NB. Dès que u contient un espace propre de dimension superieure à 2, on va avoir un nombre infini de sous-espaces stables. En effet toute droite vectorielle de cet espace propre est stable... et il y en a une infinité. Ainsi, si l'endomorphisme u admet un nb fini de sev stables, alors ses espaces propres sont de dimension o ou 1 😅
merci Cassou pour ces exercices complémentaires du cours sur les s ev Stables Bien volontiers pour les compléments de cours que tu proposes à ce propos
Super vidéo comme toujours ! Un peu technique pour des prépas quand même : on dirait plus des petites questions de prépas agreg ! Encore l'année dernière j'ai été auditeur à l'externe et j'ai vu des candidats se faire cuisiner sur ces histoires de sous espaces stables ou encore des discussions sur ceux qui admettent un supplémentaire stable. Il faut énormément de recul, pour des prépas ce n'est pas simple du tout je trouve !
J'avoue que ce n'est pas facile😅. C'est pour ca que j'ai mis le panneau "warning" sur le vignette, et que j'ai averti en debut de video. Mais bon ca tombe quand meme sur des concours ENS/X , mais aussi Mines Ponts MP, voire Centrale. Apres je concois bien que mon auditoire est assez varié, donc j'essaie d'alterner les niveaux de difficulté
super vidéo je suis en 5/2 et je me vois progressé à vue d’œil j’arrive quasiment à faire ces oraux de têtes ça fait plaisir ! continuez votre contenu est génial
Merci pour ta vidéo très instructive!! Ces notions d'algèbre sont très utilisées en automatique et identification; d'ailleurs la méthode d'identification par sous-espaces se base sur ces concepts. Les restrictions peuvent être vues comme des réductions de modèle(s). En fait, une fois les data collectées, on cherche le meilleur modèle (celui qui explique au mieux les data sans être trop complexe) et cela revient à faire des restrictions (les vecteurs propres étant une direction/composante du modèle). Il faut aussi savoir que ces exos sont classiques en économie (pensons aux systèmes de markoviens). Donc ❤❤👍👍
Bonjour, pourriez vous expliquer pourquoi le fait que les vp sont simples permet de dire que les VP de v sont proportionnels à des VP de u ? (En haut du tableau de droi5 à 15:00)
Bonjour, je suis actuellement en terminale, mais les matrices et espaces vectoriels me passionent, et je viens de tomber sur cette vidéo. Je pense avoir compris le raisonnement et les notions générales abordées (ce qui montre à quel point c'est bien expliqué, bravo) mais ne suis pas sur à propos la signification de certaines notations comme sous espace "u-stable" ou le fait de noter la dimension k "dk" (je croyais que le d signifiait dériver). Pourriez vous svp m'expliquer comment faire pour être rigoureux en utilisant ces notations/cette rédaction ?
Différents arguments pour répondre. Premièrement ici on se place dans un exercice d'algèbre et au vu du sujet une différentielle serait inadaptée. Deuxièmement il l'a explicitement défini, ce qui permet de ne pas se tromper sur la signification. Troisièmement ici ce n'est pas un dk utilisé mais un d_k, qui n'est pas une notation usuelle en analyse. Quatrièmement et cela va peut-être paraître un peu bête dit comme ça mais.. ça se voit.
