Salutations ! Dans l'esprit du programme, j'ai démontré les deux formules d'addition par la géométrie, en faisant intervenir des produits scalaires. Cela dit, il n'était pas nécessaire de faire les deux, puisqu'on pouvait: 🔹 Se contenter d'établir l'égalité qui donne cos(a+b). 🔹 Retrouver l'égalité qui donne sin(a+b) à partir de la précédente en utilisant l'égalité sin(x) = cos(π/2-x). Enfin, remarquons qu'on peut faire intervenir les exponentielles de nombres complexes pour retrouver l'intégralité du formulaire de trigonométrie, dont ces égalités, ce que j'explique dans l'émission ci-dessous. [UT#43] Le formulaire de trigonométrie - ruclips.net/video/DTEhNcColF4/видео.html 🌞 Bonne écoute !
Ou encore... cos(a+b) =Re(exp(i(a+b)) =Re(exp(ia) * exp(ib)) Et de la même manière cos(a) +cos(b) =Re(exp(ia) +exp(ib))... Mais ça c'est une autre histoire. Edit: ah oui, c'est dit à la fin !
Merci pour cette excellente vidéo, comme d'habitude ! Jusqu'à maintenant j'avais un moyen mnémotechnique absolument pas rigoureux du tout pour retenir les formules d'addition : Le cosinus est raciste et méchant donc il ne se mélange pas aux sinus et change le signe et le sinus est gentil et tolérant donc il se mélange et conserve le même signe. 😜
Il est tout à fait envisageable de commencer à câbler le cerveau avec des moyens mnémotechniques étranges, tant que ça fonctionne: de toute façon, il faut bien commencer quelque part. C'est ensuite que ça se joue, et que je recommande de renforcer les connexions avec des câbles un peu plus robustes, notamment ceux de [UT#43] (même si tout le monde sait, au plus profond de son âme, que le sinus est sympathique... 🙃).
C'est une excellente question à se poser en terminale 🥳! C'est très bien fait ici : www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=capes/demos/trigonometrie.html.
On n'a pas besoin ! Il est tout à fait possible d'obtenir le cosinus/sinus d'un angle a+b à partir des cosinus/sinus des angles a et b en s'appuyant sur des constructions géométriques élémentaires, ce que je développerai dans une autre émission. Ici, je montre seulement une manière de faire qui, effectivement, s'appuie sur la notion de produit scalaire.
Je suis curieux de savoir comment démontrer que la form trigonométrique du produit scalaire est équivalente à sa forme algébrique ... sans utiliser la formule du cosinus de la somme, justement. A moins de cela, je trouve que cette démonstration, très élégante par ailleurs, ressemble un peu à un serpent qui se mord la queue.
Je n'ai pas enquêté outre mesure: je me suis contenté de suivre les indications du programme de terminale, maths expertes, puisque cette démonstration m'avait été commandée. Cela dit, en fonction du soin qui a été apporté à la constitution d'un programme cohérent, c'est tout à fait possible qu'on se retrouve face à un tel serpent 🐍.
exactement ,cos (a-b) historiquement se démontre géométriquement et c'est la seule valable (et cela est aussi vrai pour le théorème de pythagore)- à la limite , le produit scalaire peut être juste une vérification de l'equivalence des formules car en effet ,la première définition du produit scalaire est le produit des normes par le cosinus et la deuxième formule s'en déduit grâce à cos (a-b) ou cos(a+b)
Merci beaucoup pour ces vidéos, merci pour cet investissement. Une question (certainement) idiote : comment se fait il que "B" ne soit pas défini par "cos b, -sin b" ? Egalement pour B'. Normalement, on lit toujours le cosinus sur l'absisse, et le sinus sur l'ordonnée ... et dans le cas ci, le sinus est négatif. Bonne journée
Les questions les plus idiotes sont souvent celles auxquelles il s'agit de répondre en priorité, tandis que les questions intelligentes servent rarement, en réalité 🙃. En l'occurrence, l'angle choisi ici, disons b = 7π/6 je dirais, admet un sinus qui est bel et bien négatif. En bref, la présence d'un signe "moins" ne laisse présager en rien du signe de la quantité au final, le sinus pouvant être lui-même soit positif, soit négatif.
![[DET#25] Racines de l'unité (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/kjzSgVv6KgE/mqdefault.jpg)
![[DET#25] Racines de l'unité (Démonstration)](/img/tr.png)
Salutations !
Dans l'esprit du programme, j'ai démontré les deux formules d'addition par la géométrie, en faisant intervenir des produits scalaires. Cela dit, il n'était pas nécessaire de faire les deux, puisqu'on pouvait:
🔹 Se contenter d'établir l'égalité qui donne cos(a+b).
