Grazie alle sue lezioni sono riuscito a passare l’esame di Algebra Lineare. I docenti dovrebbero essere tutti come lei: chiaro, rapido esplicato e semplice da campire. Complenti davvero.
Buonasera .Grazie per il Suo commento, ne ricevo tanti anche in privato e sono i messaggi più belli quelli in cui gli utenti mi comunicano di aver superato un esame guardando le lezioni del mio canale . Grazie per la scelta e nella fiducia riposta nei confronti dei miei contenuti (pur con diverse imperfezioni ) . La ringrazio ancora .
Anche tu? La mia prof purtroppo non sapeva spiegare e avevo molte difficoltà a studiare... Tra i video di Bombardelli e di Salvo non ho avuto nessun problema e ho preparato l'esame in una settimana ahahah
Buongiorno Professore. Ci tenevo a ringraziarla perchè le sue lezioni mi hanno aiutato molto nel superamento degli esami di Analisi 1, Analisi 2 e Algebra lineare e geometria. La ringrazio per tutto quello che fa. Un saluto :)
Buonasera Alfio . La ringrazio tantissimo per la donazione .Sono lieto che grazie ai miei contenuti é riuscito a superare analisi matematica e algebra lineare .Spero che i miei contenuti siano stati anche piacevoli e nel canale sto cercando di fare del mio meglio . La ringrazio ancora per la sua abbondante donazione . Salvo Romeo .
Grazie prof! Per studiare geometria ho guardato più e più volte i suoi video e sono stati super utili, passato l'esame con un buon voto. Ora comincerò a guardarmi la playlist di analisi 2 😁
Buongiorno Alberto intanto ti ringrazio per il dono e non dovevi una cifra così alta . Ho visto il Suo avatar e con piacere scopro che sei anche su Tik Tok (oltre che su RUclips ) e mi complimento per i contenuti che proponi e invito gli appassionati di scienza (che leggono questo commento ) a seguire i tuoi canale e profilo Tik Tok . Dallo RUclips studio con piacere noto che molti utenti che seguono i miei contenuti seguono vedono anche i tuoi e questo mi fa molto piacere . Al di là di questo sono molto lieto che i miei video sono stati utili .Spero che ti possa essere utile anche analisi matematica 2 anche se si tratta sempre di lezioni di base e di tanto in tanto (mia dislessia) c'è qualche imprecisione (non grave) rigorosamente segnalata in un commento in evidenza . Ancora grazie Alberto . Buona giornata .
@@salvoromeo grazie mille ❤ proprio perché amo la scienza quest'anno ho deciso di iscrivermi a fisica (nonostante i miei 32 anni). Un percorso difficile ma bellissimo. Continuerò a seguire i suoi video con piacere :)
Grazie alle lezioni di quest'uomo, anzi questo eroe, ho preso 30 su 30 in algebra lineare e geometria (esame da 12 CFU in ingegneria a Padova). Grazie davvero per ogni singolo video e per le spiegazioni fantastiche che ho trovato in questa playlist. La consiglio a chiunque debba dare quell'esame o simili. Spiegazioni eccezionali davvero, grazie mille Salvo ❤💪
Appena passato algebra con 21 preparato in 2 settimane grazie a questo corso. Non scorderò mai queste lezioni e spero di seguire anche altre sue playlist riferite ad altre materie sempre presenti nel mio corso di studi
Grazie davvero per l’enorme aiuto, ho passato l’esame di Algebra e Geometria grazie a lei. Ora toccherà ad Analisi e I sui video saranno nuovamente un solido punto di riferimento. Grazie ancora!
Buongiorno Stefano .Intanto grazie mille per il Suo contributo al canale .Mi ha fatto piacere leggere che la playlist di algebra lineare sia stata utile e sufficiente per capire e superare l'esame .Ne sono onorato . Buona permanenza nel mio canale per altre videolezioni . PS: per analisi matematica 1 suggerisco di ripassare alcuni concetti di matematica di base (equazioni e disequazioni di tutti i tipi ) e poi iniziare analisi 1 . Grazie ancora .
Io ringrazio lei e internet per fornirmi queste lezioni, con maggior cura un ringraziamento grande e speciale per la dedizione che ci mette per spiegare in maniera che chiunque possa capire questi argomenti di cui io ho avuto difficoltà a capire in università. Complimenti, mi piace e iscritto al canale, tutti meritati!
Posso dire senza ombra di dubbio che le sue lezioni sono state un supporto fondamentale per la preparazione dell'esame di algebra lin. E geometria a ingegneria meccanica. Mi hanno fornito un'impronta sulla quale costruire argomento più complicati. Con un dignitoso 24 la ringrazio di cuore.
La ringrazio per la sua esperienza Alessio .Mi fa piacere che tramite le videolezioni abbia raggiunto un risultato di tutto rispetto . Onorato di esserLe stato utile
finalmente un professore chiaro, simpatico, interessante e completo. Mi hai stravolto la carriera universitaria, ti adoro, non posso più preparare materie senza di te, grazie!
Di solito non scrivo commenti in nessun canale, ma questa volta mi sento in dovere di fare un'eccezione, mi trovo a scrivere su questo video anche se per il livello più che eccellente di come riusciate a portare questi contenuti alla portata di tutti, dovrei scrivere un commento ad ogni suo video. Sono davvero sorpreso e al tempo stesso incredulo di aver trovato un professore come lei che sappia trasmettere a chiunque anche concetti più complessi. La chiamo professore ,se mi permette ovviamente, perchè i suoi video sono di un contenuto educativo-didattico di un livello sorprendente. Detto questo la ringrazio per tutti i contenuti che porta, per la qualità dei video veramente ottima e per la passione con cui riesce a fare tutto ciò.
La ringrazio per il Suo punto di vista e fa piacere che i miei contenuti siano graditi da molti studenti (in rappresentanza al Suo bel commento) Spesso per rendere più fruibile e intuitiva la spiegazione devo rinunciare al linguaggio matematico formale , tuttavia se ciò è efficace ben venga . Messaggi come il Suo ne arrivano tanti e fa parte mia Vi ringrazio (parlo al plurale ) singolarmente.
