A co z przypadkiem gdzie mamy do wyboru wzór redukcyjny bądź metodę Ostrogradskiego ? Wzór redukcyjny Mamy całkę \Int{\frac{1}{(1+x^2)^{n}}dx} Zapisujemy licznik jako 1=1+x^2 - x^2 a następnie rozdzielamy całkę na sumę dwóch całek \int{\frac{1+x^2}{(1+x^2)^n}dx} - \int{\frac{x^2}{(1+x^2)^n}dx} W pierwszej skracamy licznik z mianownikiem , drugą liczymy przez części Metoda Ostrogradskiego Int{\frac{P(x)}{Q(x)}dx} = \frac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)} + \int{\frac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}dx} deg(P(x)) < deg(Q(x)) deg(P_{1}(x)) < deg(Q_{1}(x)) deg(P_{2}(x)) < deg(Q_{2}(x)) Teraz jeżeli mamy podany rozkład mianownika Q(x) na czynniki to Q_{2}(x) posiada te same pierwiastki co Q(x) (mogą być rzeczywiste bądź zespolone) tylko pojedyncze Q_{1}(x) natomiast można policzyć z równości Q(x) = Q_{1}(x)Q_{2}(x) Jeżeli nie mamy podanego rozkładu mianownika Q(x) na czynniki to nie rozkładamy tego mianownika tylko korzystamy z tego że Q_{1}(x)=NWD(Q(x),Q'(x)) Tutaj warto zauważyć że algorytm Euklidesa działa także dla wielomianów (bierzemy reszty z kolejnych dzieleń) Jeżeli chodzi o liczniki to za współczynniki tychże bierzemy sobie literki i różniczkujemy obustonnie równość Int{\frac{P(x)}{Q(x)}dx} = \frac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)} + \int{\frac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}dx} aby je obliczyć Aby obliczyć liczniki możemy też skorzystać z następującego skrótu Niech H(x) = \frac{Q_{2}(x)Q_{1}'(x)}{Q_{1}(x)} będzie pomocniczym wielomianem wówczas P(x) = P_{1}'(x)Q_{2}(x) - P_{1}(x)H(x) + P_{2}(x)Q_{1}(x) Stąd po porównaniu współczynników przy wielomianach bądź po wstawieniu za x ulubionych wartości dostaniemy układ równań liniowych w postaci Cramera
świetny film, wiele mi pomógł!
Dziękuję!
Dobra robota szefie 💪 Idealna długość na dojazd do Amazonu 😂👷♂️
A co z przypadkiem gdzie mamy do wyboru wzór redukcyjny bądź metodę Ostrogradskiego ?
Wzór redukcyjny
Mamy całkę \Int{\frac{1}{(1+x^2)^{n}}dx}
Zapisujemy licznik jako 1=1+x^2 - x^2
a następnie rozdzielamy całkę na sumę dwóch całek
\int{\frac{1+x^2}{(1+x^2)^n}dx} - \int{\frac{x^2}{(1+x^2)^n}dx}
W pierwszej skracamy licznik z mianownikiem , drugą liczymy przez części
Metoda Ostrogradskiego
Int{\frac{P(x)}{Q(x)}dx} = \frac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)} + \int{\frac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}dx}
deg(P(x)) < deg(Q(x))
deg(P_{1}(x)) < deg(Q_{1}(x))
deg(P_{2}(x)) < deg(Q_{2}(x))
Teraz jeżeli mamy podany rozkład mianownika Q(x) na czynniki to
Q_{2}(x) posiada te same pierwiastki co Q(x) (mogą być rzeczywiste bądź zespolone) tylko pojedyncze
Q_{1}(x) natomiast można policzyć z równości Q(x) = Q_{1}(x)Q_{2}(x)
Jeżeli nie mamy podanego rozkładu mianownika Q(x) na czynniki
to nie rozkładamy tego mianownika tylko korzystamy z tego że Q_{1}(x)=NWD(Q(x),Q'(x))
Tutaj warto zauważyć że algorytm Euklidesa działa także dla wielomianów (bierzemy reszty z kolejnych dzieleń)
Jeżeli chodzi o liczniki to za współczynniki tychże bierzemy sobie literki i różniczkujemy obustonnie równość
Int{\frac{P(x)}{Q(x)}dx} = \frac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)} + \int{\frac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}dx}
aby je obliczyć
Aby obliczyć liczniki możemy też skorzystać z następującego skrótu
Niech H(x) = \frac{Q_{2}(x)Q_{1}'(x)}{Q_{1}(x)}
będzie pomocniczym wielomianem
wówczas
P(x) = P_{1}'(x)Q_{2}(x) - P_{1}(x)H(x) + P_{2}(x)Q_{1}(x)
Stąd po porównaniu współczynników przy wielomianach bądź po wstawieniu za x ulubionych wartości
dostaniemy układ równań liniowych w postaci Cramera