Из В опускаем высоту ВН, она же медиана, и она же биссектриса. Сама высота против угла 30 градусов, значит, она половина х. Н соединяем с N, соединяем К с N. HN параллельна КС (через середины сторон), значит, HN тоже половина х, а значит, что треугольник HNK равнобедренный и треугольник ВНN равнобедренный. NK параллельна АВ (через середины сторон), значит, ∠NKC=120°. ∠ВКА=30°, значит, ∠АКN=30°, а значит, и ∠КНN=30°. ∠НВС=60° (половина от 120°), ∠ВКН=60° (180°-120°), ∠КNН=120° (180° - 2 по 30°), а значит, что ∠ВНN=120° (360° их сумма). А значит ∠НNВ=∠NВН=30°, следовательно искомый угол 60°.
Продлим KN за точку N на его длину до точки K₁, получается ромб ABKK₁ (AB || KK₁, KK₁ = 2·KN = AB = BK) с углом 120°, тогда △BKK₁ равносторонний (потому что он равнобедренный с углом ∠BKK₁ = 180°−∠ABK = 60°), а в нём угол между медианами 60°. Хотя через синус разности получается веселее: KM/AM = ½ = S[KBM]/S[ABM] = ½KB·BM·sin∠KBM/(½AB·BM·sin∠ABM) = sin(120°−∠ABM)/sin∠ABM. Обозначим ∠ABM = φ. Тогда sin(120°−φ) = ½sin φ sin(120°−φ) = sin 120°·cos φ − cos 120°·sin φ = √3/2·cos φ+½sin φ √3/2·cos φ+½sin φ = ½sin φ ⇒ cos φ = 0 ⇒ ∠ABM = φ = 90°. Тогда ∠AMB = 90°−∠BAM = 60° (т. к. ∠BAM = 30° из равнобедренного △ABK).
Решение шестиклассника. Наконец-то я до него дорос )) Строим параллелограмм АВКР ( Р на луче КN, а КN это средняя линия). Он будет ромбом. ВКР равносторонний, ВN в нем высота/медиана/биссектриса. Значит, NBK=30°, и алфа=30+30=60 как внешний угол.
Говорю ж -- район всегда выигрывал )))) Средняя линия NK=AB/2=BK/2. Угол BKN=60°. В равнобоком АВК угол АКВ=30°=ВАК, а AKN=BAK, как накрест лежащие. В тр ВNK имеем NK=BK/2 и угол ВКN=60°, откуда угол ВNK=90°=ABN. В треугольнике АВN углы 90;30 и искомый 60° Ответ:60°
Из В опускаем высоту ВН, она же медиана, и она же биссектриса. Сама высота против угла 30 градусов, значит, она половина х. Н соединяем с N, соединяем К с N. HN параллельна КС (через середины сторон), значит, HN тоже половина х, а значит, что треугольник HNK равнобедренный и треугольник ВНN равнобедренный. NK параллельна АВ (через середины сторон), значит, ∠NKC=120°. ∠ВКА=30°, значит, ∠АКN=30°, а значит, и ∠КНN=30°. ∠НВС=60° (половина от 120°), ∠ВКН=60° (180°-120°), ∠КNН=120° (180° - 2 по 30°), а значит, что ∠ВНN=120° (360° их сумма). А значит ∠НNВ=∠NВН=30°, следовательно искомый угол 60°.
Продлим KN за точку N на его длину до точки K₁, получается ромб ABKK₁ (AB || KK₁, KK₁ = 2·KN = AB = BK) с углом 120°, тогда △BKK₁ равносторонний (потому что он равнобедренный с углом ∠BKK₁ = 180°−∠ABK = 60°), а в нём угол между медианами 60°.
Хотя через синус разности получается веселее:
KM/AM = ½ = S[KBM]/S[ABM] = ½KB·BM·sin∠KBM/(½AB·BM·sin∠ABM) = sin(120°−∠ABM)/sin∠ABM. Обозначим ∠ABM = φ. Тогда sin(120°−φ) = ½sin φ
sin(120°−φ) = sin 120°·cos φ − cos 120°·sin φ = √3/2·cos φ+½sin φ
√3/2·cos φ+½sin φ = ½sin φ ⇒ cos φ = 0 ⇒ ∠ABM = φ = 90°.
Тогда ∠AMB = 90°−∠BAM = 60° (т. к. ∠BAM = 30° из равнобедренного △ABK).
Здравствуйте. Вы говорите про ролик - а ссылки на него нет в описании к видео....
Решение шестиклассника. Наконец-то я до него дорос ))
Строим параллелограмм АВКР ( Р на луче КN, а КN это средняя линия). Он будет ромбом. ВКР равносторонний, ВN в нем высота/медиана/биссектриса. Значит, NBK=30°, и алфа=30+30=60 как внешний угол.
Говорю ж -- район всегда выигрывал ))))
Средняя линия NK=AB/2=BK/2. Угол BKN=60°. В равнобоком АВК угол АКВ=30°=ВАК, а AKN=BAK, как накрест лежащие. В тр ВNK имеем NK=BK/2 и угол ВКN=60°, откуда угол ВNK=90°=ABN. В треугольнике АВN углы 90;30 и искомый 60°
Ответ:60°