현직 입시학원 고등부 수학강사입니다. 고1 강의시간에 {(1+i)/루트2}^2 = i , {(1-i)/루트2}^2 = -i 두 식은 너무나도 자주나오는 형태라서 왜 계산결과가 그렇게 나오는지 유도몇번 해주고 암기를 시켰었는데, 영상 썸네일의 "루트 i" 를 보고 "제곱해서 i 가 나오는 수" 로 알고 있었음에도, 바로 답이 안떠오르고 "뭔가 복소수중에 있기야 하겠지" 하는 마음에 들어왔다가 제가 너무 주입식 교육을 하고 있었구나 하고 반성을 하게 되네요ㅠㅠ. 좋은영상 감사합니다.
root(i) 라는 수학적 표현은 존재하지 않는다. 정의 자체가 안 되어있다. root 라는 심볼은 실근에서만 쓸 수 있음. 예를들면, x^3 =8을 만족하는 x값은 세개가 있는데, 이 세개를 (실근 허근 모두를 포함하여) 8의 세제곱근이라 부르고, 그 중에서 인것 만을 3root(8) 이라 쓰기로 약속한 것임. 따라서 root(i)를, 백번 양보해서 x^2= i 를 만족하는 근을 찾으라는 의미로 받아들여 줄 수는 있다 하더라도 root(i)는 정의 되어 있지 않은 표현법임을 반드시 알고 있어야 함. 특히 수학 입시 관련 종사자들은 필수. 안그러면 무식하단 소릴 듣게됨.
다른 루트들은 정의에 의해 값이 오직 하나 정해지는 반면에(홀수차수일때는 실근, 짝수차수일때는 실근 중 양수로 정의) 루트i는 'x^2=i의 근'을 의미한다고 보고 위 방정식을 풀면 결국 값이 두 개가 나오는데 그 중 루트i라고 하는 수를 어떤 것으로 할 것인지 정의를 해놓지 않았다는거죠? 루트i가 어떤 복소수를 가리킬텐데 그 값이 하나가 아닌 것이 조금 걸리던 와중에 님 댓글을 보게 되었는데 이렇게 이해하면 되는건가요?
@@문상민-n3k 두개의 질문에 대답은 모두 아니요 입니다. 준식의 근은 모두 허근으로, 이 두근을 복소수 표현법으로 쓰면 그냥 그게 끝. 정의 되어 있지도 않은 root(i)라는 표현에다 두개 허근 중 어느것을 선택할까? 라는 것은 이미 모순임. 다시 강조하지만, root(i) 라는 표현은 세상 그 어느 수학책에서도 찾아 볼 수 없음.
루트i가 허수일 것이라는 전제를 갖고 루트i=a+bi로 풀었는데 전제가 맞다는 것은 어떻게 알 수 있나요? 제가 학원에서 수학 가르쳐주는 알바를 하고 있는데 그 학원 문제 풀이에 루트i는 허수가 아닌 전혀 다른 수로 생각하여 문제를 풀었습니다. 물론 저도 전혀 다른 무언가로 생각하는 것이 맞는지 몰라서 학원 풀이가 아닌 다른 풀이를 알려주긴 했습니다. 그 경험이 있는지라 전제에 대해 더 궁금증이 생기네요.
공학수학에서 짤막하게나마 배웠는데, square root함수라는 것 자체가 쓸 때는 루트i지만 애초에 제곱해서 i가 되는 수를 출력하는 다가함수로 알고 있습니다. x하나에 y가 여러개가 대응되는 다가함수입니다. ln함수도 양의 실수에서는 함수지만 음수를 넣은 ln(-1)도 값이 여러개 나오듯이요. 제곱해서 i가 되는 수는 복소수임을 예상 할 수 있는 것은 복소수가 사칙연산에 대해 닫혀있기 때문인 것 같습니다.
추가로 허수의 제곱근은 실수의 제곱근과는 조금 다릅니다. 예를 들어 루트4의 경우에는 그냥 2가 나오지만(4의 양의 제곱근) 허수의 경우에는 항상 플러스 마이너스 값을 동시에 가져요. 같은 방식으로 다른 루트(순허수가 아닌 허수)를 구해보더라도 항상 값이 두개인 것을 확인할 수 있습니다!
