가끔 재미 삼아 일본 채널에서 일본 입시 문제를 보고는 했는데 한국 채널을 찾으니 반갑네요! 혹시 1993년 도쿄공대 문제도 다루신 적이 있을까요? n차다항식 p(x)가 p(0)부터 p(n)까지 모두 정수라면 모든 정수 k에 대해 p(k)는 정수임을 증명하는 문제인데 개인적으로 좋아하는 문제라 선생님의 풀이가 궁금해요!
전 이렇게 생각했습니다! 여러 시행착오를 거쳤는데 결국 이런 흐름으로 가게 되었습니다. 1) ABC가 직각삼각형은 못 된다! (tan90º가 정의되지 않아서) 2) ABC가 둔각삼각형이라면? 귀찮으니 일반성을 잃지 않고 A가 둔각이라 하겠습니다. 그럼 B, C는 예각이겠죠. 그럼 tanB, tanC는 양수여야 해요. 그걸 각각 m1, m2라고 이름 붙였습니다. tanA(:=m3)는 둔각이라 음수가 될 것입니다. 근데 덧셈정리에 의해서 tanA = tan(180º - B - C) = -tan(B+C) = (m1+m2) / (m1m2 - 1)인데 지금 분자와 분모가 모두 양수여야 합니다. 근데 tanA는 음수여야 하므로 모순입니다. 특히 저 식에서 분모가 왜 음수냐면 m1 , m2가 양의 정수(자연수)인 상황에서 m1m2 - 1는 0보다 같을 수는 있을지언정 0보다 작진 않겠죠. 3) 그래서 ABC는 예각삼각형이 될 수밖에 없네요. 그럼 tanA, tanB, tanC 혹은 m1, m2, m3는 모두 자연수(양의 정수)가 되어야 해요. 각의 크기가 0도나 180도는 되지 못하므로 탄젠트 값이 0은 되지 못합니다. 근데 아까 살펴봤던 덧셈정리에 의해 m3 = (m1 + m2)/(m1m2 - 1)을 좀 정리하면 이런 놀라운 형태가 나왔습니다. m1+m2+m3 = m1m2m3. 이거 탄젠트로 바꿔서 보면 좀 신기합니다. tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC. 이런 식을 어느 유튜브 영상에선가 봤는데 기억이 안 납니다. 삼각형의 각 내각의 탄젠트 값이 정수인 것과 저 신기한 식이 혹시 필요충분조건이 되는지는 잘 모르겠습니다. 이번 계기로 좀 조사해보는 것도 재밌겠네요. 고등학교로 돌아간 느낌입니다! 아무튼 자연수 m1, m2, m3에 대해서 m1+m2+m3 = m1m2m3의 해를 찾아야 하는데 좀 막막합니다. 전 여기서마저 또 "일반성을 잃지 않고" m1 ≤ m2 ≤ m3이라고 상정했습니다. 저 식을 가만히 보니 1+2+3=1*2*3을 봤습니다. 이거 제가 좀 좋아하는 식입니다. 이것 갖고 log(1+2+3)=log1+log2+log3이라는 농담을 할 수 있거든요. ㅋㅋ 아무튼, 한 가지 해를 찾았는데 이것 말고는 안 되느냐는 질문이 남았습니다. 저 m1, m2, m3 중에 적어도 하나의 값은 1이 되어야 한다는 걸 증명할 수 있습니다. 왜냐면 그 결론을 부정해보면 2 ≤ m1 ≤ m2 ≤ m3이 되어야 할텐데, 산술기하평균 부등식 때문인데요, 지금 전제조건에 의해 m1 + m2 + m3 ≥ 3 * 세제곱근(m1m2m3)가 되어야 하는데, 부등식의 좌변이 m1m2m3와 같은 상황이길 원하는 것이잖아요. 그래서 좌변을 바꿔적어서 m1m2m3 ≥ 3 * 세제곱근(m1m2m3)를 만족하는 순간을 찾아보는데 m1m2m3 = 3루트3이 되어야만 합니다. 그러면 m1, m2, m3 중에 무리수가 있어야겠어요. 유리수 집합은 곱셈에 대해 닫혀있으니까요. m1, m2, m3이 자연수임에 모순이죠. 아무튼 m1 = 1이라 생각하면 m2, m3만 남는데요 그 관계식은 1 ≤ m2 ≤ m3이면서 1 + m2 + m3 = m2m3가 되어야 한다고 쓰여집니다. (1,2,3) 말고 해가 없는가 생각해보자면, m2 ≥ 3인 걸 다시 또 전제해보는 거에요. 뭔가 어렵지만 저 식을 조금만 변형하면 m3 = 1 / (m2-1) ≤ 1/2이니 m3이 자연수임에 모순이죠. 아직 끝이 아닙니다. m1=m2=1인 경우, m1=m2=m3인 경우가 남았습니다. 근데 이건 그냥 방정식에 직접 대입해보면 자명하게 성립하지 않습니다. 그래서 주어진 해는 (1,2,3)의 순열로 총 3!=6가지로 주어집니다.
