Na Du erstmal, wat solln denn Leute wie ich machen, die mathe Nachhilfe brauchen, und nur um einen Fragen zu können WÄHREND DES LERNENS, ist man 10-20€pro/h los. Ich würde dich hier auch unterstützen mit echter Kohle, nur kann ich momentan nichts über i-net überweisen, hätte ich eine andere Möglichkeit auf ein Konto direkt zu über weisen, hier nur antworten, oder Email, dann bekommst du meine und hast mehr Geld?!
Ich habe es direkt im Kopf ausgerechnet und 5 rausbekommen. Aber einfach nur mit Logik. Oder mehr Glück als Verstand? Keine Ahnung 😅Schriftlich ausrechnen mit LGS hingegen. Definitiv Fehlanzeige 😄
Hallo Susanne wie immer eine interessante Aufgabe. Für mich zunächst scheinbar unlösbar. Du erklärst das immer so ordentlich und ausführlich, dass es schließlich ganz einfach war. Für mich ist das jedesmal ein Spaß, Dir zu folgen. Alles Gute für 2024!! Klaus
Alle bisherigen Mathe Lernvideos habe von Anfang bis Ende angeschaut und bin, weil vorzüglich erklärt und dadurch den jeweiligen Lösungsweg sofort verstanden, absolut beigeistert. Viele Grüße und einen guten Rutsch in das Jahr 2024 aus Sachsen-Anhalt.
Wenn mich jetzt mein alter Mathe-Lehrer Kunz sehen würde. Ich schaue Samstags ein Video über Mathematik. Freiwillig. Und habe Spaß dabei. Der würde glatt an Wunder glauben. BTW: 3, 4, 4 Pythagoräisches Tripel. Sehr schöne Lösung.
Hallo, mein Lösungsansatz war die Aufgabe zunächst einmal zu vereinfachen. Da über den Radius des innersten Kreises keine Vorgaben in der Aufgabenstellung gemacht werden, kann man diesen einfach = 0 setzen. Die Tangente mit Länge x entspricht dann dem Radius des äußersten Kreises. Der Radius des mittleren Kreises ist dann 3. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Längen 3 und 4 und der Hypotenuse mit Länge x = 5. Grüsse
Ja, könnte man machen, wenn man wüsste, dass die Radien keine Rolle spielen. Das wäre aber zunächst zu beweisen. Dass in der Aufgabe keine Radien genannt werden, ist kein Beweis, dass es sich so verhält.
Es geht auch mit dem Flächeninhalt der Kreisringe. A(Mitte)=(Rm^2-Rk^2)*Pi A(Mitte)=9*Pi A(Außen)=(Rg^2-Rm^2)*Pi A(Außen)=16*Pi A(Mitte&Außen)=(Rg^2-Rk^2)*Pi A(Mitte&Außen)=x^2*Pi A(Mitte)+A(Außen)=A(Mitte&Außen) 9*Pi + 16*Pi = x^2*Pi 9 + 16 = x^2 x^2 = 25 x = 5 bzw. x = -5 LG Gerald
Da ich keine Lust habe, hier alles mit tiefgestellten Indizes zu tippen, nenne ich die Kreisradien jetzt einfach mal a (kleiner Kreis), b (mittlerer Kreis) und c (großer Kreis). Die Gleichungen habe ich dann genau wie du mit Pythagoras ermittelt: I) 3² + a² = b² II) 4² + b² = c² III) x² + a² = c² Das LGS habe ich dann aber mit dem Einsetzverfahren gelöst, indem ich zuerst II) in III) eingesetzt habe: x² + a² = 4² + b² In diese Gleichung habe ich anschließend I) eingesetzt: x² + a² = 4² + 3² + a² | - a² x² = 25 x = 5 (nur positive Lösung, da Länge gesucht) ✅ Zwei Dinge fallen auf: a) Alle drei Kreisradien heben sich weg; d. h. deren Längen spielen für die Lösung keine Rolle. b) Zwischen den drei Tangenten scheint ebenfalls ein pythagorischer Zusammenhang zu bestehen; das Quadrat der langen ist die Summe der Quadrate der beiden kürzeren. Da ich an solche Zufälle nicht glaube, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass man die drei Tangenten selbst bereits zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammenfügen können muss. Um das zu belegen, habe ich zunächst die mittlere Tangente (4) so um den mittleren Kreis rotiert, dass sie den großen Kreis im selben Punkt wie die lange Tangente (x) schneidet. Und dann habe ich die kurze Tangente (3) so um den kleinen Kreis rotiert, dass sie den mittleren Kreis im Berührpunkt der mittleren Tangente (4) schneidet. Wenn mich nicht alles täuscht, ergibt das ein rechtwinkliges Dreieck mit der kurzen und der mittleren Tangente als Katheten und der langen Tangente als Hypotenuse. Das wäre dann ein grafischer Lösungsweg, um sofort die Gleichung x² = 3² + 4² zu erhalten.
Noch viel interessanter ist, dass die Gleichung zur Lösung geradezu der Pythagoras-Gleichung entspricht. x² = 4² + 3² ist hier der spezielle Fall. Die allgemeine Gleichung ist: a² + b² = c². Wobei a² und b² jeweils die tangentiale Länge von einem Ring zum anderen sind und c die tangentiale Länge über zwei Ringe hinweg, wie in der Zeichung angegeben.
Das ist mir auch aufgefallen; ich bin mir recht sicher, dass sich die drei Tangenten durch passendes Rotieren auf ihren Kreisbahnen zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammenfügen lassen.
@@teejay7578 Im allgemeinen geht das leider nicht (zumindest sehe ich da keine Moeglichkeit). Setzt man allerdings den Radius des kleinsten Kreises auf 0 (wie es @trebor1504 in seiner/ihrer Loesung tat), dann kommt man taetsaechlich direkt auf das "Maurerdreieck" ...
@@teejay7578 Dachte ich auch erst, hab es dann aber mal durchprobiert. Das klappt nur, wenn der innere Ring einen Radius von 0 hat. Der Rechte Winkel muss ja zwischen 3 und 4 liegen. Der Rechte Winkel an Seite 4 ist der Radius des mittleren Kreises, da Seite 4 die Tangente ist. D.h. Seite 3 ist Radius von Seite 4. Da Seite 3 ebenfalls als Tangente definiert ist, passt das nur, wenn der innere Kreis zum Punkt verkommt.
