じっくり連続性解説11 -位相空間-【ずんだもん解説】

[@ssd8789]

違う距離でも何かが同じだから連続関数の条件を共有してる…！
→距離よりもっと抽象的な何かが欲しい！見方を変えたい！
開集合の逆像が常に開集合になることと連続関数であることは同等？！
→じゃあほんとは開集合族の情報だけがほしかったんだね…？
どんな開集合族の定義なら連続関数っぽいものを考えられる土台になるのかなぁ…
位相空間論始めたての頃の初々しいこの流れ、えっち過ぎる🥵
各点での近傍による連続性の特徴づけも、閉集合による特徴づけも、閉包による特徴づけも、あの「位相」という土台さえあれば再現できちゃうんだよねぇ…
さらに定義域へ第一加算性があれば点列連続性までも再現してしまう、なくとも有向点列の収束によって特徴づけられてしまうのも…

[@カヤニャルノラネコ]

11:00 条件3って可算無限までということですか？それとも非加算無限も許されてますか？
また、条件2を無限まで許したとき、そのXとOの組に特別な名前はついていますか？

[@phd_zundamon]

条件3は非可算無限までOKです！よくR^nの非可算部分集合Xを、Xの各点を中心とする開球の族
{B_{R^n}(x;1) | x∈X}
で覆ったりなんかしちゃいます。
条件2を無限まで許したものに名前は…多分ないと思いまする。
(測度論のほうに何かあるかなと思ったけど、そっちにも無さげ)
確かに非対称的で気持ち悪い感はありますよね。
もし過去の数学者に見落としがあって、2を無限まで許したときに面白い数学が広がっていたら…チャンスですぞ！

[@カヤニャルノラネコ]

@@phd_zundamon 返信ありがとうございます！
測度論について軽くググってみたら、σ-加法族と位相空間に何か似たような雰囲気は感じました。
測度論の解説動画待ってます(無茶振り)

[@phd_zundamon]

@@カヤニャルノラネコ 測度論は学生時代から苦手意識があるのですが、最近本を買って勉強しようと思っているので、いずれ…！

[@北島けいすけ]

うっ…なんだか、開集合かつ閉集合の集合が存在するような気がしてきた…そしてその集合が高校で既に見たことがあるような気がするけど、ダメだ、これ以上は何も思い出せない…

[@phd_zundamon]

閉集合は次回以降やろうと思ったのですが、先走って言うと、補集合が開集合になる部分集合を閉集合と言います。
位相の定義1番で空集合とXを開集合に含めているので、X自身が開かつ、補集合が空集合という開集合になりますので、閉集合でもあります！
開かつ閉集合というのは、位相空間論でも「連結性」というとても重要な性質を司っているので、「開かつ閉集合が存在するような気がしてきた」と感じるのは、きっと高校の先生がそういうお話をしてくれたのかもしれないですね！

[@北島けいすけ]

​@@phd_zundamonそんなことを言われるとなんだか、開集合かつ閉集合の集合が、Xと空集合の時だけ、特別な性質があるような気がしてきました。この2つ以外にもし存在してしまうと、Xは直ちに直和分解されてしまう気がしますが、うっ、やっぱりこれ以上は思い出せない…。