![도쿄대 정문을 지키는 염라대왕의 입술 [1954 도쿄대 전설의 본고사]](http://i.ytimg.com/vi/JM7OzrsaYPw/mqdefault.jpg)
![서울대 교수는 너희에게 실망했다 [2002 서울대 신입생 대상 수학 성취도 평가]](/img/1.gif)
슬슬 유명해지니까 할일없는 악플러들이 모이네요~ 잘보고갑니다~
감사합니다 :)
수학독본이란 책에 저 문제가 있더라구요 ㅋㅋㅋㅋ
그 책 저자분이 히토쓰바시대 교수셨던데
어쩌면 그분이 만든걸수도 있겠네용
독본 진짜 오랜만에 듣네요 ㅎㅎ 시청 감사합니다 :)
흥미로운 주제 감사합니다! 5:02 여기서 탄젠트 그래프를 그려서 좀 더 엄밀히 설명해주셨으면 더 좋았을 거 같아요 :) B는 pi/2를 넘어가면 안되니까 tanB는 음수나 0이 아니므로 1보다 큰 정수여야 하고, tanC는 tanB보다 크므로 저런 해가 나오네요
항상 잘 보고 있습니다
고교시절 때 본고사 문제를 풀고 싶은데
시간도 없고 범위도 달라서 아쉬웠는데 이렇게ㅡ설명해주시니 너무 감사하네요
시청해주셔서 감사합니다 :)
가끔 재미 삼아 일본 채널에서 일본 입시 문제를 보고는 했는데 한국 채널을 찾으니 반갑네요! 혹시 1993년 도쿄공대 문제도 다루신 적이 있을까요? n차다항식 p(x)가 p(0)부터 p(n)까지 모두 정수라면 모든 정수 k에 대해 p(k)는 정수임을 증명하는 문제인데 개인적으로 좋아하는 문제라 선생님의 풀이가 궁금해요!
한 번 다뤄보겠습니다 감사합니다 ㅎㅎ
영상 잘봤습니다... 혹시 영상에 레터박스가 너무크고 비네트가있는거같아서 영화보는 느낌이 나는데 의도하신건가요? 만약 카메라잡는 분이계시면 확대해서 카메라움직이는게 나을거같은데..
@@Kong._.J-i3x 카메라 잡아주시는 분이 안계십니다😢
일반성을 잃지않는다라는게 되게 난해하네요..
문제가 없는 상황을 가정한다 일반성을 잃지 않는다
이렇게 받아드려도 되나요?
그쵸
ruclips.net/video/2Nf_wiWbr-A/видео.htmlsi=F_J-vqUu6QFg1jnR 요거 참조해보시면 어떨까 합니다 ㅎㅎ
Wlog... 맞나?
@@칸트-d8y 한 가지 상황을 가정하면 나머지 상황들은 유사하게 증명된다거나, 가정한 상황과 동일하게 만들 수 있는 경우에 "일반성을 잃지 않고 ~라 하자"라고 증명을 조금 더 간략히 쓸 적에 하는 표현입니다.
재밌게 봤습니다
진짜 신기하네요
문제 참 잘 만든 것 같아요 ㅎㅎ
쓰바시발이라니 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋ 어그로 좀 끌어봤습니당
A, B, C의 대소관계 설정은 상관없지만 tanA=1이라고 두고 푸는건 그렇지 않은 경우를 풀지 않은게 되지 않나요? 단답형이면 괜찮지만 서술형이면 문제가 되지 않나요
tan A=1이 해당 상황에서 유일한 정수해라는 말입니다.
@@poiecis 아그렇네요 제가 착각했습니다
전 이렇게 생각했습니다! 여러 시행착오를 거쳤는데 결국 이런 흐름으로 가게 되었습니다.
1) ABC가 직각삼각형은 못 된다! (tan90º가 정의되지 않아서)
2) ABC가 둔각삼각형이라면?
귀찮으니 일반성을 잃지 않고 A가 둔각이라 하겠습니다. 그럼 B, C는 예각이겠죠. 그럼 tanB, tanC는 양수여야 해요. 그걸 각각 m1, m2라고 이름 붙였습니다. tanA(:=m3)는 둔각이라 음수가 될 것입니다. 근데 덧셈정리에 의해서 tanA = tan(180º - B - C) = -tan(B+C) = (m1+m2) / (m1m2 - 1)인데 지금 분자와 분모가 모두 양수여야 합니다. 근데 tanA는 음수여야 하므로 모순입니다. 특히 저 식에서 분모가 왜 음수냐면 m1 , m2가 양의 정수(자연수)인 상황에서 m1m2 - 1는 0보다 같을 수는 있을지언정 0보다 작진 않겠죠.
