Вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, если хорду образованную стороной угла устранить к нулю, она выродиться в точку, и в предельном переходе, получим, угол между хордой и касательной тоже равен половине дуги. Удивительный Ответ X=√S. Спасибо за интересное видео.
Решил через площади, находим радиус окружности =MD=KD, проводим перпендикуляры из М и К до взаимного пересечения в точке Р и получим (4-r)*(4-r)+(3-r)*(3-r)=r*r и подходящий нам r= 7-√24, поскольку радиус получился ирациональным оставим его на потом а выразим площадь МВК через радиус как сумму площадей МРВ+КРВ+МРК, S= (r(4-r)+r(3-r)+r*r)/2 и площадь по другому S=MK*x/2=r√2*x/2 приравниваем х=(7-r)/√2 и теперь подставляем найденный r , х=√24/√2=2√3!
очень долго думал над это задачей... не решил... ну то есть решил) но дико... чисто, то б не упасть в грязь перед преподом... мож поставит "удовл"... за старание... крч, я его выложу коротко... радиус окружн (обозн тчк О) найдем быстро r=MD=DK=OB... опустим перп из О на ВС... и по пифу r^2=(4-r)^2+(3-r)^2... r=7-2√6... МК=7√2-4√3... далее...СК=3-r...AM=4-r... и пифим треуги АВМ и ВСК, что бы найти ВМ и ВК... теперь имеем весь треуг МВК... героним его площадь... ну и из формулы r=abc/4S находим высоту, зная основание... вот такая китайская алгебра
посмотрел... ну что сказать... я собой доволен... ничего я не упустил... эту задачу решить невозможно... как я понял, маэстро в этом уроке закрепил то, что давал на днях - про касательную и полдуги
Можно так ещё. Продлим МК в обе стороны до пересечения с продолжениями сторон пр-ка (скажем, в точках E и F). Получим прямоугольный равнобедренный трк BEF c высотой X и основанием 2Х. Если радиус окр обозначить R, то стороны этого трка BE=BF=7-R. И 7-R=x√2. А радиус находим из пифагора: (3-R)²+(4-R)²=R², R=7-2√6. Отсюда Х=2√3.
Решил чуть иначе. Треугольник МКД равнобедренный прямоугольный, т.к. образован перпендикулярными касательными к окружности. Из этого не сложно понять, что BH биссектриса прямого угла. т.е имеем два угла по 45. Отразим Д относительно MK в точку O - центр окружности. Тк прямой центральный угол MOK опирается на ту же хорду что и вписанный угол MBK, то МBK в два раза меньше, т.е 45. Получаем две пары подобных треугольников, по трем углам. Если объединить пары треугольников с общей гипотенузой, мы получим два подобных ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. В четырёхугольниках имеем 4/х=x/3 откуда х=2√3. Задача как всегда интересная, но особых сложностей не заметил. Единственное, очень хотелось найти решение именно через равнобедренные прямоугольные, которых здесь образуется множество при доп. построениях, уверен что оно есть, но найти красивое увы, не смог.
Центр окружности О(R, R). Её уравнение : (х - R)^2 + (у - R)^2 = R^2. Точка В(4, 3) лежит на окружности, отсюда R = 7 - 2∙√6 .Уравнение прямой MК : y + x - R =0. Искомое расстояние от точки В до прямой МК равно : ВН = (3 + 4 - 7 + 2∙√6)/√2 = 2∙√3 .
Метод координат быстро забывается. Может быть, он технический и не такой креативный в сравнении с другими. Конечно зря. Чем больше знаешь методов, тем лучше. R = 7 +/- 2\/6, Вы отбросили корень с +. У меня ур-ие прямой МК у - х + R = 0.
