Ottimizzazione - Problema 1 - rettangolo inscritto nella circonferenza
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- Опубликовано: 1 окт 2024
- 02:55 - Inizio problema
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Complimenti, sempre molto chiari e interessanti i tuoi video. Ti seguo con piacere. Grazie
In realtà forse sarebbe stato piú semplice massimizzare rispetto all'angolo che si crea fra l'origine della circonferenza ed il vertice del rettangolo inscritto. Infatti, considerando una circonferenza di raggio unitario e limitando il calcolo ad un quarto dell'area totale (un solo quadrante), l'area del rettangolo risulta essere proporzionale al prodotto fra il seno ed il coseno dell'angolo. Poichè sen(x)cos(x) è proporzionale a sin(2x) e poichè il massimo valore del seno è 1, è sufficiente invertire sin(2x)=1. Il risultato di questa operazione è 2x=π/2 ovvero x=π/4. Una volta trovato questo, è banale giungere alla sua soluzione👍
Ho impostato il problema 5 con la trigonometria
Ancora meglio considerare solo metà rettangolo come un triangolo rettangolo di base 2r:
In questo modo è evidente che per massimizzare l'area toccherà massimizzare l'altezza relativa al diametro, ovvero nientemeno che il raggio. In questo modo si ottiene come area del rettangolo 2r * r = 2r^2. Per capire che si tratta di un quadrato è sufficiente osservare che le diagonali sono perpendicolari.
Siccome è ciclica allora anche 1/8...e così via.
sulla matematica mi sfuggono tante cose, ma sulla grammatica è raro che mi sfugga qualcosa : crescente e decrescente vanno scritte con "sc" 😉
2:00
Bisognerebbe anche spiegare, secondo me, che essendo gli angoli del rettangolo tutti tetti, allora AC (o BD) è il diametro della circonferenza per un noto teorema di geometria (angoli al centro doppi di quelli alla circonferenza). Non è scontato che lo sia
Volendo fare esercizi di derivazione e di ricerca di min e max la tua soluzione va benissimo. Però senza fare calcoli la risposta al quesito è immediata. Basta considerare il triangolo
(continua) L'area è data dalla base AC per l'altezza del triangolo /
Mi scuso per il disguido degli invii precedenti.
Volendo fare esercizi di derivazione e di ricerca di min e max la tua soluzione va benissimo. Però senza fare calcoli la risposta al quesito è immediata. Basta considerare il triangolo ACD. L'area è data dalla base AC per l'altezza del triangolo/2.
Poiché la base è fissa l'area massima si avrà con l'altezza massima che si ha quando D è il punto centrale dell'arco AC ovvero il punto nel quale la tangente al cerchio è parallela ad AC e di conseguenza AD e DC sono uguali ed il rettangolo diventa un quadrato.
Buongiorno Valerio, buongiorno a tutti. potreste aiutarmi per favore: rilevando i mV di una soluzione con un normale pHmetro , c'è modo di risalire alla conducibilità della soluzione stessa? grazie.
Questi problemi di massimi e minimi mi hanno sempre affascinato !
Cercherò di seguirli tutti e se ne mette altri... magari grazie .
Molto interessante. Complimenti!
bellissimo
Il risultato conferma che il rettangolo ricercato é di fatto il quadrato inscritto nella circonferenza.
Infatti l'altezza x risulta essere la diagonale di un quadrato ruotato di 90° il cui lato é il raggio del cerchio:
x=r per radice di 2 cioé la diagonale rispetto ad r.
Ruotando tale immagine per 4 volte di 90° risulta il quadrato suddetto.
Graficamente possiamo aumentare l'altezza di x diminuendo contemporaneamente il valore della base: l'equibrio si avrebbe proprio quando raggiunge un angolo di 90° rispetto al diametro orizzontale.
Ciao
E' molto più semplice dividere il rettangolo in due triangoli e calcolare l'area come 2 volte l'area di un triangolo.
L'area sarà massima quando è massima l'area del singolo triangolo che ha base 2r.
Quindi il massimo si ha quando è massima l'altezza cioé r.
Interessante.
Come dimostri che nessun altro triangolo ha altezza maggiore di r?
@@ValerioPattaro Chiaramente puoi prendere un segmento ortogonale al diametro che interseca il cerchio, introducendo un parametro si può fare lo sviluppo analitico; ma è chiaro che in un semicerchio il segmento ortogonale al diametro di maggiore lunghezza è quello che parte dal centro ed ha lunghezza r.
Senza nessun studio di funzioni. La diagonale del rettangolo iscritto è il diametro del cerchio e la base dei due triangoli che lo costituiscono. Ciascuno dei due triangoli otterrà la superficie massima quando l'altezza è massima, cioè quando il vertice avrà la massima distanza dal centro, cioè quando sono triangoli rettangoli.
I triangoli saranno sempre rettangoli perché l'ipotenusa è un diametro, quindi l'angolo al centro é sempre 180° e ne consegue che l'angolo sulla circonferenza sarà sempre 90°, quindi sempre rettangoli.
La spiegazione é un'altra.
Bel video interessante.
Salve , innanzitutto grazie per questo video intessante e in generale per il lavoro di divulgazione col tuo canale .
Io ho risolto ottenendo lo stesso risultato prendendo in considerazione solo un quadrante in quanto l'area totale è 4 volte l'area del quadrilatero in uno dei quattro quadranti.
Ottimo
Grazie
Mi devo ripassare il calcolo delle derivate ma la metodologia applicata è geniale ed intuitiva.
è il classico metodo che trovi nei libri liceali, nonché libri di analisi 1. Semplice, quanto intuitivo.
@@alessiodaini7907 Grazie: si, lo so. Mi ero laureato in fisica nel 1980. Avevo preso 30/30 con lode in analisi 1 e in analisi 2 ma sono passati 42 anni da allora!