Derivation of the Heat Equation - Partial Differential Equations | Lecture 1
HTML-код
- Опубликовано: 6 фев 2025
- In this first lecture of the course we begin by deriving the heat equation. The purpose of this derivation is to show how partial differential equations can arise naturally to describe physical processes. We derive the heat equation for a one-dimensional rod using the conservation of heat energy, Fourier's Law, and other first-principles. The result is an explicit partial differential equation that we will work to understand and solve in the coming lectures.
Learn more about how the heat equation models chemical pollutants too: • Modelling Diffusion - ...
Lectures series on differential equations: • Welcome - Ordinary Dif...
More information on the instructor: hybrid.concord...
Follow @jbramburger7 on Twitter for updates.
best pde course ❤❤❤
outstanding lecture
After taking your Dynamical Systems course, it seems that dynamical systems can run forward and backward in time. But the forward (in time) Heat Equation and the backward (in time) Heat Equation are different. Is this true?
Yes, running PDEs backward in time is very problematic. For ODEs the standard existence and uniqueness theorems guarantee that solutions can be flowed both forward and backward (locally) in time. However, PDEs don't have these properties usually. One way to think of this is the fundamental solution of the heat equation that starts with a Dirac delta function at t = 0 and becomes a Gaussian for all t > 0. Try to imagine what would this solution would look like if we took t < 0, though. I can't... This is just a simple example, but it illuminates some technicalities without getting into the actual math.
@@jasonbramburger Thank you for your reply. I've heard it said that the only known law of physics that is NOT reversable in time is the 2nd Law of Thermodynamics, and from this we can relate the Arrow of Time with Entropy. BUT... your example contradicts this...Maybe??????
@@jeffreymolony2308 No my example does not contradict this. These things are not related to my knowledge.
Wow:)
SUDUT PANDANG FILSAFAT TENTANG TEORI KEBENARAN
Berdasarkan teori kebenaran dalam rumus tersebut adalah merupakan teori kebenaran consensus. Yang disepakati bersama sama. Belum mencakup kebenaran secara universal dalam kondisi ketebalan. Hal ini memungkinkan adanya proposisi yang bertentangan dengan obyek dan hasil saat dilakukan konfrontir.
Pahami Jenis teori kebenaran :
1. Teori Koherensi (The Consistence/Coherence Theory of Truth)
2. Korespondensi (The Corespondency Theory of Truth)
3. Pragmatisme (The Pragmatic Theory of Truth)
4. Teori Performatif
5. Teori consensus. Pendekatan teori kebenaran pada kasus ini masih bersifat kesepakatan para ilmuwan
Sumber-Sumber Pengetahuan :
1. Rasionalisme
2. Empirisme ( pada bagian ini saya belum melakukan pengujian fisik pada suhu material )
3. Kritisisme
4. Intuisisme
Secara umum kebenaran bersifat :
1. Rigid
2. Universal
3. Nonkontradiktif
4. Bisa dibuktikan
5. Radic
Quote philosophy :
It is with logic that one proves, it is with intuition that one invents ( Henri Poincare ).
My quote philosophy :
Matematika sanggup memprediksi kesalahan, namun belum sepenuhnya membuktikan kebenaran mutlak.
Vincencius Sufijan Hadi
Untuk bentuk bola
Saya hanya fokus pada perbandingan jari jari selubung bola terhadap ketebalan kulit bola. Yang mana perbandingan jari jari selubung bola terhadap ketebalan kulit bola = 1. Dengan persamaan umumnya adalah :
Q = - k. A(dT)/ (dR ).
Q = k. 4π R2.L (∆ T)/ ( R2 - R1 ).
Q = k. 4π R2.L (∆ T)/ ( R2 - R1 ). saya hanya focus pada persamaan yang huruf bold
Keberatan saya adalah :
1. R2 : R2 .- R1
R2 : R2 .- R1 ~ R2. R1 : R2 .- R1,
R2 = R2. R1
Komentar saya adalah bahwa R2 ≠ R1 x R2. R yang dimaksud adalah memiliki nilai yang sama, yaitu R x R.
Uraian penalaran :
R2 : R2 - . R1
R2 : R2 .- R1, untuk R2 = R x R.