@@salvoromeo Mi creda se le dico che questo approccio meno formale sia più efficiente. Un po' come faceva Feynman che per comprendere una cosa di qualsiasi natura egli fosse, non gli importava dei termini formali, addirittura quando andava a scuola molti simboli e notazioni se li inventava lui perchè ricavandoseli da solo senza l'aiuto di professori o del libro diceva che erano più semplici. Partiva sempre dalle basi, giungendo alla fase finale di formulare un esempio talmente semplice che fosse comprensibile a chiunque. Ma poi per intenderci, un conto è capire le cose per conto proprio e per soddisfare la propria curiosità scientifica e un conto è esporre i contenuti a un'esame. Ormai al giorno d'oggi si possono trovare ovunque testi che ti diano una definizione con relativa dimostrazione in termini formali e più astratti, ma trovare contenuti così come li porta lei è difficile.
Professore la devo ringraziare tantissimo. Dove vari tentativi nel passare algebra lineare, mi sono imbattuta nel suo canale RUclips. Una manna dal cielo, davvero. Se finalmente ho superato algebra lineare è grazie a lei. Adesso mi tocca Analisi 2 e non vedo l'ora di seguire la sua playlist ;)
Buonasera , sono molto lieto che i contenuti della presente playlist siano stati utili . Per quanto riguarda analisi 2 i contenuti sono sempre in via di aggiornamento e la playlist viene costantemente arricchita con altri argomenti .Ricordo sempre che le varie lezioni presenti nel canale sono sempre generici e mai deve sostituire lo studio vero e proprio tramite i libri di testo 😊 .
La ringrazio per la scelta .Spero (e credo) che molte lezioni possano essere di grande aiuto per fissare le nozioni di base e passare a esercizi più complessi .Integri ovviamente con altro materiale ufficiale fornito dai Suoi docenti in aula . La ringrazio per l'apprezzamento . Buona serata
Grazie Nico , è un piacere sentire il tuo parere su questo contenuti .Per algebra lineare c'è già una playlist (quasi ) complete che consente già di comprendere i principali concetti . Buona permanenza nel mio canale .
Finalmente ho trovato una persona umana e non il classico algebrista uscito chissá da dove rigonfio di superiorità e formalitá che sprizza da tutti i pori😂😂😂, delle lezioni davvero ben fatte, grazie tante
Ciao, l'argomento è chiarissimo e spiegato perfettamente. Un solo dubbio mi attanaglia ormai da giorni e non mi permette di dormire la notte: esattamente come scrive? Su un vetro al contrario? o scrive normalmente e poi viene specchiata l'immagine in editing? Grazie :)
Grazie per i tuoi video, mi sto preparando all'esame di algebra lineare e mi stanno aiutando molto nelle ripetizioni, e soprattutto non avevo proprio in chiaro questi argomenti..
Salve Joseph , questo mi fa onore .Buona permanenza nel mio canale .I contenuti di algebra lineare sono sempre in via di rilascio e nei prossimi mesi /settimane ci saranno altre novità .
Sto preparando l'esame di calcolo e algebra lineare, sinceramente non ho capito nulla dal mio professore, scopro che invece i concetti spiegati così sono molto comprensibili. Complimenti per la didattica, avrei voluto essere un suo alunno. Max
Grazie per le parole di apprezzamento .Non posso giudicare il lavoro altrui dal momento che io ho i miei metodi di insegnamento e se vengono graditi da parte di Voi studenti , ne sono lusingato e onorato . Buona permanenza nel mio canale e per qualsiasi domanda sono a disposizione ..
Grazie, solo quando si ha una piena padronanza della disciplina se ne possono trasmettere gli elementi di base con tale chiarezza, semplicità ed efficacia didattica. Ti seguirò nelle varie lezioni per chiarirmi concetti necessari a comprendere la fisica divulgativa. Grazie ancora
Buonasera Silvana , La ringrazio per gli elogi verso la mia didattica .Come ho detto in molte occasioni si tratta sempre di lezioni di base e non devono essere prese come sostitute delle lezioni tenute in aula da parte dei vostri docenti , in ogni caso la playlist di algebra lineare (quasi completa ) può essere un ottimo spunto per capire la materia iniziando dagli esercizi di base e via via svolgere esercizi più complessi . Buona permanenza nel mio canale :-)
Buongiorno , grazie anche a Lei per l'apprezzamento .Per geometria ho già rilasciato la parte della geometria nel piano e ho appena rilasciato (qualche giorno fa) la prima delle quattro lezioni sulla geometria nello spazio .A seguire rilascerò la parte delle coniche e delle quadriche con esercizi annessi .Chiedo solo di pazientare dal momento che i rilasci sono programmati secondo un ordine e turnazione dal momento che rilascio anche contenuti di analisi matematica . Per urgenze può contattarmi anche in privato .
Bravissimo!!! Una curiositá sulla lavagna: ho l'impressione che sia una lavagna trasparente e che lei scriva al contrario affinché noi vediamo le scritte nella direzione giusta. É cosí? O che metodo usa?
salve prof, mi sto preparando per l esame di algebra lineare con le sue videolezioni che sono favolose, ma avrei una domanda un po diversa: come fa a scrivere su un pannello che è davanti a lei in modo che a noi risulti dritto e non scritto al contrario?
La ringrazio infinitamente per le preziose lezioni, chiare e ben strutturate. Complimenti! Approfitto per porle una domanda: i coefficienti del polinomio appartengono ad un campo, ed è chiaro, ma potrebbe gentilmente darmi chiarimento riguardo alla variable x del polinomio, reale quando i coefficienti sono reali? Complessa quando sono complessi? Non c’è alcuna relazione? Mi scusi nel caso mi fosse sfuggito. Grazie ancora!
Buonasera Giordano scusi se Le rispondo adesso , non sempre riesco a leggere tutti i messaggi . Cinsiremderi un polinomio del tipo 3-2x²+5x³ .In questo caso è un polinomio di grado tre a. Inefficienti reali . Sua invece il polinomio 2-i x+3x²+i x¾ .Questo è un polinomio a coefficienti immaginari dal momento che non tutti i coefficienti sono reali .Con "i" ho indicato l'unità immaginaria . Spero di aver risposto alla Sua domanda .
@@salvoromeo buongiorno, grazie per la sua risposta, mi scuso per non esser stato sufficientemente chiaro, mi riferivo al campo di variazione della variabile x del polinomio, non ai coefficienti. La domanda quindi è quale sia il campo in cui far variare la x nel caso i coefficienti siano reali o complessi, o non c’è alcuna relazione? Ossia la x può essere reale o complessa con coefficienti sia reali che complessi? Grazie mille!!