이게 허수에는 일단 양수 음수 개념이 없기 때문에 둘 다 i의 제곱근으로 인정을 합니다. 복소평면에 나타내보아도 제곱해서 i를 나타내는 동경은 두가지로 나오구요. 다른 댓글 중에서 루트 안에 i는 애초에 들어갈 수 없다고 이야기하시는 분도 계신데 외국 영상들을 보면 또 그렇게 써서 값을 구해내기도 하더라구요😅
루트는 정말 신비합니다 ^^ 피타고라스 학파가 살인까지 불사할 만큼 ㅋ 특히 루트2. 루트3은 곱하면 소수가 나오고 어쨋건 1.414 등 대충 무한소수가 나오는데 그걸 루트 외에는 표현할 길이 없으니 ㅋ 만날 수학외에 쓸데없는 소리를 해서 죄송한데요 ㅋ 전기 공부하면 저 신비한 루트3을 지긋 지긋 하게 만납니다. 삼상사선식 에서 상전압과 선간전압의 차이가 루트3 인데 그거 외에도 가끔 루트3이 신비하게 튀어나와요 ^^ 그래서 학원에서 모르면 루트3 쓰라고 강조했었죠.
또한 허수i. 의 개념을 빌려와서 전기에서 무효전력 개념으로 설명 했죠 ^^ 단 구별하기 위해서 j로 씁니다. ^^ 그래서 전기는 유효전력과 무효전력이 공존하기에 복소수가 기본이에요^^ 보통 a+bj 같은 ㅋ 전기는 그 자체가 하나의 우주이고 그 우주는 수학으로 만들어 졌음을 알려주죠 ㅋ
항상 댓글에 전기이야기를 남김에도 친절하게 받아주셔서 감사합니다^^ 사실 허수야 말로 전기의 성질을 표현한 수 이거든요. 제곱하면 양수가 되는 세상에서 제곱하면 음수가 튀어나오는 희안한 수 ^^ 그런 어떤 논리 속에만 있던 가상의 수가 전기의 성질을 잘 표현합니다.^^ 전기는 이른바 정방향+ 으로 뿐 아니라 역방향 - 로도 흐르는데 이 방향에 따라 성질이 달라집니다. ^^ 그러니 제곱하여 정방향으로 흐르는 양의 전기값도 필요하고 제곱하여 역방향으로 흐르는 음의 전기값도 필요하게 된 것이고 이걸 알게된 전기학자 들이 몇날 몇일 싸매다가 ''어? 이거 허수 잖아!'' 라고 개념을 정리하거죠.
현직 입시학원 고등부 수학강사입니다.
고1 강의시간에 {(1+i)/루트2}^2 = i , {(1-i)/루트2}^2 = -i 두 식은 너무나도 자주나오는 형태라서 왜 계산결과가 그렇게 나오는지 유도몇번 해주고 암기를 시켰었는데, 영상 썸네일의 "루트 i" 를 보고 "제곱해서 i 가 나오는 수" 로 알고 있었음에도, 바로 답이 안떠오르고 "뭔가 복소수중에 있기야 하겠지" 하는 마음에 들어왔다가 제가 너무 주입식 교육을 하고 있었구나 하고 반성을 하게 되네요ㅠㅠ. 좋은영상 감사합니다.
저는 루트i라는 존재에 대해 아무 생각 없이 살다가 우연히 어디에서 보고 영상을 한번 만들어봤습니다 ㅎㅎ영상 봐주시고 좋은 댓글까지 남겨주셔서 너무 감사합니다!^^
수학의 매력이 이런것입니다
이차방정식을 배울때 중학교때는 판별식이 0보다 작으면 근이 없다라고 했는데 고등학교 오니 허수가 생기고 대학교로 가면 허수의 루트가 생기네요 ㅎ
세계관이 계속 확장되고 있죠 ㅎㅎ드래곤볼 같다고나 할까요?^^
알려줘서 고맙습니다
저도 시청해주셔서 감사합니다^^
와우 복소수 공부할때 루트i는 불가능하다라고 생각하며 풀었는데 표현 가능했군요! 오늘도 좋은 영상 감사합니다
고등학교 과정에서 루트i를 다루진 않기 때문에 그렇게 생각하실 수 있어요^^저도 시청해주셔서 감사합니다!^^
엄밀히말하면i의 제곱근은 정의 가능하지만 루트i(제곱근 i)는 양의 제곱근을 일컫는 말이라서 양수인지 따질 수 없을거같아요
@@jangbang1986 맞는 말씀입니다^^이미 허수이기 때문에 양수 음수라고 정의 자체가 불가능하죠^^
루트 i는 이미 알고 있었는데 루트 루트 i가 궁금하네요...풀 수 있는걸까요? 풀 수 있더라도 4차방정식의 해라 좀 복잡하려나요?
