_strict F)ET(F ⊂_strict E)) OU ((E ⊂_strict F)ET(F = E)) OU ((E = F)ET(F ⊂_strict E)) OU ((E = F)ET(F = E)). On remarque alors, qu'en considérant que (E⊂F ET F⊂E) est un prédicat où les variables sont E et F : ((E ⊂_strict F)ET(F ⊂_strict E)) est toujours faux, ((E ⊂_strict F)ET(F = E)) est toujours faux, ((E = F)ET(F ⊂_strict E)) est toujours faux et finalement, ((E = F)ET(F = E)) a une valeur de vérité contingente qui dépend de E et de F. Ainsi, losque l'on fixe E et F, (E⊂F ET F⊂E) devient une assertion dont la valeur de vérité est exactement la même que ((E = F)ET(F = E)). C'est-à-dire que dans tous les cas, on a l'équivalence logique suivante : (E⊂F ET F⊂E) ⇔ ((E = F)ET(F = E)) Remarquons au passaga que l'on a de manière triviale ((E = F)ET(F = E)) ⇔ (E = F) donc : (E⊂F ET F⊂E) ⇔ (E = F) Finalement quelles que soient les ensembles E et F, on a toujours l'équivalence logique suivante : (E⊂F ET F⊂E) ⇔ (E = F). En d'autre termes, on a la tautologie suivante : ∀(E ,F), (E ,F)Ω^2, ((E⊂F ET F⊂E) ⇔ (E = F)) On peut donc en déduire de la précédente équivalence logique, les deux implications logiques suivantes : Premièrement : ∀(E ,F), (E ,F)Ω^2, ((E⊂F ET F⊂E) ⇒ (E = F)) qui est connue sous le nom de "Axiome d'extensionalité" mais qui du coup, provenant d'une démonstration, ne semble plus se comporter comme un axiome. Secondement : ∀(E ,F), (E ,F)Ω^2, (E = F) ⇒ ((E⊂F ET F⊂E)) qui est donc l'implication réciproque de la précédente. Finalement, ce qu'on appelle "Axiome d'extensionalité' semble être démontrable. Je me doute bien qu'il doit y avoir une erreur dans mon raisonnement mais où, cela ne me saute pas aux yeux, qu'en pensez-vous? MERCI
la définition de l'inclusion sticte n'est pas si claire, est-ce que tu dirais que l'ensemble {1} est strictement inclus dans l'ensemble {1,1} ? (le fait que ces ensembles sont égaux est une conséquence de l'axiome d'extensionnalité donc on ne peut pas l'utiliser).
@@MathsAdultes Ah, voilà l'explication :) . Merci infiniment pour cette information qui m"échappait totalement et qui est tellement éclairante. Merci, merci et merci encore :) :) :)
Merci Professeur, je me refais tout pour être au point pour la L2, vos vidéos sont claires, simples et mieux expliqué que par mon prof !
Cette vidéo m'est très utile en tant qu'anglophone qui tente d'apprendre le français pour étudier les maths en France - j'ai déjà plein de compétences en maths mais je peine toujours à parler français, même après 8 ans d'études.
J'ai une situation pareille. Le math en français, c'est super, pas seulement pour l'apprentissage de math lui-même, mais pour l'acquise de la langue dit de Molière. Salut, depuis la République dominicaine !!
En regardant cette vidéo après avoir regardé une vidéo de vulgarisation sur le même sujet (la théorie des ensembles), j'ai compris qu'un peu d'histoire sur comment ils sont parvenus à mettre au point une telle théorie permettrait peut-être de mieux comprendre ce dont on parle. Cela peut surtout nous faire comprendre pourquoi les mathématiciens ont voulu mettre au point une telle théorie.
Trés bonne vidéo, vous passez beaucoup de chose en revue rapidement, ça m'a vraiment été utile.
Merci beaucoup à vous, c'est agréable de tomber totalement aléatoirement sur une chaîne qui partage la connaissance de manière claire. The show must go on! ^^
Je fière de votre explications et vraiment merci beaucoup pour le service que vous nous rendez
Merci; même si je savais tous cela, il est toujours bon d'écouter rien que pour remettre à jour le vocabulaire précis des mathématiques.
Cette vidéo va traverser le temps ! Plus de 3 ans après vous me sauvez ma réorientation !!
Merci c'est très clair et bien illustré.
Merci pour ce cours bien ficelé. Ce devrait être le premier cours de math dispensé au collège et renouvelé en seconde. Une base saine
Merci beaucoup. C'est très clair et intéressant.
Merci mille fois ♥
Merci pour vos vidéos!
Si tf1 cherche un monsieur météo, on en a un qui se sert très bien de son fond vert là x)
Bêté
C'est très noble ce que vous faites
C'est très intéressant. bravo
Merci super vidéo très, très claire.
Bonjour je me présente je m'appelle cedric j'ai 16 ans et j'ai pris option maths en spécialité au lycée, j'ai beaucoup de mal avec le niveau de la classe qui est beaucoup plus élevé par rapport au miens mon professeur mr Lavoine Marc explique très mal son cours grâce à vous j'arrive à me rattraper merci beaucoup et gros big up a Thierry
Merci pour votre travail. Vous rendez accessible vos connaissances au plus grand nombre 👍
Génial. Merci beaucoup.
Sérieusement, vous avez un débit de fou furieux 😂 je me suis perdu dans les 5 premiers minutes...je me disais qu'en sachant lire les maths ça irait mieux mais là c'est encore pire.
Je parle pour ma personne en sachant que j'ai un niveau en mathématique qui est very bad.
certains étudiants m'ont dit que ça allait mieux en diminuant la vitesse de lecture...