Hello @ChillaxGD Bon on ne va pas se mentir : c'est d'un niveau bcp trop élevé pour un lycéen 😉. C'est déjà difficile pour des prepa ... donc je te conseille déjà de commencer dans l'ordre, par plus simple. Sinon tu risques de t'habituer à faire semblant de comprendre des choses hises qui te dépassent ! Désolé d'être un peu franc avec toi 😁 Regarde les autres vidéos ou j'ai écrit "debutant". J'en ferai d'autre sur les EV fin janvier début février. Ceci dit c'est tout à ton honneur de passer du temps et de t'accrocher. u-qtableca veut dire stable par la fonction u. On suppose que si x est un vecteur de F alors u(x) aussi. On dit que l'ensemble F est stable par u. Pour les d_k c'est juste une notation : "d" pour dimension Il y en a n+1 donc on les a indexés par k entre 0 et n
@@CassouMathPrepa Bonjour, tout d'abord, merci de m'avoir répondu, cela à permis de confirmer ce que je pensais à propos de u-stable. Pour d_k, j'étais fatigué et ai lu dk, ce qui m'a paru étrange (il était 1h du matin 😅). J'ai bien conscience que je ne suis qu'en terminale et n'ai absolument pas le niveau pour passer cet oral (ni de faire cet exercice par moi-même tout simplement), raison pour laquelle j'ai directement écouté et cherché à comprendre la solution. Je pensais en être capable car j'estimais avoir un niveau de début de prépa ( je connais quelques notions hors programme comme les valeurs propres, les bases canoniques, etc...) Un grand merci pour m'avoir également orienté vers des vidéos plus adaptées à mon niveau !! J'espère pouvoir m'entraîner d'avantage pour pouvoir éventuellement revenir sur ce genre de sujets sans "lacunes". Désolé pour le temps que j'ai mis à répondre, je n'ai pas reçu de notification pour une raison qui m'échappe
Des conseils pour prolonger la vidéo : 1) Montrer que si u est cyclique alors E admet un nombre fini de sous-espaces stables. 2) Est-ce que la réciproque est vraie ? 3) Montrer que u cyclique si et seulement si ses polynômes caractéristique et minimal sont égaux. 4) Montrer que u est cyclique si et seulement si son polynôme minimal et de dimension égale à celle de E. 5) On prend K=C et E de dim finie n. Montrer que l'ensemble des endomorphismes de E tels que les polynômes caractéristique et minimal sont égaux, est un ouvert dense connexe de L(E).
Ah oui. Bon. Je pense pas avoir la patience d'aller chercher des écrits la dessus... 😅 (je réponds déjà énormément de temps à produire les videos)... sauf quand je les.connais déjà bien sur En revanche je peux donner qq références de bouquins. Par exemple j'ai vu que l'exo de l'X est dans le Francinou-Giannela "Oraux X-ENS" algebre 2.
Alors oui c'est un classique. Je le referai en vidéo au mois de février pour étudiants. Cependant voici l'idée. Supposons u nilpotent sur un K-ev de dimension n. Si u est nilpotent d'ordre k, on mq k
on veut plus d'exos sur les sous-espaces stables, et d'autant plus que même si je ne comprends pas vraiment, j'ai vu des vidéos de phil caldero parlant des espaces cycliques comme "la fin de l'histoire de la réduction" avec la décomposition de frobenius qui permettrait apparemment de classer toutes les matrices codant le même endormorphisme, mais j'en sais pas plus donc ce serait très apprécié
Oui sympa les video de Phil Caldero, j'aime bien aussi. Bon faut s'accrocher. N'hésite pas à poser des questions sur les points flous. Je vais essayer de faire un effort pour que tout le monde comprenne
Bonjour, A la fin de mon oral d'algèbre à l'agrégation, le jury m'a dit "nous n'avons plus beaucoup de temps, passons à un exercice" (il restait 2 minutes...) et m'ont donné ça en me demandant de les compter. J'ai à peine eu le temps de parler de ce qui me paraissait évident : les sommes directes d'espaces propres. Et hop, c'est la fin, même pas le temps de dire que j'en avais trouvé 2^n ... Bref, un exercice apprécié des jurys.
C'est deja pas mal, bravo !! L'oral d'agreg (et meme ceux de CPGE) peut s'aérrer ingrat... Petite anecdote sur mon oral agreg analyse à l'époque : l'analyse etait mon point fort. J'avais proposé thm du point fixe de Brouwer en developpement, que j'avais bien bossé. Ils ont préféré l'autre truc moins bien... Puis un des membres du jury commence à me poser un exercice. J'attendais que ca pour me demarquer. Mais là pas de bol, un autre membre du jury qui n'avait rien dit jusque là se lève et dit aux autres : "bon c'est midi les gars, on va manger ?"... Et pam ils se barrent tous et mon oral s'arrete aussi sec ! 🙃🤣🤣🤣
@@CassouMathPrepa Hmm mais il n'y aucune raison pour que le coefficient de proportionnalité entre epsilon_i et l'un des e_j soit la valeur propre associée à cet e_j ? Les epsilon_i peuvent très bien être choisis parmi les e_j, auquel cas les coefficients de proportionnalité sont des 1...
