f(x+y)=f(x)f(y) não implica que f é contínua. Fixe uma função g que não é contínua e satisfaz g(x+y)=g(x)+g(y). Considere f(x) = e^g(x). Então f(x+y)=f(x)f(y), mas f não é contínua (se fosse contínua, a função g = ln(f) também seria contínua). Para construir uma função g satisfazendo essas propriedades, basta considerar R como espaço vetorial sobre Q, fixar um número irracional y qualquer e tomar g como sendo a projeção de R sobre o subespaço (sobre Q) gerado por y. Nesse caso, g é linear (como projeção sobre um subespaço vetorial) mas não é contínua (g se anula em Q mas não é nula. Se fosse contínua, pela densidade de Q, g seria necessariamente a função nula).
Parabéns. Bem explicado.
Fábio Xavier Dos Reis obrigado! Como encontrou este vídeo?
GRANDE MESTRE!!!!!
valeeeeu!
Excelente!
Obrigado!
Olá Bruno, parabéns !!! poderia me dizer onde encontro mais desse tipo de questões, pois não sei nem como começar quando vejo uma... Obrigada
Olá. Como assim "desse tipo"?
Provar que a função é par ou ímpar, ...
Ah, sim. Veja se ajuda: www.rumoaoita.com/site/attachments/514_funcoes_exercicios_monotonicidade_paridade_periodicidade_farias_brito.pdf
Obrigada
De nada
Mestre Bruno vc tem algum material ensinando como resolver esta questão: Prove que f(x + y) = f(x)f(y) é continua? Ficarei muito agradecido! Abraço
f(x+y)=f(x)f(y) não implica que f é contínua.
Fixe uma função g que não é contínua e satisfaz g(x+y)=g(x)+g(y). Considere f(x) = e^g(x). Então f(x+y)=f(x)f(y), mas f não é contínua (se fosse contínua, a função g = ln(f) também seria contínua).
Para construir uma função g satisfazendo essas propriedades, basta considerar R como espaço vetorial sobre Q, fixar um número irracional y qualquer e tomar g como sendo a projeção de R sobre o subespaço (sobre Q) gerado por y. Nesse caso, g é linear (como projeção sobre um subespaço vetorial) mas não é contínua (g se anula em Q mas não é nula. Se fosse contínua, pela densidade de Q, g seria necessariamente a função nula).
Seria legal se ela fosse ímpar, mas pena que ela é nula.