@@valeraag5634 7+ 2∙√6 ≈11.9 >4 . Какое это имеет отношение к задаче? А насчет уравнения прямой, так у меня ось х направлена ВЛЕВО. А использование аналитической ГЕОМЕТРИИ - ОЧЕНЬ креативно. В некоторых случаях это даёт фору в 100 очков любым другим подходам. Моя задача, да и любого другого ученика-решить задачу как можно быстрей , а не искать красоты. Красоты можно искать дома, когда времени сколько угодно.
@@valeraag5634 Если Вам интересно, то взяв R = 7+ 2∙√6, Вы получите большую окружность, которая целиком расположена НАД прямоугольником и проходит через точку В. При этом она касается продолжений сторон DA (влево) и DС (вверх). При этом соответствующий отрезок все равно будет равен 2∙√3, но это уже другой рисунок и другая задача. Если бы задача была бы сформулирована без рисунка, то нужно было бы отметить, что окружность касается либо сторон, либо их продолжений. Но ответ остается тем же : ВН = √(ab), где a и b-стороны прямоугольника.
Очень красивое решение. Такие находки очень хорошо демонстрируют красоту геометрии. Надо сказать, что лобовое решение тоже дает результат довольно быстро, хотя и не в два действия. Если продлить MK до пересечения с продолжением BC в точке E, и обозначить MD = KD = a, то BE = 7 - a; это легко увидеть без каких-то вычислений, если мысленно провести еще одну прямую II MK через точку D. MK получается из этой прямой параллельным сдвигом на a. Дальше про это нет смысл пояснять, и x = BE/√2 = (7-a)/√2; найти a можно тупо из уравнения окружности, касающейся двух осей и проходящей через точку (4,3); (4-a)² + (3-a)²=a²; => a² - 14a + 25 = 0; простенькое квадратное уравнение, но и его не надо решать, потому что (a - 7)² = 7² - 5² = 12*2; по смыслу a
Из уравнения оуружности находится сразу R = a + b --sqrt(2ab). Зачем вместо решения простенького квадратного уравнения выдумывать? И, сразу же, по формуле расстояния от точки до прямой немедленно получаем : ВН = sqrt(a*b). Всё это я описал, когда здесь было всего два комментария, 12 часов назад.
@@SB-7423 Спасибо. Замечательная идея. Я бы не критиковал так резко чужие ("зачем выдумывать?"). Затем, что задача может решена школьником в 8 классе. А ур-ние окр в 9-10 и то школьник координатный метод воспринимает как экзотику и ТОЛЬКО ОЛИМПИАДНИКИ ВЫСОКО УРОНЯ К НЕЙ ПРИБЕГАЮТ. Но идея ваша классная!
@@GeometriaValeriyKazakov Если честно, то у меня нет никаких идей, я, что называется, сосчитал. Вот у Вас решение идейное и понятное даже начинающим. Насчет координатного метода согласен, но это - вина системы преподавания, а не метода :)
@@GeometriaValeriyKazakov Вам спасибо за канал. Мои слова ("зачем выдумывать?") никакого отношения к Вам не имеют. Геометрическое решение ПРЕВОСХОДНОЕ. Это относилось к попытке подписчика вместо решения уравнения (из того же уравнения окружности) и немедленного получения результата пойти кружным путем. Кроме того, на олимпиаде, в условиях дефицита времени, решать нужно быстро , а не искать красоты. Школьник 8 класса потратит много времени (он НЕ КАЗАКОВ), и не успеет все решить. А минимум знаний из курса аналитической геометрии(никакого координатного метода я не знаю и знать не хочу!) позволяет решить некоторые задачи очень часто за несколько минут. Я это делаю очень часто на экзаменах любого уровня. Ни разу оценка не была снижена. Аналитическая геометрия-это тоже ГЕОМЕТРИЯ, а слова "координатный метод" не отражают ее глубокого содержания.
Не хватает признака подобия четырехугольников :) Ведь АВНМ и НВСК подобны, и можно было бы напрямую записать 3/х = х/4 Можно ли считать признаком - что четырехугольники, у которых равны все четыре угла, а также равны углы между сторонами и диагональю - подобны?