@@choloepus Stimmt wohl; v. a. liegt 3 auch auf x, da beide den innersten Kreis tangieren. Durch einfache Rotation der Tangenten entlang der Kreisbahnen geht es also nicht. Aber irgendwie muss es meiner Meinung nach gehen, da dieser Zusammenhang offenbar unabhängig von den einzelnen Kreisradien besteht. Der Sonderfall "innerster Radius = 0" muss irgendwie verallgemeinerbar sein. Was auf jeden Fall geht ist, den mittleren Kreis so zu drehen, dass x und 4 den äußeren Kreis im selben Punkt schneiden, und 3 auf x zu legen. Seien also x = AB, 3 = AC und 4 = BD, wobei C auf AB liegt. Da die Zeiten, wo ich einen Zirkel im Haus hatte, seit Jahrzehnten vorbei sind, kann ich es nicht grafisch verifizieren. Und einen formalen mathematischen Beweis bekomme ich gerade auch nicht aus dem Ärmel geschüttelt. Dennoch bin ich mir recht sicher, dass sich ein Kreis um A mit dem Radius 3 und ein Kreis um B mit dem Radius 4 in einem Punkt S schneiden werden und das Dreieck ABS rechtwinklig im Punkt S sein wird ... und dass das nicht nur für die speziellen Tangentenlängen 3 und 4, sondern auch für beliebige Tangentenlängen a und b immer funktionieren wird. Aus meiner Sicht muss das so sein, weil dieser pythagorische Zusammenhang zwischen den drei Tangenten so allgemein besteht.
Herzlichen Dank für diese interessante Aufgabe 🙏 Mein Lösungsvorschlag ▶ r₁= r r₂= r₂ r₃= r₃ ⇒ die erste Gleichung, nach dem Satz von Pythagoras: r²+3²= r₂² r²+9= r₂² die zweite Gleichung: r₂²+4²= r₃² r₂²+16= r₃² die dritte Gleichung: x²+r²= r₃² ⇒ r₂²+16= r₃² r²+9+16= r₃² r²+25= r₃² ⇒ r₃² = r²+25 wenn man das r₃² hier in der Gleichung wo das x² vorkommt einsetzt bekommen wir: x²+r²= r₃² x²+r²= r²+25 x²= 25 x= √25 x= 5 LE
Wenn man den Sehnensatz kennt und die Tangenten entsprechend verschiebt/verdreht, kann man direkt die Gleichung 4 * 4 = (x - 3) * (x + 3) aufstellen. Über die 3. Binomische Formel kommt man dann schnell auf 16 = x² - 9 |+9 x² = 25 x = 5 Diese Berechnung ist massiv einfacher als mit Dreiecken zu hantieren...
@@m.h.6470Ja, du hast recht, ich kam auch zum gleichen Ergebnis mit dem Sehnensatz, obwohl der Satz von Pythagoras auch eine schnelle Lösung bietet. Vielen Dank für deine Rückmeldung - ich schätze das sehr 🙂🙏
Es gibt keinen eindeutigen Wert für den Radien. Du kannst ein beliebiger Wert für r1 einsetzen und entsprechend die r2 und r3 ausrechnen, sie passen immer in den drei Gleichungen ein.
Lösung: ri = Radius des innersten Kreises, rm = Radius des mittleren Kreises, rä = Radius des äußersten Kreises. Pythagoras vom innersten Kreis zum mittleren Kreis: ri²+3² = rm² ⟹ ri² = rm²-3² Pythagoras vom mittleren Kreis zum äußersten Kreis: rm²+4² = rä² Pythagoras vom innersten Kreis zum äußersten Kreis: ri²+x² = rä² ⟹ x² = rä²-ri² = rm²+4²-(rm²-3²) = rm²+4²-rm²+3² = 4²+3² = 5² ⟹ x = 5
Ich dachte erst da fehlt eine Bedingung (4 Unbekannte, 3 Gleichungen), aber cool wie sich ein Term aufhebt. 🙂 Hab das Video jetzt nicht angeschaut aber das wäre wohl auch in 4min gegangen.
Ich fand es deutlich übersichtlicher, die Gleichung 2 in Gleichung 3 einzusetzen. Dann bekommt man r1^2 + 9 + 16 = r3^2 und sieht mit r1^2 + x^2 = r3^2 direkt, dass x^2 = 9 + 16 gilt (heißt das dann auch Koeffizientenvergleich?)
Lösung: Wenn man die 3er Tangente so verschiebt (um den Mittelpunkt drehen), dass sie auf der x-Tangente liegt und dann die 4er Tangente so verschiebt, dass der Berührungspunkt der Tangente genau auf dem Schnittpunkt der x-Tangente mit dem zweitgrößten Kreis liegt, kann man den Sehnensatz anwenden: 4 * 4 = (x - 3) * (x + 3) Da ist natürlich eine 3. Binomische Formel auf der rechten Seite: 16 = x² - 9 |+9 x² = 25 Da es sich um eine Strecke handelt, macht nur x = 5 Sinn, was daher die Lösung ist.
Wie immer genial - dein Lösungsweg. Es lohnt sich wirklich immer deine Kommentare zu lesen. Vielleicht interessiert dich auch mein Lösungsweg. Es geht auch mit dem Flächeninhalt der Kreisringe. A(Mitte)=(Rm^2-Rk^2)*Pi A(Mitte)=9*Pi A(Außen)=(Rg^2-Rm^2)*Pi A(Außen)=16*Pi A(Mitte&Außen)=(Rg^2-Rk^2)*Pi A(Mitte&Außen)=x^2*Pi A(Mitte)+A(Außen)=A(Mitte&Außen) 9*Pi + 16*Pi = x^2*Pi 9 + 16 = x^2 x^2 = 25 x = 5 bzw. x = -5 LG Gerald
Es ist nicht leicht,deiner Erklerung zu folgen. Der Loesunsansatz ist aber sehr elegant. Meine Loesungsidee entsprach im wesentlichen der im Video, nur bei der Loesung des Gleichungssystems binich etwas anders vorgegangen ,,, Man kommt zu einer aehnlichenLoesung wie deiner, wenn man die 4er Tangente so um denKreismittelpunkt dreht, dass ihr Schnittpunkt mit dem aeusserenKreis auf den Schnittpunkt der x-Tangente mit dem aeusserenKreis zu lliegen kommt. Allerdings muss man dann den Sekanten-Tangenten-Satz mit demmittlerenKreis statt den Sehnensatz mit dem aeusseenKreis anwenden: Das Quadrat des Tangentenabschnitts waere dann 4^2, das Produkt der Sekantenabschnitte waere (x-3)*((x-3)+3+3)=(x-3)*(x+3).Ab hier geht es dann wie beideiner Loesung weiter...
Ollte dir mal kommentieren, dass du sehr natürlich und hübsch bist und intelligent... Leider sehr rar geworden. Mach weiter so😃🌸 ich finde deine videos super... Ich selbst liebe Mathematik und Physik über alles... Nur fehlen mir ein paar grundlegende formeln aus einem studium😅
Ich glaube aber auch, dass es einfacher ist eine Aufgabe alleine vor dem PC zu erklären, als vor einer Klasse voller respektloser Rotzlöffel. Finde trotzdem auch, dass sie es sehr gut macht.
