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Conheci técnicas de prova esse semestre numa disciplina do mestrado. Achei muito massa, e isso despertou mais meu interesse em aprofundar em matemática
Na primeira vez que vi indução , não entendi porcaria nenhuma kk, parecia magia . Quando fui estudar vi que na verdade era algo bem simples. Indução me ajudou muito a tirar da garganta o que eu queria dizer em algumas questões kkkk. Acho que o nome "indução" vem muito da ideia de resolver problemas usando indução mesmo. As vezes a propriedade que você quer provar tem de ser muito manipulada para poder "enxergar" a indução, talvez por isso, tenham decido "indução".
Sim, concordo! Você induz a ocorrência de uma cadeia de "eventos". Não é à toa que a analogia com o "efeito dominó" é muito usada: você derruba a primeira peça (no caso, o número zero) e, uma vez verificado previamente que, se qualquer elemento da fila de dominós for derrubado, o seguinte também será derrubado, então podemos deduzir que, uma vez derrubado primeiro dominó da fila, isso induzirá à derrubada de todo conjunto de dominós na fila. É claro que esta não é uma analogia que captura 100% da ideia por trás da Indução Matemática, porque, no "domínio do infinito", nossas intuições podem cair por terra. Daí a necessidade de recorrer aos axiomas (exigimos que os naturais tenham aquela propriedade do quinto axioma de Peano) para garantir que este processo funcione em um conjunto infinito de "dominós". Agora, como mencionado no vídeo, o termo "indução" também é usado para generalizar uma propriedade a partir da observação de uma grande quantidade de eventos, ideia essa que não condiz com o que de fato ocorre na Indução Matemática. Então já que o termo "indução" pode sofrer desta ambiguidade, alguns sugerem que seria melhor usar outro termo que melhor capture esta dedução a partir do axioma/teorema em questão.
Estudando manuais de filosofia, também cheguei à mesma conclusão: o princípio de indução é, na verdade, um processo dedutivo. "É duvidoso, entretanto, que haja aí uma verdadeira indução. Parece, antes, que lidamos com uma dedução, consistindo em aplicar indefinidamente uma propriedade verificada em um caso dado de construção numérica a números construídos do mesmo modo. Essa dedução poderia ser traduzida da seguinte forma: O que é verdade de n, o é de n+1. Ora, tal propriedade é verdade de n. Logo, é verdade de n+1." Tratado de Filosofia, tomo I, página 183.
Salve! Então, muito cedo para dizer algo sobre isso, mas meus interesses nos últimos tempos tem ido na direção de Fundamentos da Matemática, onde se usa muita lógica e Teoria dos Conjuntos. Por hora estou apenas "turistando", mas quem sabe no futuro eu estabeleça "moradia" definitiva nesta área.
Consideremos os 4 tipos principais de raciocínio: dedução, indução, analogia e abdução. Na minha cabeça, indução Matemática se vale por ex. de raciocínio por analogia. Se eu considerar que alguma propriedade vale para os casos base n = 1 ou n = 0 e depois mostrar que aquilo vale também para n + 1, isso para mim parece um raciocínio por analogia, valendo-se do expediente lógico-matemático da recursão. Mas como estou mostrando uma propriedade numérica que pode ser generalizada, isso envolve falar de leis e geralmente a dedução é baseada por leis que vão subsumir casos específicos. Mas no geral, as provas por indução tem certo "aspecto indutivo" mesmo, por isso o nome, embora isso seja muito mais no modo figurativo. Realmente nada tem a ver com o conceito comum de indução que vemos nos livros-texto de ciências naturais, onde uma consciência humana apreende fenômenos naturais e com base em sua arquitetura cognitiva, começa a esperar que mais casos parecidos com aqueles observados se manifestem mediante certas condições. Ademais, entender a indução é compreender profundamente três das áreas que considero de máxima relevância para os que se envolvem com matemática, a Teoria dos Números, Lógica matemática e Análise. No livro de Análise do Abott ele não entra nesse vespeiro e recomenda o estudo da Teoria Axiomática dos Números pra entender melhor os números naturais. Mas dado todo o imbróglio envolvido nesse tipo de tópico, talvez isso seja necessário, mas não suficiente.
