В любой непонятной ситуации искать подобие! Верхний треугольник подобен большому, а дальше какой-то господин уже решил по такому методу, поэтому ладно Спасибо за задачу!
Канал-то неплохой, только слушатель глухой. Чтобы быть первым, нужно обогнать Борю Трушина. Обогнать Борю - это утопия! Но приблизиться можно: решите задачку с его канала. "Квадрат вписан в прямоугольный треугольник, ботай со мной ..." Она была в тестовых задачах и МНОГИМ(!) показалась трудной.
Верхний "чердак" подобен общему треугу, а значит, его высота относится к основанию так же, т. е. 1:2. А общая высота складывается из малой высоты и малого же основания (ибо стороны квадрата равны), т. е. 3=h+2h=3h⇔h=1. Значит, сторона квадрата а=2h=2⇔S=a²=2²=4.
я предложу решение, которое вряд ли понравится Маэстро... надо двинуть квадрат влево до упора, получим кв вписанный в прямоуг с катетами 3 и 6... тангенс правого угла 1/2... сторона кв а... тогда а/(6-а)=1/2...а=2...S=4
Для того, что бы найти сторону квадрата вписанного в треугольник нужно разделить высоту на отрезки, пропорциональные отношению высоты к основанию: если высота относится к основанию как 3/6=1/2, то высоту нужно разделить на отрезки которые относятся как х/2х, откуда сразу найдём х=1 и сторону квадрата 2х=2
Если из площади треугольника вычесть площадь малых треугольников, то получим площадь квадрата. Пусть х -сторона квадрата . 6*3/2-x(6-x)/2-х(3-х)/2=х², 18=9х, х=2, S =4
Вывод, который необходимо (и легко!) запомнить: наибольший пр-к, вписанный на сторону ЛЮБОГО тр-ка - это такой, отношение сторон которого = отношению основания тр-ка к его высоте. "Губки бантиком, бровки домиком" (известный шлягер): если сложить жёлтые внутрь по сторонам зелёного, то получится, в зависимости от степени сложения, либо бантик (конверт), либо коробочка (домик) 😁.
Простая ситуация. Берём отрезок длиной 6 и слева строим квадрат со стороной 2. Через правый верхний угол квадрата проводим сторону тр--ка до пересечения с параллельной основанию прямой(на расстоянии 3) Вот и все! Это предел,когда ещё можно вписать такой квадрат.Дальше--все! А это будет как раз если угол А прямой
два момента вторую половину удобней решать не через максимум прямоугольника, а через минимум огрызков а без производной -- никак ? ну типа пришол Архимед какой и хрясь ножницами -- получи готовый ответ
б) Площадь большого треугольника S=ah/2. Верхний треугольник подобен большому a1=ka, h1=kh. Площадь прямоугольника ka(h-kh)=ah(k-kk)=2S(k-kk), то есть функция от коэффициента подобия f(k). Производная f'(k)=2S(1-2k), в точке максимума f'(k)=0, то есть 1-2k=0, k=1/2. Наибольшая площадь прямоугольника f(1/2)=2S(1/2-1/4)=S/2, то есть (3×6/2)/2=4,5
Извиняюсь, это я не прав. Просто я по картинке ролика быстренько решил 1-ю задачу, а то, что есть задача с прямоугольником, даже и не подозревал. (Сам ролик я не открывал)
Складываем треугольники внутрь прямоугольника, и становится очевидно что наименьшая площадь треугольников (соответственно наибольшая площадь прямоугольника) будет когда они в точности покрывают прямоугольник, не перекрываясь и не выступая за его пределы. Если добавить немного аффинной геометрии (преобразование сдвига), станет понятно что и параллелограмм, вписанный так что одна из его сторон лежит на стороне треугольника, будет иметь наибольшую площадь когда хотя бы две его вершины совпадают с серединами сторон треугольника.
А может быть в условии задачи потеряно условие, что треугольник должен быть остроугольным как минимум? Так как я могу привести пример треугольника с основанием 6 и высотой 3, но площадь вписанного квадрата не будет 2. Тупоугольный при основании, например.
