f(x) = a0 + a1(x-1) + a2(x-2)(x-1) + …+ an(x-1)*…(x-n)으로 놓고 식 세우면 (n by n 행렬) * (계수 벡터) = (정수로 이뤄진 벡터) 로 나타낼 수 있는데, 여기서 gauss elimination 하면서 n+kCk가 정수인거 활용하면 m! * a_m이 정수인게 보여지고, n+kCk가 정수인거 다시 사용하면 증명이 되네요.
7:15 말한 연속한 m+1개의 곱이 (m+1)!의 곱이 된다는 말이 직관적으로는 이해가 되는데 제 스스로 엄밀하게 보이질 못하겠어요.. m+1보다 작거나 같은 임의의 정수k에 대해서 연속한m+1개의 정수들의 곱이 k배인건 자명한데.. 그 이상은 뭔가 엄밀하지 않은느낌?이 드는..
직관적으로는 n+kCk = (n+k)! / n! k!이 정수여서 그렇구요 (경우의 수니까요) 엄밀하게는 분자에 연속한 n개 숫자 중 n의 배수가 반드시 있고, 따라서 해당 숫자와 분모의 n을 소거. 그다음에 분자에 n-1개의 연속한 숫자 중 n-1의 배수가 반드시 있고, 따라서 해당 숫자와 분모의 n-1을 소거. 이랗게 반복하다보면 분모의 n!을 다 소거시킬 수 있습니다.
이 문제를 다뤄주셨군요! 예전에 이 문제를 한참 생각하다가 영상의 첫 번째 풀이가 갑자기 떠올라서 종이를 찾을 새도 없이 대충 물병에 막 적었던 기억이 나네요. (m+1)의 경우에서 m의 경우로 끌어내리는 과정이 정말 재미있는 문제 같습니다. 첫 번째 풀이는 처음 문제를 볼 때에는 상관없어 보이는 이항계수가 튀어나오는 것이 흥미롭고, 두 번째 풀이는 그 깔끔함이 정말 매력적이라고 생각합니다. 영상 정말 재미있게 잘 보았습니다!
수학적 귀납법을 사용한 또 다른 풀이입니다. 앞부분은 영상과 동일하고, P가 n+1차인 경우 Q(x)=P(x+1)-P(x)로 둘 때 Q는 n차이고 Q(0), …, Q(n)이 정수가 되어 귀납법 가정으로 Q(정수)는 정수가 되므로 P(0), P(n+1)에 연속한 Q(정수) 값들을 더하거나 빼 P(정수)도 정수가 된다고 증명할 수 있습니다.
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매번 재밌게 잘 보고있어용 진짜루
커뮤니티보고알았는데 수학/물리/미술을 다하시는군요ㄷㄷ 개쩐당..
꾸준히 업로드 해주셔서 늘 잘보고있습니다!! 정말 도움이 많이 됩니다🤓
진 짜 찰 생 기 셨 네🎀
마지막은 Hilbert-serre polynomial이 진짜 polynomial인걸 보일 때 쓰는 기법이죠ㅎㅎ
도쿄대 최고난도문제하면 1998년이 그래프문제가 떠오르네요 ㅋㅋㅋㅋ
그 문제도 꼭 다뤄보겠습니다 ㅎㅎ 시청 감사합니다!
현장에서 풀이를 서술하는 게 정말 어려웠을 듯.
진짜 잘생기셨네
감사합니다 ㅜㅜㅎ
f(x) = a0 + a1(x-1) + a2(x-2)(x-1) + …+ an(x-1)*…(x-n)으로 놓고 식 세우면
(n by n 행렬) * (계수 벡터) = (정수로 이뤄진 벡터)
로 나타낼 수 있는데, 여기서 gauss elimination 하면서 n+kCk가 정수인거 활용하면 m! * a_m이 정수인게 보여지고, n+kCk가 정수인거 다시 사용하면 증명이 되네요.
참고로 이렇게 다항식 세우는 걸 뉴턴 보간법이라고 합니다
엥? 이거 완전 라그랑주 인터폴레이션...
7:15 말한 연속한 m+1개의 곱이 (m+1)!의 곱이 된다는 말이 직관적으로는 이해가 되는데 제 스스로 엄밀하게 보이질 못하겠어요.. m+1보다 작거나 같은 임의의 정수k에 대해서 연속한m+1개의 정수들의 곱이 k배인건 자명한데.. 그 이상은 뭔가 엄밀하지 않은느낌?이 드는..
직관적으로는 n+kCk = (n+k)! / n! k!이 정수여서 그렇구요 (경우의 수니까요)
엄밀하게는 분자에 연속한 n개 숫자 중 n의 배수가 반드시 있고, 따라서 해당 숫자와 분모의 n을 소거.
그다음에 분자에 n-1개의 연속한 숫자 중 n-1의 배수가 반드시 있고, 따라서 해당 숫자와 분모의 n-1을 소거.