Esclarecendo (mas de forma nada resumida) dois questionamentos feitos no vídeo: (1) Os termos "indução" e "indutivo" em Lógica Matemática não tem estritamente a ver com entendimento destes últimos em Filosofia. Referem-se ao processo que auxilia, de forma rigorosa, na dedução que estabelece a prova de uma propriedade sobre objetos de uma teoria matemática por meio de passos enumerados por algum (número) ordinal, no qual, em cada passo após o primeiro, verifica-se a propriedade supondo-se que nos passos anteriores tal propriedade já tenha sido verificada, com o primeiro passo sendo denominado de passo base (ou básico) e os passos após o primeiro sendo denominados de passos indutivos (no sentido que foi expresso anteriormente). Nos casos em que o ordinal que enumera todos os passos é maior que algum ordinal limite, há passos indutivos de dois tipos: sucessor e limite. Considerando o conjunto dos naturais (de von Neumann, caso os objetos da teoria matemática estejam formalizados dentro da Teoria dos Conjuntos ZF, de Zermelo-Fraenkel), este é formalmente o menor ordinal limite, e não há passos indutivos limites no processo de indução finita (ou seja, sobre os naturais). No entanto, para processos de induções transfinitas (isto é, sobre ordinais maiores que o menor ordinal limite), há tais passos para a prova de uma propriedade sobre ordinais de uma classe (conjunto ou não) fixada. (2) A sentença que estabelece o passo indutivo na prova por indução finita não diz que a propriedade que se quer provar é válida. O que ela estabelece é uma implicação material quantificada universalmente: Fixada uma propriedade (ou seja, uma sentença aberta) P sobre números naturais (isto é, numa variável n que assume ordinais finitos como valores), a sentença "para todo n natural, se P(n), então P(n+1)" não é logicamente equivalente à sentença a ser provada "para todo n natural, P(n)". Por exemplo, tome a propriedade P(n) := "0=0.n=1" e considere a sentença universal associada a P que estabelece o passo indutivo "para todo n natural, se 0=0.n=1, então 0=0.(n+1)=1". É claro que esta última é verdadeira (pois o antecedente do seu escopo é sempre falso nos naturais). Contudo, é obviamente falsa, nos naturais, a sentença universal "para todo n natural, 0=0.n=1". Para haver uma equivalência lógica, é necessário que haja a conjunção da sentença universal que estabelece o passo indutivo com a sentença que estabelece o passo base P(0) (ou P(m), sendo m o primeiro natural para o qual P é verificada). Portanto, o que o Princípio de Indução Finita (ou Matemática) realmente estabelece é, por exemplo, a equivalência lógica a seguir: "P(0) e, para todo n natural, se P(n), então P(n+1)" se, e somente se, "para todo n natural, P(n)". Por fim, note que isto é algo bastante similar (porém, mais "forte" em comparação) ao que estabelece a regra Modus (Ponendo) Ponens em Lógica Proposicional Clássica para quaisquer proposições p e q: "p e, se p, então q" implica q.
@@matematicaHobby, fico muito grato por suas palavras destinada a mim e te parabenizo por manter seu trabalho de divulgação científica sobre Filosofia, Lógica e Matemática aqui no RUclips. Caro Cloves, apesar da grande demora em responder à mensagem que enviou por e-mail para mim, enviei há pouco para você o que falta para responder toda a sua mensagem. Um abraço.
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Bom demais! Comecei a estudar demonstrações com o intuito de estudar o livro Algoritmos que tem como pré-requisito familiaridade com indução.
Algoritmos do Sedgewick ou do CLRS?
@@brunnocarvalho1941 Algoritmos do CLRS, eu não conhecia o livro do Sedgewick, ele é bom?