Bravo .vous avez expliqué le math bien bon courage
Pss whatsapp
Super utile :) merci
parfait pour revoir les bases !
Very well video, merci prof, je peux déjà imaginer comment je peux developper une autre version de ArcMAP :)
bravo ... explication claire et magnifique ... continuez je vous je vous en prie
Tu es vrmt un bon prof
J'ai noté 2 choses particulièrement intéressantes qui m'ont fait avancer.
* On peut considérer qu'un élément d'un ensemble est aussi un ensemble...j'avais tendance à "graduer" et m'interdire d'écrire "x appartient à x".
* A chaque étape d'une division euclidienne, les restes sont en nombre fini. On retombe toujours sur les mêmes donc le développement décimal d'un rationnel se répète ! Vu comme ça ...
Merci
Merci beaucoup professeur
4: 41 est-ce que F est aussi un élément de E ?
Les qualifications d'élément et de partie peuvent se supperposer ou le terme de partie est reservé aux ensemble ?
Merci beaucoup !
Merci beaucoup monsieur Mathimatique
Merci Parfait !
bonjour
peut on avoir un ensemble contenant des éléments qui n'ont à priori rien à voir entre eux comme par exemple en extension E={guitare, voiture, maison} ? Et si oui, comment les représenteriez-vous en compréhension E={x appartenant à A ; tel que P(x)}, comment qualifierez-vous P(x) ?
merci
merci 😆
c'est super merci
Excellent 👌
Merci beaucoup expert-mathématicien !!!
Merci, maintenant , j' ai un bon niveau
Rare d'avoir des professeurs comme vous
Bonjour, je ne comprend pas dans le chapitre des ensembles de bases , ce que désigne les lettres a,b,n,i ect ? Pourrait on m’aider
BG
Thank you !
Super !
Bonjour, lorsque j’étais en prépa j’ai créé une chaîne RUclips de mathématiques sur laquelle il y a plus de 200 vidéos d’exercices et de leçons !! N’hésitez pas à jeter un coup d’œil ou à me poser toute question
Je viens de jeter un coup d'oeil, je vois que tu t'es inspiré de l'astuce de calcul rapide qui est sur la chaîne (j'ai eu peur que tu ne l'aie posté avant mais non ;-) )
Merci bcp
Une vidéo géniale merci beaucoup.
bonjour et merci !
Aussi autre questions que je me suis toujours poser : on a vue que i nous permets de faire 1/4 de tour de la demi droite des réels R+. 1 va sur i, 2 sur 2i etc... (tandis que -1 permets de faire 1/2 tour à la demi droite. 1 va sur -1, 2 sur -2 etc...) Mais que ce passe t'il si on veut faire 1/8 de tour ? C'est surement un complexes, sans doute racine(1/2)+racine(1/2)i.
Autre question du même type : un complexes est former d'une paires ordonnés (un couple) (x,y), J'ai vue que quaternions c'est de dimensions 4 : (x,y,z,a). Mais du coup existe-t-il un nombre de dimension 3 ? Je sais aussi qu'un octonions est un nombres de dimension 8, mais du coup existe-t-il des nombres de dimension 5, 6, 7 etc ... généralisable en : existe t-il des nombres de dimensions différents de 2^n ? Si tu me dit que les quaternions, octo etc ... n'est pas un nombre alors dit moi pourquoi un complexes former de 2 nombres réels (un réels et un imaginaires) est UN nombre.
tu réponds correctement à ta première question :-) bravo !
Lorsqu'on dit d'un élément d'un ensemble qu'il s'agit d'un "nombre" cela signifie en général que l'ensemble en question est un corps (fr.wikipedia.org/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)).
C est un corps qui est également un R-espace vectoriel de dimension 2, donc il contient des nombres que l'on peut voir comme un couple de réels. On ne peut pas définir un corps qui soit un R-espace vectoriel de dimension 3 (je n'en connais pas vraiment la preuve mais c'est un résultat classique). Et Pour les quaternions comme tu le dis dans ton commentaire, la seule façon d'y parvenir est d'oublier la commutativité. Les quaternions ont néanmoins pas mal d'utilité pour décrire des espaces de dimension 3 ou 4 (pour la dimension 3 on se contente des "quaternions purs" (dont la partie réelle est nulle).
Pour les octonions et autres ensembles, la perte de l'associativité fait que de mon point de vue (et celui de pas mal de mes confrères je pense) on ne peut plus vraiment les appeler des nombres....
bravo
Merci
Le barbier peut se faire raser par un autre barbier, un collègue ou un concurrent par exemple. Il se peut qu'il soit imberbe, un comble pour un barbier mais c'est également une possibilité ^^.
Ou alors, c'est une femme.
pouvez vous mettre des videos sur les applications svp??
12:50 Ok admettons que les complexes permettre de résoudre toutes les équations polynomiales à coef complexes. Cela veut dire que e et Pi (et tout autre nombre transcendant) peuvent être racine d'un polynôme ? (j'ai fait une recherche et les transcendant ne peuvent pas etre une solution que pour des coefs rationnel, par contre pour coefs rééls je sais toujours pas. et du coup quel serais les valeurs que les racines ne peuvent pas prendre avec les coefs rééls, j'imagine que c'est des racines complexes :/ )
Et du coup qu'elle est l'utilité des Hyper-complexes ? (Je sais notamment que l'ont se sert des quaternions pour la localisations et prise en compte du spin des particules) Utilité en terme de résolutions d'équations ? Car il n'y a pas que les équations polynomiales ^^
Ainsi je sais qu'il y à au delà des complexes : les Quaternions, les Octonions et les sédénions qui sont de rang respectivement 2, 3, 4 (les réels sont de rang 0 et les complexes de rang 1). A chaque rang la dimension de l’algèbre est doublé : 1 dimension ( 1 axe) pour les réels, 2 dimensions pour les complexes, 4 pour les quaternions, 8 pour les octo, 16 pour les sédénions. Mais à chaque rangs ont perds des propriétés :
-complexes : perte de la Comparaisons (Plus de Relation d'ordre)
-quaternions : perte de la commutativité
-octonions : perte de l'associativité
-sédénions : pertes de l'alternativité (si (xx)y = x(xy) et si y(xx) = (yx)x ) et de l'intégrité (il ne possède aucun diviseur de zéro.)
