TNM@2 03 01 원뿔 곡선, 착시의 원리

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새로운 두 수학 @2
TNM, Two New Math
아울연구소장 이두진
TNM@2-03-01.원뿔 곡선, 착시의 원리
원뿔 곡선에 대한 이야기는
주로 메나에크무스(Menaechmus, BC 380~320)가 활용했다고 언급한 기록을 근거로
그가 구체화하기 시작한 것으로 전해진다.
나중에 고고학에서 구체적인 기록이 더 발견된다면
원뿔에 대한 관점에도 변화가 있을 수 있다.
그러나 꼭 고고학적 증거가 있어야
원뿔곡선에 대한 인간의 인식을 해석할 수 있는 것만은 아니다.
그 이전의 원뿔에 대한 인식은
태양빛이 만드는 원뿔모양에서
해시계를 사용했던 것으로 추정하는 의견도 있다.
앞서 논리의 흐름으로 언급한 바와 같이
빛의 소용돌이가 원뿔모양의 공상으로 이어진 것으로 보아도 무방하다.
현대 수학은 페르게의 아폴로니우스가 정리한 것을 기점으로 본다.
메나에크무스에 이어 아폴로니우스가
원뿔곡선에 대한 연구를 완성했다는 설도 있는데 이것도 사실상 추정에 속한다.
아폴로니우스는 아르키메데스와 동시대에 살았던 것으로 보인다.
아폴로니우스는 원뿔을 보는 관점에 따라 나타나는
원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 정리했다.
아폴로니우스로부터 구체화된 원뿔곡선은
빛을 투과하는 돋보기와 같은 현상으로 나타나는
두 개의 원뿔모양을 면으로 자르는 방식으로 정리된다.
원뿔에는 점, 선, 면, 입체가
빛과 같은 시각이라는 관점의 개입으로 서로 반응을 하면서,
선분, 직선, 곡선, 그리고 원, 타원을 만들어 낸다.
이것은 자연현상에 나타나는
시각적 무늬들의 기본 요소를 모아 놓은 것과 같다.
원뿔에 나타나는 곡선의 현상들을 실험하려면,
원뿔 방정식에 대한 정보가 필요하다.
과거에는 기하학을 연구하는 데
손으로 그림을 그리거나 실제 실험 도형을 만들어야 하는 어려움이 있었다.
현대인은 컴퓨터를 이용하여
쉽게 도형이나 그래프를 만들어 현상을 실험할 수 있게 됐다.
그러나 수년 전만 해도
이것은 전문 컴퓨터 지식이 없으면 어려운 일이었다.
오픈 소스 정신과 공유 시스템을 기반으로
스마트 앱 시대를 거치면서 응용 프로그램의 급진적인 발전은
학습체계와 학문적 연구 방법 체제를
종이에서 완전한 가상공간으로 바꾸고 있다.
원뿔은 원추로 표현하기도 한다
원뿔 곡선을 실험하기 위한 원뿔 방정식으로 컴퓨터에 맵핑해 보면,
원추가 그리는 모양으로
밑면이 원으로 닫혀 있지 않는 자취로 나타난다.
그리고 원점을 중심으로 쌍원뿔을 그린다.
원뿔의 회전축으로 자르면 [쌍삼각형]=[쌍곡선]
밑면선에 수평으로 자르면 [원]
밑면선의 입사각이 원뿔의 경사각보다 작고 하나의 원뿔만 잘리게 하면 [타원]
원뿔의 경사선과 수평으로 자르면 [포물선]
쌍원뿔의 꼭지점을 지나 원뿔의 경사선과 수평으로 자르면 [직선]
원뿔의 경사선보다 크게 자르면 [쌍곡선]
원뿔곡선 정리 관점들
원추의 회전축으로 갈라지는 꼭지각 알파와 비교하는 관점
밑면과 평면의 각도 베타 를 기준으로 구분하는 관점
원뿔 모선에 대한 평면의 입사각 감마 기준으로 구분하는 관점
일반 방정식의 판별식으로 구분하는 관점
이심률로 구분하는 관점