Sage comme une image qu'ils disaient… Là, j'en doute !
HTML-код
- Опубликовано: 16 сен 2024
- Lorsqu’un simple calcul d'image peut devenir très sportif… Un exercice des olympiades de mathématiques de Singapour 2013 section open pour nous faire manipuler les notions de fonctions et d'équations, et tout ça en même temps.
Votre expression de f est simplifiable par 2 ! Bel exercice merci !
Merci à vous 😊
Il suffit de faire x=-3 puis x=1/3 on trouve alors un système linéaire de deux équations avec 2 inconnues f(3) et f(-1/3) d'autant plus facile à résoudre que f(-1/3)=0.
😎👌
A oui, bien, cette méthode donne une expression analytique pour f(x). J'ai fait sans déterminer une expression de la fonction f(x).
Soit EQ(x) l'égalité de l'énoncé. On cherche f(3) et dans cette égalité, on voit apparaitre f(-x).
Ecrivons EQ(-3), on obtient -9*f(-1/3)-9*f(3)=-18 on voit apparaitre f(3) que l'on cherche à évaluer. Bien.
Si on évalue EQ(1/3) on obtient 729/9*f(-1/3)-f(3)/9=-2/9 on voit également apparaitre f(3) que l'on cherche à évaluer. Bien.
Mais de plus on voit que cette seconde équation dépend comme la première de f(-1/3).
Il suffit alors de chercher par quels coefficients il faut multiplier chacune des deux équations afin de faire disparaitre le facteur f(-1/3). On aura alors la valeur de f(3) sans avoir à déterminer l'expression de f.
En divisant la seconde égalité par 9, j'obtiens 9*f(-1/3)-f(3)/81=-2/81. Il suffit de combiner cette dernière équation (EQ(-1/3)/9) en additionnant simplement la première (EQ(-3)) pour obtenir 9*f(-1/3)-9*f(-1/3)-f(3)/81-9*f(3)=-2/81-18 qui permet de faire disparaitre les f(-1/3).
L'équation en f(3) est alors -f(3)/81-(81*9)*f(3)/81 = (-2-18*81)/81 c'est-à-dire -730*f(3)/81=-1460/81
En en déduit que f(3)=(-1460)/(-730)=2.
En vérifiant ce résultat par une résolution d'un système de deux équation linéaires, je retrouve bien f(3)=2 mais aussi que f(-1/3)=0
Cool ! 😎
Du coup il n'y avait pas besoin de la forme explicite de f. Bien joué ! 💡👍
J'ai fait presque pareil que vous mais ce devait être trop simple pour "Petit Matheux" 🙂
En transformant l'équation de départ en : (27/x^3).f(-x) = f(1/x)-2 , il n'y avait plus aucun calcul à faire.
Mais jamais rien n'est trop simple pour moi. Je suis ravi et intéressé par de nouvelles solutions. 👍😊
Pourrais-tu être plus explicite ? @@marie-christineroch8927
On demande f(3)....inutile d'exprimer f(x) pour tout x !
Il y a f(-x) dans L'équation...appliquons à x=-3 on aura une expression "en f(3)"
En effet en multipliant tout par x ( pour ne plus avoir de fraction ) et en simplifiant par 27 ( qui apparait partout à cause ou grâce à x^3) on trouve:
f(3)+f(-1/3) =2
Comment faire apparaître une expression avec f(-1/3) ?
En application l'expression à x=1/3... et en multipliant par 27 ( pour les supprimer au dénominateur) on trouve :
27^2f(-1/3) -f(3) = -2
ON A DE LA CHANCE EN PLUS 🤣 :
En ajoutant les 2 résultats, les f(3) et les 2 disparaissent ( evident !) ...on trouve:
[27^2+1]f(-1/3) = 0 donc f(-1/3) =0 !
En reinjectant dans le 1er résultat f(3)=2
Ceci dit les développements pour calculer f(x) pour tout x sont elegants et astucieux..et bien sûr le résultat est bien plus "fort " que de trouver une seule " valeur particulière en 3 "
Moralité : la paresse en maths est parfois utile !
Remarque : honnêtement, je n'imaginais pas qu'il soit possible ( assez facilement en tout cas) d'exprimer f(x) pour tout x
2ème remarque : je vois à l'instant qu'on avait trouvé la même demarche..mais si peu explicitée en détails que mon message reste valable sans doute
😎
@@petitmatheux que signifie ce smiley ?
La star qui veut passer incognito 😊😊