Ainsi ont pourrais théoriquement allez jusqu'à des rangs aussi grand que l'on veut mais la structures du "système" dégénère (perds des propriétés). d'ailleurs se serrais intéressant de voir si pour certaines valeurs de n (le rang), des propriétés réapparaissent. ex : peut etre que pour n = 16 de dimension 2^16 la structure est à nouveau un groupe. (j'ai dis n=16 comme j'aurais pu dire n=23)
Donc oui, Pi est la solution de X - Pi = 0 :-)
Mais je ne vois pas bien le rapport avec le théorème de d'Alembert-Gauss, le fait que toute équation soit résoluble ne dis pas que tout élément est solution d'un polynôme...
@@MathsAdultes Du coup, est-ce que tout élément est solution d'une équation?
Un ensemble est un élément qui contient des ensembles...
Un chocolat est un élément qui contient du chocolat...
Waouw !!!!!
Bonjour, pourquoi la partie vide est inclue dans tous les ensembles?
Si E est un ensemble quelconque, tous les éléments de la partie vide (il n'y en a pas) sont bien également des éléments de E.
Mince j’ai l’impression de voir mon double. Même pull, même façon d’expliquer les maths... :)
Je vous invite à aller voir les playlist sur les tableaux avec les cinq couleurs des familles des composants ou je parle des facteurs de encense additive et je joins les deux bouts de tous les cardinaux de la moi à la base justement de ces nombres là bien sûr qu’on a tous les composés composant de manière ordonnée c’est ce que je démontre dans un théorème fini
Par exemple si on a 20sur4 et il faut savoir si c'est un entier relatif il faut le diviser et donc sa donne 5 et on repond avec cette reponse ou on laisse comme ça sans calcule et on repond
Merci bien
Cool
mais en fait, les maths, c'est passionnant !
On est d'accord ;-)
je crois que dans les ensembles de base, pour les nombres rationnels vous vouliez écrire Z* et pas N*.. non? On peut avoir un nombre négatif au dénominateur d'une fraction...
ça revient au même si on autorise des signes pour le dénominateur
Coucou prof. Comme je ne trouve pas de démonstration qui me parle pour démontrez le raisonnement par récurrence, voici une démonstration de mon cru '(adaptée d'un livre de Serge LANG sur lequel je n'arrive pas à remettre la main dessus) mais aussi augmenté de certaines remarques qui font que contrairement à ce qu'on voit souvent dans la littérature mathématique, il n'est pas nécessaire de supposer dans la seconde hypothèse (voir vers la fin) que P(n) vrai implique o(m+1) vrai mais plutôt de supposer que (P(n) implique o(m+1) ) est vrai.
Voici la démonstration:
Première forme de raisonnement par récurrence.
Soit P une propriété définie sur I tel que I={n,n∈N | n≥n_0} où n_0 est un entier naturel (pas nécesairement zéro) pour lequel on vérifie que P_((n_0 ) ) est vraie. On veut démontrer que pour tout n, n∈I, P_((n) ) est une assertion vraie. Donnons-nous alors un ensemble E tel que E={n,n∈I | P_((n) )}. Comme P_((n_0 ) ) vraie on en déduit que n_0∈E, et l’on peut alors affirmer que E≠∅. Posons alors la propriété Q ayant la définition suivante « ∃n, n∈ I, ¬P_((n) ) » (le but étant par la suite de démontrer que cette propriété Q est fausse et donc que la propriété ¬Q est vraie, c’est-à-dire que la propriété ∀n, n∈ I, P_((n) ) est vrai et donc que E=I). De cette propriété Q, on en déduit qu’il existe un ensemble J tel que J={n, n∈ I| ¬P_((n) )} et donc que J≠∅. Ainsi, d’après l’axiome du bon ordre, ∃p_0, p_0∈ J tel que p_0=〖min〗_I (J), autrement dit ¬P_((p_0 ) ) est vraie. Comme J⊂I, alors on déduit que p_0≥n_0 mais comme on a ¬P_((p_0 ) ) vraie et P_((n_0 ) ) vraie, on ne peut pas avoir p_0= n_0 car cela signifierait que ¬P_((p_0 ) )⇔P_((p_0 ) ) donc on a p_0≠n_0 et finalement p_0>n_0. Comme p_0>n_0, p_0 ne peut être nul (puisque n_0≥0) et donc p_0 possède alors un prédécesseur q_0, q_0=p_0-1≥ n_0, et comme p_0=〖min〗_I (J), alors q_0∉J, autrement dit q_0∈E, ce qui permet de déduire que P_((q_0 ) ) est vraie.