@@Jooolse ah ouiiiii... dsl je répondais de mémoire et j'avais pas revu le passage en question. Oui oui tout à fait j'aurais du l'appeler alpha_i ou qq chose comme ca. Autant pour moi ! Merci pour cette remarque
Pour l'exercice 1, je pense qu'on peut dire que l'intuition vient à l'inverse de la démonstration analyse/synthèse: dimension n & n vp distinctes => diagonalisable et tous les Vect({un sous ensemble de vecteurs propres}) sont clairement stables (distincts par libertés des vecteurs propres). A partir de l'intuition que "cela fait déjà pas mal de monde", reste à trouver la synthèse ... que je trouve plus abstraite.
Ces deux exercices sont des cas particuliers de la propriété suivante : les endomorphismes cycliques laissent stable un nombre fini de sous-espaces. Les endomorphismes cycliques sont les endomorphismes u tq il existe x dans E tq (x, u(x), …, u^(n-1)(x)) soit une base de E. On peut aussi les caractériser par le fait que la polynôme minimal est égal au polynôme carctéristique (cette équivalence n’est pas triviale). L’idée de la démonstration dans le cas général est la suivante : on montre d’abord que l’endomorphisme induit sur un sous-espace stable est lui-même cyclique (c’est tombé à XENS). La clé ici est de considérer notre x particulier et d’étudier l’ensemble des polynômes tels que P(u)(x) est dans F, avec u notre endomorphisme et F un sous-espace stable par u. On peut alors justifier que l’ensemble de ces polynômes est un idéal de K[X] et on va alors disposer d’un polynôme minimal associé qui va permettre de construire un élément y tq les P(u)(y) pour tout P dans K[X] donnent E. Ensuite, on note que c’est une équivalence : pour un sous-espace F, si l’ensemble de ces polynômes est un idéal alors F est stabilisé par u. Pour chaque F stabilisé par u on a donc un idéal de K[X] et donc un polynôme minimal associé, qui divise le polynome minimal de u ! On a un nombre fini de diviseurs de ce polynôme minimal et cet idéal caractérise F, on en déduit notre propriété. C’est d’ailleurs une équivalence mais le sens réciproque n’est pas utile ici. Dans le premier exercice, c’est immédiat : avec n valeurs propres distinctes on a bien cette égalité entre les deux polynômes. D’ailleurs pour construire un x tel que demandé par la définition, il suffit de sommer n vecteurs propres (un pour chaque valeur propre). On note d’ailleurs qu’être cyclique ET diagonalisable c’est avoir un spectre simple. Dans le deuxième exercice c’est là encore assez clair pour le caractère cyclique : si on veut passer par la caractérisation sur les polynomes c’est immédiat (μ = χ = X^n), et sinon un bon candidat pour le x de la définition initial est un vecteur de Ker(u)\Ker(u^2).
Bon déjà si u=0 alors ker u=E donc Toutes les droites vectorielles sont stables... Donc dès que la dimension est supérieure à deux on a un nombre infini de sous espace stable.
La seule chose raisonnable à faire pour avoir les idées claires, c'est de prendre le Jacobson d'algèbre linéaire, de comprendre à fond les invariants de similitude: deux 1/2 journées. Fait ça à la maison, 14 à l'ENS (pas fabuleux mais suffisant...)
Des conseils de ressources pour bien comprendre ces notions ? C'est des choses que j'ai travaillé il y a longtemps mais plus aucun souvenir et ça ne revient pas. Ça n'est pas évident de savoir comment travailler et apprendre à manipuler une notion. Comment sait-on qu'on la maîtrise ?