Meine Lösung: Ich habe mich an diese Video erinnert: ruclips.net/video/BXB8Tw3BQys/видео.html Das Ergebnis hierauf angewendet ergibt: Die Fläche zwischen den äußern Kreis und den mittleren Kreis ist π 4^2 ; die Fläche zwischen den mittleren Kreis und dem inneren Kreis ist π 3^2 und die Fläche zwischen dem äußeren Kreis und dem inneren Kreis π x^2. Daraus folgt π x^2 = π 4^2 + π 3^2 Mitt Ausklammern von π und dividieren durch π ergibt das x^2 = 4^2+3^2 Und mit dem kleinsten pythagoreischen Tripel (3;4;5) ergibt sich x = 5
Mir fällt es nicht so leicht in den Zeichnungen die Gleichungen zu finden, aber die Gleichungen selbst sind doch dann sehr umgänglich. Einfach I=III (beide sind ja = r3²) -> r1² + x ² = r2² + 4² und II einsetzen (also r1² + 3² für r2²) -> r1² + x ² = r1² + 3² + 4² | -r1² (=) x² = 3² + 4² (=) x = 5
Nichts ist unlösbar, wenn man eine Gleichung aufstellen kann.Immer wieder erfrischend was Du alles so lösen kannst, auf diesem wege, auch einen Guuuuuuten Rutsch
Es get auchohne Pythagoras. Man kann durch passende Positionierung der Radienmittels des Sehnensatzes (mit Sehnen im aeusseren Kreis) oder mit dem Sekanten-Tangenten-Satz (mit Tangente und Sekante ammittleren Kreis) oder auch mit den Flaechheninhalten der Ringe zwischen denKreisen zur Loesung kommen. Alle 3 Loesungswege finden sich in den anderen Kommentaren.
Juchu! Die richtigen drei Dreiecksgleichungen (rechtwinklige Dreiecke -> Pythagoras) gefunden und nach ineinander einsetzen flott x=5 herausbekommen. Und alles in kürzerer Zeit als das Video lang ist und natürlich vor dem Ansehen. Laut Kommentaren richtig, aber nu erstmal Video gucken...
Ich weiß, die Videos gibts im älteren Bereich deines Kanals, aber ich wünschte es würde öfter Thumbnails geben die leicht aussehen ubd mich nicht sofort abschrecken. Irgendwas, was neugierig macht und Einsteigerfreundlich ist.
Tangente von innerem Kreis an mittleren Kreis = 3 . Tangente von mittlerem Kreis an äußeren Kreis = 4. X = 3 +4 da tangente von innerem Kreis an äußeren geht.
das ist kein Zufall. Du hast versäumt zu erwähnen dass diese geometrischen Vorgaben (Strecke eines Tangentenberührpunktes zu Kreislinie, Konzentrische Kreise) IMMER in pythagoräischem Verhältnis stehen. Interessant wäre ob es gelingt die Strecken so einzuzeichnen, dass der Zusammenhang augenfällig wird. (Mir ist noch nichts eingefallen)
Kein Zufall! Ganzzahlige Werte für x kommen natürlich nur bei "schönen" Zahlen raus (pythagoreische Tripel). Sonst ist x meist irrational. Aber der Satz des Pythagoras stimmt immer, da gibt's - glaube ich - mehr als 120 Beweise für 😉. Warum der hier anwendbar ist? Siehe Susannes perfekte Erklärung. 🙂👻
Pythagoras braucht man hier überhaupt nicht. Einfach Sehnensatz anwenden, der ist massiv schneller hier, weil man nur eine Formel hat, die man im Kopf ausrechnen kann: 4 * 4 = (x - 3) * (x + 3) → 4² = x² - 3² → x² = 4² + 3² → x² = 16 + 9 → x² = 25 → x =5 Das funktioniert, weil x und 3 genau übereinander gelegt werden können, sodass diese Sehne genau in (x - 3) und (x + 3) geteilt wird, wo sie den zweitgrößten Kreis schneidet. Wenn man dann die 4er Tangente genau auf diesen Schnittpunkt verschiebt, hat man 2 Sehnen, eine mit Länge 2x und eine mit Länge 8, die sich eben so schneiden, das die Segmente 4|4 und (x-3)|(x+3) entstehen.
Hier die Herleitung, warum es funktioniert. Es geht auch mit dem Flächeninhalt der Kreisringe. A(Mitte)=(Rm^2-Rk^2)*Pi A(Mitte)=9*Pi A(Außen)=(Rg^2-Rm^2)*Pi A(Außen)=16*Pi A(Mitte&Außen)=(Rg^2-Rk^2)*Pi A(Mitte&Außen)=x^2*Pi A(Mitte)+A(Außen)=A(Mitte&Außen) 9*Pi + 16*Pi = x^2*Pi 9 + 16 = x^2 x^2 = 25 x = 5 bzw. x = -5 LG Gerald
@@m.h.6470 Stimmt 👍! Das ist 'ne echte und clevere Alternative zur Lösung mit Pythagoras. Auf die ganze "Sehnen Verschieberei" muss man aber auch erst mal kommen - chapeau! Ich hab jedenfalls 'ne Weile gebraucht, um das, auch Dank Ihrer Erläuterungen dazu, nachzuvollziehen. Top 🙂👻
@@GetMatheFit So funktioniert es auch. Aber Sie können natürlich für Ihr "Pi" jede reelle Zahl außer Null einsetzen, ohne dass sich am Ergebnis für x etwas ändert, oder? Mit Pi = 1 erhalten Sie z.B. dasselbe Gleichungssystem, wie es im Video ab ca. 5:10 gelöst wird. 🙂👻
Es ist schon spät, aber heißt es nicht "das Mathe-Rätsel"? Also ein Substantiv? Soll heißen ein ein Wort, maximal mit Bindestrich getrennt? Sehe mittlerweile so viele Deppenleerzeichen, dass ich bald selber nicht mehr weiß was richtig und was falsch ist. Bitte verzeiht mir eventuelle Tippfehler in meiner "Rechtschreibungsbeschwerde", habe gerade die Feierlichkeiten zu Silvester beendet. 😅
Wenn man begruendet, warumman denhier direkt verwenden koennte ... Die Begruendung koennte aber aehnlich lang wiie eine der anderenLoesungen (oder laenger) werden ...
Ich hätte einfach: x=5 hingeschrieben den Rest habe ich im Kopf gerechnet die Lösung hatte ich in 10sekunden schon raus gehabt wo andere 10min brauchen 😂
Es macht mich gerade ziemlich fertig, dass ich aktuell(?) nicht in der Lage bin Aufgaben zu lösen, wie man sie auf diesem Kanal hier findet. Man sollte doch mehr von einem Dipl. Ing. erwarten dürfen?