Da un lato sia vettori matrici che polinomi di grado massimo pari a n, le componenti possono essere pensati come componenti di un vettore, per il vettore è il classico, le componenti di un vettore, per le matrici si può pensare che le righe o le colonne siano sezioni delle componenti di un vettore si può pensare una matrice come un vettore di dimensione n*m, anche se non è un vettore di dimensione n*m è una matrice ad n righe ed m colonne, per i polinomi di grado massimo pari ad n l'ha appena detto si può pensare come un vettore n+1 componenti anche in questo caso è un polinomio non un vettore.
Grazie Simone , i video di algebra lineare , analisi sono in via di rilascio e ancora mancano tante videolezioni che sto rilasciando periodicamente . Buona permanenza nel mio canale .
Egregio Prof, i miei rispetti, ma veramente! Una piccola divergenza di opinione, se mi permette, cmq la esprimerei, e infine spero che converrà con me. Sembra filosofica, ma invece la reputo profonda. All'inizio, volendo Lei far capire facilm agli studenti cosa siano i vettori, Lei esorta gli studenti a dimenticare i vettori sperimentali della Fisica, le "frecce", e introduce le n-ple di Rn. Ecco, qui non sono d'accordo, perche qui nella testa di tanti studenti, nasce il problema. Quei vettori brutali e sperimentali dei quali il prof di Fisica ci definì (in un giorno lontano!) la somma con un sistema di funicelle tese e disposte a parallelogramma (che di peggio matematicamente non potrei trovare!), in realta sono perfetti per popolare la Sua "pentola" di oggetti di uno spazio vettoriale V. Infatti (come del resto quasi sempre in Algebra), per dichiarare quegli oggetti idonei a far parte di V, il Matematico algebrista NON vuole sapere nulla sulla natura (fine o brutale) di quegli enti, né con che protocollo è stata definita la loro somma: tutto qs resta fuori dai discorsi dell'Algebrista. Basta che diciamo che quegli oggetti si possono sommare (e in cuor nostro possiamo benissimo pensare al brutto parallelogramma con le brutte cordicelle), e che la somma v1+v2 e la dilatazione kv siano opr di composizione interna in V, e siamo a posto, senza entrare sulla natura degli oggetti e delle loro operazioni. Del tipo: sai cosa sono? Ok, considerali! E li sai sommare? E allora sommali; e anche dilatali, e poi sommali dopo dilatati, come fai non voglio sapere! (parallelogramma). E questi sono gli OGGETTI ASSOLUTI di V, spesso brutali e sommariamente definiti. Per la brutalità (digressione), pensi che io preparavo il cibo Giornaliero per il cane come vettore G dello spazio V3 carne-pesce-verdure, assumendo una base di quello spazio costituita da 3 vettori c,p,v che erano c= una prefissata dose c di carne (per intendersi c=200g carne), p=una prefissata dose p di pesce (p=50g pesce), e v=una prefiss dose v di verdure (v=30g verdure). Cosicché il pasto giornaliero era sempre un vettore G=k1*c+k2*p+k3*v con i k123 reali. P.es il pasto di oggi potrebbe essere G=0,5c+1p+1,5v ; e G, che visivamente è una polpetta, è un vettore di V, un oggetto; questo per dire quanto grezzi possono essere gli oggetti di un V, e le loro regole di somma! Resto sul esempio del cane (che ok, è un po particolare perche in pratica una volta sommati insieme in una polpetta, poi praticam non posso più sottrarre ingredienti da essa, ma qui suppongo di poterlo fare, e procedo). Ecco, vedo che in quel insieme V di infiniti pasti G per cane a 3 ingredienti, io ho scelto 3 elementi TRA ESSI, tre vettori tra essi, i suddetti c,v,p, che chiamo BASE b di V, con i quali potevo comporre qualunque pasto G; e un qualsiasi pasto G poteva essere RAPPRESENTATO da una terna di valori numerici, cioè una terna di R3, del tipo la (0,5 1 1,5)[b] vista sopra, ove [b] è un pedice che ricorda la base assunta per quella rappresentaz di G in R3. Ecco che nasce il concetto di vettore G di V, ma RAPPRESENTATO nello spazio numerico R3, da una terna di numeri che ordinatamente esprime la "ricetta" di G come comb. lin. dei tre vett della data base b; con buona scrittura scrivo G(b)=(0,5 1, 🎉1,5)[b] e leggo "G rappresentato in base b = (........). Ovviam cambiando base, lo STESSO PASTO G cambia rappresentazione in R3. P.es. se decido di mantenere in congelatore come base le stesse "palline" p e v di prima, ma ora invece delle palline c delle nuove palline di carne ridotte c'=100g carne, ecco che ho una nuova base b', e lo STESSO vettore G, ora RAPPRESENTATO in b', diviene una diversa terna dello spazio DI RAPPRESENTAZIONE R3, e cioè G(b')=(1 0,5 1,5)[b'], che nello spazio V ASSOLUTO scrivo però ancora senza rif alla base G=1c'+0,5p+1,5v perché è una relazione tra vettori assoluti, tra polpette, non ancora rappresentati, ma considerati ancora nel loro spazio ambiente originario V. Concludo la "filosofia", dicendo che farei osservare agli studenti che V è uno spazio di oggetti ASSOLUTI, che vivono di vita propria, indipendentemente dalla base scelta in V. E li, se trasformo un vettore G nel suo doppio, quella è una trasformazione T(G) assoluta (un endomorfismo) tra essi. Ove invece, nello spazio di rappresentazione R3, la trasformaz tra i rappresentati dipenderà dalla base scelta, ed i vettori G(b) e 2G(b) trasformato, si corrisponderanno mediante una matrice A(b), secondo 2G(b)= A(b)*G(b), ove la matr A(b) RAPPRESENTA in R3 la trasf. lin T tra oggetti di V. Insomma, tutto il papiro (scritto a fatica sul cell in una sala d'attesa) per dire che farei capire che R3 in primis è uno spazio di nple di rappresentazione, e sono tutte nple in base canonica, c.dette nple di componenti di G, che sono selezionate da G e dalla base b mediante un... isomorfismo (detto isomorfismo vettori-componenti). Appena dopo, parlerei del R3 (che è il medesimo R3!) ora come spazio vettoriale di nple (detto però spazio vettoriale standard, per distinguerlo dallo spz vett di rappresentaz, che è lo stesso, ma ove lì assumo solo la base