Supposons que le calcul de la récurrence sur P_((n) ) permettant de déterminé que ∀n, n∈ I, on obtient bien P_((n+1) ) partir de P_((n) ), c’est-à-dire que la propostion [P_((n) ) ⇒P_((n+1) )] est vraie. On peut alors écrire [P_((q_0 ) ) ⇒P_((p_0 ) )] et comme on a P_((q_0 ) ) qui est vraie alors on ne peut avoir que P_((p_0 ) ) vraie. Or cette dernière remarque (P_((p_0 ) ) vraie) est en contradiction avec le fait que l’on ait supposé au début dans la formulation de la propriété Q que ¬P_((p_0 ) ) était vraie, en effet, on ne peut avoir [¬P_((p_0 ) ) ⇒P_((p_0 ) )] où ¬P_((p_0 ) ) et P_((p_0 ) ) seraient vraies simultanément. Or comme la démonstration s’est déroulé correctement, cela signifie que [¬P_((p_0 ) ) ⇒P_((p_0 ) )] est malgré tout une proposition vraie et donc la seule alternative est que ¬P_((p_0 ) ) soit fausse et donc que P_((p_0 ) ) soit définitivement vraie. Comme ¬P_((p_0 ) ) est une conséquence de la propriété Q, cela signifie que cette propriété Q à partir de laquel on a déduit tout le reste est fausse donc c’est sa négation ¬Q définie par ¬(∃n, n∈ I, ¬P_((n) )) qui est vraie, autrement dit, ∀n, n∈ I, ¬(¬P_((n) )) est vraies, ce qui signifie donc que ∀n, n∈ I, P_((n) ). Finalement E={n,n∈ I│P_((n) ) }= I, autrement dit l’assertion P_((n) ) et vraie ∀n, n∈ I, CQFD.
Reformulons plus académiquement la preuve de la première forme de raisonnement par récurrence:
Soit n_0, n_0∈N, et P une propriété définie sur un ensemble I tel que I={n,n∈N | n≥n_0}.
Supposons que les deux propositions suivantes soient vraie :
1) P_((n_0 ) )
2) ∀n, n∈ I, [P_((n) ) ⇒P_((n+1) )]
Démontrons que la proposition qui suit est vraie :
∀n, n∈ I, P_((n) ).
On suppose la propriété Q : ∃n, n∈ I, ¬P_((n) ), d’où J={n, n∈ I| ¬P_((n) )}≠∅, alors ∃p_0, p_0∈ J tel que p_0=〖inf〗_I (J), c’est-à-dire que l’on a ¬P_((p_0 ) ), soit P_((p_0 ) ) fausse. Or comme J⊂I, p_0≥n_0 mais comme on a P_((n_0 ) ) vraie, alors , p_0>n_0. De plus p_0>n_0≥0, ainsi, p_0≠0, et p_0 admet alors un prédécesseur q_0=p_0-1. Or q_0∉J donc P_((q_0 ) ) est vraie et d’après (2), P_((p_0 ) ) est aussi vraie, ce qui est en contradiction avec P_((p_0 ) ) fausse. Donc J≠∅ et par suite la propriété Q est fausse, c’est-à-dire ¬(∃n, n∈ I, ¬P_((n) )), ce qui signifie que ∀n, n∈ I, P_((n) ), CQFD.
Les ravages de la non faculté critique.
A 4:30: j'ai creusé à un certain niveau de détail l'analyse de la réciproque de l'axiome d’extensionnalité et l'axiome d’extensionnalité lui-même et je suis arrivé à une conclusion intrigante voire stupéfiante. Si vous pouvez jeter un coup d’œil quand vous avez le temps et si bien sûr vous en avez l'envie car je n'arrive pas à trouver ce qui coince dans mon raisonnement . Merci de tout cœur.
Nota :
Bien différencier dans le teste qui suit le "et" conjonction de coordination et le "ET" connecteur binaire de conjonction.
Définition préalable de l’inclusion
Soit Ω, un ensemble de référence (référentiel ou univers),
∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [(∀x, x∈Ω (x∈F ⇒ x∈E)) ⇔ (F ⊂ E)]
Recherche d'une définition de l’égalité entre ensemble
s basée sur l'axiome d’extensionnalité et sa réciproque :
Analyse de la réciproque de l'axiome d’extensionnalité (appelée 'Propriété 1')
Propriété 1 : (∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [(E= F) ⇒ ((E⊂F) ET (F⊂E))])
Il semble triviale de remarquer que :
Si deux ensembles sont égaux, alors tout élément de l’un est élément de l’autre et vice-versa.
En effet, un ensemble est toujours inclus dans lui-même et si cet ensemble revêt des noms différents alors chacun de ces noms désigne le même ensemble et donc cet ensemble désigné par un nom est toujours inclus dans ce même ensemble désigné par un autre nom et vice-versa.
D'un point de vue analytique, soit Ω, un ensemble de référence (référentiel ou univers), et soit E et F, deux parties de Ω, en définissant le symbole « ⊂_strict » par « strictement inclus dans » on peut détaille l’égalité E = F de la manière suivante :
(E = F) ⇒ ((E = F) OU (E ⊂_strict F) mais on a aussi (E = F) ⇒ ((E = F) OU (F ⊂_strict E)), ainsi l’on peut trivialement écrire :
(E= F) ⇔ ((E = F) ET (E = F)) or
((E= F) ET (E= F)) ⇒ (((E = F) OU (E⊂_strict F)) ET ((E=F) OU (F⊂_strict E))), donc par transitivité, on a : (E= F) ⇒ (((E = F) OU (E⊂_strict F) ET ((E = F) OU (F ⊂_strict E))),
En utilisant le symbole habituelle ⊂ avec le sens « plus petit ou égal à », on produit les équivalences suivantes :
((E = F) OU (E⊂_strict F)) ⇔ (E ⊂ F) et aussi
((E=F) OU (F⊂_strict E)) ⇔ (F ⊂ E).
Ainsi, l’on abouti a (E = F) ⇒ ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)).
