Równanie funkcyjne Cauchy’ego i lemat Kuratowskiego-Zorna - cz.1

Znane wszystkim równanie funkcyjne Cauchy’ego do rozwiązania funkcjach przyjmujących argumenty wymierne ma postać y=ax natomiast w liczbach rzeczywistych różnych postaci jest nieskończenie wiele. W drugiej części przedstawię dowód niekonstruktywny tego stwierdzenia a w trzeciej opowiem o relacji porządku i lemacie Kuratowskiego Zorna. Zapraszam do oglądania :)

[@piszczuch3374]

Udowodni Pan w następnym odcinku, że istnieje ciąg liczb wymiernych zbieżny do dowolnej liczby niewymiernej?

[@pianoplayer281]

@@piszczuch3374 tak :) kojarzę ten dowód, a przynajmniej książkę w której jest :)

[@krasospl8570]

Takie pytanie, czy można udowodnić to dla liczb niewymiernych mniej więcej takim rozumowaniem: przykładowo sqrt(2)=1,14.. to f(sqrt(2))=f(1+0,1+0,04…)=f(1)+f(0,1).. a biorąc pod uwage ze f(p)=pa dla jakiegos a i wymiernego p to f(sqrt(2))=a(1+0,1+0,04…)=a*sqrt(2) co pokazuje ze rozwiazaniem jest dowolna funkcja liniowa o wspolczynniku a (pewnie rzeczywistym choć taki zespolony tez wyglada nie najgorzej)?

[@pianoplayer281]

@@krasospl8570 tutaj korzystasz z ciągłości funkcji f, której nie ma w założeniu. Gdyby chodziło o znalezienie wszystkich funkcji ciągłych spełniających ten warunek, to tak - Twoje rozumowanie jest poprawne, bo zbliżając się po liczbach wymiernych do niewymiernej również wartości funkcji na liczbach wymiernych zbliżają się do wartości na liczbie niewymiernej i wtedy tak, rozwiązaniem są jedynie funkcje postaci y=ax. Natomiast jeśli chcemy znaleźć wszystkie funkcje które spełniają to równanie, to opierając się na aksjomacie wyboru wiemy jedynie że jest ich continuum ale nie znamy ich postaci, tzn jedyne co wiemy to zależą one od wartości jakie ustalimy na wektorach bazowych przestrzeni liniowej R nad ciałem Q. Dzięki AC wiemy że taka istnieje, nie wiemy natomiast jak wygląda - ot cały aksjomat wyboru :)