Als Dipl Ing hast du weitgehend mit "rechnen" zu tun (ausrechnen einer Loesung nach vorgegebenem Loesungsschema). Fuer mathematische Knobeleien braucht man die richtige Idee fuer einen Loesungsansatz. Damit haben teils selbst Mathelehrer manchmal Schwierigkeiten ... Ich hatte in den Jahren 1982 und 1983 am Bundeswettbewerb Mathematik teilgenommen. Ich habe zwei von meinen damaligen Lehrern meine Loesungen der Aufgaben und eine Kopie der Beispielloesungen,die ichh erhalten hatte zum lesen gegeben.Waehhrend mein Mathe-Leistungskurslehrer mir die Loesungen nach ein paar Wochen wiedergab mit der Behauptung, er habe keine Zeit gehabt, hineinzusehen, hat der andere Lehrer mich 2 Tage spaeter in der grossen Pause angesprochen er habe da etwas an de nLoesungen nicht verstanden, ob ich ihm das vielleicht erklaeren koenne. Dem ersten Lehrer hatte ich die abweisende Antwort uebe lgenommen, der zweite, der mich nach Erklaerungen gefrag thatte, hatte dagegen meine Hhochachtung. Ich ging davon aus, dass beide (zumindest beim ersten durchhlesen) Probleme mit den Loesungen hatten, aber nur der zweite hat das eingestanden ... Eine der Aufgaben, aus der ersten runde1982 lautete: Gegeben sei ein konvexes 1982-Eckin der Ebene. Man betrachte alle Dreiecke, deren Eckpunkt auch Eckpunkte des 1982-ecks sind. EinPunkt P der Ebene liegt auf keiner der Dreieckseiten. Man beweise, dass P dann in einer geraden anzahl von Dreiecken liegt. Die Aufgabe mit der Jahreszahl (von den 4 Aufgaben jeder Runde in 1982 enthielt damals eine je eine die aktuelle Jahreszahl) aus der 2. Runde lautete: Ein Schueler teilt eine natuerliche Zahl p durch eine natuerliche Zahl q. Dabei ist q kleiner oder gleich 100. Irgendwo hinter demKomma entdeckt der Schueler bei seinem Ergebnis den Ziffernblock 1982. Man beweise, dass sich der Schueler verrechnet hat. Beide Aufgaben duerften auch viele Mathelehrer erst einmal vor Probleme stellen. Aber auch die anderen Aufgaben der beiden Jahre brauchten zur Loesung eine pfiffige Idee (fuer die es meist mehrere Moeglichkeiten gab), auf die zu kommen gar nicht so selbstverstaendlich war. So gab es (ich glaube, es war 1983) die Aufgabe, mit Zirkel und Lineal ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren,von dem amsonsten nur Inkreisradius und Umkreisradius gegeben waren. Obwohl in den Beispielloesungen verschiedene Loesungen vorgegeben waren (die wenn ich mich recht erinnere alle die Konstruktion mit der Hpothenuse begannen), war meine Loesung nicht darunter: Ich hatte die Konstruktionmit dem rechten Winkel begonnen ... Fuer meine Konstruktion habe ich verwendet, dass der Radius des Kreises, der die Hypothenuse sowie die Verlaengerung der beiden Katheten beruehrt ("Ankreis" der Hpothenuse) als Radius die Summe aus Innenkreisradius und Umkreisdurchmesser hat. Diesen Zusammenhang musste ich fuer die Loesung erst noch beweisen. Dann waren nur noch nach zeichnen des rechten Winkels der Inkreiis und der Ankreis zu konstruieren (was leicht ist, weil ja nun von beden der Radius bekannt ist: Radius auf den Schenkeln des Rechten Winkels abtragen, um beide Punkte einen Kreis mit dem selben Radius schlagen., die Schnittpunkte beider Kreise sind der Scheitel des Winkels und der Mittelpunkt des gesuchten Kreises) sowie die beiden noch fehlenden gemeinsamen Tangenten an beide Kreise zu konstruieren. Ich habe eine Liste der Aufgaben von 1970/1971 bis 2000 gefunden: mathemator.org/Media/Themen/BWM71-2000.pdf Wenn ich mich recht erinere, nahmen1982 und 1983 jeweils ca. 1200 Schueler an der ersten Runde teil. Davon bekamenca.1/4einen erstenoder zweitenPreis und damit die Teilnahmeberechtigung fuer die zweite Runde. Das hatte ich damalsinbeden Jahren erreicht, aber in der zweiten unde reichte es dannnichht mehr fuer einen Preis ... Alsomach dir keine Gedanken, wenn du nicht zu jeder solchen Knobelei gleich auf einen brauchbaren Loesungsansatz kommst. Dasist gar nicht sounnormal (auch nicht fuer einen "Inschenioer"...).
Das wünsche ich mir!
➤ mathematrick.de/wunschzettel
Ich danke euch von ganzem Herzen, ihr seid die Besten!
Na Du erstmal, wat solln denn Leute wie ich machen, die mathe Nachhilfe brauchen, und nur um einen Fragen zu können WÄHREND DES LERNENS, ist man 10-20€pro/h los. Ich würde dich hier auch unterstützen mit echter Kohle, nur kann ich momentan nichts über i-net überweisen, hätte ich eine andere Möglichkeit auf ein Konto direkt zu über weisen, hier nur antworten, oder Email, dann bekommst du meine und hast mehr Geld?!
Ich habe es direkt im Kopf ausgerechnet und 5 rausbekommen. Aber einfach nur mit Logik. Oder mehr Glück als Verstand? Keine Ahnung 😅Schriftlich ausrechnen mit LGS hingegen. Definitiv Fehlanzeige 😄
Hallo Susanne
wie immer eine interessante Aufgabe. Für mich zunächst scheinbar unlösbar. Du erklärst das immer so ordentlich und ausführlich, dass es schließlich ganz einfach war. Für mich ist das jedesmal ein Spaß, Dir zu folgen. Alles Gute für 2024!!
Klaus
Alle bisherigen Mathe Lernvideos habe von Anfang bis Ende angeschaut und bin, weil vorzüglich erklärt und dadurch den jeweiligen Lösungsweg sofort verstanden, absolut beigeistert. Viele Grüße und einen guten Rutsch in das Jahr 2024 aus Sachsen-Anhalt.
Danke für die ganzen Videos während der Feiertage. Vorproduktion und Vorbereitung haben sich gelohnt.
Ja, ich fühle mich aber gerade nicht so toll. Die Aufgabe verschiebe ich mal nach hinten.
Also das Video noch nicht ansehen.
Danke x 1.000.000 und frohes neues Jahr 2024.
Interessante Aufgabe, die du wieder mal perfekt
erklärt hast.
Wenn mich jetzt mein alter Mathe-Lehrer Kunz sehen würde. Ich schaue Samstags ein Video über Mathematik. Freiwillig. Und habe Spaß dabei. Der würde glatt an Wunder glauben.
BTW: 3, 4, 4 Pythagoräisches Tripel. Sehr schöne Lösung.
Dir ist wohl ein Tippfehhler unterlaufen. Das kleinste "pythagoraeische Zahlentripel" ist 3, 4, 5 und nicht 3, 4, 4 ...