🔹 Retrouver l'égalité qui donne sin(a+b) à partir de la précédente en utilisant l'égalité sin(x) = cos(π/2-x).
Enfin, remarquons qu'on peut faire intervenir les exponentielles de nombres complexes pour retrouver l'intégralité du formulaire de trigonométrie, dont ces égalités, ce que j'explique dans l'émission ci-dessous.
[UT#43] Le formulaire de trigonométrie - ruclips.net/video/DTEhNcColF4/видео.html
🌞 Bonne écoute !
Une émission géniale sur un sujet passionnant fait par un mec génial et beaucoup de rigueur et de qualité
simple et efficace
Merci !
Ou encore...
cos(a+b) =Re(exp(i(a+b)) =Re(exp(ia) * exp(ib))
Et de la même manière cos(a) +cos(b) =Re(exp(ia) +exp(ib))... Mais ça c'est une autre histoire.
Edit: ah oui, c'est dit à la fin !
Merci pour cette excellente vidéo, comme d'habitude ! Jusqu'à maintenant j'avais un moyen mnémotechnique absolument pas rigoureux du tout pour retenir les formules d'addition : Le cosinus est raciste et méchant donc il ne se mélange pas aux sinus et change le signe et le sinus est gentil et tolérant donc il se mélange et conserve le même signe. 😜
Le cosinus est un connard. Sympathique et le sinus.
Le cosinus ne se mélange pas et il est hypocrite..
Je pense que ça colle plus à notre problème !!🤓
Il est tout à fait envisageable de commencer à câbler le cerveau avec des moyens mnémotechniques étranges, tant que ça fonctionne: de toute façon, il faut bien commencer quelque part. C'est ensuite que ça se joue, et que je recommande de renforcer les connexions avec des câbles un peu plus robustes, notamment ceux de [UT#43] (même si tout le monde sait, au plus profond de son âme, que le sinus est sympathique... 🙃).
Merci infiniment pour ce moyens Mnémotechnique
Mais comment est-ce qu'on démontre la formule analytique du produit scalaire ?
C'est une excellente question à se poser en terminale 🥳!
C'est très bien fait ici : www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=capes/demos/trigonometrie.html.
On peut aussi avoir sin(a-b) avec le produit vectoriel.
Pourquoi on aurait besoin de calculer un produit scalaire alors qu'on veut juste calculer le cosinus et le sinus de deux nombres ?
On n'a pas besoin ! Il est tout à fait possible d'obtenir le cosinus/sinus d'un angle a+b à partir des cosinus/sinus des angles a et b en s'appuyant sur des constructions géométriques élémentaires, ce que je développerai dans une autre émission. Ici, je montre seulement une manière de faire qui, effectivement, s'appuie sur la notion de produit scalaire.
Je suis curieux de savoir comment démontrer que la form trigonométrique du produit scalaire est équivalente à sa forme algébrique ... sans utiliser la formule du cosinus de la somme, justement. A moins de cela, je trouve que cette démonstration, très élégante par ailleurs, ressemble un peu à un serpent qui se mord la queue.
Je n'ai pas enquêté outre mesure: je me suis contenté de suivre les indications du programme de terminale, maths expertes, puisque cette démonstration m'avait été commandée. Cela dit, en fonction du soin qui a été apporté à la constitution d'un programme cohérent, c'est tout à fait possible qu'on se retrouve face à un tel serpent 🐍.
exactement ,cos (a-b) historiquement se démontre géométriquement et c'est la seule valable (et cela est aussi vrai pour le théorème de pythagore)- à la limite , le produit scalaire peut être juste une vérification de l'equivalence des formules car en effet ,la première définition du produit scalaire est le produit des normes par le cosinus et la deuxième formule s'en déduit grâce à cos (a-b) ou cos(a+b)
Merci beaucoup pour ces vidéos, merci pour cet investissement. Une question (certainement) idiote : comment se fait il que "B" ne soit pas défini par "cos b, -sin b" ? Egalement pour B'. Normalement, on lit toujours le cosinus sur l'absisse, et le sinus sur l'ordonnée ... et dans le cas ci, le sinus est négatif. Bonne journée
Les questions les plus idiotes sont souvent celles auxquelles il s'agit de répondre en priorité, tandis que les questions intelligentes servent rarement, en réalité 🙃. En l'occurrence, l'angle choisi ici, disons b = 7π/6 je dirais, admet un sinus qui est bel et bien négatif. En bref, la présence d'un signe "moins" ne laisse présager en rien du signe de la quantité au final, le sinus pouvant être lui-même soit positif, soit négatif.
par contre je suis pas d'accord avec un truc, c'est pas ca qui va me permettre de conclure