Mon professeur de L1 m'avait illustré ça avec un arbre de probabilité : (a+b)³ par exemple, ses termes sont de la forme x*y*z où x y et z sont dans {a;b}, et on va retrouver tous les produits de cette forme. Choisir un des termes de (a+b)³, c'est piocher une lettre parmi a et b, puis une deuxième lettre parmi a et b, puis une troisième lettre parmi a et b. Mais comme la multiplication est commutative, l'ordre dans lequel on les a pioché n'a pas d'importance. Par exemple, pour tomber sur a²b, il faut avoir pioché à un moment deux a et un b. Combien y a-t-il de tels possibilités ? Il y en a (2 parmi 3), si on assimile "piocher a" à un succès, et "piocher b" à un échec. Donc le terme a²b va se retrouver (2 parmi 3) fois. Et donc ce raisonnement combinatoire explique intuitivement pourquoi cette formule est vraie, mais bien évidemment, il faut une démonstration comme celle de la vidéo pour avoir quelque chose de rigoureux. Encore merci pour cette vidéo de qualité !
oui c'est un classique, c'est d'ailleurs avec l'arbre pondéré qu'on peut comprendre encore mieux la démonstration sur le fait que le nombre totale de combinaison possible des éléments d'un ensemble peux s'exprimer sous la forme 2^n
Well, there is, because the formula is logic: when you are expanding (a+b)(a+b)(a+b)...(a+b), how many a^k b^{n-k} are you getting in the end ? Getting one of them is equivalent to choose k 'a factors' among the n parenthesis, and there is \binomial{n}{k} ways to do that. However, one can think this proof is not really reliable, so I usually go for both, the one I just mentioned and the induction one.
@@oljenmaths I think the idea of recurrence seems unreliable because newton did not initially adopt it in the solution, otherwise he would have given the solution at random, then check it with recurrence and think you for your repling
Bonjour Oljen, mon prof m'a dit que l'on peut démontrer le binôme par Taylor Young, est-ce vrai ? (D'ailleurs j'ai l'impression qu'une vidéo sur ve sujet a déjà été faite, et que j'avais commenté la ptentielle existence de cette fameuse démonstration que je ne connaissais pas encore.)
Bonsoir ! Je n'ai jamais vu une telle démonstration, mais je peux sans doute imaginer à quoi cela pourrait ressembler. 🔸 Disons qu'on peut écrire la formule, si a est non nul, comme (1+(b/a))^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (b/a)^{n-k}, en divisant la "vraie" formule par a^n. 🔸 À partir de là, on se ramène, en posant x = b/a, on se ramène au développement de (1+x)^n. On peut donc utiliser, simplement, la formule de Taylor pour les polynômes appliquée à (1+X)^n, ce qui permet d'obtenir les coefficients du développement en fonction des dérivées successives de ce polynôme en 0. Cela dit, la démonstration de la formule de Taylor pour les polynômes s'obtient grâce à une récurrence, donc quitte à procéder avec un tel raisonnement, autant le faire directement. Mais le détour était fort sympathique, entre le moment où tu as posté ton commentaire et celui où je te réponds, c'était dépaysant 😃!
Pour une émission à ce sujet, oui, c'est bien le cas: c'était la version pour les études supérieures. Ici, j'entame une série pour les nouveaux programmes de terminale qui, par certains aspects, intersectent légèrement mes émissions déjà faites. Cela dit, mes explications sont plus élémentaires et, je l'espère, plus à même de faire en sorte qu'un lycéen comprenne les articulations logiques de ces démonstrations.
Honnêtement, je ne pense pas. Je pense que c'est un peu inévitable, en témoignent les exemples traités pour les petites valeurs de n, où l'on développe naturellement.
Est-ce que quelqu'un à une référence de preuve du binôme de Newton sans récurrence ? En particulier, j'aimerais savoir comment Newton (si c'est lui qui l'a effectivement trouvée) a fait pour trouver cette formule. D'avance merci.
Je n'ai pas creusé le sujet pour retrouver l'article de Newton (ce qui doit pouvoir se faire avec toutes les numérisations que Google fait aujourd'hui), mais voici au minimum les notes de bas de page de Wikipedia, pour un éventuel lecteur: En réalité, cette formule était connue dès le Xe siècle, en particulier des mathématiciens indiens (Halayudha), arabes et perses (Al-Karaji) et au Xiiie siècle, le mathématicien chinois Yang Hui la démontra indépendamment. En 1665, Newton la généralisa à des exposants non entiers.