canonica). Nel R3 std assumo come oggetti v tipo la npla v=(1,2,3), viste ora esse stesse come oggetti, che ora cioè sono esse stesse VETTORI OGGETTO di quel R3 std, ora spazio di vettori, e sono formate qui da coordinate (non piu componenti!). Se assumo anche sul R3 std la base canonica b= {e1,e2 e3}, ho anche qui la rappresentaz di v nel R3 di rappresentazione, che è v(b)=(1,2,3)[b] ; ma in R3 inteso come spz vett std posso però prendere anche una altra base che voglio, p. es. la b'= {f1,e2,e3}, con f1=2e1, e allora la stessa npla v=(1,2,3) del R3 spazio vettoriale std, rappresentata nel R3 di rappresentaz ma secondo la nuova base b', diventa v(b')=(0.5, 2, 3)[b'] . Sono stato prolisso, ok, me ne scuso, ma spero di essere riuscito a esprimere la mia "vision" sulla duplice interpretazione degli spazi di nple R3, o Rn. E trovo in qualche modo anche bello qs concetto di vettori-oggetto v che "vivono" in (p.es.) V3 di una vita non numerica, e si trasformano tra loro con delle trasf. lineari w=T(v) anch'esse non numeriche, assolute, del tipo: w è una certa rotazione di v, o una certa proiezione di v su un dato piano, o una dilatazione di v, ecc. . Ma tutto cio, in qs mondo V3 non numerico, non si sa gestire quantitativamente, e allora ecco che prendo tre oggetti v1,2,3 di V3, lin.indip., li chiamo base di V3, e con una operazione detta "isomorfismo vettori-componenti" trovo per ogni v di V3 qual è la sua ricetta o rappresentazione) nella base b, ottenendo la terna numerica RAPPRESENTATIVA, ora in R3, (m,n,p)[b]. È fondamentale la differenza fra la scrittura assoluta v=mv1+nv2+pv3, che "non vuole sapere" di basi, e la scrittura RAPPRESENTATA IN R3 di v v(b)=(m,n,p)[b] che invece dipende dalla base b. Come pure dalla base b dipende la matrice A(b) che rappresenta la t.lin. T in b. Con tutto cio possiamo fare tutti i calcoli nello spazio R3 di rappresentazione, per poi tornare, a conti fatti, nello spazio assoluto non numerico V3 (che puo anche essere lo R3 std). Che dire, indagare questi mondi è veramente meraviglioso, e grande merito va al prof. Romeo che introduce - con semplicità ma nel contempo con il dovuto rigore - gli studenti in questo strano universo, dove occorre muoversi con grandi cautele... Spero che le mie elucubrazioni, qui ben poco rigorose, abbiano anch'esse qualche utilità nel processo di comprensione in cui gli studenti si trovano ora...
Nell'esempio del cane, che mi piace particolarmente, una bella base canonica nel sist di rif ortogonale carne-pesce-verdura potrebbe essere e1=100g carne, e2=100g pesce, e3=100g verdura; queste potrebbero essere le mie palline surgelate che ogni volta prelevo dal frigo per combinarle linearmente nel pasto giornaliero (vettore) G. Ma è bello pensare anche ad una base i cui vettori non sono né unitari né distesi sugli assi ortogonali, bensi sono inclinati rispetto ad essi. Così potrei surgelare palline c'=100g carne+ 50g pesce=e1+0,5e2; p'=50g pesce+30g verdure= 0,5e1+0,3e2; v'=50g carne+50g pesce+30g verdure = 0,5(e1+e2)+0,3e3 . Il probl pratico con qs palline, è che secondo l'Algebra io potrei anche sottrarre un ingrediente in ricetta, dopo averli combinati linearmente, ciò che invece, nella pratica di cucina con componenti non discreti ma continui, non posso fare. In cucina si potrebbe ancora fare ciò con componenti discreti che restano riconoscibili, come mix di astagne, noci, nocciole... ;-)
Grazie alle sue lezioni sono riuscito a passare l’esame di Algebra Lineare. I docenti dovrebbero essere tutti come lei: chiaro, rapido esplicato e semplice da campire. Complenti davvero.
Buonasera .Grazie per il Suo commento, ne ricevo tanti anche in privato e sono i messaggi più belli quelli in cui gli utenti mi comunicano di aver superato un esame guardando le lezioni del mio canale .
Grazie per la scelta e nella fiducia riposta nei confronti dei miei contenuti (pur con diverse imperfezioni ) .
La ringrazio ancora .
Anche tu? La mia prof purtroppo non sapeva spiegare e avevo molte difficoltà a studiare... Tra i video di Bombardelli e di Salvo non ho avuto nessun problema e ho preparato l'esame in una settimana ahahah
Mio padre , mio zio e occasionalmente mio cugino .
E la mamma? Considerando che di mamma c'è n'è una sola, potremmo identificare la mamma col vettore nullo (che è unico).
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Buongiorno Professore.
Ci tenevo a ringraziarla perchè le sue lezioni mi hanno aiutato molto nel superamento degli esami di Analisi 1, Analisi 2 e Algebra lineare e geometria. La ringrazio per tutto quello che fa. Un saluto :)
Buonasera Alfio .
La ringrazio tantissimo per la donazione .Sono lieto che grazie ai miei contenuti é riuscito a superare analisi matematica e algebra lineare .Spero che i miei contenuti siano stati anche piacevoli e nel canale sto cercando di fare del mio meglio .
La ringrazio ancora per la sua abbondante donazione .
Salvo Romeo .
Grazie prof! Per studiare geometria ho guardato più e più volte i suoi video e sono stati super utili, passato l'esame con un buon voto. Ora comincerò a guardarmi la playlist di analisi 2 😁
Buongiorno Alberto intanto ti ringrazio per il dono e non dovevi una cifra così alta .
Ho visto il Suo avatar e con piacere scopro che sei anche su Tik Tok (oltre che su RUclips ) e mi complimento per i contenuti che proponi e invito gli appassionati di scienza (che leggono questo commento ) a seguire i tuoi canale e profilo Tik Tok .
Dallo RUclips studio con piacere noto che molti utenti che seguono i miei contenuti seguono vedono anche i tuoi e questo mi fa molto piacere .
Al di là di questo sono molto lieto che i miei video sono stati utili .Spero che ti possa essere utile anche analisi matematica 2 anche se si tratta sempre di lezioni di base e di tanto in tanto (mia dislessia) c'è qualche imprecisione (non grave) rigorosamente segnalata in un commento in evidenza .
Ancora grazie Alberto .
