Von der Ableitung zur Extremalstelle von x^x | Klausuraufgabe | Analysis 1

Titel: Von der Ableitung zur Extremalstelle von x^x | Klausuraufgabe | Analysis 1
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Gemeinsam werden wir Schritt für Schritt herausfinden, wie man mithilfe des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion e die Ableitung dieser Funktion bildet. Wir werden erkennen, dass die Funktion x^x tatsächlich ein globales Minimum bei x=1/e besitzt.
= Quellen ================================
↦ (1) Aufgabe 6: analysis.math....
↦ (2) Ableitung x^x: • Schwere ABLEITUNGEN - ...
↦ (3) Kettenregel (Satz 4.4): www.mathematik...
↦ (4) Produktregel (Satz 4.3, b): www.mathematik...
↦ (5) Grenzwert von Funktionen (Definition 5.1): mediathek.htw-...
↦ (6) Folgenkonvergenz Definition (S.1): www.uni-frankf...
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↦ Der rechtsseitige Grenzwert von x^x ist 1: • Der rechtsseitige Gren...
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Extremalstellen # e-Funktion # Kettenregel

[@MathemitNoel]

Wenn du Fragen hast, kannst du mir diese gerne in den Kommentaren stellen oder du kannst mir auch eine Nachricht schreiben. Die E-Mail-Adresse findest du in der Videobeschreibung.

[@gelbkehlchen]

Lösung:
y = x^x | logarithmisches Ableiten ⟹ ln() ⟹
ln(y) = x*ln(x)
| Ableiten: linke Seite: Kettenregel, rechte Seite: Produktregel ⟹
1/y*y’ = 1*ln(x)+x*1/x |*y ⟹
y’ = [ln(x)+1]*y ⟹
y’ = [ln(x)+1]*x^x | Produktregel ⟹
y’’ = 1/x*x^x+[ln(x)+1]*(x^x)’ = x^(x-1)+[ln(x)+1]*[ln(x)+1]*x^x
= x^(x-1)+[ln(x)+1]²*x^x
Notwendige Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle xE ist: y’(xE) = 0 ⟹
[ln(xE)+1]*xE^xE = 0 | entweder ln(xE)+1 = 0 oder xE^xE = 0, was aber nicht definiert ist. Also bleibt nur noch der 1. Fall übrig:
ln(xE)+1 = 0 |-1 ⟹
ln(xE) = -1 |e^() ⟹
xE = e^(-1) = 1/e ≈ 0,3679 ⟹
Hinreichende Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle xE ist: y’’(xE) ≠ 0 ⟹
y’’(xE) = (1/e)^(1/e-1)+[ln(1/e)+1]²*(1/e)^(1/e)
= 1/e^(1/e-1)+[-1+1]²*(1/e)^(1/e)
= 1/[e^(1/e)/e] = e/e^(1/e) ≈ 1,8816 > 0 ⟹
An der Stelle xE = e^(-1) = 1/e ≈ 0,3679 ist ein Tiefpunkt, und es ist:
y(xE=1/e) = xE^xE = (1/e)^(1/e) ≈ 0,6922