@@LucasSL.01 os dois são boas referencias, mas o CRLS usa pseudocode e o sedgewick usa o Java, e como meu foco ta na linguagem Java optei pelo Sed
Na disciplina fundamentos de aritmetica o professor demonstrou-se o PBO com indução
Na primeira vez que vi indução , não entendi porcaria nenhuma kk, parecia magia . Quando fui estudar vi que na verdade era algo bem simples. Indução me ajudou muito a tirar da garganta o que eu queria dizer em algumas questões kkkk.
Acho que o nome "indução" vem muito da ideia de resolver problemas usando indução mesmo. As vezes a propriedade que você quer provar tem de ser muito manipulada para poder "enxergar" a indução, talvez por isso, tenham decido "indução".
Sim, concordo! Você induz a ocorrência de uma cadeia de "eventos". Não é à toa que a analogia com o "efeito dominó" é muito usada: você derruba a primeira peça (no caso, o número zero) e, uma vez verificado previamente que, se qualquer elemento da fila de dominós for derrubado, o seguinte também será derrubado, então podemos deduzir que, uma vez derrubado primeiro dominó da fila, isso induzirá à derrubada de todo conjunto de dominós na fila.
É claro que esta não é uma analogia que captura 100% da ideia por trás da Indução Matemática, porque, no "domínio do infinito", nossas intuições podem cair por terra. Daí a necessidade de recorrer aos axiomas (exigimos que os naturais tenham aquela propriedade do quinto axioma de Peano) para garantir que este processo funcione em um conjunto infinito de "dominós".
Agora, como mencionado no vídeo, o termo "indução" também é usado para generalizar uma propriedade a partir da observação de uma grande quantidade de eventos, ideia essa que não condiz com o que de fato ocorre na Indução Matemática.
Então já que o termo "indução" pode sofrer desta ambiguidade, alguns sugerem que seria melhor usar outro termo que melhor capture esta dedução a partir do axioma/teorema em questão.
Estudando manuais de filosofia, também cheguei à mesma conclusão: o princípio de indução é, na verdade, um processo dedutivo.
"É duvidoso, entretanto, que haja aí uma verdadeira indução. Parece, antes, que lidamos com uma dedução, consistindo em aplicar indefinidamente uma propriedade verificada em um caso dado de construção numérica a números construídos do mesmo modo. Essa dedução poderia ser traduzida da seguinte forma:
O que é verdade de n, o é de n+1.
Ora, tal propriedade é verdade de n.
Logo, é verdade de n+1."
Tratado de Filosofia, tomo I, página 183.
Leia "Obsessão prima" (John Derbyshire) sobre a Hipótese de Riemann. Recomendo fortemente. Abs!
Clovis, na sua mentalidade de hoje, você quer se tornar um pesquisador de matemática na área de lógica?
Salve! Então, muito cedo para dizer algo sobre isso, mas meus interesses nos últimos tempos tem ido na direção de Fundamentos da Matemática, onde se usa muita lógica e Teoria dos Conjuntos. Por hora estou apenas "turistando", mas quem sabe no futuro eu estabeleça "moradia" definitiva nesta área.
Consideremos os 4 tipos principais de raciocínio: dedução, indução, analogia e abdução. Na minha cabeça, indução Matemática se vale por ex. de raciocínio por analogia. Se eu considerar que alguma propriedade vale para os casos base n = 1 ou n = 0 e depois mostrar que aquilo vale também para n + 1, isso para mim parece um raciocínio por analogia, valendo-se do expediente lógico-matemático da recursão. Mas como estou mostrando uma propriedade numérica que pode ser generalizada, isso envolve falar de leis e geralmente a dedução é baseada por leis que vão subsumir casos específicos. Mas no geral, as provas por indução tem certo "aspecto indutivo" mesmo, por isso o nome, embora isso seja muito mais no modo figurativo. Realmente nada tem a ver com o conceito comum de indução que vemos nos livros-texto de ciências naturais, onde uma consciência humana apreende fenômenos naturais e com base em sua arquitetura cognitiva, começa a esperar que mais casos parecidos com aqueles observados se manifestem mediante certas condições. Ademais, entender a indução é compreender profundamente três das áreas que considero de máxima relevância para os que se envolvem com matemática, a Teoria dos Números, Lógica matemática e Análise. No livro de Análise do Abott ele não entra nesse vespeiro e recomenda o estudo da Teoria Axiomática dos Números pra entender melhor os números naturais. Mas dado todo o imbróglio envolvido nesse tipo de tópico, talvez isso seja necessário, mas não suficiente.