3) 그래서 ABC는 예각삼각형이 될 수밖에 없네요. 그럼 tanA, tanB, tanC 혹은 m1, m2, m3는 모두 자연수(양의 정수)가 되어야 해요. 각의 크기가 0도나 180도는 되지 못하므로 탄젠트 값이 0은 되지 못합니다. 근데 아까 살펴봤던 덧셈정리에 의해 m3 = (m1 + m2)/(m1m2 - 1)을 좀 정리하면 이런 놀라운 형태가 나왔습니다.
m1+m2+m3 = m1m2m3.
이거 탄젠트로 바꿔서 보면 좀 신기합니다. tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC. 이런 식을 어느 유튜브 영상에선가 봤는데 기억이 안 납니다. 삼각형의 각 내각의 탄젠트 값이 정수인 것과 저 신기한 식이 혹시 필요충분조건이 되는지는 잘 모르겠습니다. 이번 계기로 좀 조사해보는 것도 재밌겠네요. 고등학교로 돌아간 느낌입니다!
아무튼 자연수 m1, m2, m3에 대해서 m1+m2+m3 = m1m2m3의 해를 찾아야 하는데 좀 막막합니다. 전 여기서마저 또 "일반성을 잃지 않고" m1 ≤ m2 ≤ m3이라고 상정했습니다. 저 식을 가만히 보니 1+2+3=1*2*3을 봤습니다. 이거 제가 좀 좋아하는 식입니다. 이것 갖고 log(1+2+3)=log1+log2+log3이라는 농담을 할 수 있거든요. ㅋㅋ
아무튼, 한 가지 해를 찾았는데 이것 말고는 안 되느냐는 질문이 남았습니다. 저 m1, m2, m3 중에 적어도 하나의 값은 1이 되어야 한다는 걸 증명할 수 있습니다. 왜냐면 그 결론을 부정해보면 2 ≤ m1 ≤ m2 ≤ m3이 되어야 할텐데, 산술기하평균 부등식 때문인데요, 지금 전제조건에 의해 m1 + m2 + m3 ≥ 3 * 세제곱근(m1m2m3)가 되어야 하는데, 부등식의 좌변이 m1m2m3와 같은 상황이길 원하는 것이잖아요. 그래서 좌변을 바꿔적어서 m1m2m3 ≥ 3 * 세제곱근(m1m2m3)를 만족하는 순간을 찾아보는데 m1m2m3 = 3루트3이 되어야만 합니다. 그러면 m1, m2, m3 중에 무리수가 있어야겠어요. 유리수 집합은 곱셈에 대해 닫혀있으니까요. m1, m2, m3이 자연수임에 모순이죠.
아무튼 m1 = 1이라 생각하면 m2, m3만 남는데요 그 관계식은 1 ≤ m2 ≤ m3이면서 1 + m2 + m3 = m2m3가 되어야 한다고 쓰여집니다. (1,2,3) 말고 해가 없는가 생각해보자면, m2 ≥ 3인 걸 다시 또 전제해보는 거에요. 뭔가 어렵지만 저 식을 조금만 변형하면 m3 = 1 / (m2-1) ≤ 1/2이니 m3이 자연수임에 모순이죠.
아직 끝이 아닙니다. m1=m2=1인 경우, m1=m2=m3인 경우가 남았습니다. 근데 이건 그냥 방정식에 직접 대입해보면 자명하게 성립하지 않습니다.
그래서 주어진 해는 (1,2,3)의 순열로 총 3!=6가지로 주어집니다.
뭐 혹시 tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC A + B + C = 180º이라거나 이런 게 성립하는지도 조사를 좀 해봐야겠군요
문제 너무 재밌고
와 풀이 지렸다 ㄷ
@@helicase8222 시청 감사합니다 :)
잼게봤음
감사해요 :)
전설이라는 이유가 어려워서인가요? 아님 발상이 참신해서?
시험장에서 학생들에게 굉장히 난해했고, 해법이 여러가지 가능해 (일본의) 학원가에 길이길이 전해지는 문제들이 '전설'의 본고사 취급을 받곤 합니다ㅎㅎ
WLOG는 만능이군요
아주 좋은 도구입니다 ㅎㅎ 시청 감사합니다 :)
일반성을 잃지않으니 tanA를 1이라두고 나머지는 덧셈정리-->정수니까 부정방정식으로 가는 방식이 굉장히 인상깊네요🎉
수능보다 깔끔한 느낌이에요😊
시청 감사합니다 :)
😂😂칠판 글씨가 가독성이 아주 떨어지는 필체. 좀 한 눈에 잘 보이게 글을 쓰세요.
문과임?
이해 지리게 잘됨
풀어 보시고 다시 올려 보세요. 어떻게 해셜하셨는지 볼께요.
영상 안보셨나