R2 = R x R
R. R = R1 x R2 …???
R . R = R1 x R2, oleh karena R bernilai sama, maka R1 = R2. Penulisan ini akan bermasalah dengan persamaan :
Q = k. 4π R2.L (∆ T)/ ( R2 - R1 ), dimana R2 = R1.
Q = k. 4π R2.L (∆ T)/ ( R2 - R2 ).
Q = k. 4π R2.L (∆ T)/ ( 0 ).
Q = + ∞ … ???.
Alternatifnya adalah :
R2 : R2 - . R1 ,
R2 : R2 .- R1, untuk R2 = R x R.
(R . R}0.5 = ( R2 . R1 )0.5
R = ( R2 . R 1 )0.5 … ???.
Apakah jari jari selubung bola ( R ) adalah ( R2 . R1 )0.5 … ???
Jika demikian halnya. Apa yang bisa dijelaskan dari ( R2 .R1)0.5 secara visualisasi … ???.
Komentar saya adalah kesimpulannya R2 ≠ R1. R2
2. Saya akan paksakan bahwa R2 = R1. R2. untuk membuktikan keberatan saya. Selanjutnya dengan melakukan substitusi ke persamaan awalnya, saat R1 = 0. ( Solid ).
Q = - k. A(dT)/ (dR ).
Q = k. 4π R2.L (∆T)/ (∆R)
Q = k. 4π R2.L (∆T)/ ( R2 - R1 )
R1.adalah jari jari outer dan R2 adalah jari jari inner
R2 = R1.R2
Q = k. 4π R2.L (∆T)/ ( R2 - R1 ).
Q = k. 4π R2.L (∆T)/ ( R2 - R1 ). saya fokus pada persamaan yang hurufnya bold.
Bagaimana jika R1 bernilai 0 ?. Saya substitusikan rumus dasarnya.
Q = k. 4π R2.L (∆T)/ ( R2 - R1 ).
Q = k. 4π R1. R2.L (∆T)/ ( R2 - R1 ).
Q = k. 4π 0. R2.L (∆T)/ ( R2 - 0 ).
Q = k. 4π 0. .L (∆T)/ ( R2 ).
Q = k. 4π 0. .L (∆T)/ ( R2 ). Pada persamaan ini muncul 2 jawaban.
Dalam hal ini akan muncul 2 alternatif jawaban.
Q = k. 4π 0. L (∆T)/ ( R2 ), 0/R2 = 0,
Sehingga,
Q = 0 ( alternatif 1 ).
Komentar saya adalah apakah Q = 0 ???
Atau altenatif lainnya adalah
Q = k. 4π R2.L (∆T)/ ( R2 - R1 ), R2 = R1. R2
Q = k. 4π R1. R2.L (∆T)/ ( R2 - R1 ), 0 = R1
Q = k. 4π 0. R2.L (∆T)/ ( R2 - 0 ), R2 - 0 = R2
Q = k. 4π 0. L (∆T)/ ( R2 ).
Q = k. 4π 0. .L (∆T)/ ( R2 ), 0/R2 = 0 pindah ruas kiri
Q / 0 = k. 4π .L (∆T)
+∞ = k. 4π .L (∆T ), k. 4π.L adalah nilai konstan ( C ), sehingga
+∞ = C ((∆T ), sehingga,
+∞ = ( ∆T ), ∆T = T1 - T2
+∞ = T1 - T2, , T1 = +∞ dan T2 diketahui
+∞ = ( +∞ - T2 ), satuan sisi kiri adalah watt dan satuan sisi kanan temperature sehingga tidak boleh dikurangi.
+∞ = T1
+∞ = (∆T ), ∆T = ( +∞ - T2 ) ( alternatif 2 )
+∞ = T1, ∆T = ( +∞ - T2 )
+∞ = T1,
Komentar saya adalah apakah (∆ T ) = (+∞ ) atau (T1 ) = (+∞ ) ???
3. Apakah jari jari selubung bola dibanding ketebalan kulit bola pernah bernilai 1? Jika ditemukan rasio jari jari selubung bola terhadap ketebalan kulit bola memiliki nilai 1 , maka rumus yang digunakan perlu untuk dikaji ulang. Alasannya adalah jari jari selubung bola bergerak tidak linier terhadap ketebalan kulit bola. Sedangkan jari jari selubung bola bergerak berdasarkan fungsi hiperbola tertentu( tidak menyatakan garis linier. Yang bermakna R2 / ( R2 - R1 ) ~ R2 R1 ( R2 - R1 ).