@@GeometriaValeriyKazakov Ну, определения подобия - это когда все стороны пропорциональны. А для решения задач обычно нужно обратное, мы сначала доказываем что фигуры подобны, а потом уже пользуясь тем что отношения сторон одинаковые - находим и сами стороны.
@@GeometriaValeriyKazakov Ну да :) Я к тому - что если пользоваться определением, то нужно знать все о четырехугольниках. И тогда уже факт подобия никак не поможет в решении задачи.
тут, я глянул в комментах, ребята предлагают решить инструментами аналитической геометрии... к слову, я тоже сразу это заметил... но в этом блоге такие решения не в почете... здесь танцуют карандаши
Если Вам предложат решить такую задачу на экзамене(олимпиаде)? Сколько времени Вы потратите на "танцы с карандашами"? Цена этой задаче- 2 мин. Так зачем ломать голову? Ознакомившись с задачей, Вы должны определиться : Вам решить или "потанцевать"? Уверен, что выбор очевиден.
@@SB-7423 так а я и не отрицаю... про олимпиаду... я про другое сказал... казаков показывает красоту песочной геометрии... у него особенный блог... я много математики смотрю... вашмата... диффуры и фкп... у него эстетика... так сказать, музыка)
Вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, если хорду образованную стороной угла устранить к нулю, она выродиться в точку, и в предельном переходе, получим, угол между хордой и касательной тоже равен половине дуги. Удивительный Ответ X=√S. Спасибо за интересное видео.
Решил через площади, находим радиус окружности =MD=KD, проводим перпендикуляры из М и К до взаимного пересечения в точке Р и получим (4-r)*(4-r)+(3-r)*(3-r)=r*r и подходящий нам r= 7-√24, поскольку радиус получился ирациональным оставим его на потом а выразим площадь МВК через радиус как сумму площадей МРВ+КРВ+МРК, S= (r(4-r)+r(3-r)+r*r)/2 и площадь по другому S=MK*x/2=r√2*x/2 приравниваем х=(7-r)/√2 и теперь подставляем найденный r , х=√24/√2=2√3!
очень долго думал над это задачей... не решил... ну то есть решил) но дико... чисто, то б не упасть в грязь перед преподом... мож поставит "удовл"... за старание... крч, я его выложу коротко... радиус окружн (обозн тчк О) найдем быстро r=MD=DK=OB... опустим перп из О на ВС... и по пифу r^2=(4-r)^2+(3-r)^2... r=7-2√6... МК=7√2-4√3... далее...СК=3-r...AM=4-r... и пифим треуги АВМ и ВСК, что бы найти ВМ и ВК... теперь имеем весь треуг МВК... героним его площадь... ну и из формулы r=abc/4S находим высоту, зная основание... вот такая китайская алгебра
Спасибо.
посмотрел... ну что сказать... я собой доволен... ничего я не упустил... эту задачу решить невозможно... как я понял, маэстро в этом уроке закрепил то, что давал на днях - про касательную и полдуги
Именно так.
Отличная задача!!! Браво!
Спасибо. Жаль маловато ценителей красоты.
@@GeometriaValeriyKazakov не все ещё решили. Я, признаться, надолго залип вчера...
Решил более иррациональным способом. Мое решение не сравнимо с Вашим, поэтому не стоит его здесь приводить. А Вам респект.
СПасибо. Лучшее решение - это свое.
Можно так ещё. Продлим МК в обе стороны до пересечения с продолжениями сторон пр-ка (скажем, в точках E и F). Получим прямоугольный равнобедренный трк BEF c высотой X и основанием 2Х. Если радиус окр обозначить R, то стороны этого трка BE=BF=7-R. И 7-R=x√2.
А радиус находим из пифагора:
(3-R)²+(4-R)²=R², R=7-2√6.
