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電験は詳しくないので明確にどんな関係があるかは責任もって言えないですが、今回紹介した -a=α₁+α₂+α₃ s₁=α₁+ωα₂+ω²α₃ s₂=α₁+ω²α₂+ωα₃ という関係式には「ラグランジュ・リゾルベント」という名前が付いています。 おそらくガロアやアーベルはラグランジュ・リゾルベントと解の置換の関係を知っていて、そこから彼ら独自の理論を作ったんじゃないかなぁ…って妄想が膨らむぐらいには非常に重要な概念です。

「yes」を意味する相槌「うむ」に対して、「ぺこり」や「ぐたり」などのように、行動を表す擬音の末尾に「り」を付けると可愛くなる法則を適用したものです(マジレス) 沖縄の愛情表現って意味があったのは知らなかったです…Σ(ﾟДﾟ)

商空間というか、商集合自体、マスターすればそれだけで学部卒レベルだと僕の出身大学の代数の先生が言ってました！

途中で微分使っちゃったけど、解に微分が含まれてるわけではないのでOK！って感じです

頑張ってください！僕も頑張って完成させまする！

すまぬです…。この後の動画では直ってますので…！

一生懸命視ていただいて嬉しいです！😊ぜひアーベル・ルフィニ理解に向けて頑張ってください！

もし∅を連結だと言ってしまったとき、Aも空でない連結集合としたとき、∅∩A=∅なので、∅∪Aは連結空間のdisjoint unionと言えば連結空間のdisjoint unionになっちゃってますよね。 なので「任意の位相空間は連結部分集合のdisjoint unionで書ける」っていう定理の主張を見ると、∅も連結成分っぽく見えちゃうよね、ってことでした。 ただまあ今回は連結成分の定義としては、∅が連結にしろそうでないにしろ連結成分にはならないから大丈夫ですけど…

@phd_zundamon なるほど、連結集合の非交和として書かれているから、連結成分として見たくなるよね、という話だったのですね。 イメージとしては、連結成分が「素数」であって、∅を1と対応付けるなら「連結成分ではない」であって「連結ではない」は行き過ぎかなと思いました。 あと自分は、連結の定義が「2つの互いに素な(空でない)開集合の和で表せない」のと、連結は「分かれてない」という否定形のイメージなので、∅は連結で良いかなと思ってます。

わー！スーパーサンクスありがとうございます！！！🙏🙏🙏 ポン吉Pさんこれからも面白いと思う数学を続けてみてくださいね！

確かになんですよねー。 物理だと黒体放射のように「実験事実をフォローする」っていう絶対的な必要条件のもとに理論を組み立てて行ってるよっていう「ぐらい」は、キレイな本を読んでても感じることは多いのですが、 数学ってそれ(実験)すらないから、「あっ、最初からこういう風にしようと思ってました(ラマヌジャン召喚)」って言っても正しければOKみたいなところあってつれぇ(´・ω・`)

ありがとうございます！まあ合成体の議論は細かいのでね。。。合成体の肩ひじ張らない気分としては、体Kに代数的な元を添加した体F₁=K(α)とF₂=K(β)っていうのがあったら、F₁F₂=K(α,β)で、単に生成元を混ぜ合わせてるだけです。

ガロア理論が背景にある問題だな！って問題で、そのことに気づければ有利になると思います！（ニッチ！！！）

コスニオフスキの翻訳では道連結でしたし、僕も「pathを道と訳すならpath connectedは道連結やろ」とのお気持ちで道連結に統一しました。一般的には弧状連結ではあるんですが、なんでなのかはよく分かんないです…

既にガロア理論シリーズとしては、5次以上の方程式の解の公式が存在しない理由まで完結してます！ぜひゆっくりしていってね！

マンハッタン距離には各地・各文化に相当する言い方ありそうですねｗ

なるほど！シャボン玉膨らますイメージですね(ストローの先は原点近くに居続けるのが非現実的ですが…)。

おお！確かにそれならもっと短くできましたね

すみません、初期は音量調整がへたくそでした…。最近の動画はマシだと思います！

@@phd_zundamon これはこれはご丁寧に。恐縮です。謝っていただくつもりありませんでした。ほとんど無意識に一人ごとを書いてしまった次第です。お気になさらず。内容としてはすごくいいと思っております。難しい数学は理解できないのですが、ところどころ、なるほどこういうところがみそなんだろうなあと想像を膨らませながら見させていただいております。いつか、そういう部分部分の納得感が積みあがって5次方程式が代数的に解けない理由をわかった気になれたらと思っております。