Buona giornata .
@@salvoromeo grazie mille ❤ proprio perché amo la scienza quest'anno ho deciso di iscrivermi a fisica (nonostante i miei 32 anni). Un percorso difficile ma bellissimo. Continuerò a seguire i suoi video con piacere :)
Grazie alle lezioni di quest'uomo, anzi questo eroe, ho preso 30 su 30 in algebra lineare e geometria (esame da 12 CFU in ingegneria a Padova). Grazie davvero per ogni singolo video e per le spiegazioni fantastiche che ho trovato in questa playlist. La consiglio a chiunque debba dare quell'esame o simili. Spiegazioni eccezionali davvero, grazie mille Salvo ❤💪
La ringrazio Giulio , mi fa piacere che le videolezioni di questa playlist siano state utili .Complimenti per il voto che di certo è merito Suo 😊
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Appena passato algebra con 21 preparato in 2 settimane grazie a questo corso.
Non scorderò mai queste lezioni e spero di seguire anche altre sue playlist riferite ad altre materie sempre presenti nel mio corso di studi
ma se studio andando di pari passo alle spiegazioni del prof sono pazzo? 😂😂
Grazie davvero per l’enorme aiuto, ho passato l’esame di Algebra e Geometria grazie a lei.
Ora toccherà ad Analisi e I sui video saranno nuovamente un solido punto di riferimento.
Grazie ancora!
Buongiorno Stefano .Intanto grazie mille per il Suo contributo al canale .Mi ha fatto piacere leggere che la playlist di algebra lineare sia stata utile e sufficiente per capire e superare l'esame .Ne sono onorato .
Buona permanenza nel mio canale per altre videolezioni .
PS: per analisi matematica 1 suggerisco di ripassare alcuni concetti di matematica di base (equazioni e disequazioni di tutti i tipi ) e poi iniziare analisi 1 .
Grazie ancora .
Io ringrazio lei e internet per fornirmi queste lezioni, con maggior cura un ringraziamento grande e speciale per la dedizione che ci mette per spiegare in maniera che chiunque possa capire questi argomenti di cui io ho avuto difficoltà a capire in università. Complimenti, mi piace e iscritto al canale, tutti meritati!
Ringrazio Lei Gregorio per l'apprezzamento dei miei contenuti .
Buona permanenza nel canale .
Posso dire senza ombra di dubbio che le sue lezioni sono state un supporto fondamentale per la preparazione dell'esame di algebra lin. E geometria a ingegneria meccanica. Mi hanno fornito un'impronta sulla quale costruire argomento più complicati. Con un dignitoso 24 la ringrazio di cuore.
La ringrazio per la sua esperienza Alessio .Mi fa piacere che tramite le videolezioni abbia raggiunto un risultato di tutto rispetto .
Onorato di esserLe stato utile
Spiegazione meravigliosa. Una vocazione all'insegnamento straordinaria. Grazie infinite.
Grazie mille per l'apprezzamento .
Professore, io La amo. Studiare matematica è diventato piacevolissimo, ed è solo merito suo. Grazie, grazie e ancora grazie!
Davvero prezioso! Ho trovato con te il mix perfetto fra spiegazioni con termini "comuni" ed esempi ai concetti! Grazie mille
Grazie a Lei per l'apprezzamento .È un piacere sentire opinioni del genere verso i presenti contenuti didattici .
Buona permanenza nel canale .
finalmente un professore chiaro, simpatico, interessante e completo. Mi hai stravolto la carriera universitaria, ti adoro, non posso più preparare materie senza di te, grazie!
Di solito non scrivo commenti in nessun canale, ma questa volta mi sento in dovere di fare un'eccezione, mi trovo a scrivere su questo video anche se per il livello più che eccellente di come riusciate a portare questi contenuti alla portata di tutti, dovrei scrivere un commento ad ogni suo video. Sono davvero sorpreso e al tempo stesso incredulo di aver trovato un professore come lei che sappia trasmettere a chiunque anche concetti più complessi. La chiamo professore ,se mi permette ovviamente, perchè i suoi video sono di un contenuto educativo-didattico di un livello sorprendente. Detto questo la ringrazio per tutti i contenuti che porta, per la qualità dei video veramente ottima e per la passione con cui riesce a fare tutto ciò.
La ringrazio per il Suo punto di vista e fa piacere che i miei contenuti siano graditi da molti studenti (in rappresentanza al Suo bel commento)
Spesso per rendere più fruibile e intuitiva la spiegazione devo rinunciare al linguaggio matematico formale , tuttavia se ciò è efficace ben venga .
Messaggi come il Suo ne arrivano tanti e fa parte mia Vi ringrazio (parlo al plurale ) singolarmente.
@@salvoromeo Mi creda se le dico che questo approccio meno formale sia più efficiente. Un po' come faceva Feynman che per comprendere una cosa di qualsiasi natura egli fosse, non gli importava dei termini formali, addirittura quando andava a scuola molti simboli e notazioni se li inventava lui perchè ricavandoseli da solo senza l'aiuto di professori o del libro diceva che erano più semplici. Partiva sempre dalle basi, giungendo alla fase finale di formulare un esempio talmente semplice che fosse comprensibile a chiunque. Ma poi per intenderci, un conto è capire le cose per conto proprio e per soddisfare la propria curiosità scientifica e un conto è esporre i contenuti a un'esame. Ormai al giorno d'oggi si possono trovare ovunque testi che ti diano una definizione con relativa dimostrazione in termini formali e più astratti, ma trovare contenuti così come li porta lei è difficile.
Professore la devo ringraziare tantissimo. Dove vari tentativi nel passare algebra lineare, mi sono imbattuta nel suo canale RUclips. Una manna dal cielo, davvero. Se finalmente ho superato algebra lineare è grazie a lei. Adesso mi tocca Analisi 2 e non vedo l'ora di seguire la sua playlist ;)
Buonasera , sono molto lieto che i contenuti della presente playlist siano stati utili .
Per quanto riguarda analisi 2 i contenuti sono sempre in via di aggiornamento e la playlist viene costantemente arricchita con altri argomenti .Ricordo sempre che le varie lezioni presenti nel canale sono sempre generici e mai deve sostituire lo studio vero e proprio tramite i libri di testo 😊 .
Grazie mille per le sue lezioni. Sto preparando l'esame di algebra lineare e le sue spiegazioni mi stanno aiutando molto.