@@별빛-k9q 루트 루트i는 여덟제곱하면 -1이 되는 거잖아요 따라서 cos(pi/8)+isin(pi/8)일 겁니다. cos(pi/8) 은 (sqrt6+sqrt2)/4고 sin(pi/8)은 (sqrt6-sqrt2)/4이므로 대입하시면 되요 복소평면 생각하시면 편합니다
복소평면에서 단위원에서의 회전으로 설명할 수 있는 방법이 제일 깔끔하긴 한 거 같네요 ㅋㅋㅋ
맞습니다👍근데 중고등학생들이 주 대상이라서요😊
@@cakemath 그쵸... 중고등학생은 무조건 방정식의 근으로 설명할 수 밖에 없는거라 영상에 나온 방법이 최선인 거 같습니다
복소수의 극좌표형식으로도 계산 가능
복소수Z=a+bi=R(cosθ + isinθ)
Z^n=(a+bi)^n=(R^n){cos(nθ) + isin(nθ)}
R : 복소수Z의 절대값(0 또는 양의 실수값만 존재)
θ : 복소평면에서의 각도
n : 실수
맞습니다^^단위원 위에서 두개의 세타값을 구할 수 있죠!
@@cakemath 넹...
오오 이거 옛날부터 궁금했던건데 마땅한 영상이 없어서 아쉬웠는데 여기 있었네요..!! 대박입니다
사실 이 부분에 대해서 좀 논란이 있기는 해요 ㅎㅎ 루트 안에 허수가 들어갈 수 없다는 의견도 있구요. 근데 외국 인도 형들 보면 이거 설명해놓았는데 다들 이렇게 했더라구요😊
root(i) 라는 수학적 표현은 존재하지 않는다. 정의 자체가 안 되어있다.
root 라는 심볼은 실근에서만 쓸 수 있음. 예를들면, x^3 =8을 만족하는 x값은 세개가 있는데, 이 세개를 (실근 허근 모두를 포함하여) 8의 세제곱근이라 부르고, 그 중에서 인것 만을 3root(8) 이라 쓰기로 약속한 것임.
따라서 root(i)를, 백번 양보해서 x^2= i 를 만족하는 근을 찾으라는 의미로 받아들여 줄 수는 있다 하더라도 root(i)는 정의 되어 있지 않은 표현법임을 반드시 알고 있어야 함. 특히 수학 입시 관련 종사자들은 필수. 안그러면 무식하단 소릴 듣게됨.
오 좋은 지식 감사합니다😊👍
다른 루트들은 정의에 의해 값이 오직 하나 정해지는 반면에(홀수차수일때는 실근, 짝수차수일때는 실근 중 양수로 정의) 루트i는 'x^2=i의 근'을 의미한다고 보고 위 방정식을 풀면 결국 값이 두 개가 나오는데 그 중 루트i라고 하는 수를 어떤 것으로 할 것인지 정의를 해놓지 않았다는거죠? 루트i가 어떤 복소수를 가리킬텐데 그 값이 하나가 아닌 것이 조금 걸리던 와중에 님 댓글을 보게 되었는데 이렇게 이해하면 되는건가요?
@@문상민-n3k 두개의 질문에 대답은 모두 아니요 입니다. 준식의 근은 모두 허근으로, 이 두근을 복소수 표현법으로 쓰면 그냥 그게 끝. 정의 되어 있지도 않은 root(i)라는 표현에다 두개 허근 중 어느것을 선택할까? 라는 것은 이미 모순임.
다시 강조하지만, root(i) 라는 표현은 세상 그 어느 수학책에서도 찾아 볼 수 없음.
뭔지는 뭐르겠는데 쭉 듣게 됨ㅎ
쭉 들어주셔서 너무 감사합니다😊
하나. x^2=i의 해 둘중 하나가 루트i이다
둘. 이는 복소수 규칙에 의거해서 a+bi의 꼴로 나타낼 수 있다.
셋. a,b를 각 미정계수로 놓고 계산하여 루트i를 나타낼 수 있을 것이다.
수학이 숫자가 아니라 논리학이라는걸 고등학교떄 알았어야했는데..
ㅎㅎ그래서 오히려 성인이 되면 수학이 재밌다고 하는 사람들이 많은가봐요😊
루트i가 허수일 것이라는 전제를 갖고 루트i=a+bi로 풀었는데 전제가 맞다는 것은 어떻게 알 수 있나요?