La propriété 1, mettant en relation égalité et inclusion, s’écrit finalement :
Soit Ω, un ensemble de référence (référentiel ou univers),
∀(E, F),(E, F) ⊂ Ω^2 [(E = F) ⇒ ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E))].
En tenant compte de l’équivalence dans la définition de d’inclusion au début du texte, on peut alors écrire :
∀(E, F),(E ,F) ⊂ Ω^2 [(E = F) ⇒ (∀x, x∈Ω (x∈E ⇒ x∈F) et (x∈F ⇒ x∈E)).
Analysons plus en détail l'expression (E ⊂ F) et (F ⊂ E) afin de pouvoir produire une table de vérité de la réciproque de l'axiome d’extensionnalité.
Il apparaît que si l’on décompose les termes (E ⊂ F) et (F ⊂ E), on obtient :
(E ⊂ F) ⇔ ((E⊂_strict F) OU (E= F)) et (F⊂E) ⇔ ((F ⊂_strict E) OU (F=E)),
On a donc ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇔ ((E ⊂_strict F) OU (E = F)) ET ((F ⊂_strict E) OU (F = E)).
D’où, en appliquant la distributivité du connecteur ET par rapport au connecteur OU :
((E⊂ F) ET (F ⊂E)) ⇔
((E ⊂_strict F) OU (E = F)) ET ((F⊂_strict E) OU (F=E)) ⇔
((E⊂_strict F) ET (F ⊂_strict E)) OU ((E ⊂_strict F) ET (F = E)) OU
((E = F) ET (F〖⊂_strict E)) OU ((E = F) ET (F = E)), or :
((E ⊂_strict F) ET (F〖⊂_strict E)) est une expression toujours fausse,
((E ⊂_strict F) ET (F = E)) est une expression toujours fausse,
((E = F) ET (F〖⊂_strict E)) est une expression toujours fausse, mais
((E = F) ET (F = E)) qui est simplement une expression équivalente à (E = F) est une expression contingente puisqu’elle n’est vraie que si et seulement si E = F et fausse dans le cas contraire.
De ce fait, toute l’expression ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) n’est vraie que si E = F.
En faisant le tableau de vérité de cette proposition, on remarque qu'il s'agit d'une tautologie.
Scénario E = F (( E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ((E= F) ⇒ ((E⊂ F) ET (F ⊂E)) )
1 Vrai Vrai (quand ((E = F) ET (F = E))) Vrai
2 Vrai Faux * NA**
3 Faux Vrai * NA**
4 Faux Faux (quand E≠F) Vrai
Légende :
* Impossible par application du principe de non-contradiction
** Non Applicable (de l’anglais : Not Applicable)
En vertu du principe de non-contradiction, les scénarios 2 et 3 ne se réalisent jamais.
En effet, sur une même ligne (un même scénario) dans une table de vérité, on ne peut avoir simultanément une expression logique et sa négation.
Ici, on ne peut avoir à la fois E = F et E ≠ F.
Ainsi, la propriété 1, réciproque de l'axiome d’extensionnalité, qui est une tautologie, ne se réalise qu'aux scénarios 1 et 4.
Propriété 2 (implication réciproque de la propriété 1 ou Axiome d’extensionnalité) :
On pourrait penser que l’implication réciproque de la propriété 1 est aussi triviale et dire :
Si tout élément d’un ensemble est élément d’un autre et vice-versa, alors ces deux ensembles sont égaux. Ce qui s’écrirait symbolique par :
Soit Ω, un ensemble de référence (référentiel ou univers),
∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E = F)].
En tenant compte de l’équivalence dans la définition de d’inclusion, on pourrait même écrire :
∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [(∀x, x∈Ω ((x∈E ⇒x∈F) ET (x∈F⇒x∈E)) ⇒ (E= F)).
Analysons maintenant les expressions de l’implication réciproque de la propriété 1, c'est-à-dire de l"axiome d’extensionnalité, dans le but de tenter, démontrer si possible, que [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E = F)] est une expression valide.
Dans ce paragraphe je reproduit, pour rappel, exactement la même analyse de l’expression (E ⊂ F) et (F ⊂ E),faite préc"demment. Ainsi, en utilisant le symbole « ⊂_strict » déjà décrit précédemment, il apparaît que si l’on décompose les termes (E ⊂ F) et (F ⊂ E), on obtient :
(E ⊂ F) ⇔ ((E⊂_strict F) OU (E= F)) et (F⊂E) ⇔ ((F ⊂_strict E) OU (F=E)),
On a donc ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇔ ((E ⊂_strict F) OU (E = F)) ET ((F ⊂_strict E) OU (F = E)).
D’où, en appliquant la distributivité du connecteur ET par rapport au connecteur OU :
((E⊂ F) ET (F ⊂E)) ⇔
((E ⊂_strict F) OU (E = F)) ET ((F⊂_strict E) OU (F=E)) ⇔
((E⊂_strict F) ET (F ⊂_strict E)) OU ((E ⊂_strict F) ET (F = E)) OU
((E = F) ET (F〖⊂_strict E)) OU ((E = F) ET (F = E)), or :
((E ⊂_strict F) ET (F〖⊂_strict E)) est une expression toujours fausse,
((E ⊂_strict F) ET (F = E)) est une expression toujours fausse,
((E = F) ET (F〖⊂_strict E)) est une expression toujours fausse, mais
((E = F) ET (F = E)) qui est simplement une expression équivalente à (E = F) est une expression contingente puisqu’elle n’est vraie que si et seulement si E= F et fausse dans le cas contraire.
De ce fait, toute l’expression ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) n’est vraie que si E = F.