ご指摘ありがとうございます！結論からいうと暗黙に課してしまっていたようです… 実際、空集合への定値写像N:X→P(X)は、この4条件を満たしているようですが、これは位相を生成しませんね（O={∅}になる…） なので本当は、例えばN:X→P(X)-{∅}とするか、条件にN(x)≠∅を入れるべきでしたね

あ、いや…条件1.をちゃんと書けば ∀x∀V[x∈X∧V∈N(x)⇒x∈V] のはずですので、N(x)の元が少なくともxを元として含み、空集合になっていることを防いでいる…気もしてきた… 少なくとも条件1.は、このように書くべきだったかもしれないです。

@@phd_zundamon 多分その条件でも、任意のXの元xについて「任意のN(x)の元はxを元にもつ」なので、やはりN(x)=øを許してしまう気がします。 (位相空間のテキストが結構この条件を省きがちで、僕も正直この条件が必要なのか自信ないです…。)

@@VOICEROID-vd4cz あうち確かにそうですね… よく見たら松坂ではNを写像と書いてなくて、「各点xに対して空でない部分集合N(x)が定められ…」という風に書いてました。 また、感覚的にもN(x)が空でないことは必要だと思います(空集合がxの近傍なんて明らかにおかしいし、生成するOが位相にならない)。 なので写像の書き方をするなら、最初に言ったN:X→P(P(X))-{{∅}}とするか、条件に∀x∈X [∅∉N(x)] を入れるのが正確だと思います。

いや、まだ何か誤解している気がする…。 こういう時は先入観を排除して、徹底的に形式的に考えたほうが良さそうですね。 ちょっと腰を入れて考えてみます。

あ…ありがとうございます…😭全員にスベってないかと不安でした！

「3次方程式のガロア群」といったとき、どの体上で語るかで結論が変わり得ることに注意してください。(3次方程式の文脈で最小分解体がℚ上12次拡大になる例はちょっと僕は知らないです…) もしℚ係数の三次方程式の最小分解体のガロア群を指しているのであれば、その拡大次数は3!=6を超え得ません。 これはPart24やPart30あたりで話している…と思うのですが、方程式のガロア群はその最小分解体、すなわちℚに方程式の根をすべて添加した体のℚを固定する体自己同型がなす群です。とりもなおさず、この最小分解体に対してガロア群は3次方程式の最大3根の入れ替えしか起こさないので、ガロア群の元の個数は3!=6より大きくはなりません。 具体例でいえば、まさにPart21.1でどのようにガロア群を計算するのかかなり具体的に解説しましたので見て頂ければ！🙏 もし「一般の既約3次方程式のガロア群」が、係数を変数と見た所謂「一般方程式x³+a₁x²+a₂x+a₃=0」のことであれば、それは体ℚ(a₁,a₂,a₃)上の最小分解体Eのガロア群ということになっていて、それがS₃に一致します(これはPart38で示しています)。このEをℚ上の拡大と見なしてしまうと、いわゆる「超越拡大」となってしまい、拡大次数は無限になります。 ℚ(ω)から拡大を始めている参考書があるとのことですが、方程式をガロア理論で説明する上で、実際都合がいいからだと思います。これもPart24やPart32～37辺りで解説してるのですが、1の原始n乗根をℚに添加した体、いわゆる円分体はガロア拡大で、その上の代数拡大はとてもお行儀のよいものになります。ガロア群が巡回群になってくれます。