NB. Dès que u contient un espace propre de dimension superieure à 2, on va avoir un nombre infini de sous-espaces stables. En effet toute droite vectorielle de cet espace propre est stable... et il y en a une infinité. Ainsi, si l'endomorphisme u admet un nb fini de sev stables, alors ses espaces propres sont de dimension o ou 1 😅
Merci, je me posais justement la question de savoir à quel point on pouvait utiliser les sev propres de u
J'aime beaucoup les vidéos sur les oraux X-ENS. C'est vraiment sympa à résoudre
@@Cusofay faut que je fasse la suite de celle-ci 😅😅😅
Ok pour avoir la suite sur les endo cycliques.
Merci pour votre travail sur cette chaîne.
Bonjour, vous vidéos sont géniales, continuez !!!
merci Cassou pour ces exercices complémentaires du cours sur les s ev Stables
Bien volontiers pour les compléments de cours que tu proposes à ce propos
Ça marche. Je vais donner qq généralités au début du 2ele episode
Super vidéo comme toujours ! Un peu technique pour des prépas quand même : on dirait plus des petites questions de prépas agreg ! Encore l'année dernière j'ai été auditeur à l'externe et j'ai vu des candidats se faire cuisiner sur ces histoires de sous espaces stables ou encore des discussions sur ceux qui admettent un supplémentaire stable. Il faut énormément de recul, pour des prépas ce n'est pas simple du tout je trouve !
J'avoue que ce n'est pas facile😅. C'est pour ca que j'ai mis le panneau "warning" sur le vignette, et que j'ai averti en debut de video. Mais bon ca tombe quand meme sur des concours ENS/X , mais aussi Mines Ponts MP, voire
Centrale. Apres je concois bien que mon auditoire est assez varié, donc j'essaie d'alterner les niveaux de difficulté
super vidéo je suis en 5/2 et je me vois progressé à vue d’œil j’arrive quasiment à faire ces oraux de têtes ça fait plaisir ! continuez votre contenu est génial
Yeah ! 😎. Bravo. On lâche rien !
Ça me plaît ! Continue à faire des vidéos sur ce sujet c’est top !
Merci 🙏
Merci pour ta vidéo très instructive!! Ces notions d'algèbre sont très utilisées en automatique et identification; d'ailleurs la méthode d'identification par sous-espaces se base sur ces concepts. Les restrictions peuvent être vues comme des réductions de modèle(s). En fait, une fois les data collectées, on cherche le meilleur modèle (celui qui explique au mieux les data sans être trop complexe) et cela revient à faire des restrictions (les vecteurs propres étant une direction/composante du modèle). Il faut aussi savoir que ces exos sont classiques en économie (pensons aux systèmes de markoviens). Donc ❤❤👍👍
Merci beaucoup pour votre vidéo ! Un sujet incontournable à réviser pour l'agrégation.
Cool. C'est vrai que j'ai pensé un peu aux agrégatifs quand j'ai tourné ça. 😉
Top ! Vous êtes passionnant
😊 merci
Une video sur les sous espaces stables avec des rappels ce serait vraiment genial !
Ça marche
Bonjour, pourriez vous expliquer pourquoi le fait que les vp sont simples permet de dire que les VP de v sont proportionnels à des VP de u ? (En haut du tableau de droi5 à 15:00)
Parce que les VP de v SONT des VP de u ! 😁 vu que v=u sur F
toujours aussi intéressant et bien expliqué !
Un grand merci ! 🙏
Merci beaucoup.
Ça me plaît ! Je laisse un petit commentaire pour dire que ça me plaît 😊.
😂 merci
Bonjour,
je suis actuellement en terminale, mais les matrices et espaces vectoriels me passionent, et je viens de tomber sur cette vidéo. Je pense avoir compris le raisonnement et les notions générales abordées (ce qui montre à quel point c'est bien expliqué, bravo) mais ne suis pas sur à propos la signification de certaines notations comme sous espace "u-stable" ou le fait de noter la dimension k "dk" (je croyais que le d signifiait dériver). Pourriez vous svp m'expliquer comment faire pour être rigoureux en utilisant ces notations/cette rédaction ?