@@juergenilse3259 Korrekt. Aber jetzt würde er mich dann doch wiedererkennen ;-)
Hallo,
mein Lösungsansatz war die Aufgabe zunächst einmal zu vereinfachen.
Da über den Radius des innersten Kreises keine Vorgaben in der Aufgabenstellung gemacht werden, kann man diesen einfach = 0 setzen. Die Tangente mit Länge x entspricht dann dem Radius des äußersten Kreises. Der Radius des mittleren Kreises ist dann 3. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Längen 3 und 4 und der Hypotenuse mit Länge x = 5.
Grüsse
Ja, könnte man machen, wenn man wüsste, dass die Radien keine Rolle spielen. Das wäre aber zunächst zu beweisen. Dass in der Aufgabe keine Radien genannt werden, ist kein Beweis, dass es sich so verhält.
Es geht auch mit dem Flächeninhalt der Kreisringe.
A(Mitte)=(Rm^2-Rk^2)*Pi
A(Mitte)=9*Pi
A(Außen)=(Rg^2-Rm^2)*Pi
A(Außen)=16*Pi
A(Mitte&Außen)=(Rg^2-Rk^2)*Pi
A(Mitte&Außen)=x^2*Pi
A(Mitte)+A(Außen)=A(Mitte&Außen)
9*Pi + 16*Pi = x^2*Pi
9 + 16 = x^2
x^2 = 25
x = 5 bzw. x = -5
LG Gerald
Da ich keine Lust habe, hier alles mit tiefgestellten Indizes zu tippen, nenne ich die Kreisradien jetzt einfach mal a (kleiner Kreis), b (mittlerer Kreis) und c (großer Kreis).
Die Gleichungen habe ich dann genau wie du mit Pythagoras ermittelt:
I) 3² + a² = b²
II) 4² + b² = c²
III) x² + a² = c²
Das LGS habe ich dann aber mit dem Einsetzverfahren gelöst, indem ich zuerst II) in III) eingesetzt habe:
x² + a² = 4² + b²
In diese Gleichung habe ich anschließend I) eingesetzt:
x² + a² = 4² + 3² + a² | - a²
x² = 25
x = 5 (nur positive Lösung, da Länge gesucht) ✅
Zwei Dinge fallen auf:
a) Alle drei Kreisradien heben sich weg; d. h. deren Längen spielen für die Lösung keine Rolle.
b) Zwischen den drei Tangenten scheint ebenfalls ein pythagorischer Zusammenhang zu bestehen; das Quadrat der langen ist die Summe der Quadrate der beiden kürzeren.
Da ich an solche Zufälle nicht glaube, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass man die drei Tangenten selbst bereits zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammenfügen können muss.
Um das zu belegen, habe ich zunächst die mittlere Tangente (4) so um den mittleren Kreis rotiert, dass sie den großen Kreis im selben Punkt wie die lange Tangente (x) schneidet.
Und dann habe ich die kurze Tangente (3) so um den kleinen Kreis rotiert, dass sie den mittleren Kreis im Berührpunkt der mittleren Tangente (4) schneidet.
Wenn mich nicht alles täuscht, ergibt das ein rechtwinkliges Dreieck mit der kurzen und der mittleren Tangente als Katheten und der langen Tangente als Hypotenuse.
Das wäre dann ein grafischer Lösungsweg, um sofort die Gleichung x² = 3² + 4² zu erhalten.
Top wie immer
Noch viel interessanter ist, dass die Gleichung zur Lösung geradezu der Pythagoras-Gleichung entspricht.
x² = 4² + 3² ist hier der spezielle Fall.
Die allgemeine Gleichung ist:
a² + b² = c².
Wobei a² und b² jeweils die tangentiale Länge von einem Ring zum anderen sind und c die tangentiale Länge über zwei Ringe hinweg, wie in der Zeichung angegeben.
Das ist mir auch aufgefallen; ich bin mir recht sicher, dass sich die drei Tangenten durch passendes Rotieren auf ihren Kreisbahnen zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammenfügen lassen.
@@teejay7578 Im allgemeinen geht das leider nicht (zumindest sehe ich da keine Moeglichkeit). Setzt man allerdings den Radius des kleinsten Kreises auf 0 (wie es @trebor1504 in seiner/ihrer Loesung tat), dann kommt man taetsaechlich direkt auf das "Maurerdreieck" ...
@@teejay7578 Dachte ich auch erst, hab es dann aber mal durchprobiert. Das klappt nur, wenn der innere Ring einen Radius von 0 hat. Der Rechte Winkel muss ja zwischen 3 und 4 liegen. Der Rechte Winkel an Seite 4 ist der Radius des mittleren Kreises, da Seite 4 die Tangente ist. D.h. Seite 3 ist Radius von Seite 4. Da Seite 3 ebenfalls als Tangente definiert ist, passt das nur, wenn der innere Kreis zum Punkt verkommt.
@@choloepus Stimmt wohl; v. a. liegt 3 auch auf x, da beide den innersten Kreis tangieren. Durch einfache Rotation der Tangenten entlang der Kreisbahnen geht es also nicht. Aber irgendwie muss es meiner Meinung nach gehen, da dieser Zusammenhang offenbar unabhängig von den einzelnen Kreisradien besteht. Der Sonderfall "innerster Radius = 0" muss irgendwie verallgemeinerbar sein. Was auf jeden Fall geht ist, den mittleren Kreis so zu drehen, dass x und 4 den äußeren Kreis im selben Punkt schneiden, und 3 auf x zu legen. Seien also x = AB, 3 = AC und 4 = BD, wobei C auf AB liegt. Da die Zeiten, wo ich einen Zirkel im Haus hatte, seit Jahrzehnten vorbei sind, kann ich es nicht grafisch verifizieren. Und einen formalen mathematischen Beweis bekomme ich gerade auch nicht aus dem Ärmel geschüttelt. Dennoch bin ich mir recht sicher, dass sich ein Kreis um A mit dem Radius 3 und ein Kreis um B mit dem Radius 4 in einem Punkt S schneiden werden und das Dreieck ABS rechtwinklig im Punkt S sein wird ... und dass das nicht nur für die speziellen Tangentenlängen 3 und 4, sondern auch für beliebige Tangentenlängen a und b immer funktionieren wird. Aus meiner Sicht muss das so sein, weil dieser pythagorische Zusammenhang zwischen den drei Tangenten so allgemein besteht.