Sehingga,
R / ( R2 - R1 ) = ( R2 R1 )0.5 / ( R2 - R1 ) adalah perbandingan jari jari selubung bola terhadap ketebalan kulit ( R2 - R1 ).
(R1 . R2 )0.5 / R2 -. R1 tidak pernah bernilai 1. Ditulis dalam persamaan adalah (R1 . R2)0.5 / R2 -. R1 ≠ 1.
Mari kita buktikan bahwa (R1 . R2)0.5 / R2 -. R1 = 1, jika bisa ditemukan , maka rumus sebelumnya harus dikaji ulang. Sebagai catatan bahwa saya akan paksakan bahwa R2 = R2. R1 dan R = ( R2 . R1)0.5. Sehingga perbandingan jari jari selubung bola terhadap ketebalan kulit bola ditulis dalam persamaan :
( R1 . R2 )0.5 / R2 -. R1 = 1 ……………. Persamaan 1
Q ` = k. 4π R2.L (∆ T)/ ( R2 - R1 ).
Q = k. 4π R1.R2.L (∆ T)/ tebal.
Fokus pada R2 / ( R2 - R1 ).
R2 / ( R2 - R1 )
R2 = R2. R1
( R2 )0.5 = ( R2. R1 )0.5
R = ( R2. R1 )0.5
Yang dicari adalah jari jari selubung bola terhadap ketebalan kulit bola.
R / ( R2 - R1 ) = 1, R = ( R2. R1 )0.5
( R2. R1 )0.5 / ( R2 - R1 ) = 1
( R2. R1 )0.5 = 1.( R2 - R1 )
( R2. R1 )0.5 = ( R2 - R1 )
( R2. R1 ) = ( R2 - R1 )2
( R2. R1 ) = ( R22 - 2 R2 . R1 + R12 )
( R22 - 2 R2 . R1 + R12 ) / ( R2. R1 ) = 1
R2 / R1 - 2 + R1 / R2 = 1
R2 / R1 + R1 / R2 = 1 + 2
R2 / R1 + R1 / R2 = 3, x R1 . R2
R22 + R12 = 3 R1 . R2
R22 - 3. R1 . R2 + R12 = 0
(R2 - 0.381969.R1 ) (R2 - 2.618031.R1 ) = 0
R2 - 0.381969.R1 = 0, harus memenuhi R2 > R1
R2 = 0.381969.R1
R2 : R1 = 0.381969 : 1, ternyata R2 < R1. Persamaan ini tidak bisa digunakan.
Dan berikutnya adalah persamaan yang ke dua
R2 - 2.618031.R1 = 0
R2 = 2.618031.R1
R2 : R1 = 2.618031 : 1, persamaan yang digunakan adalah :
(R2 - 2.618031.R1 ), memenuhi R2 > R1.
Jadi untuk sembarang R2 ( outer ) akan selalu memenuhi persamaan
( R1 . R2 )0.5 / R2 -. R1 = 1, saat R2 : R1 = 2.618031 : 1
R2 : R1 = 2.618031 : 1, adalah rasio outer terhadap inner
( R1 . R2 )0.5 / R2 -. R1 = 1, Kembali pada persamaan ( 1 ).
R2 = 2.618031
R1 = 1
( 1. .2.618031 )0.5 / 2.618031 -. 1 = 1.
Adalah suatu keadaan dimana panjang jari jari selubung bola terhadap panjang jari jari bola memilki panjang yang sama. Hal ini tidak pernah terjadi. Alasannya adalah jari jari selubung bola bergerak tidak linier terhadap jari jari bola. Sedangkan luas kulit bola bergerak berdasarkan fungsi hiperbola tertentu( tidak menyatakan garis linier).
Namun demikian untuk kasus perpindahan panas konduktor aliran steady state bentuk silinder dan bentuk bola. Ada syarat lain yang harus diikutii. Yaitu nilai jari jari selubung terhadap ketebalan bola harus selalu bernilai lebih dari 1. Mengapa harus selalu bernilai lebih dari 1 ? hal ini disebabkan adanya perubahan luas penampang yang tidak bergerak linier terhadap jari jari silinder maupun bentuk bola.