Une définition honnête de k parmi n, c'est le nombre de manières de choisir k objets parmi n. En l'occurrence, choisir 0 objets parmi 0, je ne sais pas vraiment ce que ça représente. Dans un tel cas, en mathématiques, on procède par convention en tâchant garantir un maximum de compatibilité avec les formules qui font intervenir les objets en question. En particulier, si tu souhaites que la formule du triangle de Pascal reste vraie, alors tu dois avoir (1 parmi 1) = (0 parmi 0) + (1 parmi 0) 1 = (0 parmi 0) + 0 (0 parmi 0) = 1 Par contre, (n parmi n) = 1 pour n non nul n'est pas une convention. Il n'y a qu'une seule manière de choisir 7 objets parmi 7: il s'agit de tous les prendre, point barre 👨🏫.
Mon professeur a dit qu'il allait nous faire la démonstration du binôme avec les matrices, il a dit qu'il refusait de faire par récurrence, est ce que c'est possible ?
S'il le dit, c'est sans doute que ça l'est, mais cela me laisse un peu perplexe. Je voudrais juste dire: 🔹 Que la démonstration par récurrence n'en reste pas moins correcte, en adaptant celle-ci. 🔹 Que ton professeur veut certainement te présenter une idée intéressante, et qu'il vaut la peine de la considérer tout autant que la démonstration par récurrence. Notamment, le commentaire épinglé de Barbubabytoman fournit une idée de démonstration intéressante, combinatoire, qui explique davantage l'apparition des coefficients binomiaux que la démonstration par récurrence 👨🏫.
@@lilikira9026 Merci ! J'espère raconter moins de bêtises que ChatGPT par contre 😇. Parce que d'un ton très assuré, il raconte parfois des choses étranges 😱.
![[DET#4] Nombre de chemins & Matrice d'adjacence (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/4tfpDZYWyWw/mqdefault.jpg)
![[DET#4] Nombre de chemins & Matrice d'adjacence (Démonstration)](/img/tr.png)
![[DET#2] Relation du triangle de Pascal (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/i6-4N3ZhqH0/mqdefault.jpg)
Mon professeur de L1 m'avait illustré ça avec un arbre de probabilité :
(a+b)³ par exemple, ses termes sont de la forme x*y*z où x y et z sont dans {a;b}, et on va retrouver tous les produits de cette forme. Choisir un des termes de (a+b)³, c'est piocher une lettre parmi a et b, puis une deuxième lettre parmi a et b, puis une troisième lettre parmi a et b.
Mais comme la multiplication est commutative, l'ordre dans lequel on les a pioché n'a pas d'importance.
Par exemple, pour tomber sur a²b, il faut avoir pioché à un moment deux a et un b.
Combien y a-t-il de tels possibilités ? Il y en a (2 parmi 3), si on assimile "piocher a" à un succès, et "piocher b" à un échec.
Donc le terme a²b va se retrouver (2 parmi 3) fois.
Et donc ce raisonnement combinatoire explique intuitivement pourquoi cette formule est vraie, mais bien évidemment, il faut une démonstration comme celle de la vidéo pour avoir quelque chose de rigoureux.
Encore merci pour cette vidéo de qualité !
Oui, c'est assez joli de visualiser avec un arbre, j'approuve totalement. Merci pour ce partage 🌳 !
et ça en explique des choses sur la loi binomiale héhé
oui c'est un classique, c'est d'ailleurs avec l'arbre pondéré qu'on peut comprendre encore mieux la démonstration sur le fait que le nombre totale de combinaison possible des éléments d'un ensemble peux s'exprimer sous la forme 2^n
Cette chaîne devrait être rémunérée par l’éducation nationale, mes kholles sauvées par ces vidéos merci ❤️
Ravi que ces vidéos puissent t'aider 😃 !
Is there other method ??
Well, there is, because the formula is logic: when you are expanding (a+b)(a+b)(a+b)...(a+b), how many a^k b^{n-k} are you getting in the end ? Getting one of them is equivalent to choose k 'a factors' among the n parenthesis, and there is \binomial{n}{k} ways to do that. However, one can think this proof is not really reliable, so I usually go for both, the one I just mentioned and the induction one.
@@oljenmaths I think the idea of recurrence seems unreliable because newton did not initially adopt it in the solution, otherwise he would have given the solution at random, then check it with recurrence and think you for your repling
Bonjour Oljen, mon prof m'a dit que l'on peut démontrer le binôme par Taylor Young, est-ce vrai ?
(D'ailleurs j'ai l'impression qu'une vidéo sur ve sujet a déjà été faite, et que j'avais commenté la ptentielle existence de cette fameuse démonstration que je ne connaissais pas encore.)
Bonsoir !
Je n'ai jamais vu une telle démonstration, mais je peux sans doute imaginer à quoi cela pourrait ressembler.
🔸 Disons qu'on peut écrire la formule, si a est non nul, comme (1+(b/a))^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (b/a)^{n-k}, en divisant la "vraie" formule par a^n.