제가 학원에서 수학 가르쳐주는 알바를 하고 있는데 그 학원 문제 풀이에 루트i는 허수가 아닌 전혀 다른 수로 생각하여 문제를 풀었습니다. 물론 저도 전혀 다른 무언가로 생각하는 것이 맞는지 몰라서 학원 풀이가 아닌 다른 풀이를 알려주긴 했습니다.
그 경험이 있는지라 전제에 대해 더 궁금증이 생기네요.
공학수학에서 짤막하게나마 배웠는데, square root함수라는 것 자체가 쓸 때는 루트i지만 애초에 제곱해서 i가 되는 수를 출력하는 다가함수로 알고 있습니다. x하나에 y가 여러개가 대응되는 다가함수입니다. ln함수도 양의 실수에서는 함수지만 음수를 넣은 ln(-1)도 값이 여러개 나오듯이요. 제곱해서 i가 되는 수는 복소수임을 예상 할 수 있는 것은 복소수가 사칙연산에 대해 닫혀있기 때문인 것 같습니다.
전제라기보다 처음에 복소수라는 가정에서 시작을 했죠😊가정->모순이 없으면 참. 모순이 있으면 거짓. 이렇게 결론지으면 되니까요^^
루트i를 찾기 시작해서 답이 두개나왔는데 root i는 하나의 값으로 나외야 하잖아요
근데 따지고 보면 제곱해서 i가 나오는 두 수를 찾은거니 둘중하나는 root i 나머지 하나는 -root i 일거같은데 어느게 root i인가요?
일단 제곱근의 개념으로 생각하면 제곱해서 i가 나오는 수가 루트i 니까 제곱해서 i가 나오는 수가 두개라고 볼 수 있겠네요. 그리고 복소평면상에서 단위원 위에서 루트i에 대응하는 세타값은 45도와 225도 두개가 나오게 됩니다. 둘 다 루트i입니다.😊
추가로 허수의 제곱근은 실수의 제곱근과는 조금 다릅니다. 예를 들어 루트4의 경우에는 그냥 2가 나오지만(4의 양의 제곱근) 허수의 경우에는 항상 플러스 마이너스 값을 동시에 가져요. 같은 방식으로 다른 루트(순허수가 아닌 허수)를 구해보더라도 항상 값이 두개인 것을 확인할 수 있습니다!
ruclips.net/video/W3M0VRo1_qQ/видео.html 여기에 이에 대한 설명이 있습니다😊
그럼 루트i는 하나로 결정되지 않는 복소수인가요?
@@강지운-v7i 네 두개의 값을 가지는 복소수라고 생각하시면 됩니다^^
e의 i pi/4 제곱 으로도 표현할 수 있네요
루트i를 쉽게풀면 일단 오일러공식이라고 e^ix=cosx+isinx을 알아야하는데 이는너무길어 일단 이렇게 보고 오일러공식에 x에 ㅠ/2을 대입하면 e^iㅠ/2=i가됍니다 그럼 루트i는 (e^iㅠ/2)^1/2=e^iㅠ/4가됍니다 이제이걸 오일러 공식으로풀면 cosㅠ/4+isinㅠ/4=루트2/2+루트2/2i가됍니다
참쉽죠!?
좋은 말씀 감사합니다! ㅎㅎㅎ😊👍
2ab=1 여기서 이미 a가 0이 아닌데 ㅎㅎ
실수들의 곱이 0이 아니니까요
아 맞네요 ㅋ⫬ㅋ⫬ㅋ⫬ㅋ⫬ㅋ⫬ㅋ⫬🤣
@@cakemath a=0이면
b가 복소수라는 말이 되죠...
@@이재준-f9y3i 첨에 a, b는 실수라는 조건이 있었거든요^^;
(A)^0.5의 값은 X^2=A인 X가 여러개임에도 하나로 결정되는데, 이에 대한 판별은 안하나요?
이게 허수에는 일단 양수 음수 개념이 없기 때문에 둘 다 i의 제곱근으로 인정을 합니다. 복소평면에 나타내보아도 제곱해서 i를 나타내는 동경은 두가지로 나오구요. 다른 댓글 중에서 루트 안에 i는 애초에 들어갈 수 없다고 이야기하시는 분도 계신데 외국 영상들을 보면 또 그렇게 써서 값을 구해내기도 하더라구요😅
질문있습니다.