Ainsi, d’après le connecteur d’implication, on peut établir la table suivante :
Scénario ((E⊂ F) ET (F ⊂E)) E= F ((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E= F))
1 Vrai (quand ((E = F) ET (F = E))) Vrai Vrai
2 Vrai (quand ((E = F) ET (F = E))) Faux * NA**
3 Faux (quand E≠F) Vrai * NA**
4 Faux (quand E≠F) Faux Vrai
Légende :
* Impossible par application du principe de non-contradiction
** Non Applicable (de l’anglais : Not Applicable)
En vertu du principe de non-contradiction, les scénarios 2 et 3 ne se réalisent jamais.
En effet, sur une même ligne (un même scénario) dans une table de vérité, on ne peut avoir simultanément une expression logique et sa négation.
Ici, on ne peut avoir à la fois E = F et E ≠ F.
Conclusion intrigante :
Du point de vue de la logique standard, l’expression de la réciproque de la propriété 1 ou ou axiome d’extensionnalité, ∀(E, F),( E, F)⊂ Ω^2 [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E = F)], est vraie dans le cas où E = F et dans le cas où E ≠ F.. Il semble donc s'agir d'une tautologie aux vues de l'analyse logique et donc visiblement pas d’un axiome!!!
Conclusion finale :
On a donc montré la réciproque de l'axiome d’extensionnalité
∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E = F)].
ainsi que l'axiome d’extensionnalité lui-même
∀(E, F),( E, F)⊂ Ω^2 [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇒ (E = F)],
Ces deux propriétés étant vraies quelles que soient les valeurs possibles de vérité que peuvent prendre leurs expressions dans les scénarios qui le permettent; c'est-à-dire les scénarios 1 et 4 de chaque tableau, on en déduit l'équivalence suivante qui se trouve alors définir l'égalité entre deux ensembles :
∀(E, F),( E, F)⊂ Ω^2 [((E ⊂ F) ET (F ⊂ E)) ⇔ (E = F)],
C'est-à-dire :
Deux ensembles sont égaux si t seulement si ils sont inclus l'un dans l'autre.
Remarque finale :
On aurait pu faire tous ces calculs en une seule fois, juste en remarquant que les deux tables logiques peuvent se rassembler en une seule qui montre directement la tautologie de l'expression de l'équivalence.
Je pense que vous utilisez déjà le résultat final quand vous rejetez le scénario 2 en fait...
@@MathsAdultes OK, merci beaucoup, je vais creuser ça à tête reposée.
J'adore les maths je suis bonne en maths en plus
J'étai bon en mathématique mais je suis mal maintenant parceque j'ai pas pratiquer pour un long temps, tu dis je faut faire quoi?
Merci . Moi j'habit a casa blanca 1ané collége moi lire le math enfrançait merci bcp
Commentaire sur « Cette phrase est fausse » :
Que peut-on dire de l’état de vérité de la phrase « Cette phrase est fausse » ?
Si la phrase « Cette phrase est fausse » est vraie, alors comme elle s’auto-réfère, c’est-à-dire qu’elle parle d’elle-même, alors elle dit d'elle-même qu'elle est fausse. Cela signifie que si cette phrase est vraie alors elle est fausse. Si par contre si cette même phrase « Cette phrase est fausse » est fausse, du fait encore qu’elle s’auto-réfère elle dit donc qu’elle est vraie. Cela signifie que si cette phrase est fausse alors elle est vraie.
On en déduit un paradoxe qui nous empêche de statuer sur l’état de vérité de cette phrase. Ainsi, bien que la phrase « Cette phrase est fausse » est syntaxiquement correcte elle présente une anomalie sémantique qui interdit de lui donner un quelconque état de vérité. Ainsi cette phrase ne peut être élevée au rang de proposition puisqu'une proposition est soit vraie, soit fausse (principe du tiers exclu, c'est-à-dire qui'il n'y a pas d'autres valeurs de vérité que le "Vrai" et le "Faux"). et elle ne peut pas avoir ces deux états de vérité en même temps (principe de non-contradiction).
excellent commentaire ! merci et n"hésitez pas à en poster d'autres de ce niveau ;-)
@@MathsAdultes Merci mais je ne suis pas mathématicien, j'apprends donc c'est surtout grâce à ce que vous dites professeur et un peu grâce à mes connaissances antérieures que je me permet de faire des commentaires :) Vos cours sont super car ils donnent à réfléchir, à voir plus loin. Merci beaucoup pour votre investissement.
J'avait du mal avec le xor dans powershell... Merci
Bonjour prof merci beaucoup beaucoup pour vos efforts mais je veux vous demander de faire des vidéos de langage physique et SVT s'il vous plaît
Pour quel classe ??
Première année d'étude supérieure (math sup ou L1)
Merci pour la vidéo mais le son est très faible, notamment par rapport au générique (ceci est vrai pour l'ensemble ;) de vos vidéos).
Pouvez-vous améliorer cela ?
Je peux éviter de reproduire cette erreur mais je ne crois pas pouvoir modifier une vidéo uploadée...
Coucou prof, ce coup ci je pense que j'ai vraiment trouver le pourquoi du comment de l'axiome d'extensionalité et la ça vaut le coup que vous y jetiez un œil :)
En fait, en prenant comme définition axiomatique le fait que dans l'univers Ω, il n’existe pas deux ensembles qui distincts l’un de l’autre, ont exactement les mêmes éléments et en traduisant ça en symboles mathématiques et logique, il vient :
¬[∃(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 ((E≠F)∧(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F)))] ⇔
∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2¬((E≠F)∧(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F))) ⇔
∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 (¬(E≠F)∨¬(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F))) ⇔
∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 ((E=F)∨¬(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F))) ⇔
∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 ((∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F)) ⇒ (E=F)).