Hahaa... nice. Die 3 und die 4 sahen von anfang an verdächtig nach einem Pythagoräischen Zahlentripel aus. ;)
Herzlichen Dank für diese interessante Aufgabe 🙏
Mein Lösungsvorschlag ▶
r₁= r
r₂= r₂
r₃= r₃
⇒
die erste Gleichung, nach dem Satz von Pythagoras:
r²+3²= r₂²
r²+9= r₂²
die zweite Gleichung:
r₂²+4²= r₃²
r₂²+16= r₃²
die dritte Gleichung:
x²+r²= r₃²
⇒
r₂²+16= r₃²
r²+9+16= r₃²
r²+25= r₃²
⇒
r₃² = r²+25
wenn man das r₃² hier in der Gleichung wo das x² vorkommt einsetzt bekommen wir:
x²+r²= r₃²
x²+r²= r²+25
x²= 25
x= √25
x= 5 LE
Wenn man den Sehnensatz kennt und die Tangenten entsprechend verschiebt/verdreht, kann man direkt die Gleichung
4 * 4 = (x - 3) * (x + 3)
aufstellen. Über die 3. Binomische Formel kommt man dann schnell auf
16 = x² - 9 |+9
x² = 25
x = 5
Diese Berechnung ist massiv einfacher als mit Dreiecken zu hantieren...
@@m.h.6470Ja, du hast recht, ich kam auch zum gleichen Ergebnis mit dem Sehnensatz, obwohl der Satz von Pythagoras auch eine schnelle Lösung bietet. Vielen Dank für deine Rückmeldung - ich schätze das sehr 🙂🙏
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Es wäre noch interessant zu wissen, ob sich die Radien der Kreise auch eindeutig bestimmen lassen.
Es gibt keinen eindeutigen Wert für den Radien. Du kannst ein beliebiger Wert für r1 einsetzen und entsprechend die r2 und r3 ausrechnen, sie passen immer in den drei Gleichungen ein.
Lösung:
ri = Radius des innersten Kreises,
rm = Radius des mittleren Kreises,
rä = Radius des äußersten Kreises.
Pythagoras vom innersten Kreis zum mittleren Kreis:
ri²+3² = rm² ⟹ ri² = rm²-3²
Pythagoras vom mittleren Kreis zum äußersten Kreis:
rm²+4² = rä²
Pythagoras vom innersten Kreis zum äußersten Kreis:
ri²+x² = rä² ⟹
x² = rä²-ri² = rm²+4²-(rm²-3²) = rm²+4²-rm²+3² = 4²+3² = 5² ⟹
x = 5
Ich dachte erst da fehlt eine Bedingung (4 Unbekannte, 3 Gleichungen), aber cool wie sich ein Term aufhebt. 🙂
Hab das Video jetzt nicht angeschaut aber das wäre wohl auch in 4min gegangen.
Ich fand es deutlich übersichtlicher, die Gleichung 2 in Gleichung 3 einzusetzen. Dann bekommt man
r1^2 + 9 + 16 = r3^2
und sieht mit
r1^2 + x^2 = r3^2
direkt, dass
x^2 = 9 + 16
gilt (heißt das dann auch Koeffizientenvergleich?)
9 + 16 = 25 und die Wurzel davon ist 5 .
Lösung:
Wenn man die 3er Tangente so verschiebt (um den Mittelpunkt drehen), dass sie auf der x-Tangente liegt und dann die 4er Tangente so verschiebt, dass der Berührungspunkt der Tangente genau auf dem Schnittpunkt der x-Tangente mit dem zweitgrößten Kreis liegt, kann man den Sehnensatz anwenden:
4 * 4 = (x - 3) * (x + 3)
Da ist natürlich eine 3. Binomische Formel auf der rechten Seite:
16 = x² - 9 |+9
x² = 25
Da es sich um eine Strecke handelt, macht nur x = 5 Sinn, was daher die Lösung ist.
Wie immer genial - dein Lösungsweg.
Es lohnt sich wirklich immer deine Kommentare zu lesen.
Vielleicht interessiert dich auch mein Lösungsweg.
Es geht auch mit dem Flächeninhalt der Kreisringe.
A(Mitte)=(Rm^2-Rk^2)*Pi
A(Mitte)=9*Pi
A(Außen)=(Rg^2-Rm^2)*Pi
A(Außen)=16*Pi
A(Mitte&Außen)=(Rg^2-Rk^2)*Pi
A(Mitte&Außen)=x^2*Pi
A(Mitte)+A(Außen)=A(Mitte&Außen)
9*Pi + 16*Pi = x^2*Pi
9 + 16 = x^2
x^2 = 25
x = 5 bzw. x = -5
LG Gerald
@@GetMatheFit Danke. Dein Lösungsweg ist auch sehr interessant.
@@m.h.6470 Danke. Deiner gefällt mir aber besser.
LG Gerald
Die Lösung gefällt mir richtig gut! Ich mag ja den Sehnensatz auch; da wäre ich aber nicht darauf gekommen, den hier zu nutzen!
Es ist nicht leicht,deiner Erklerung zu folgen. Der Loesunsansatz ist aber sehr elegant. Meine Loesungsidee entsprach im wesentlichen der im Video, nur bei der Loesung des Gleichungssystems binich etwas anders vorgegangen ,,,
Man kommt zu einer aehnlichenLoesung wie deiner, wenn man die 4er Tangente so um denKreismittelpunkt dreht, dass ihr Schnittpunkt mit dem aeusserenKreis auf den Schnittpunkt der x-Tangente mit dem aeusserenKreis zu lliegen kommt. Allerdings muss man dann den Sekanten-Tangenten-Satz mit demmittlerenKreis statt den Sehnensatz mit dem aeusseenKreis anwenden:
Das Quadrat des Tangentenabschnitts waere dann 4^2, das Produkt der Sekantenabschnitte waere (x-3)*((x-3)+3+3)=(x-3)*(x+3).Ab hier geht es dann wie beideiner Loesung weiter...
Ollte dir mal kommentieren, dass du sehr natürlich und hübsch bist und intelligent... Leider sehr rar geworden. Mach weiter so😃🌸 ich finde deine videos super... Ich selbst liebe Mathematik und Physik über alles... Nur fehlen mir ein paar grundlegende formeln aus einem studium😅
ich hab geschätzt und kam auch auf 5.
deine argumente, warum x=5, sind natürlich besser. 🙂
Ging mir genau so.
Sheesh, sehr gut erklärt.
Hätte ich damals in der Schule Susanne als Mathelehrerin gehabt, wären meine Noten in Mathe wesentlich besser gewesen!
Ich glaube aber auch, dass es einfacher ist eine Aufgabe alleine vor dem PC zu erklären, als vor einer Klasse voller respektloser Rotzlöffel. Finde trotzdem auch, dass sie es sehr gut macht.
❤Toll!❤
Danke! 🥰
Meine Lösung: Ich habe mich an diese Video erinnert: ruclips.net/video/BXB8Tw3BQys/видео.html
Das Ergebnis hierauf angewendet ergibt: Die Fläche zwischen den äußern Kreis und den mittleren Kreis ist π 4^2 ; die Fläche zwischen den mittleren Kreis und dem inneren Kreis ist π 3^2 und die Fläche zwischen dem äußeren Kreis und dem inneren Kreis π x^2.