Esclarecendo (mas de forma nada resumida) dois questionamentos feitos no vídeo:
(1) Os termos "indução" e "indutivo" em Lógica Matemática não tem estritamente a ver com entendimento destes últimos em Filosofia. Referem-se ao processo que auxilia, de forma rigorosa, na dedução que estabelece a prova de uma propriedade sobre objetos de uma teoria matemática por meio de passos enumerados por algum (número) ordinal, no qual, em cada passo após o primeiro, verifica-se a propriedade supondo-se que nos passos anteriores tal propriedade já tenha sido verificada, com o primeiro passo sendo denominado de passo base (ou básico) e os passos após o primeiro sendo denominados de passos indutivos (no sentido que foi expresso anteriormente).
Nos casos em que o ordinal que enumera todos os passos é maior que algum ordinal limite, há passos indutivos de dois tipos: sucessor e limite. Considerando o conjunto dos naturais (de von Neumann, caso os objetos da teoria matemática estejam formalizados dentro da Teoria dos Conjuntos ZF, de Zermelo-Fraenkel), este é formalmente o menor ordinal limite, e não há passos indutivos limites no processo de indução finita (ou seja, sobre os naturais).
No entanto, para processos de induções transfinitas (isto é, sobre ordinais maiores que o menor ordinal limite), há tais passos para a prova de uma propriedade sobre ordinais de uma classe (conjunto ou não) fixada.
(2) A sentença que estabelece o passo indutivo na prova por indução finita não diz que a propriedade que se quer provar é válida. O que ela estabelece é uma implicação material quantificada universalmente:
Fixada uma propriedade (ou seja, uma sentença aberta) P sobre números naturais (isto é, numa variável n que assume ordinais finitos como valores), a sentença "para todo n natural, se P(n), então P(n+1)" não é logicamente equivalente à sentença a ser provada "para todo n natural, P(n)".
Por exemplo, tome a propriedade P(n) := "0=0.n=1" e considere a sentença universal associada a P que estabelece o passo indutivo "para todo n natural, se 0=0.n=1, então 0=0.(n+1)=1". É claro que esta última é verdadeira (pois o antecedente do seu escopo é sempre falso nos naturais). Contudo, é obviamente falsa, nos naturais, a sentença universal "para todo n natural, 0=0.n=1".
Para haver uma equivalência lógica, é necessário que haja a conjunção da sentença universal que estabelece o passo indutivo com a sentença que estabelece o passo base P(0) (ou P(m), sendo m o primeiro natural para o qual P é verificada). Portanto, o que o Princípio de Indução Finita (ou Matemática) realmente estabelece é, por exemplo, a equivalência lógica a seguir:
"P(0) e, para todo n natural, se P(n), então P(n+1)" se, e somente se, "para todo n natural, P(n)".
Por fim, note que isto é algo bastante similar (porém, mais "forte" em comparação) ao que estabelece a regra Modus (Ponendo) Ponens em Lógica Proposicional Clássica para quaisquer proposições p e q:
"p e, se p, então q" implica q.
Salve Prof. Cirineu! Muito bom ver novamente seus comentários aqui no canal, enriquecendo com o conhecimento de quem atua na área. Um forte abraço! 😄
@@matematicaHobby, fico muito grato por suas palavras destinada a mim e te parabenizo por manter seu trabalho de divulgação científica sobre Filosofia, Lógica e Matemática aqui no RUclips.
Caro Cloves, apesar da grande demora em responder à mensagem que enviou por e-mail para mim, enviei há pouco para você o que falta para responder toda a sua mensagem.
Um abraço.