Différents arguments pour répondre. Premièrement ici on se place dans un exercice d'algèbre et au vu du sujet une différentielle serait inadaptée. Deuxièmement il l'a explicitement défini, ce qui permet de ne pas se tromper sur la signification. Troisièmement ici ce n'est pas un dk utilisé mais un d_k, qui n'est pas une notation usuelle en analyse. Quatrièmement et cela va peut-être paraître un peu bête dit comme ça mais.. ça se voit.
Hello @ChillaxGD
Bon on ne va pas se mentir : c'est d'un niveau bcp trop élevé pour un lycéen 😉. C'est déjà difficile pour des prepa ... donc je te conseille déjà de commencer dans l'ordre, par plus simple. Sinon tu risques de t'habituer à faire semblant de comprendre des choses hises qui te dépassent ! Désolé d'être un peu franc avec toi 😁
Regarde les autres vidéos ou j'ai écrit "debutant". J'en ferai d'autre sur les EV fin janvier début février.
Ceci dit c'est tout à ton honneur de passer du temps et de t'accrocher.
u-qtableca veut dire stable par la fonction u. On suppose que si x est un vecteur de F alors u(x) aussi. On dit que l'ensemble F est stable par u.
Pour les d_k c'est juste une notation : "d" pour dimension
Il y en a n+1 donc on les a indexés par k entre 0 et n
@@CassouMathPrepa
Bonjour,
tout d'abord, merci de m'avoir répondu, cela à permis de confirmer ce que je pensais à propos de u-stable. Pour d_k, j'étais fatigué et ai lu dk, ce qui m'a paru étrange (il était 1h du matin 😅).
J'ai bien conscience que je ne suis qu'en terminale et n'ai absolument pas le niveau pour passer cet oral (ni de faire cet exercice par moi-même tout simplement), raison pour laquelle j'ai directement écouté et cherché à comprendre la solution. Je pensais en être capable car j'estimais avoir un niveau de début de prépa ( je connais quelques notions hors programme comme les valeurs propres, les bases canoniques, etc...)
Un grand merci pour m'avoir également orienté vers des vidéos plus adaptées à mon niveau !! J'espère pouvoir m'entraîner d'avantage pour pouvoir éventuellement revenir sur ce genre de sujets sans "lacunes".
Désolé pour le temps que j'ai mis à répondre, je n'ai pas reçu de notification pour une raison qui m'échappe
Des conseils pour prolonger la vidéo :
1) Montrer que si u est cyclique alors E admet un nombre fini de sous-espaces stables.
2) Est-ce que la réciproque est vraie ?
3) Montrer que u cyclique si et seulement si ses polynômes caractéristique et minimal sont égaux.
4) Montrer que u est cyclique si et seulement si son polynôme minimal et de dimension égale à celle de E.
5) On prend K=C et E de dim finie n. Montrer que l'ensemble des endomorphismes de E tels que les polynômes caractéristique et minimal sont égaux, est un ouvert dense connexe de L(E).
Y a en effet des trucs qu'on verra dans la partie II. 😉
Super vidéo merci. Et je pense qu’un petit bout de rappels / cours en début de vidéo ne ferait pas de mal, si besoin
Ça marche je tâcherai de faire qq "rappels" au 2eme episode
Merci. Un petit plus serait de donner des références de sujets d ecrits qui parle du sujet du jour qd tu as ca en tête
Ah oui. Bon. Je pense pas avoir la patience d'aller chercher des écrits la dessus... 😅 (je réponds déjà énormément de temps à produire les videos)... sauf quand je les.connais déjà bien sur
En revanche je peux donner qq références de bouquins.
Par exemple j'ai vu que l'exo de l'X est dans le Francinou-Giannela "Oraux X-ENS" algebre 2.
Ça m'intéresse
Qu est ce qui fait que parfois un accent du sud revient ?