Voili-voilou :)
joli
a oli
Si le Barbier se rase lui-même alors cela veut dire qu'il ne rase plus seulement tous les hommes qui ne se rasent pas eux même donc il doit, a priori ne pas se raser lui-même pour être celui qui ne rase seulement que tous les hommes qui ne se rasent pas eux-même. Or, s'il ne se rase pas lui-même il doit alors se faire raser par celui qui rase les hommes qui ne se rasent pas eux-même, c'est-à-dire par le barbier (comprenons ici qu'il n'y a qu'un seul barbier qui est celui de Séville ;) )... et comme il est justement barbier et le seule barbier, il doit alors se faire raser par lui-même mais s'il se rase lui-même il ne rase plus seulement tous les hommes qui ne se rasent pas eux-même donc il doit ne pas se raser lui-même et s'il ne se rase pas lui-même, il doit se faire raser par celui qui ne rasent que tous ceux qui ne se rasent pas eux-même, c'est-à-dire par le barbier... qui n'est que lui-même...
La solution est :
IL FAUT SE LAISSER POUSSER LA BARBE loool
Je vous invite sur ma chaîne pour vous montrer que j’ai l’expression des N et des R de tous les réels ou de Q prime du Q Des ensembles de de la plus grande partie de E & F Évidemmentapplication de la fonction bijective.
/45°
Du coup, comme je suis un pitbull des mathématiques lol, je m'accroche jusqu'à ce que je comprenne et comme cet axiome d'extensionalité me turlupine, j'ai tenté de trouver une explication à ma sauce mais je ne suis sûr de rien car je n'ai pas assez de recul en mathématiques en général et sur les théories (comme visiblement il y en a plusieurs) des ensembles en particulier.
Explication de mon cru à propos de d'axiome d'extensionalité (peut-être à mettre dans la cuvette des toilettes et tirer la chasse, voire nettoyer la cuvette aussi après lol) :
Soit Ω, un ensemble de référence (référentiel ou univers),
∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [(E ⊂F ET F ⊂E) ⇒(E=F)]
En utilisant la définition de l’inclusion, l’expression :
∀(E ,F),( E ,F)⊂Ω^2 [(E ⊂F ET F ⊂E) peut se réécrire :
∀(E ,F), ( E ,F)⊂Ω^2 [(∀x∈Ω ((x∈E ⇒ x∈F) ET (x∈F ⇒ x∈E))], qui peut encore s’écrire :
∀(E ,F), ( E ,F)⊂Ω^2 [(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F))], d’où finalement, l’axiome d’extensionalité se réécrit :
∀(E ,F), ( E ,F)⊂Ω^2 [(∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F)) ⇒(E=F)],
De cette formulation on peut plus facilement extirper la signification profonde de l’axiome d’extensionalité. En effet, le mot même « extensionalité » fait référence au fait que l’on s’intéresse avant tout aux éléments d’un ensemble (ce qui est décrit par « ∀x∈Ω» dans la formulation de d’axiome d’extensionalité) et non pas à la propriété que pourraient avoir son ou ses éléments. Il est à noter que l’on part de deux ensembles dont les noms (E et F) sont différents, ce qui en soit, permet de les distinguer. La propriété « (∀x∈Ω (x∈E ⇔ x∈F) » signifie que les deux ensembles on exactement les mêmes éléments. On peut se poser la question à savoir, est-ce que le fait qu’ils aient exactement le ou les mêmes éléments, confère à ces ensembles la propriété d’être automatiquement égaux entre eux ? Bien pas forcément. En effet, un ensemble en extension qui est décrit par les éléments qu’il contient ainsi que par le nom qui l’identifie fait donc apparaître deux caractérisations qui sont justement d’une part, les éléments qu’il contient et d’autre part le nom qui l’identifie et de ce point de vue, on pourrait penser qu’un ensemble est unique si et seulement si il possède ces deux caractérisations de manière unique. C’est-à-dire, à la manière d’un couple composé d’un premier élément qui serait la caractérisation des éléments que contient l’ensemble (symbolisé par e par exemple) et d’un second élément qui serait le nom de l’ensemble (ici soit E soit F). Ainsi, le couple (e,E) est de toute évidence pas la même chose que le couple (e,F). Mais si ‘on pose comme loi que, si le premier élément du couple est le même dans deux couples différent alors on admet que les deux couples sont identiques, on obtient finalement (e,E)=(e,F) et donc E=F. C’est-à-dire que l’égalité de deux ensembles dépend des éléments qu’ils contiennent et non pas de leurs noms. Ainsi un ensemble est considérer comme unique par la seule caractérisation des éléments qu’il contient et le nom qui l’identifie
n’importe pas.
Vous avez parfaitement compris cet axiome je pense, bravo !
@@MathsAdultes Merci prof, ça m'a pris au moins deux semaines pour arriver à dépatouiller ce truc mais comme je vous l'ai dit, je n'ai pas assez de recule en maths donc je ne suis pas sûr du tout de ce que j'avance en général. lol
Une seconde...
_"Le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes"_ veut dire que le barbier rasera tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et non pas qu'il rase *seulement* les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes. Si le barbier est un homme qui se rase lui-même, selon la première proposition, il _ne va pas forcément_ se raser. Mais rien ne l'empêche de le faire. C'est seulement dans la seconde proposition que la contradiction apparaît.
Je ne suis pas certain d'avoir bien compris votre objection, mais je crois que j'ai oublié de dire que tous les hommes de ce village sont rasés de près ;-)
@@MathsAdultes Si c'est plus compréhensible, _"Le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes"_ n'implique pas que _"Le barbier ne rasera pas tous les hommes qui se rasent eux-même",_ comme vous l'avez abordé avec la négation dans un autre épisode. Ceci veut dire qu'il existe un homme qui se rase lui-même et que le barbier va raser, et cet homme n'est autre que... bah le barbier.