이랗게 반복하다보면 분모의 n!을 다 소거시킬 수 있습니다.
P(0),P(1),•••P(n)이 정수-> Q
P(x)=a0+a1x+a2x^2….anx^n
P(?)( ?는 0부터 n까지 정수) 에 해당하는 정수들을 b0,b1,…bn 가정
연립방정식 n+1개를 풀면 미지수 a0~an+1 들에 대한 b0,b1,….bn 사이의 곱과 덧셈들이 나옴. 정수의 곱과 합은 정수이므로 a0~an+1은 정수: R로 놓으면 q이면 r이다는 참, 역으로 r이면 q이다도 참. r이면 실수 P(k) (k는 정수) 가 정수이다 가 참이므로. 주어진 문제 q가 참이면 P(k)(k는 정수) 가 참이다를 r로 바꾸면 끝?
대충 고딩수준에서 직관적으로만 끄적여 봤는데 맞나모르겟네요 ㅋㅋ
이 문제를 다뤄주셨군요! 예전에 이 문제를 한참 생각하다가 영상의 첫 번째 풀이가 갑자기 떠올라서 종이를 찾을 새도 없이 대충 물병에 막 적었던 기억이 나네요.
(m+1)의 경우에서 m의 경우로 끌어내리는 과정이 정말 재미있는 문제 같습니다. 첫 번째 풀이는 처음 문제를 볼 때에는 상관없어 보이는 이항계수가 튀어나오는 것이 흥미롭고, 두 번째 풀이는 그 깔끔함이 정말 매력적이라고 생각합니다. 영상 정말 재미있게 잘 보았습니다!
요청해주셔서 즐겁게 풀었습니다 감사합니다 :)
학부 수학전공하셨나요?
논리가 정갈한게 비수학출신이 아니신거 같은뎅..
1번풀이에서 a가 정수라는 보장이 있을까요?
아뇨 없습니다! a(m+1)! 이 정수입니다!
재밌어요.
전공이 수학이신가요 ?
매클로린 급수로 n차 다항식 표현하고 수학적 귀납법으로 k에서 성립한다고 가정하면 P(k)와 P(k+1)의 계수들에 관한 수열(일반항 또는 점화식)의 관계를 찾아서 P(k+1) 역시 정수이다. 를 증명하려 했는데 수열 부분부터 막혔네요. 이렇게 접근하면 안되나요?
정신이 혼미하구만
P(x)의 계수 중 유리수가 하나 이상이라는 가정이 성립하지 않음을 보임으로써 모든 계수가 정수임을 증명하면 되지 않을까요?
자연수의 합 공식에서 알 수 있듯 p(x)=(x^2+x)/2라는 반례가 있습니다.
연세대 2016년도 1번 해설 해주실수 있나요??
마지막엔 k가 0 미만일때 m초과일때 나눠서 팩토리얼 배수임을 보여주면 되겠네요. 잘보고갑니다.
맞습니다! 그렇게 간편하게 처리하려다 기호 사용에 오류가 있어서 중간에 첨언을 드렸습니다 ㅎㅎ 이해해주셔서 감사합니다!
Q(x)가 모든 정수에 대해서 왜 정수가 나오는지 모르갰어요
저도요. M차 이하고 0부터 m까지 정수로 가정했는데 어떻게 모든 정수로 확장되는지 모르겠어요
Q(0)~Q(m+1)이 가정에 의해 (P(x)가 x=0~m+1 까지 모두 정수) 모두 정수니까요
@@yyyaa-y4x 그건 그냥 가정을 그대로 읊은건데 그게 어떻게 수학적 귀납법으로 연결되는지를 모르겠어요. 수학적 귀납법은 a(n) 이 성립한다 가정할때 a(n+1)또한 성립한다는건 보여주는 증명법이자나요
@@김동준-y7j2f
n이 1~m일때까지 성립한다는 가정에서 시작합니다. 증명하고싶은건 n = m+1일때도 성립한다입니다.
여기서 Q(k)는 m차 이하의 다항식입니다. 따라서 가정에 따라서 m차이하의 다항식인 Q(k)에서도 성립
@@genimsi 오
수학적 귀납법을 사용한 또 다른 풀이입니다. 앞부분은 영상과 동일하고, P가 n+1차인 경우 Q(x)=P(x+1)-P(x)로 둘 때 Q는 n차이고 Q(0), …, Q(n)이 정수가 되어 귀납법 가정으로 Q(정수)는 정수가 되므로 P(0), P(n+1)에 연속한 Q(정수) 값들을 더하거나 빼 P(정수)도 정수가 된다고 증명할 수 있습니다.
뒤에 그 풀이도 해용
수열로?
되게 트리비알해보이긴 하는데 간단해보여도 어려운문제일 수 있는거죠
도쿄공대 입시도함?
이게 한국말인가 하나도 이해가 안되네
복소수체 위에서 중복을 허용하여 n개의 해를 갖고 인수분해를 하면