😂 lol. C'est que je suis du Sud-euh ô peuchère 😉
Avignong công ! 😁
Merci pour cette vidéo. J'aurais aimé que vous expliquez pourquoui v^k=0 lorsque v est nilpotent .
Alors oui c'est un classique. Je le referai en vidéo au mois de février pour étudiants.
Cependant voici l'idée.
Supposons u nilpotent sur un K-ev de dimension n.
Si u est nilpotent d'ordre k, on mq k
@@CassouMathPrepasinon on peut utiliser Caley Hamilton , si v est nilpotent son polynôme caractéristique c’est X^k donc v^k=0
cayley hamilton donne le résultat car le polynôme caractéristique de v est de degré k
on veut plus d'exos sur les sous-espaces stables, et d'autant plus que même si je ne comprends pas vraiment, j'ai vu des vidéos de phil caldero parlant des espaces cycliques comme "la fin de l'histoire de la réduction" avec la décomposition de frobenius qui permettrait apparemment de classer toutes les matrices codant le même endormorphisme, mais j'en sais pas plus
donc ce serait très apprécié
Oui sympa les video de Phil Caldero, j'aime bien aussi. Bon faut s'accrocher. N'hésite pas à poser des questions sur les points flous. Je vais essayer de faire un effort pour que tout le monde comprenne
Bonjour,
A la fin de mon oral d'algèbre à l'agrégation, le jury m'a dit "nous n'avons plus beaucoup de temps, passons à un exercice" (il restait 2 minutes...) et m'ont donné ça en me demandant de les compter. J'ai à peine eu le temps de parler de ce qui me paraissait évident : les sommes directes d'espaces propres. Et hop, c'est la fin, même pas le temps de dire que j'en avais trouvé 2^n ...
Bref, un exercice apprécié des jurys.
C'est deja pas mal, bravo !!
L'oral d'agreg (et meme ceux de CPGE) peut s'aérrer ingrat...
Petite anecdote sur mon oral agreg analyse à l'époque : l'analyse etait mon point fort. J'avais proposé thm du point fixe de Brouwer en developpement, que j'avais bien bossé. Ils ont préféré l'autre truc moins bien... Puis un des membres du jury commence à me poser un exercice. J'attendais que ca pour me demarquer.
Mais là pas de bol, un autre membre du jury qui n'avait rien dit jusque là se lève et dit aux autres : "bon c'est midi les gars, on va manger ?"... Et pam ils se barrent tous et mon oral s'arrete aussi sec !
🙃🤣🤣🤣
@CassouMathPrepa c'est dur... j'espère que tu l'as eu quand même et que tu n'avais pas du refaire une année
Y a t il des exos qui exploitent le fait que sous espaces stables de K espace vect V = sous modules de V comme K[X]-module ou est ce hors programme ?
Oui HP prepa. Mais ça peut le faire pour des agregatifs ou master / L3 peut être.
@@CassouMathPrepa Dommage car ça permet d'avoir une meilleure appréhension du probleme des ss espaces stables. Donc théorie des modules HP en prepa ?
J'ai une question par rapport à la notation: pourquoi mettez-vous un exposant F sur l'endormorhisme u en plus de l'indice F ?
Restriction et corestriction
Ça veut qu'on considere que le but et la source sont F. Mais je pense que c'est peut etre pas indispensable
@@CassouMathPrepa D'accord: merci pour votre réponse.
11:35 Il aurait fallu appeler le coefficient autrement : on a déjà appelé lambda les valeurs propres ! 😉
Hum. Mais justement ce sont les vp 😅
@@CassouMathPrepa Hmm mais il n'y aucune raison pour que le coefficient de proportionnalité entre epsilon_i et l'un des e_j soit la valeur propre associée à cet e_j ? Les epsilon_i peuvent très bien être choisis parmi les e_j, auquel cas les coefficients de proportionnalité sont des 1...
