P'tite récurrence de Cauchy assez classique. On pourrait même essayer de démontrer cette récurrence. Si on note pour tout n dans IN, P(n) la proposition que l'on souhaite montrer et que l'on a : 1) P(1) est vraie 2) (∀ n ∈ IN) P(n) ==> P(2n) 3) (∀ n ∈ IN*) P(n) ==> P(n-1) Montrons que (∀ n ∈ IN) P(n) est vraie. Par l'absurde, supposons l'existence d'un entier m tq P(m) est fausse. Posons A = {k∈IN/ P(k) est fausse} A est non vide (m ∈ A), donc A admet un minimum comme partie non vide de IN. Notons p = min(A), et remarquons que p >=2 (car comme P(1) est vraie p≠1, et d'après l'axiome 3) P(1) ==> P(0), donc P(0) est vraie aussi, d'où p ≠ 0). 1er cas : Si p est pair : (∃ q ∈ IN*) p = 2q et q < p. Donc : P(q) est vraie par hypothèse sur p, et d'après l'axiome 2) P(q) ==> P(2q), donc P(p=2q) est vraie, ce qui est impossible par construction de p. 2ème cas : si p est impair : (∃ k ∈ IN*) p = 2k-1 et k < p (car si k=p, on aurait p =1, ce qui est impossible car p >= 2). P(k) est vraie, d'après l'axiome 2) P(k) ==> P(2k), et d'après l'axiome 3) P(2k) ==> P(2k-1) (on a bien 2k ∈ IN*). Donc P(p=2k-1) est vraie, ce qui est impossible par construction de p. Ainsi ceci est absurde. D'où : (∀ n ∈ IN) P(n) est vraie. C.Q.F.D.
Je connaissais et les commentaires m'apprennent qu'il s'agissait de la preuve originale de Cauchy. Du coup je connais le nom de ce que j'appelais jusque-là "récurrence ping-pong". Si d'autres résultats, célèbres ou non, admettent une preuve similaire, je serais très curieux d'en connaitre.
P'tite récurrence de Cauchy assez classique. On pourrait même essayer de démontrer cette récurrence.
Si on note pour tout n dans IN, P(n) la proposition que l'on souhaite montrer et que l'on a :
1) P(1) est vraie
2) (∀ n ∈ IN) P(n) ==> P(2n)
3) (∀ n ∈ IN*) P(n) ==> P(n-1)
Montrons que (∀ n ∈ IN) P(n) est vraie.
Par l'absurde, supposons l'existence d'un entier m tq P(m) est fausse.
Posons A = {k∈IN/ P(k) est fausse}
A est non vide (m ∈ A), donc A admet un minimum comme partie non vide de IN.
Notons p = min(A), et remarquons que p >=2 (car comme P(1) est vraie p≠1, et d'après l'axiome 3) P(1) ==> P(0), donc P(0) est vraie aussi, d'où p ≠ 0).
1er cas : Si p est pair :
(∃ q ∈ IN*) p = 2q et q < p.
Donc : P(q) est vraie par hypothèse sur p, et d'après l'axiome 2) P(q) ==> P(2q), donc P(p=2q) est vraie, ce qui est impossible par construction de p.
2ème cas : si p est impair :
(∃ k ∈ IN*) p = 2k-1 et k < p (car si k=p, on aurait p =1, ce qui est impossible car p >= 2).
P(k) est vraie, d'après l'axiome 2) P(k) ==> P(2k), et d'après l'axiome 3) P(2k) ==> P(2k-1) (on a bien 2k ∈ IN*). Donc P(p=2k-1) est vraie, ce qui est impossible par construction de p.
Ainsi ceci est absurde. D'où : (∀ n ∈ IN) P(n) est vraie.
C.Q.F.D.
c'est la preuve originale par cauchy
Ah bah encore mieux ! Merci pour le point historique :)
Je connaissais et les commentaires m'apprennent qu'il s'agissait de la preuve originale de Cauchy. Du coup je connais le nom de ce que j'appelais jusque-là "récurrence ping-pong".
Si d'autres résultats, célèbres ou non, admettent une preuve similaire, je serais très curieux d'en connaitre.
Preneur aussi j'avoue
😎
Est-ce vraiment la première preuve historiquement de cette inégalité ?
Visiblement cf. les autres commentaires
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Franchement pète dsa mère