Daraus folgt π x^2 = π 4^2 + π 3^2
Mitt Ausklammern von π und dividieren durch π ergibt das
x^2 = 4^2+3^2
Und mit dem kleinsten pythagoreischen Tripel (3;4;5) ergibt sich x = 5
Mir fällt es nicht so leicht in den Zeichnungen die Gleichungen zu finden, aber die Gleichungen selbst sind doch dann sehr umgänglich.
Einfach I=III (beide sind ja = r3²)
-> r1² + x ² = r2² + 4²
und II einsetzen (also r1² + 3² für r2²)
-> r1² + x ² = r1² + 3² + 4² | -r1²
(=) x² = 3² + 4²
(=) x = 5
Nichts ist unlösbar, wenn man eine Gleichung aufstellen kann.Immer wieder erfrischend was Du alles so lösen kannst, auf diesem wege, auch einen Guuuuuuten Rutsch
Habe es ganz gleich gelöst. Ich denke ohne diese 3 Pythagorase geht's ohnehin nicht.
Es get auchohne Pythagoras. Man kann durch passende Positionierung der Radienmittels des Sehnensatzes (mit Sehnen im aeusseren Kreis) oder mit dem Sekanten-Tangenten-Satz (mit Tangente und Sekante ammittleren Kreis) oder auch mit den Flaechheninhalten der Ringe zwischen denKreisen zur Loesung kommen. Alle 3 Loesungswege finden sich in den anderen Kommentaren.
,Was ist denn eine "Sekante"?
Juchu! Die richtigen drei Dreiecksgleichungen (rechtwinklige Dreiecke -> Pythagoras) gefunden und nach ineinander einsetzen flott x=5 herausbekommen. Und alles in kürzerer Zeit als das Video lang ist und natürlich vor dem Ansehen. Laut Kommentaren richtig, aber nu erstmal Video gucken...
Ich weiß, die Videos gibts im älteren Bereich deines Kanals, aber ich wünschte es würde öfter Thumbnails geben die leicht aussehen ubd mich nicht sofort abschrecken. Irgendwas, was neugierig macht und Einsteigerfreundlich ist.
Danke für die schöne Aufgabe. Hier eine etwas kürzere Lösung ruclips.net/video/K7IlGMGN7n0/видео.html
Wie kann denn r`2 - r`2 negativ sein?
Der Radius kann doch nicht negativ sein.
Da ist auch kein Radius negativ. Aber r2 ist größer als r1. Und wenn du von einer kleineren Zahl eine größere abziehst passiert was?
@@adrianlautenschlaeger8578 Dann gibt es ein negatives Ergebnis.
Tangente von innerem Kreis an mittleren Kreis = 3 . Tangente von mittlerem Kreis an äußeren Kreis = 4.
X = 3 +4 da tangente von innerem Kreis an äußeren geht.
Meine Lösung:
x²+r1²=r3²
r1²+3²=r2²; r2²-r1²=3²
r2²+4²=r3²
x²+r1²=r2²+4²
x²=r2²-r1²+4²
x²=3²+4² = 9+16 = 25
x=√25 = 5
Mein Weg war
a^2 + 9 = (a+b)^2
(a+b)^2 + 16 = (a+b+c)^2
a^2 + x^2 = (a+b+c)^2
und dann das ganze hin und herschieben
(a+b)^2 + 16 = a^2 + x^2
und dann
a^2 + 9 + 16 = a^2 + x^2 | a^2 verschwindet
25 = x^2
x=5
das ist kein Zufall. Du hast versäumt zu erwähnen dass diese geometrischen Vorgaben (Strecke eines Tangentenberührpunktes zu Kreislinie, Konzentrische Kreise) IMMER in pythagoräischem Verhältnis stehen. Interessant wäre ob es gelingt die Strecken so einzuzeichnen, dass der Zusammenhang augenfällig wird. (Mir ist noch nichts eingefallen)
Es geht noch einfacher. X= Wurzel aus (4^2+ 3^2). Zufall oder nicht?
Kein Zufall!
Ganzzahlige Werte für x kommen natürlich nur bei "schönen" Zahlen raus (pythagoreische Tripel). Sonst ist x meist irrational.
Aber der Satz des Pythagoras stimmt immer, da gibt's - glaube ich - mehr als 120 Beweise für 😉.
Warum der hier anwendbar ist? Siehe Susannes perfekte Erklärung.
🙂👻
Pythagoras braucht man hier überhaupt nicht.
Einfach Sehnensatz anwenden, der ist massiv schneller hier, weil man nur eine Formel hat, die man im Kopf ausrechnen kann:
4 * 4 = (x - 3) * (x + 3) → 4² = x² - 3² → x² = 4² + 3² → x² = 16 + 9 → x² = 25 → x =5
Das funktioniert, weil x und 3 genau übereinander gelegt werden können, sodass diese Sehne genau in (x - 3) und (x + 3) geteilt wird, wo sie den zweitgrößten Kreis schneidet. Wenn man dann die 4er Tangente genau auf diesen Schnittpunkt verschiebt, hat man 2 Sehnen, eine mit Länge 2x und eine mit Länge 8, die sich eben so schneiden, das die Segmente 4|4 und (x-3)|(x+3) entstehen.
Hier die Herleitung, warum es funktioniert.
Es geht auch mit dem Flächeninhalt der Kreisringe.
A(Mitte)=(Rm^2-Rk^2)*Pi
A(Mitte)=9*Pi
A(Außen)=(Rg^2-Rm^2)*Pi
A(Außen)=16*Pi
A(Mitte&Außen)=(Rg^2-Rk^2)*Pi
A(Mitte&Außen)=x^2*Pi
A(Mitte)+A(Außen)=A(Mitte&Außen)
9*Pi + 16*Pi = x^2*Pi
9 + 16 = x^2
x^2 = 25
x = 5 bzw. x = -5
LG Gerald
@@m.h.6470 Stimmt 👍!
Das ist 'ne echte und clevere Alternative zur Lösung mit Pythagoras.
Auf die ganze "Sehnen Verschieberei" muss man aber auch erst mal kommen - chapeau!
Ich hab jedenfalls 'ne Weile gebraucht, um das, auch Dank Ihrer Erläuterungen dazu, nachzuvollziehen.
Top 🙂👻
@@GetMatheFit So funktioniert es auch.
Aber Sie können natürlich für Ihr "Pi" jede reelle Zahl außer Null einsetzen, ohne dass sich am Ergebnis für x etwas ändert, oder?
Mit Pi = 1 erhalten Sie z.B. dasselbe Gleichungssystem, wie es im Video ab ca. 5:10 gelöst wird.
🙂👻
Es ist schon spät, aber heißt es nicht "das Mathe-Rätsel"?