@@Jooolse ah ouiiiii... dsl je répondais de mémoire et j'avais pas revu le passage en question. Oui oui tout à fait j'aurais du l'appeler alpha_i ou qq chose comme ca. Autant pour moi ! Merci pour cette remarque
@@CassouMathPrepa Pas de problème. C'était plus à destination des amateurs comme moi qui auraient pu être troublés en première lecture ! 🤓😅
Pour l'exercice 1, je pense qu'on peut dire que l'intuition vient à l'inverse de la démonstration analyse/synthèse: dimension n & n vp distinctes => diagonalisable et tous les Vect({un sous ensemble de vecteurs propres}) sont clairement stables (distincts par libertés des vecteurs propres). A partir de l'intuition que "cela fait déjà pas mal de monde", reste à trouver la synthèse ... que je trouve plus abstraite.
Ces deux exercices sont des cas particuliers de la propriété suivante : les endomorphismes cycliques laissent stable un nombre fini de sous-espaces.
Les endomorphismes cycliques sont les endomorphismes u tq il existe x dans E tq (x, u(x), …, u^(n-1)(x)) soit une base de E.
On peut aussi les caractériser par le fait que la polynôme minimal est égal au polynôme carctéristique (cette équivalence n’est pas triviale).
L’idée de la démonstration dans le cas général est la suivante : on montre d’abord que l’endomorphisme induit sur un sous-espace stable est lui-même cyclique (c’est tombé à XENS). La clé ici est de considérer notre x particulier et d’étudier l’ensemble des polynômes tels que P(u)(x) est dans F, avec u notre endomorphisme et F un sous-espace stable par u. On peut alors justifier que l’ensemble de ces polynômes est un idéal de K[X] et on va alors disposer d’un polynôme minimal associé qui va permettre de construire un élément y tq les P(u)(y) pour tout P dans K[X] donnent E. Ensuite, on note que c’est une équivalence : pour un sous-espace F, si l’ensemble de ces polynômes est un idéal alors F est stabilisé par u. Pour chaque F stabilisé par u on a donc un idéal de K[X] et donc un polynôme minimal associé, qui divise le polynome minimal de u ! On a un nombre fini de diviseurs de ce polynôme minimal et cet idéal caractérise F, on en déduit notre propriété.
C’est d’ailleurs une équivalence mais le sens réciproque n’est pas utile ici.
Dans le premier exercice, c’est immédiat : avec n valeurs propres distinctes on a bien cette égalité entre les deux polynômes. D’ailleurs pour construire un x tel que demandé par la définition, il suffit de sommer n vecteurs propres (un pour chaque valeur propre). On note d’ailleurs qu’être cyclique ET diagonalisable c’est avoir un spectre simple.
Dans le deuxième exercice c’est là encore assez clair pour le caractère cyclique : si on veut passer par la caractérisation sur les polynomes c’est immédiat (μ = χ = X^n), et sinon un bon candidat pour le x de la définition initial est un vecteur de Ker(u)\Ker(u^2).
Merci pour le commentaire 😊
Comme dit en intro, tout ceci sera abordé dans l'épisode 2 de cette vidéo 😉
pour le référencement :)
Merci
Bonjour. Que peut il en être pour un endimorphisme cyclique u^k=u.
Merci.
Bon déjà si u=0 alors ker u=E donc Toutes les droites vectorielles sont stables... Donc dès que la dimension est supérieure à deux on a un nombre infini de sous espace stable.
La seule chose raisonnable à faire pour avoir les idées claires, c'est de prendre le Jacobson d'algèbre linéaire, de comprendre à fond les invariants de similitude: deux 1/2 journées. Fait ça à la maison, 14 à l'ENS (pas fabuleux mais suffisant...)
Des conseils de ressources pour bien comprendre ces notions ? C'est des choses que j'ai travaillé il y a longtemps mais plus aucun souvenir et ça ne revient pas. Ça n'est pas évident de savoir comment travailler et apprendre à manipuler une notion. Comment sait-on qu'on la maîtrise ?
le polynôme minimal est de degré =< dim espace, donc s'il divise X^n il divise X^dimF