La ringrazio per la scelta .Spero (e credo) che molte lezioni possano essere di grande aiuto per fissare le nozioni di base e passare a esercizi più complessi .Integri ovviamente con altro materiale ufficiale fornito dai Suoi docenti in aula .
La ringrazio per l'apprezzamento .
Buona serata
Complimenti Prof. Romeo. Spiegazione semplice e lineare. Grazie per i suoi video.
Professore lei è veramente bravissimo e se riesce a spiegare ad un castrone come me a 50 anni è un gran complimento.
Come mai a 50 anni studia algebra lineare?
complimenti, grazie a te finalmente sto capendo questi argomenti.Le spiegazioni sono davvero chiare, perfette. Grazie
Grazie Nico , è un piacere sentire il tuo parere su questo contenuti .Per algebra lineare c'è già una playlist (quasi ) complete che consente già di comprendere i principali concetti .
Buona permanenza nel mio canale .
complimenti per la chiarezza, finalmente ho compreso tutto. Grazie!
Finalmente ho trovato una persona umana e non il classico algebrista uscito chissá da dove rigonfio di superiorità e formalitá che sprizza da tutti i pori😂😂😂, delle lezioni davvero ben fatte, grazie tante
Grazie
Ciao, l'argomento è chiarissimo e spiegato perfettamente. Un solo dubbio mi attanaglia ormai da giorni e non mi permette di dormire la notte: esattamente come scrive? Su un vetro al contrario? o scrive normalmente e poi viene specchiata l'immagine in editing? Grazie :)
Allora non sono l'unico ad essersi posto la curiosità! 😆
I swear you are simply the best. Molto chiaro e preciso. Graciassssss nelle tutte le lingue :)
Grazie per tutti i commenti di apprezzamento .Cerco di fare del mio meglio nonostante qualche difetto che è inevitabile .
Grazie per i tuoi video, mi sto preparando all'esame di algebra lineare e mi stanno aiutando molto nelle ripetizioni, e soprattutto non avevo proprio in chiaro questi argomenti..
Salve Joseph , questo mi fa onore .Buona permanenza nel mio canale .I contenuti di algebra lineare sono sempre in via di rilascio e nei prossimi mesi /settimane ci saranno altre novità .
Sto preparando l'esame di calcolo e algebra lineare, sinceramente non ho capito nulla dal mio professore, scopro che invece i concetti spiegati così sono molto comprensibili. Complimenti per la didattica, avrei voluto essere un suo alunno. Max
Grazie per le parole di apprezzamento .Non posso giudicare il lavoro altrui dal momento che io ho i miei metodi di insegnamento e se vengono graditi da parte di Voi studenti , ne sono lusingato e onorato .
Buona permanenza nel mio canale e per qualsiasi domanda sono a disposizione ..
grazie mille, lei e' fantastico... mi ha fatto passare l'esame
Grazie, solo quando si ha una piena padronanza della disciplina se ne possono trasmettere gli elementi di base con tale chiarezza, semplicità ed efficacia didattica. Ti seguirò nelle varie lezioni per chiarirmi concetti necessari a comprendere la fisica divulgativa. Grazie ancora
Buonasera Silvana , La ringrazio per gli elogi verso la mia didattica .Come ho detto in molte occasioni si tratta sempre di lezioni di base e non devono essere prese come sostitute delle lezioni tenute in aula da parte dei vostri docenti , in ogni caso la playlist di algebra lineare (quasi completa ) può essere un ottimo spunto per capire la materia iniziando dagli esercizi di base e via via svolgere esercizi più complessi .
Buona permanenza nel mio canale :-)
Lezione interessante e ben fatta . Grazie mille 🎉
Spiegazione perfetta. Grazie !!
Grazie a Lei per il gradimento .
Lei è bravissimo!!
Grande! Molto chiaro
Chiarissimo come sempre, grazie!
Complimenti per la chiarezza , Grazie mille
Grazie a Lei Giuseppe , in caso di dubbi non esiti a fare domande .Il messaggio è rivolto a tutti ovviamente .
Risponderò quando prima .
sei veramente bravissimo, complimenti
La ringrazio per aver apprezzato la breve introduzione di tale argomento .
mi stai salvando con gal grazie mille😂
Wow grazie ottimo lavoro
Grazie Salvo!!
Mio padre, grazie a lei ho preso 30 in geometria e algebra lineare
Buonasera , questa è una bella notizia .Lieto che i miei contenuti siano stati utili .
Tanti auguri con i suoi studi futuri .
Buongiorno professore. Innanzitutto complimenti per l'ottima spiegazione, le vorrei chiedere se ha anche fatto dei video sulla parte di geometria.
Buongiorno , grazie anche a Lei per l'apprezzamento .Per geometria ho già rilasciato la parte della geometria nel piano e ho appena rilasciato (qualche giorno fa) la prima delle quattro lezioni sulla geometria nello spazio .A seguire rilascerò la parte delle coniche e delle quadriche con esercizi annessi .Chiedo solo di pazientare dal momento che i rilasci sono programmati secondo un ordine e turnazione dal momento che rilascio anche contenuti di analisi matematica .
Per urgenze può contattarmi anche in privato .
Ing.Civile, UniPi, a.a. 2007/08: 7 appelli per dare algebra lineare con un modesto 19 😂
Ad avercene avuti di video come i suoi al tempo!!!
Bravissimo!!!
Una curiositá sulla lavagna: ho l'impressione che sia una lavagna trasparente e che lei scriva al contrario affinché noi vediamo le scritte nella direzione giusta. É cosí? O che metodo usa?
Finalmente ho capito cosa sono, mi hai salvata
Lieto di essere (anche parzialmente ) utile. Grazie per il gradimento.
salve prof, mi sto preparando per l esame di algebra lineare con le sue videolezioni che sono favolose, ma avrei una domanda un po diversa: come fa a scrivere su un pannello che è davanti a lei in modo che a noi risulti dritto e non scritto al contrario?
Specchia il video o registra il video specchiato
ciaoo, innanzitutto spieghi benissimo, in secondo luogo, come faia scrivere nell'aria? me lo sono sempre chiesta ma non riesco a capirlo. grazie
La ringrazio infinitamente per le preziose lezioni, chiare e ben strutturate. Complimenti!
Approfitto per porle una domanda: i coefficienti del polinomio appartengono ad un campo, ed è chiaro, ma potrebbe gentilmente darmi chiarimento riguardo alla variable x del polinomio, reale quando i coefficienti sono reali? Complessa quando sono complessi? Non c’è alcuna relazione? Mi scusi nel caso mi fosse sfuggito. Grazie ancora!