Отсюда Х=2√3.
Отлично.
Решил чуть иначе. Треугольник МКД равнобедренный прямоугольный, т.к. образован перпендикулярными касательными к окружности. Из этого не сложно понять, что BH биссектриса прямого угла. т.е имеем два угла по 45. Отразим Д относительно MK в точку O - центр окружности. Тк прямой центральный угол MOK опирается на ту же хорду что и вписанный угол MBK, то МBK в два раза меньше, т.е 45. Получаем две пары подобных треугольников, по трем углам. Если объединить пары треугольников с общей гипотенузой, мы получим два подобных ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. В четырёхугольниках имеем 4/х=x/3 откуда х=2√3. Задача как всегда интересная, но особых сложностей не заметил. Единственное, очень хотелось найти решение именно через равнобедренные прямоугольные, которых здесь образуется множество при доп. построениях, уверен что оно есть, но найти красивое увы, не смог.
Центр окружности О(R, R). Её уравнение : (х - R)^2 + (у - R)^2 = R^2. Точка В(4, 3) лежит на окружности, отсюда R = 7 - 2∙√6 .Уравнение прямой MК : y + x - R =0.
Искомое расстояние от точки В до прямой МК равно : ВН = (3 + 4 - 7 + 2∙√6)/√2 = 2∙√3 .
Метод координат быстро забывается. Может быть, он технический и не такой креативный в сравнении с другими. Конечно зря. Чем больше знаешь методов, тем лучше.
R = 7 +/- 2\/6, Вы отбросили корень с +. У меня ур-ие прямой МК у - х + R = 0.
@@valeraag5634 7+ 2∙√6 ≈11.9 >4 . Какое это имеет отношение к задаче? А насчет уравнения прямой, так у меня ось х направлена ВЛЕВО. А использование аналитической ГЕОМЕТРИИ - ОЧЕНЬ креативно. В некоторых случаях это даёт фору в 100 очков любым другим подходам. Моя задача, да и любого другого
ученика-решить задачу как можно быстрей , а не искать красоты. Красоты можно искать дома, когда времени сколько угодно.
@@valeraag5634 Если Вам интересно, то взяв R = 7+ 2∙√6, Вы получите большую окружность, которая целиком расположена НАД прямоугольником и проходит
через точку В. При этом она касается продолжений сторон DA (влево) и DС (вверх). При этом соответствующий отрезок все равно будет равен 2∙√3,
но это уже другой рисунок и другая задача. Если бы задача была бы сформулирована без рисунка, то нужно было бы отметить, что окружность касается либо
сторон, либо их продолжений. Но ответ остается тем же : ВН = √(ab), где a и b-стороны прямоугольника.
@@SB-7423 Спасибо! Конечно интересно.
Очень красивое решение. Такие находки очень хорошо демонстрируют красоту геометрии.
Надо сказать, что лобовое решение тоже дает результат довольно быстро, хотя и не в два действия. Если продлить MK до пересечения с продолжением BC в точке E, и обозначить MD = KD = a, то BE = 7 - a; это легко увидеть без каких-то вычислений, если мысленно провести еще одну прямую II MK через точку D. MK получается из этой прямой параллельным сдвигом на a. Дальше про это нет смысл пояснять, и x = BE/√2 = (7-a)/√2; найти a можно тупо из уравнения окружности, касающейся двух осей и проходящей через точку (4,3); (4-a)² + (3-a)²=a²; => a² - 14a + 25 = 0; простенькое квадратное уравнение, но и его не надо решать, потому что (a - 7)² = 7² - 5² = 12*2; по смыслу a
Из уравнения оуружности находится сразу R = a + b --sqrt(2ab). Зачем вместо решения простенького квадратного уравнения выдумывать? И, сразу же, по формуле расстояния от точки до прямой немедленно получаем : ВН = sqrt(a*b). Всё это я описал, когда здесь было всего два комментария, 12 часов назад.