🔸 À partir de là, on se ramène, en posant x = b/a, on se ramène au développement de (1+x)^n. On peut donc utiliser, simplement, la formule de Taylor pour les polynômes appliquée à (1+X)^n, ce qui permet d'obtenir les coefficients du développement en fonction des dérivées successives de ce polynôme en 0.
Cela dit, la démonstration de la formule de Taylor pour les polynômes s'obtient grâce à une récurrence, donc quitte à procéder avec un tel raisonnement, autant le faire directement. Mais le détour était fort sympathique, entre le moment où tu as posté ton commentaire et celui où je te réponds, c'était dépaysant 😃!
Pour une émission à ce sujet, oui, c'est bien le cas: c'était la version pour les études supérieures. Ici, j'entame une série pour les nouveaux programmes de terminale qui, par certains aspects, intersectent légèrement mes émissions déjà faites. Cela dit, mes explications sont plus élémentaires et, je l'espère, plus à même de faire en sorte qu'un lycéen comprenne les articulations logiques de ces démonstrations.
Bonjour je voudrais savoir si il est possible de faire autre chose que distribuer brutalement a l hérédité
Honnêtement, je ne pense pas. Je pense que c'est un peu inévitable, en témoignent les exemples traités pour les petites valeurs de n, où l'on développe naturellement.
@@oljenmaths tu vas refaire des épisodes ?
@@smartcircles1988 Ça va reprendre en septembre, en effet !
@@oljenmaths je suis trop content !
@@oljenmaths je suis passionné de Mathématiques
Est-ce que quelqu'un à une référence de preuve du binôme de Newton sans récurrence ?
En particulier, j'aimerais savoir comment Newton (si c'est lui qui l'a effectivement trouvée) a fait pour trouver cette formule. D'avance merci.
Je n'ai pas creusé le sujet pour retrouver l'article de Newton (ce qui doit pouvoir se faire avec toutes les numérisations que Google fait aujourd'hui), mais voici au minimum les notes de bas de page de Wikipedia, pour un éventuel lecteur:
En réalité, cette formule était connue dès le Xe siècle, en particulier des mathématiciens indiens (Halayudha), arabes et perses (Al-Karaji) et au Xiiie siècle, le mathématicien chinois Yang Hui la démontra indépendamment. En 1665, Newton la généralisa à des exposants non entiers.
Bonjour, comment savez-vous que "0 parmi 0" vaut 1 ? Dans certains cours on dit que c'est une convention, mais n'y a-t-il rien d'autre derrière ?
Parceque que n parmi n vaut toujours 1 même avec 0 et aussi c'est une convention
Une définition honnête de k parmi n, c'est le nombre de manières de choisir k objets parmi n. En l'occurrence, choisir 0 objets parmi 0, je ne sais pas vraiment ce que ça représente.
Dans un tel cas, en mathématiques, on procède par convention en tâchant garantir un maximum de compatibilité avec les formules qui font intervenir les objets en question. En particulier, si tu souhaites que la formule du triangle de Pascal reste vraie, alors tu dois avoir
(1 parmi 1) = (0 parmi 0) + (1 parmi 0)
1 = (0 parmi 0) + 0
(0 parmi 0) = 1
Par contre, (n parmi n) = 1 pour n non nul n'est pas une convention. Il n'y a qu'une seule manière de choisir 7 objets parmi 7: il s'agit de tous les prendre, point barre 👨🏫.
@@oljenmaths
C'est très clair, merci beaucoup
Mon professeur a dit qu'il allait nous faire la démonstration du binôme avec les matrices, il a dit qu'il refusait de faire par récurrence, est ce que c'est possible ?
S'il le dit, c'est sans doute que ça l'est, mais cela me laisse un peu perplexe. Je voudrais juste dire:
🔹 Que la démonstration par récurrence n'en reste pas moins correcte, en adaptant celle-ci.
🔹 Que ton professeur veut certainement te présenter une idée intéressante, et qu'il vaut la peine de la considérer tout autant que la démonstration par récurrence.
Notamment, le commentaire épinglé de Barbubabytoman fournit une idée de démonstration intéressante, combinatoire, qui explique davantage l'apparition des coefficients binomiaux que la démonstration par récurrence 👨🏫.
@@oljenmaths Merci beaucoup monsieur j'avais pas vu son commentaire, c'est intéressant comme démarche
@@oljenmaths on dirait chatgpt qui réponds aux questions... c'est impressionant de lire tes réponses, elles sont toutes très complètes.
@@lilikira9026 Merci ! J'espère raconter moins de bêtises que ChatGPT par contre 😇. Parce que d'un ton très assuré, il raconte parfois des choses étranges 😱.