Видеоурок "Мощность множеств"

Поделиться
HTML-код
  • Опубликовано: 26 янв 2025

Комментарии • 22

  • @noname-hs1gu
    @noname-hs1gu Год назад +1

    Спасибо, очень полезно. Даже через 10 лет помогли

  • @АмелияЛайтен
    @АмелияЛайтен 7 лет назад +1

    Просматриваю ваши уроки для повторения материала. Всё доходчиво и "показательно". Отлично объясняете!

  • @MrStasONE
    @MrStasONE 11 лет назад +7

    Очень доходчиво, спасибо большое.

  • @ulugbekasqarov1187
    @ulugbekasqarov1187 4 года назад +2

    Спасибо за труд

  • @quantum-fluctuations
    @quantum-fluctuations 2 года назад +1

    Спасибо!

  • @priyashinde6164
    @priyashinde6164 8 лет назад

    Еще более мощные, чем континуума, множества... Заинтриговали!

    • @ВладимирИстархов
      @ВладимирИстархов 3 года назад

      Никаких несчётных множеств вообще не существует. Кантор - прохвост.

  • @Андрей-б9ж7ь
    @Андрей-б9ж7ь 8 лет назад

    почему множество точек интервала (0,1) не счетно?
    0,1 это 1; 0,2 это 2; 0,3 это 3 ... 0,11 это 10; 0,12 это 11 ... и тд. множество пронумеровано

    • @alWEBra_
      @alWEBra_  8 лет назад

      +Вася Херов И тем не менее все числа так занумеровать не удастся. Доказательство этого содержится в видеоуроке (где-то после 7-й минуты). Как только Вы занумерованные Вами числа запишите по порядку в столбик, сразу можно будет построить число,Вами не занумерованное (по диагонали, как в уроке). Такова бесконечность!

    • @proskurlandsky
      @proskurlandsky 8 лет назад

      +Математика от alwebra.com.ua но так же можно доказать, что и множество рациональных чисел несчетно.

    • @alWEBra_
      @alWEBra_  8 лет назад

      Спасибо за вопрос! Его красоту оценил, и не только я. Получается хороший софизм. Но все-таки с рациональными числами доказательство не проходит из-за того, что полученное по диагонали число для нас есть просто бесконечная десятичная дробь, то есть число ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ, которое совсем не обязательно (но возможно!- и в этом сила софизма.) будет рациональным. То есть, мы не можем утверждать, что мы нашли не занумерованное рациональное число.

  • @ИгорьСухарев-ь5щ
    @ИгорьСухарев-ь5щ 10 лет назад

    И что же это за ещё более мощные, чем континуум-множество, множества?

    • @alWEBra_
      @alWEBra_  10 лет назад +1

      Спасибо за вопрос, давно такого у меня не спрашивали!
      Отвечу с удовольствием.
      Теорема.
      Множество всех подмножеств данного множества имеет мощность большую мощности данного множества.
      Есть и весьма остроумное, с первого взгляда, шулерское доказательство, которое, тем не менее, вполне строго.
      Доказательство.
      Пусть данное множество М, а Р - множество всех его подмножеств. Элементами Р выступают подмножества М.
      Мощность множества Р, очевидно, не меньше мощности М, т.к. среди элементов Р есть и одноэлементные подмножества, которых ровно столько, сколько элементов в М. Поэтому, достаточно показать, что мощности Р и М разные, то есть между их элементами нельзя установить взаимно-однозначное соответствие.
      Предположим противное - такое соответствие установлено: Каждому подмножеству А соотвествует единственный элемент а из М.
      При этом а может принадлежать А, либо не принадлежать А. Назовем множества первого типа "хорошими" (а Є А), а второго типа - "плохими" (а не Є А).
      Обозначим теперь Х - множество всех элементов из М, соответствующих "плохим" подмножествам. Ясно, что Х - подмножество Р. Тогда по предположению, ему соответствует некий элемент х из М. Выясним, является ли Х "плохим" или "хорошим", то есть принадлежит ли х множеству Х или нет.
      Если Х "плохое", то есть, х не Є Х, тогда х должен принадлежать Х, как элемент, соответствующий "плохому" множеству. Противоречие. Х - не "плохое".
      Если же Х - "хорошее", то есть х Є Х, тогда х не может принадлежать Х, поскольку в Х только элементы, соответствующие "плохим" множествам. Опять противоречие: х не может ни принадлежать Х ни не принадлежать Х. Это означает, что множеству Х не соотвествует никакой элемент из М. Взаимно- однозначное соответсие невозможно, и мощность Р больше мощности М.
      Следствие. Существуют множества сколь угодно большой мощности.

    • @ИгорьСухарев-ь5щ
      @ИгорьСухарев-ь5щ 10 лет назад

      Спасибо Вам! Как я понял, множество, в которое входят все действительные числа и множество действительных чисел, имеет мощность "над-континуум"?

    • @Alwebra
      @Alwebra 10 лет назад

      Боюсь, Вы неправильно поняли "множество всех подмножеств".
      Например, если множество из трех элементов. {1,2,3}, множество его подмножеств содержит 8=(2 в кубе) элементов: "пусто", {1},{2},{3},{1,2},{1,3}{2,3},{1,2,3}. Если множество из n элементов, то число его подмножеств= (2 в степени n) элементов. Если же множества бесконечные, число подмножеств производит скачок по мощности. Например, множество всех подмножеств счетного множества уже не счетно, можно доказать, что получим континуум.
      А если нужен пример множества мощности больше континуум - то это множество всех действительных функций. Его мощность больше континуума.

