(13/08/2024) - Doutorado: Teoria Ergódica Diferenciável - Marcelo Viana - Aula 01

Professor: Marcelo Viana
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Medidas invariantes e recorrência. Teoremas de Recorrência de Poincaré e de Birkhoff. Rotações em toros. Transformações e fluxos conservativos. Existência de medidas invariantes. Topologica fraca*. Teoremas ergódicos de von Neumann e de Birkhoff. Teorema ergódico subaditivo. Ergodicidade: exemplos e propriedades das medidas ergódicas. Deslocamentos de Bernoulli. Endomorfismos lineares do toro. Teorema da decomposição ergódica. Menção a partições mensuráveis e ao teorema da desintegração de Rokhlin. Unicidade ergódica e minimalidade. Translações em grupos topológicos. Medida de Haar. Decaimento de correlações. Sistemas misturadores. Deslocamentos de Markov. Equivalência ergódica e equivalência espectral . Menção ao teorema de Ornstein. Entropia. Teorema de Kolmogorov-Sinai . Menção ao teorema de Shannon-McMillan-Breiman. Entropia topológica. Deslocamentos de tipo finito. Princípio variacional. Trasformações expansoras em variedades.
Tópicos adicionais: Pressão. Princípio variacional para a pressão. Transformações expansoras em espaços métricos. Estados de equilíbrio. Teorema de Ruelle. Exatidão e mistura. Dimensão de Hausdorff. Repulsores conformes. Atratores hiperbólicos e medidas de Sinai-Ruelle-Bowen. Teorema de Oseledets. Desigualdade de Ruelle. Fórmula de entropia de Pesin. Teoria ergódica de sistemas não-uniformemente hiperbólicos.
Referências:
BOWEN, R. - Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Berlin, Springer-Verlag, 1975.
MAÑÉ, R. - Ergodic Theory and Diferentiable Dynamics. Berlin, Springer-Verlag, 1987.
VIANA, M. e OLIVEIRA, K. - Fundamentos da Teoria Ergódica, 2ª edição, Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática, 2019.
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