답이 2개가 나오는건 이차방정식 경우에만 2개가 나오는것으로 알고 있는데
루트i = x 는 이차방정식이 아닌데 어떻게 답이 +-2/루트2 +-2/루트 로 답이 2가지가 나올수 있는건가요?
이차방정식입니다^^ x는 i의 제곱근입니다. x제곱=i 이므로 x에 대한 이차방정식이 맞습니다!
@@cakemath 감사합니다! 새로운 지식 얻고 갑니다!
😊
수면노래님 이번에도 영상 봐주셔서 감사해요^^
@@cakemath 항상 좋은 지식들 공유해주셔서 감사합니다^^
그럼 모든 복소수는 a+bi 꼴로 나타낼 수 있는건가요?
네 맞습니다😊
복소평면을 배우면 대수적으로 풀지 않아도 되는데
맞습니다. 근데 제 시청자들이 주로 중고등학생이다보니😅
우와 그럼 i^(1/i) 도 가능할듯(?)
수학자들은 뭐든 다 밝혀내더라구요😊DMT Park님의 영상을 보면 i^i^i^i^i…이런 것도 있더라구요 ㅎㅎ
root i는 복소수다, 식1
양변제곱, 식2
식1에서 설정한 미지수 2개 식 2개
양변제곱한 식이 원래식이 주는 정보외에 하나의 정보를 더주는게 알쏭달쏭하네요
A=A A제곱=A제곱 ㅎㅎ
원래 식이 같으면 제곱해도 같으니까요😊
루트는 정말 신비합니다 ^^
피타고라스 학파가 살인까지 불사할 만큼
ㅋ
특히 루트2. 루트3은 곱하면 소수가 나오고
어쨋건 1.414 등 대충 무한소수가 나오는데 그걸 루트 외에는 표현할 길이 없으니 ㅋ
만날 수학외에 쓸데없는 소리를 해서 죄송한데요 ㅋ
전기 공부하면 저 신비한 루트3을 지긋 지긋 하게 만납니다.
삼상사선식 에서 상전압과 선간전압의 차이가 루트3 인데 그거 외에도 가끔 루트3이
신비하게 튀어나와요 ^^
그래서 학원에서 모르면 루트3 쓰라고 강조했었죠.
또한 허수i. 의 개념을 빌려와서 전기에서 무효전력 개념으로 설명 했죠 ^^
단 구별하기 위해서 j로 씁니다. ^^
그래서 전기는 유효전력과 무효전력이 공존하기에 복소수가 기본이에요^^
보통 a+bj 같은 ㅋ
전기는 그 자체가 하나의 우주이고 그 우주는 수학으로 만들어 졌음을 알려주죠 ㅋ
피타고라스 이야기는 저도 들었어요 ㅎㅎ 학생들 수행평가 할 때도 주제로 많이 쓰더라구요 ㅎㅎ
전기도 참 신기한거 같아요. 얼마전에 참새가 감전되지 않는 이유를 봤는데 ㅎㅎ허수가 실제로 쓰이는 것도 참 신기하구요😊
항상 댓글에 전기이야기를 남김에도 친절하게 받아주셔서 감사합니다^^
사실 허수야 말로 전기의 성질을 표현한 수 이거든요.
제곱하면 양수가 되는 세상에서 제곱하면 음수가 튀어나오는 희안한 수 ^^
그런 어떤 논리 속에만 있던 가상의 수가 전기의 성질을 잘 표현합니다.^^
전기는 이른바 정방향+ 으로 뿐 아니라
역방향 - 로도 흐르는데 이 방향에 따라 성질이 달라집니다. ^^
그러니 제곱하여 정방향으로 흐르는 양의 전기값도 필요하고
제곱하여 역방향으로 흐르는 음의 전기값도 필요하게 된 것이고 이걸 알게된 전기학자 들이 몇날 몇일 싸매다가 ''어? 이거 허수 잖아!'' 라고 개념을 정리하거죠.
더 재밌는 것은 전기가 양자의 세계로 가니까 수학의 수수께끼 들이 전기학에서
튀어 나오더란 것이죠 ㅋ
그게 유명한 소수와 양자역학의 관계 리만가설 인데.
전 양자전기학은 걍 ㅠㅠ
수학은 정말 배워도 배워도 끝이 없네요 허허허;;
맞습니다 ㅎㅎ저도 수학의 0.000001%도 이해하지 못하고 있죠😭