@@SB-7423 Спасибо. Замечательная идея. Я бы не критиковал так резко чужие ("зачем выдумывать?"). Затем, что задача может решена школьником в 8 классе. А ур-ние окр в 9-10 и то школьник координатный метод воспринимает как экзотику и ТОЛЬКО ОЛИМПИАДНИКИ ВЫСОКО УРОНЯ К НЕЙ ПРИБЕГАЮТ. Но идея ваша классная!
@@GeometriaValeriyKazakov Если честно, то у меня нет никаких идей, я, что называется, сосчитал. Вот у Вас решение идейное и понятное даже начинающим. Насчет координатного метода согласен, но это - вина системы преподавания, а не метода :)
@@constantinfedorov2307 Спасибо. Не совсем согласен, способы атаки задачи - главное. Ломаем подобием - одно, алгеброй - другое, координаткой - третье!
@@GeometriaValeriyKazakov Вам спасибо за канал. Мои слова ("зачем выдумывать?") никакого отношения к Вам не имеют. Геометрическое решение ПРЕВОСХОДНОЕ. Это относилось к попытке подписчика вместо решения уравнения (из того же уравнения окружности) и немедленного получения результата
пойти кружным путем. Кроме того, на олимпиаде, в условиях дефицита времени, решать нужно быстро , а не искать красоты. Школьник 8 класса потратит
много времени (он НЕ КАЗАКОВ), и не успеет все решить. А минимум знаний из курса аналитической геометрии(никакого координатного метода я не знаю и знать не хочу!) позволяет решить некоторые задачи очень часто за несколько минут. Я это делаю очень часто на экзаменах любого уровня. Ни разу оценка не была
снижена. Аналитическая геометрия-это тоже ГЕОМЕТРИЯ, а слова "координатный метод" не отражают ее глубокого содержания.
суперская задача!! но сам никогда бы не догадался))
аналогично)
Согласен. Есть координатное решение неплохое.
Не хватает признака подобия четырехугольников :) Ведь АВНМ и НВСК подобны, и можно было бы напрямую записать 3/х = х/4
Можно ли считать признаком - что четырехугольники, у которых равны все четыре угла, а также равны углы между сторонами и диагональю - подобны?
Да, признаков нет. Точнее лучше по определению подобия.
@@GeometriaValeriyKazakov Ну, определения подобия - это когда все стороны пропорциональны.
А для решения задач обычно нужно обратное, мы сначала доказываем что фигуры подобны, а потом уже пользуясь тем что отношения сторон одинаковые - находим и сами стороны.
@@Snuryus И углы еще равны, иначе ромб и квадрат подобны.
@@GeometriaValeriyKazakov Ну да :) Я к тому - что если пользоваться определением, то нужно знать все о четырехугольниках. И тогда уже факт подобия никак не поможет в решении задачи.
тут, я глянул в комментах, ребята предлагают решить инструментами аналитической геометрии... к слову, я тоже сразу это заметил... но в этом блоге такие решения не в почете... здесь танцуют карандаши
Если Вам предложат решить такую задачу на экзамене(олимпиаде)? Сколько времени Вы потратите на "танцы с карандашами"? Цена этой задаче- 2 мин. Так зачем ломать голову? Ознакомившись с задачей, Вы должны определиться : Вам решить или "потанцевать"? Уверен, что выбор очевиден.
@@SB-7423 так а я и не отрицаю... про олимпиаду... я про другое сказал... казаков показывает красоту песочной геометрии... у него особенный блог... я много математики смотрю... вашмата... диффуры и фкп... у него эстетика... так сказать, музыка)
НУ, НИЧЕГО СЕБЕ, Я! Как приятно. Но вы нашли очень точное название - "песочная"!!! Спасибо вам.
@@GeometriaValeriyKazakov "Песочная" это отсылка к древнегреческим геометрам, которые чертили доказательство на песке?