Also ein Substantiv? Soll heißen ein ein Wort, maximal mit Bindestrich getrennt? Sehe mittlerweile so viele Deppenleerzeichen, dass ich bald selber nicht mehr weiß was richtig und was falsch ist. Bitte verzeiht mir eventuelle Tippfehler in meiner "Rechtschreibungsbeschwerde", habe gerade die Feierlichkeiten zu Silvester beendet. 😅
👍👍👍👍
Das sind mir zu viele Rechte Winkel in einen Umkreis
Reicht hier nicht der einfache Pythagoras? 3²+4²=x² ... so kommst Du ganz schnell auf x=5
Wenn man begruendet, warumman denhier direkt verwenden koennte ... Die Begruendung koennte aber aehnlich lang wiie eine der anderenLoesungen (oder laenger) werden ...
Erster Gedanke: irgendwie Dreiecke basteln und den alten Griechen hervorholen
Wäre schön, wenn Du bei Deinen Rätseln auch die Quelle angeben würdest.
So gehört sich das.
Ich hätte einfach: x=5 hingeschrieben den Rest habe ich im Kopf gerechnet die Lösung hatte ich in 10sekunden schon raus gehabt wo andere 10min brauchen 😂
Die Antwort ohne eine Erklaerung, wie man darauf gekommen ist, haette in der Schule vermutlich mit 0 Punkten fuer diese Aufgabe geendet (zu recht) ...
erste Bauchantwort: ist doch easy... 7....
10 sek später.. errm... nee. das paßt nicht..
ok.. ich schau erst mal das video :)
Es macht mich gerade ziemlich fertig, dass ich aktuell(?) nicht in der Lage bin Aufgaben zu lösen, wie man sie auf diesem Kanal hier findet.
Man sollte doch mehr von einem Dipl. Ing. erwarten dürfen?
Haha, stimmt. Selbst Dipl.Ing seit 40 Jahren..😅
@@hobbyist6181 Mittlerweile habe ich doch noch ein paar Aufgaben gefunden, die ich lösen konnte.
Komplett verblödet bin ich also offenbar nicht. 😁
Als Dipl Ing hast du weitgehend mit "rechnen" zu tun (ausrechnen einer Loesung nach vorgegebenem Loesungsschema). Fuer mathematische Knobeleien braucht man die richtige Idee fuer einen Loesungsansatz. Damit haben teils selbst Mathelehrer manchmal Schwierigkeiten ...
Ich hatte in den Jahren 1982 und 1983 am Bundeswettbewerb Mathematik teilgenommen. Ich habe zwei von meinen damaligen Lehrern meine Loesungen der Aufgaben und eine Kopie der Beispielloesungen,die ichh erhalten hatte zum lesen gegeben.Waehhrend mein Mathe-Leistungskurslehrer mir die Loesungen nach ein paar Wochen wiedergab mit der Behauptung, er habe keine Zeit gehabt, hineinzusehen, hat der andere Lehrer mich 2 Tage spaeter in der grossen Pause angesprochen er habe da etwas an de nLoesungen nicht verstanden, ob ich ihm das vielleicht erklaeren koenne. Dem ersten Lehrer hatte ich die abweisende Antwort uebe lgenommen, der zweite, der mich nach Erklaerungen gefrag thatte, hatte dagegen meine Hhochachtung. Ich ging davon aus, dass beide (zumindest beim ersten durchhlesen) Probleme mit den Loesungen hatten, aber nur der zweite hat das eingestanden ...
Eine der Aufgaben, aus der ersten runde1982 lautete:
Gegeben sei ein konvexes 1982-Eckin der Ebene. Man betrachte alle Dreiecke, deren Eckpunkt auch Eckpunkte des 1982-ecks sind. EinPunkt P der Ebene liegt auf keiner der Dreieckseiten. Man beweise, dass P dann in einer geraden anzahl von Dreiecken liegt.
Die Aufgabe mit der Jahreszahl (von den 4 Aufgaben jeder Runde in 1982 enthielt damals eine je eine die aktuelle Jahreszahl) aus der 2. Runde lautete:
Ein Schueler teilt eine natuerliche Zahl p durch eine natuerliche Zahl q. Dabei ist q kleiner oder gleich 100. Irgendwo hinter demKomma entdeckt der Schueler bei seinem Ergebnis den Ziffernblock 1982. Man beweise, dass sich der Schueler verrechnet hat.
Beide Aufgaben duerften auch viele Mathelehrer erst einmal vor Probleme stellen. Aber auch die anderen Aufgaben der beiden Jahre brauchten zur Loesung eine pfiffige Idee (fuer die es meist mehrere Moeglichkeiten gab), auf die zu kommen gar nicht so selbstverstaendlich war. So gab es (ich glaube, es war 1983) die Aufgabe, mit Zirkel und Lineal ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren,von dem amsonsten nur Inkreisradius und Umkreisradius gegeben waren. Obwohl in den Beispielloesungen verschiedene Loesungen vorgegeben waren (die wenn ich mich recht erinnere alle die Konstruktion mit der Hpothenuse begannen), war meine Loesung nicht darunter: Ich hatte die Konstruktionmit dem rechten Winkel begonnen ...
Fuer meine Konstruktion habe ich verwendet, dass der Radius des Kreises, der die Hypothenuse sowie die Verlaengerung der beiden Katheten beruehrt ("Ankreis" der Hpothenuse) als Radius die Summe aus Innenkreisradius und Umkreisdurchmesser hat. Diesen Zusammenhang musste ich fuer die Loesung erst noch beweisen. Dann waren nur noch nach zeichnen des rechten Winkels der Inkreiis und der Ankreis zu konstruieren (was leicht ist, weil ja nun von beden der Radius bekannt ist: Radius auf den Schenkeln des Rechten Winkels abtragen, um beide Punkte einen Kreis mit dem selben Radius schlagen., die Schnittpunkte beider Kreise sind der Scheitel des Winkels und der Mittelpunkt des gesuchten Kreises) sowie die beiden noch fehlenden gemeinsamen Tangenten an beide Kreise zu konstruieren.
Ich habe eine Liste der Aufgaben von 1970/1971 bis 2000 gefunden:
mathemator.org/Media/Themen/BWM71-2000.pdf
Wenn ich mich recht erinere, nahmen1982 und 1983 jeweils ca. 1200 Schueler an der ersten Runde teil. Davon bekamenca.1/4einen erstenoder zweitenPreis und damit die Teilnahmeberechtigung fuer die zweite Runde. Das hatte ich damalsinbeden Jahren erreicht, aber in der zweiten unde reichte es dannnichht mehr fuer einen Preis ...
Alsomach dir keine Gedanken, wenn du nicht zu jeder solchen Knobelei gleich auf einen brauchbaren Loesungsansatz kommst. Dasist gar nicht sounnormal (auch nicht fuer einen "Inschenioer"...).
Die Konstruktion hat ergeben, dass x=5 LE lang ist.
Gibts ja nich, sehe ich mir an wenn ich Zeit habe,erstmal speichern sagt der doc