@@phd_zundamon 解説ありがとうございます。　さっそく観てみます。

あ、忘れてください。群で全単射なら環でも全単射と理解しました

F₁=ℚ(∛2, ζ₆)∍ω、F₂=ℚ(ω)みたいなときで合ってますかね？ (ζ₆は1の原始6乗根) ざっくりいうと、合成体は基礎となる体を揃えれば、生成元を統合したものになりますので、 この場合は F₁F₂=ℚ(∛2, ζ₆, ω)=ℚ(∛2, ζ₆)=F₁ (ω=ζ₆²なので)。 また、ほとんど当然F₁∩F₂=ℚ(ω)なので、この場合推進定理が言ってることは、 「F₁/F₁∩F₂=ℚ(∛2, ζ₆)/ℚ(ω)がガロア拡大ならば、F₁F₂/F₂=ℚ(∛2, ζ₆)/ℚ(ω)もガロア拡大」 ということになります。進次郎構文になっちゃいます。 F₁とF₂の役割を入れ替えて、F₁=ℚ(ω)、F₂=ℚ(∛2, ζ₆)とすると 「F₁/F₁∩F₂=ℚ(ω)/ℚ(ω)がガロア拡大ならばF₁F₂/F₂=ℚ(∛2, ζ₆)/ℚ(∛2, ζ₆)もガロア拡大」 となって、あんまり意味がない感じになります。 こういう時にはF₁とF₂の取り方を工夫して、例えば F₁=ℚ(ζ₆)、F₂=ℚ(∛2) ととれば F₁F₂=ℚ(∛2, ζ₆)、F₁∩F₂=ℚ なので、推進定理は 「ℚ(ζ₆)/ℚがガロア拡大ならば、ℚ(∛2, ζ₆)/ℚ(∛2)もガロア拡大」 となり、円分体がガロア拡大であることを知っていれば、推進定理からℚ(∛2, ζ₆)/ℚ(∛2)もガロア拡大であることが分かります。 ℚ(∛2, ζ₆)/ℚ(∛2)がガロア拡大なのは、そこまで自明には見えないので、まあ上手く使える例になるかと思います…。

@@phd_zundamon 解説ありがとうございます。　じっくり読んで考えてみます！

こちらこそご視聴ありがとうございます！！！！！

過去一頑張って作ったので、ありがたいです(*'ω'*)

極端な例ですが、G=Z(整数と足し算)、H=R(実数と足し算)としたとき、包含写像i:Z→Rは準同型ですが、Im(i)=Z≠Rです。 なので、Im(f)がHの部分群になるという命題はそこまで自明じゃないです。この命題の価値は「準同型が作れれば、Im(f)という部分群がHにあることが示せる」という点に尽きます。 部分群を直接見つけるよりも、準同型を作る方がラクな場合が多くて、例えばこの後3次対称群S_3にA_3という部分群があって巡回群になっていることを示したりするのですが、ZからS_3への準同型を作る方がラクです。

@@phd_zundamon 超速でのご回答ありがとうございます。なるほど。fはGをHに移す写像といっても、H全体に移すとは一言も言ってないところを勘違いしていたようです。準同型が群構造を伝播する「強さ」みたいなものを持っているというのも理解できました。