    • @ИгорьСухарев-ь5щ
      @ИгорьСухарев-ь5щ 10 лет назад

      Ясненько.

  • @Человек03-о1т
    @Человек03-о1т 11 месяцев назад

    Слишком много слов множество

  • @ВладимирИстархов
    @ВладимирИстархов 3 года назад

    Основатель теории множеств. - это ГЕОРГ КАНТОР и эти ребята говорят - теперь это наше всё! Само слово «КАНТОР» означает певец в синагоге, поющий псалмы. Кантор главный запевала в синагоге теории множеств. Его псалмы в теории множеств называют теоремами, но ВСЕ теоремы Кантора лживы.
    Центральная теорема Кантор о том, что множество всех действительных чисел на отрезке 0-1 имеет ЯКОБЫ несчётную мощность.
    Кантор строит таблицу всех действительных чисел на отрезке 0-1
    1 - 0, a1, a2, a3, a4, a5 …
    2 - 0, b1, b2, b3, b4, b5 …
    3 - 0, c1, c2, c3, c4, c5 …
    4 - 0, d1, d2, d3, d4, d5 …
    5 - 0, e1, e2, e3, e4, e5…
    …………………………………
    И далее по диагональному методу Кантор строит новое действительное число НДЧ, которого в этой таблице ЯКОБЫ нет. Как он строит НДЧ? Очень чётко, конструктивно и просто.
    НДЧ = 0, не a1, не b2, не c3, не d4, не e5 … (1)
    И далее Кантор доказывает, что это НДЧ в данной таблице отсутствует. Потому, что оно отличается от всех чисел данной таблицы: от первого числа в первой цифре, после запятой, от второго числа во второй цифре, от N-го числа в N-й цифре и так до безконечности. Вот и всё доказательство. Бурные продолжительные аплодисменты!
    И вроде не видно никаких дыр. А не видно потому, что структуру таблицы никто не обсуждал. Опровержение Мельника А.Д. из книги «Что такое параллельная математика?».
    Но давайте мы посмотрим внимательно на диагональную процедуру и раскопаем наконец особенности структуры Таблицы Кантора.
    Легко видеть, что диагональная процедура работает только на квадратных таблицах. Но Таблица всех действительных чисел совсем не такова - она не квадратная, а прямоугольная и в ней диагональная процедура всю таблицу не охватывает. И никакими манипуляциями невозможно построить в этой таблице НДЧ, которого там нет.
    Для простоты и сокращения примера будем писать числа не в десятичном, а в двоичном коде. Рассмотрим вначале Таблицу Кантора в конечном виде. Пусть она будет конечной из чисел, с 2-мя цифрами после запятой. Тогда ширина таблицы ВОС (количество столбцов) будет 2, а глубина (количество строк) будет 4:
    1 - 0, 0 0.
    2 - 0, 0 1.
    3 - 0, 1 0.
    4 - 0, 1 1.
    Строки можно переставлять, ничего не изменится. Запустим по ней диагональную процедуру Кантора и построим его любимое новое число НДЧ = 0,10. Диагональная процедура закончена. НДЧ построено по диагональному методу Кантора. Это НДЧ = 0,10 от первого числа отличается в первой цифре, от второго - во второй. Из этого Кантор делает вывод, что НДЧ ЯКОБЫ вообще не существует в таблице.
    Но это явная ложь. НДЧ отсутствует только в квадратной части таблицы, а таблица ВОС на самом деле не квадратная, а прямоугольная. НДЧ отсутствует только в первых 2-х строках квадратной части таблицы, но прекрасно существует в этой же таблице - ниже квадратной части, в прямоугольной части.
    Если мы возьмём таблицу, где есть n цифр после запятой, то ширина таблицы будет n, а глубина 2 в степени n, для двоичной системы и 10 в степени n, для десятичной. Ничего в структуре таблицы не меняется, всё то же самое, она прямоугольная. Кстати растёт вниз гораздо быстрее, чем по строкам.
    По индукции перейдём от n к безконечности - ничего не меняется. Ширина таблицы будет ∞, а глубина 10 в степени ∞. Таблица не квадратная и в ней диагональная процедура Кантора всю таблицу не охватывает и ничего не доказывает.
    А в НАСТОЯЩЕЙ (прямоугольной) таблице есть ВСЕ НДЧ Кантора и вообще все действительные числа - тема полностью закрыта.
    Вот и лопнуло доказательство центральной теоремы Кантора о континууме действительных чисел.
    Вывод - множество действительных числе СЧЁТНО. Кстати ВСЕ множества счётны - других нет.

  • @priyashinde6164
    @priyashinde6164 8 лет назад +2

    Еще более мощные, чем континуума, множества... Заинтриговали!

    • @Alwebra
      @Alwebra 8 лет назад +1

      Вообще-то есть весьма абстрактная теорема, состоящая в том, что множество всех подмножеств данного множеств имеет мощность большую, чем данное множество.
      Из более "осязаемых" множеств, имеющих мощность большую континуума, можно привести пример множества всех действительнозначных функций.

    • @o__Sider
      @o__Sider 3 года назад

      @@Alwebra разве это не теорема Кантора ? полагаю она