Buonasera Giordano scusi se Le rispondo adesso , non sempre riesco a leggere tutti i messaggi .
Cinsiremderi un polinomio del tipo 3-2x²+5x³ .In questo caso è un polinomio di grado tre a. Inefficienti reali .
Sua invece il polinomio 2-i x+3x²+i x¾ .Questo è un polinomio a coefficienti immaginari dal momento che non tutti i coefficienti sono reali .Con "i" ho indicato l'unità immaginaria .
Spero di aver risposto alla Sua domanda .
@@salvoromeo buongiorno, grazie per la sua risposta, mi scuso per non esser stato sufficientemente chiaro, mi riferivo al campo di variazione della variabile x del polinomio, non ai coefficienti. La domanda quindi è quale sia il campo in cui far variare la x nel caso i coefficienti siano reali o complessi, o non c’è alcuna relazione? Ossia la x può essere reale o complessa con coefficienti sia reali che complessi? Grazie mille!!
Sei un eroe :)
Mi scusi ma quindi gli spazi vettoriali sono anelli unitari? Grazie in anticipo
Bravissimo, grazie !
Da un lato sia vettori matrici che polinomi di grado massimo pari a n, le componenti possono essere pensati come componenti di un vettore, per il vettore è il classico, le componenti di un vettore, per le matrici si può pensare che le righe o le colonne siano sezioni delle componenti di un vettore si può pensare una matrice come un vettore di dimensione n*m, anche se non è un vettore di dimensione n*m è una matrice ad n righe ed m colonne, per i polinomi di grado massimo pari ad n l'ha appena detto si può pensare come un vettore n+1 componenti anche in questo caso è un polinomio non un vettore.
Bellissima lezione
Grazie 🙂
Grande!
la amo prof
Per poter essere nel campo dei complessi, occore che almeno un elemento sia un numero immaginario?
Un numero immaginario è un particolare numero complesso .In ogni caso negli esercizi già viene stabilito il campo .
Grazie mille ti prego continua a farne altri di video spieghi egregiamente
Grazie Simone , i video di algebra lineare , analisi sono in via di rilascio e ancora mancano tante videolezioni che sto rilasciando periodicamente .
Buona permanenza nel mio canale .
Genio 🙏
La ringrazio per il gradimento ... cerco di diffondere in modo più semplice possibile tali concetti .
Grazie mille
Grazie a te .
Top !
Ti Amo
Spettacolo
Egregio Prof, i miei rispetti, ma veramente! Una piccola divergenza di opinione, se mi permette, cmq la esprimerei, e infine spero che converrà con me. Sembra filosofica, ma invece la reputo profonda. All'inizio, volendo Lei far capire facilm agli studenti cosa siano i vettori, Lei esorta gli studenti a dimenticare i vettori sperimentali della Fisica, le "frecce", e introduce le n-ple di Rn. Ecco, qui non sono d'accordo, perche qui nella testa di tanti studenti, nasce il problema. Quei vettori brutali e sperimentali dei quali il prof di Fisica ci definì (in un giorno lontano!) la somma con un sistema di funicelle tese e disposte a parallelogramma (che di peggio matematicamente non potrei trovare!), in realta sono perfetti per popolare la Sua "pentola" di oggetti di uno spazio vettoriale V. Infatti (come del resto quasi sempre in Algebra), per dichiarare quegli oggetti idonei a far parte di V, il Matematico algebrista NON vuole sapere nulla sulla natura (fine o brutale) di quegli enti, né con che protocollo è stata definita la loro somma: tutto qs resta fuori dai discorsi dell'Algebrista. Basta che diciamo che quegli oggetti si possono sommare (e in cuor nostro possiamo benissimo pensare al brutto parallelogramma con le brutte cordicelle), e che la somma v1+v2 e la dilatazione kv siano opr di composizione interna in V, e siamo a posto, senza entrare sulla natura degli oggetti e delle loro operazioni. Del tipo: sai cosa sono? Ok, considerali! E li sai sommare? E allora sommali; e anche dilatali, e poi sommali dopo dilatati, come fai non voglio sapere! (parallelogramma). E questi sono gli OGGETTI ASSOLUTI di V, spesso brutali e sommariamente definiti. Per la brutalità (digressione), pensi che io preparavo il cibo Giornaliero per il cane come vettore G dello spazio V3 carne-pesce-verdure, assumendo una base di quello spazio costituita da 3 vettori c,p,v che erano c= una prefissata dose c di carne (per intendersi c=200g carne), p=una prefissata dose p di pesce (p=50g pesce), e v=una prefiss dose v di verdure (v=30g verdure). Cosicché il pasto giornaliero era sempre un vettore
G=k1*c+k2*p+k3*v
con i k123 reali.
P.es il pasto di oggi potrebbe essere
G=0,5c+1p+1,5v ;
e G, che visivamente è una polpetta, è un vettore di V, un oggetto;
questo per dire quanto grezzi possono essere gli oggetti di un V, e le loro regole di somma!
Resto sul esempio del cane (che ok, è un po particolare perche in pratica una volta sommati insieme in una polpetta, poi praticam non posso più sottrarre ingredienti da essa, ma qui suppongo di poterlo fare, e procedo).
Ecco, vedo che in quel insieme V di infiniti pasti G per cane a 3 ingredienti, io ho scelto 3 elementi TRA ESSI, tre vettori tra essi, i suddetti c,v,p, che chiamo BASE b di V, con i quali potevo comporre qualunque pasto G; e un qualsiasi pasto G poteva essere RAPPRESENTATO da una terna di valori numerici, cioè una terna di R3, del tipo la
(0,5 1 1,5)[b] vista sopra, ove [b] è un pedice che ricorda la base assunta per quella rappresentaz di G in R3.
Ecco che nasce il concetto di vettore G di V, ma RAPPRESENTATO nello spazio numerico R3, da una terna di numeri che ordinatamente esprime la "ricetta" di G come comb. lin. dei tre vett della data base b; con buona scrittura scrivo G(b)=(0,5 1, 🎉1,5)[b] e leggo "G rappresentato in base b = (........). Ovviam cambiando base, lo STESSO PASTO G cambia rappresentazione in R3. P.es. se decido di mantenere in congelatore come base le stesse "palline" p e v di prima, ma ora invece delle palline c delle nuove palline di carne ridotte c'=100g carne, ecco che ho una nuova base b', e lo STESSO vettore G, ora RAPPRESENTATO in b', diviene una diversa terna dello spazio DI RAPPRESENTAZIONE R3, e cioè
G(b')=(1 0,5 1,5)[b'], che nello spazio V ASSOLUTO scrivo però ancora senza rif alla base
G=1c'+0,5p+1,5v
perché è una relazione tra vettori assoluti, tra polpette, non ancora rappresentati, ma considerati ancora nel loro spazio ambiente originario V.