がんばって！！！！！！！！！！！！！

コメントありがとうございます！ ここで使える具体例は、対称群よりも、もしかすると整数と足し算のなす群(Z,+)とかかもしれないです。 > 「g∈G に対し、写像 l_g : G→G; x |→ gx を定義する」 > ここでいうgは、例えるなら (1,2), (1,3) のような入れ替え作用のようなものを考え、Gはxやgxを含む実数とか a1, a2などからなる集合？ > x |→ gx は例として、x= a1 - a2、g= (1,2) とすると、 gx = a2 -a1 のようになるものを抽象化した...のかな？ Gはシンプルに群でしかなくて、実数やa1,a2などは含まないです。 群には積が定義されているので、gとxがGの元ならば、gxもGの元ということで、gx∈Gです。 なのでl_gは本当にシンプルに「gというGの元をGの元に掛ける」という写像でしかないです。 対称群でいうと、例えばg=(1,2)、x=(1,3)とすると、l_g(x)=gx=(1,3,2)です。 他に、例えば整数と足し算の群(Z.+)で考えると l_3:Z→Z というのは、例えばl_3(1)=3+1=4、l_3(2)=3+2=5…みたいなものです。 xもシンプルにGの元でしかなくて、整数の例で言えば1とか2とかです。 > 写像に使われていたl_gの「上に」さらに写像が定義されたので、理解に苦戦しているかも。 > F: G →S(G); g |→ l_g について、例えば g = (1,2) , (1,3) などxに作用させていたもの？、l_gは x |→ gx のように入れ替えの作用っそのもので S(G)に含まれる？ S(G)が「GからGへの全単射」を集めた集合だということを機械的に使いましょう。 つまり、l_gは全単射なので、l_g∈S(G)です。 各gに全単射l_gが定まったので、この対応に「F」という名前を付けたにすぎません。 > この場合気になるのは、g∈Gでもあり、x∈Gでもあった、 > x= a1 - a2、g= (1,2)の様な例を考えると、これがどちらもGという同じ集合に含まれている？　gの考え方が違うのか...？ 一行目の理解で機械的に進めちゃってOKです！ どちらかというと「xの考え方」が誤っていて、Gを対称群と思う場合、二行目の x= a1 - a2はGの元ではないです。 モリモリ書いちゃったので、分からないところがあったらまたコメントお願いし〼🙏

@@phd_zundamon ありがとうございます。 確かに、群Gを、(Z, +)や (Q-{0}, ×)として、例示して紙に書いていったら少しずつイメージできるようになりました。 「g∈Gに対し、写像 l_g: G→G; x |→ gx を定義する」とl_gは全単射である(l_g^(-1)が逆写像) 解説05：「群」の定義と例、を見直すと、 S(A) := { f: A→A | fは全単射 } というように、S(A)は「写像の集合」であり、 この時点ではまだ「対称群」かどうかは述べていない。そして今回のは、fが l_gになっていますね。 「S(G) := {l_g: G→G} | l_gは全単射 」 ここで示しているのは★「群Gは群S(G)の部分群」。詳細を記載すると、 「群Gは、(l_g: G→Gのような写像l_gの集合S(G)について、写像の合成○との群 ( S(G), ○ )を考えると、これは群Gの部分群になる」 （抽象化して、写像をl_gと定義するか、写像の合成を○とするかは、★では特に問わない） ★から発展して、特に群Gが有限群（位数n）の場合、自然にS(G)がS_n (n次対称群)となる。 こんな感じかな～？ つくづく思います。 数学は抽象化を極めて、短い定義,法則,定理で、途轍もなく多くを物語る。言語の圧縮がすさまじい。 余談ですが、物理学でも似たことが。 高校物理の電磁気学で、別個で習った20~30の電流や磁場の公式は、最終的にMaxwell方程式4つに圧縮されるし、 Schrödinger方程式も、量子力学の究極の圧縮だし。 (当然、上記方程式だけで全ての問題解決はできないですが、かなり多くの場合に出発点となる)

@@ポン吉P S(G)についてはOKです！ 以下余談に関してですが、数学の一つの目標に「具体から抽象へ」という流れがあります（吉田武さんの「虚数の情緒」で見た気がします）。 以下、私見モリモリですみませんが… 多くの散逸した主張の中にある「共通した構造」に着目して、それを抽象化して取り出し、それだけによって多くの具体例を証明することができたら、その抽象化には価値があります。 群も元をたどれば「対称群」という具体的なものから始まり、「(Z,+)とか(Q-{0},×)も似てるな？正則行列の積とも似てるな？」みたいなものを集めて、それなりの時間をかけて「群の定義」が得られたんだと思います。そして、群の定義を満たすというだけで、準同型定理などの強力な主張が使えるようになるわけです。 数学者はそういった「努力の痕跡」を残したがらず、最後に見つけた抽象的な主張を論文の最初に持ってきて、裏で試行錯誤して綺麗に整えた証明だけ書いて、論文の最後に「例えばフェルマー予想が証明できます」みたいな感じで論理展開したがる傾向にある…気がします。初学者が数学書にアタックするときはそういう「数学者の癖」に慣れる必要があります。これは、解説してる以上、僕も気をつけねばなのですがね…