Но тогда , в тупоугольном, например, чтобы квадрат был вписанным, он должен касаться верхними вершинами двух сторон,т.е. одна из сторон квадрата будет лежать на длинной стороне тр-ка и опять придем к тому же решению
Давайте разберемся. Берём тр--с тупым углом при основании(условию задачи это не противоречит. При достаточно большом угле тр--получится настолько "узким"что квадрат со стороной 2 туда не "влезет"
/ @chilokolich3971 1 год назад Вообще, задачка - бриллиант. И давалась она в 3 классе! И не важно, что некоторые лысые пифагорийцы с плохим вкусом так не считают. Вот "древнее" решение от Греки: \\ Galina Dynnikova 3 месяца назад Есть более короткий способ нахождения минимальной площади. Представим, что рассматриваемый треугольник вырезан из бумаги. Сложим его по линиям, являющимся сторонами прямоугольника. Правый белый треугольничек ляжет на прямоугольник целиком, а верхний, в случае а < 4 будет выступать за границы прямоугольника. Щели между сложенными треугольниками не будет, так как сумма углов сложенных треугольников в правой верхней точке прямоугольника равна 90 градусов. Выступающий треугольник будет прямоугольным с катетами 4-х и у-3. Площадь всего треугольника S равна удвоенной площади прямоугольника (а она равна 12) плюс площадь выступающющего треугольничка, т.е. S=24+s, где s=(4-х)(у-3)/2 . При х=4, s=0 и S минимальна S=24 \\ /
Люблю такие лекции-разборы! Спасибо!
Доброе утро и хорошего дня.
Спасибо за задачу
В любой непонятной ситуации искать подобие!
Верхний треугольник подобен большому, а дальше какой-то господин уже решил по такому методу, поэтому ладно
Спасибо за задачу!
Канал-то неплохой, только слушатель глухой.
Чтобы быть первым, нужно обогнать Борю Трушина.
Обогнать Борю - это утопия!
Но приблизиться можно:
решите задачку с его канала.
"Квадрат вписан в прямоугольный треугольник, ботай со мной ..."
Она была в тестовых задачах и МНОГИМ(!) показалась трудной.
Верхний "чердак" подобен общему треугу, а значит, его высота относится к основанию так же, т. е. 1:2. А общая высота складывается из малой высоты и малого же основания (ибо стороны квадрата равны), т. е. 3=h+2h=3h⇔h=1. Значит, сторона квадрата а=2h=2⇔S=a²=2²=4.
я предложу решение, которое вряд ли понравится Маэстро... надо двинуть квадрат влево до упора, получим кв вписанный в прямоуг с катетами 3 и 6... тангенс правого угла 1/2... сторона кв а... тогда а/(6-а)=1/2...а=2...S=4
Для того, что бы найти сторону квадрата вписанного в треугольник нужно разделить высоту на отрезки, пропорциональные отношению высоты к основанию: если высота относится к основанию как 3/6=1/2, то высоту нужно разделить на отрезки которые относятся как х/2х, откуда сразу найдём х=1 и сторону квадрата 2х=2
Благодарю.
Если из площади треугольника вычесть площадь малых треугольников, то получим площадь квадрата. Пусть х -сторона квадрата . 6*3/2-x(6-x)/2-х(3-х)/2=х², 18=9х, х=2, S =4
Вывод, который необходимо (и легко!) запомнить: наибольший пр-к, вписанный на сторону ЛЮБОГО тр-ка - это такой, отношение сторон которого = отношению основания тр-ка к его высоте.
"Губки бантиком, бровки домиком" (известный шлягер): если сложить жёлтые внутрь по сторонам зелёного, то получится, в зависимости от степени сложения,
либо бантик (конверт), либо коробочка (домик) 😁.
Простая ситуация.
Берём отрезок длиной 6 и слева строим квадрат со стороной 2.
Через правый верхний угол квадрата проводим сторону тр--ка до пересечения с параллельной основанию прямой(на расстоянии 3)
Вот и все!
Это предел,когда ещё можно вписать такой квадрат.Дальше--все!
А это будет как раз если угол А прямой
два момента
вторую половину удобней решать не через максимум прямоугольника, а через минимум огрызков
а без производной -- никак ? ну типа пришол Архимед какой и хрясь ножницами -- получи готовый ответ
Мое решение первой части: Площадь большого треугольника S=0,5*6*3=9, потом складываю все четыре площади: три треугольника и квадрат и приравниваю к 9.