Concludo la "filosofia", dicendo che farei osservare agli studenti che V è uno spazio di oggetti ASSOLUTI, che vivono di vita propria, indipendentemente dalla base scelta in V. E li, se trasformo un vettore G nel suo doppio, quella è una trasformazione T(G) assoluta (un endomorfismo) tra essi. Ove invece, nello spazio di rappresentazione R3, la trasformaz tra i rappresentati dipenderà dalla base scelta, ed i vettori G(b) e 2G(b) trasformato, si corrisponderanno mediante una matrice A(b), secondo
2G(b)= A(b)*G(b), ove la matr A(b) RAPPRESENTA in R3 la trasf. lin T tra oggetti di V.
Insomma, tutto il papiro (scritto a fatica sul cell in una sala d'attesa) per dire che farei capire che R3 in primis è uno spazio di nple di rappresentazione, e sono tutte nple in base canonica, c.dette nple di componenti di G, che sono selezionate da G e dalla base b mediante un... isomorfismo (detto isomorfismo vettori-componenti).
Appena dopo, parlerei del R3 (che è il medesimo R3!) ora come spazio vettoriale di nple (detto però spazio vettoriale standard, per distinguerlo dallo spz vett di rappresentaz, che è lo stesso, ma ove lì assumo solo la base canonica). Nel R3 std assumo come oggetti v tipo la npla v=(1,2,3), viste ora esse stesse come oggetti, che ora cioè sono esse stesse VETTORI OGGETTO di quel R3 std, ora spazio di vettori, e sono formate qui da coordinate (non piu componenti!). Se assumo anche sul R3 std la base canonica b= {e1,e2 e3}, ho anche qui la rappresentaz di v nel R3 di rappresentazione, che è v(b)=(1,2,3)[b] ; ma in R3 inteso come spz vett std
posso però prendere anche una altra base che voglio, p. es. la b'= {f1,e2,e3}, con f1=2e1, e allora la stessa npla v=(1,2,3) del R3 spazio vettoriale std, rappresentata nel R3 di rappresentaz ma secondo la nuova base b', diventa
v(b')=(0.5, 2, 3)[b'] .
Sono stato prolisso, ok, me ne scuso, ma spero di essere riuscito a esprimere la mia "vision" sulla duplice interpretazione degli spazi di nple R3, o Rn.
E trovo in qualche modo anche bello qs concetto di vettori-oggetto v che "vivono" in (p.es.) V3 di una vita non numerica, e si trasformano tra loro con delle trasf. lineari w=T(v) anch'esse non numeriche, assolute, del tipo: w è una certa rotazione di v, o una certa proiezione di v su un dato piano, o una dilatazione di v, ecc. . Ma tutto cio, in qs mondo V3 non numerico, non si sa gestire quantitativamente, e allora ecco che prendo tre oggetti v1,2,3 di V3, lin.indip., li chiamo base di V3, e con una operazione detta "isomorfismo vettori-componenti" trovo per ogni v di V3 qual è la sua ricetta o rappresentazione) nella base b, ottenendo la terna numerica RAPPRESENTATIVA, ora in R3, (m,n,p)[b].
È fondamentale la differenza fra la scrittura assoluta
v=mv1+nv2+pv3,
che "non vuole sapere" di basi,
e la scrittura RAPPRESENTATA IN R3 di v
v(b)=(m,n,p)[b] che invece dipende dalla base b.
Come pure dalla base b dipende la matrice A(b) che rappresenta la t.lin. T in b.
Con tutto cio possiamo fare tutti i calcoli nello spazio R3 di rappresentazione, per poi tornare, a conti fatti, nello spazio assoluto non numerico V3 (che puo anche essere lo R3 std).
Che dire, indagare questi mondi è veramente meraviglioso, e grande merito va al prof. Romeo che introduce - con semplicità ma nel contempo con il dovuto rigore - gli studenti in questo strano universo, dove occorre muoversi con grandi cautele...
Spero che le mie elucubrazioni, qui ben poco rigorose, abbiano anch'esse qualche utilità nel processo di comprensione in cui gli studenti si trovano ora...
Nell'esempio del cane, che mi piace particolarmente, una bella base canonica nel sist di rif ortogonale carne-pesce-verdura potrebbe essere e1=100g carne, e2=100g pesce, e3=100g verdura; queste potrebbero essere le mie palline surgelate che ogni volta prelevo dal frigo per combinarle linearmente nel pasto giornaliero (vettore) G.
Ma è bello pensare anche ad una base i cui vettori non sono né unitari né distesi sugli assi ortogonali, bensi sono inclinati rispetto ad essi.
Così potrei surgelare palline
c'=100g carne+ 50g pesce=e1+0,5e2;
p'=50g pesce+30g verdure=
0,5e1+0,3e2;
v'=50g carne+50g pesce+30g verdure = 0,5(e1+e2)+0,3e3 .
Il probl pratico con qs palline, è che secondo l'Algebra io potrei anche sottrarre un ingrediente in ricetta, dopo averli combinati linearmente, ciò che invece, nella pratica di cucina con componenti non discreti ma continui, non posso fare. In cucina si potrebbe ancora fare ciò con componenti discreti che restano riconoscibili, come mix di astagne, noci, nocciole... ;-)
grande
bravissimo!
La ringrazio per il gradimento
Io che appena finita la 3 superiore mi metto guardarmi video su materie universitarie per studiare il Machine Learning...
Grazieee
Grazie a te per l'apprezzamento.
Complimenti...il mio professore fu Alessandro Bichara, luminare...ma molto poco didattico 🙂
il mio prof di algebra e geometria usa m per le righe e n per le colonne
però sono invertiti quindi non cambia nulla
Certamente non cambia nulla .Potei anche usare la lettera r per le righe e c per le colonne .Nessuno può obiettare .
Mamma mia quante pubblicità....c'è più pubblicità che contenuto
Purtroppo è Google che mette le pubblicità .Non ci posso fare nulla .