V
Ensemble de bases ? Ensembles de base plutôt, non? On comprend rien sinon...
c'est vrai arg !
إنت ماذا تقول
Bonjour, j'ai trouvé une réponse 😃. Le barbier à un jumeaux tout pareil à lui et l'un rase l'autre et vice versa, et voilà 🧔😃
13:07 * x de E ,ce n'est pas de x
aboli polo
momo polo
anolimomo
aboli
Je veux ton número pour aprendre plus bien silvouplait
Dans les ensembles de nombres, vous avez oublié l'ensemble D😉
Suis nulle en math, jespere que jaurai un bon niveau ici
Sympathique mais il faudrait articuler et ne pas bafouiller..cela trouble l'attention.
vous avez complètement raison !
what
Mdr
Si le barbier est une femme ? ca marche?ou si il est imberbe:):)
j'ai rien compris
Eugene Amandine c'est marrant comment c'est dit 😂
Mathematique n'est pas Calcul !
You look like Rocco Siffredi
REINSPECTION PLUS RIGOUREUSE DANS LA MANIER DE PR2SENTER LE PROBLUME ENONCE DANS MON MESSAGE PR2CEDENT /
A 4:30: Toujours à propos de l'axiome d'extensionalité.
Contrairement au message précédent, j'expose le problème plus directement et plus clairement
mais la conclusion en est encore renforcée.
Pouvez-vous, je vous prie, quand vous avez le temps et l'envie, jeter un dernier coup d’œil?
Merci infiniment.
Revisitons le contexte
On rappelle que la relation binaire "⊂" est une inclusion au sens large et quà ce titre,
il est nécessaire pour la suite de définir le symbole « ⊂_strict » signifiant « strictement inclus dans »):
Ainsi, écrire (E⊂F), c'est écrire ((E ⊂_strict F) OU (E = F)) et de même,
Ecrire F⊂E, c'est écrire ((F ⊂_strict E) OU (F = E)).
Ainsi, écrire (E⊂F ET F⊂E), c'est écrire ((E ⊂_strict F) OU (E = F)) ET ((F ⊂_strict E) OU (F = E)).
Commençons alors la démonstration consistant à mettre en lumière que l'axiome d'extensionalité
semble peut-être être une proposition démontrable :
Partons de la propositon (E⊂F ET F⊂E).
En développant (E⊂F ET F⊂E) par la distributivité de la conjonction par rapport à la disjonction, il vient :
((E ⊂_strict F)ET(F ⊂_strict E)) OU ((E ⊂_strict F)ET(F = E)) OU ((E = F)ET(F ⊂_strict E)) OU ((E = F)ET(F = E)).
On remarque alors, qu'en considérant que (E⊂F ET F⊂E) est un prédicat où les variables sont E et F :
((E ⊂_strict F)ET(F ⊂_strict E)) est toujours faux,
((E ⊂_strict F)ET(F = E)) est toujours faux,
((E = F)ET(F ⊂_strict E)) est toujours faux et finalement,
((E = F)ET(F = E)) a une valeur de vérité contingente qui dépend de E et de F.
Ainsi, losque l'on fixe E et F, (E⊂F ET F⊂E) devient une assertion dont la valeur de vérité
est exactement la même que ((E = F)ET(F = E)).
C'est-à-dire que dans tous les cas, on a l'équivalence logique suivante :
(E⊂F ET F⊂E) ⇔ ((E = F)ET(F = E))
Remarquons au passaga que l'on a de manière triviale ((E = F)ET(F = E)) ⇔ (E = F) donc :
(E⊂F ET F⊂E) ⇔ (E = F)
Finalement quelles que soient les ensembles E et F, on a toujours l'équivalence logique suivante :
(E⊂F ET F⊂E) ⇔ (E = F).
En d'autre termes, on a la tautologie suivante :
∀(E ,F), (E ,F)Ω^2, ((E⊂F ET F⊂E) ⇔ (E = F))
On peut donc en déduire de la précédente équivalence logique, les deux implications logiques suivantes :
Premièrement :
∀(E ,F), (E ,F)Ω^2, ((E⊂F ET F⊂E) ⇒ (E = F)) qui est connue sous le nom de "Axiome d'extensionalité"
mais qui du coup, provenant d'une démonstration, ne semble plus se comporter comme un axiome.
Secondement :
∀(E ,F), (E ,F)Ω^2, (E = F) ⇒ ((E⊂F ET F⊂E)) qui est donc l'implication réciproque de la précédente.
Finalement, ce qu'on appelle "Axiome d'extensionalité' semble être démontrable.
Je me doute bien qu'il doit y avoir une erreur dans mon raisonnement mais où,
cela ne me saute pas aux yeux, qu'en pensez-vous?
MERCI
la définition de l'inclusion sticte n'est pas si claire, est-ce que tu dirais que l'ensemble {1} est strictement inclus dans l'ensemble {1,1} ? (le fait que ces ensembles sont égaux est une conséquence de l'axiome d'extensionnalité donc on ne peut pas l'utiliser).
@@MathsAdultes Ah, voilà l'explication :) . Merci infiniment pour cette information qui m"échappait totalement et qui est tellement éclairante. Merci, merci et merci encore :) :) :)
Mec j’ai 13 ans et j’arrive à comprendre appelle pas ça math adulte .
t'es trop fort ;-)
X=y=>x^2-y^2=yx-y2=>(x-y)(x+y)=(x-y)y=>x+y=y=2y=>1=2
Merci Beaucoup !!
Merci
Merci