б) Площадь большого треугольника S=ah/2. Верхний треугольник подобен большому a1=ka, h1=kh. Площадь прямоугольника ka(h-kh)=ah(k-kk)=2S(k-kk), то есть функция от коэффициента подобия f(k). Производная f'(k)=2S(1-2k), в точке максимума f'(k)=0, то есть 1-2k=0, k=1/2. Наибольшая площадь прямоугольника f(1/2)=2S(1/2-1/4)=S/2, то есть (3×6/2)/2=4,5
A у меня S=4. Кто-то неправ.
Извиняюсь, это я не прав. Просто я по картинке ролика быстренько решил 1-ю задачу, а то, что есть
задача с прямоугольником, даже и не подозревал. (Сам ролик я не открывал)
Решать эту задачу через производную это суперкреативно, даже круче, чем изобрести устройство для запирания гроба изнутри
Складываем треугольники внутрь прямоугольника, и становится очевидно что наименьшая площадь треугольников (соответственно наибольшая площадь прямоугольника) будет когда они в точности покрывают прямоугольник, не перекрываясь и не выступая за его пределы. Если добавить немного аффинной геометрии (преобразование сдвига), станет понятно что и параллелограмм, вписанный так что одна из его сторон лежит на стороне треугольника, будет иметь наибольшую площадь когда хотя бы две его вершины совпадают с серединами сторон треугольника.
Да, это классная идея. С этой задачи и вашего "просто праздник какой-то" все и началось. Спасибо вам.
из подобия треугольников сторона квадрата 2, площадь 4; максимальная площадь прямоугольника 4,5;
А может быть в условии задачи потеряно условие, что треугольник должен быть остроугольным как минимум?
Так как я могу привести пример треугольника с основанием 6 и высотой 3, но площадь вписанного квадрата не будет 2. Тупоугольный при основании, например.
Но тогда , в тупоугольном, например, чтобы квадрат был вписанным, он должен касаться верхними вершинами двух сторон,т.е. одна из сторон квадрата будет лежать на длинной стороне тр-ка и опять придем к тому же решению
@@sv6183 А, точно. Обеих же надо касаться.
Давайте разберемся.
Берём тр--с тупым углом при основании(условию задачи это не противоречит.
При достаточно большом угле тр--получится настолько "узким"что квадрат со стороной 2 туда не "влезет"
Со второго просмотра, но все понял.Спасибо.
Так и нужно. Медленный ролик смотреть не будут. Темп высокий.
средняя линия!! какое коварство!! )
/Задачи бывают разные: розовые, зелёные, жёлтые.
Все важные,
но есть важнее!
(чьи слова?)
Задача из Кишинёва, миллион +
2000 просмотров./
/
@chilokolich3971
1 год назад
Вообще, задачка - бриллиант. И давалась она в 3 классе! И не важно, что некоторые лысые пифагорийцы с плохим вкусом так не считают. Вот "древнее" решение от Греки:
\\
Galina Dynnikova
3 месяца назад
Есть более короткий способ нахождения минимальной площади. Представим, что рассматриваемый треугольник вырезан из бумаги. Сложим его по линиям, являющимся сторонами прямоугольника. Правый белый треугольничек ляжет на прямоугольник целиком, а верхний, в случае а < 4 будет выступать за границы прямоугольника. Щели между сложенными треугольниками не будет, так как сумма углов сложенных треугольников в правой верхней точке прямоугольника равна 90 градусов. Выступающий треугольник будет прямоугольным с катетами 4-х и у-3. Площадь всего треугольника S равна удвоенной площади прямоугольника (а она равна 12) плюс площадь выступающющего треугольничка, т.е. S=24+s, где s=(4-х)(у-3)/2 . При х=4, s=0 и S минимальна S=24 \\
/
Задача показалась несложной. S=4
Условие непонятно.Тр--ков с таким основанием и высотой бесконечно много.Соотв.и квадраты будут разные.
ОДИНОКОВЫЕ! В том и фокус. Я же об этом говорю в ролике.
А если треугольник тупоугольный?
Да, с тупым углом при основании! Но тогда вписать квадратик таким образом нельзя.