+Вася Херов И тем не менее все числа так занумеровать не удастся. Доказательство этого содержится в видеоуроке (где-то после 7-й минуты). Как только Вы занумерованные Вами числа запишите по порядку в столбик, сразу можно будет построить число,Вами не занумерованное (по диагонали, как в уроке). Такова бесконечность!
Спасибо за вопрос! Его красоту оценил, и не только я. Получается хороший софизм. Но все-таки с рациональными числами доказательство не проходит из-за того, что полученное по диагонали число для нас есть просто бесконечная десятичная дробь, то есть число ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ, которое совсем не обязательно (но возможно!- и в этом сила софизма.) будет рациональным. То есть, мы не можем утверждать, что мы нашли не занумерованное рациональное число.
Спасибо за вопрос, давно такого у меня не спрашивали! Отвечу с удовольствием. Теорема. Множество всех подмножеств данного множества имеет мощность большую мощности данного множества. Есть и весьма остроумное, с первого взгляда, шулерское доказательство, которое, тем не менее, вполне строго. Доказательство. Пусть данное множество М, а Р - множество всех его подмножеств. Элементами Р выступают подмножества М. Мощность множества Р, очевидно, не меньше мощности М, т.к. среди элементов Р есть и одноэлементные подмножества, которых ровно столько, сколько элементов в М. Поэтому, достаточно показать, что мощности Р и М разные, то есть между их элементами нельзя установить взаимно-однозначное соответствие. Предположим противное - такое соответствие установлено: Каждому подмножеству А соотвествует единственный элемент а из М. При этом а может принадлежать А, либо не принадлежать А. Назовем множества первого типа "хорошими" (а Є А), а второго типа - "плохими" (а не Є А). Обозначим теперь Х - множество всех элементов из М, соответствующих "плохим" подмножествам. Ясно, что Х - подмножество Р. Тогда по предположению, ему соответствует некий элемент х из М. Выясним, является ли Х "плохим" или "хорошим", то есть принадлежит ли х множеству Х или нет. Если Х "плохое", то есть, х не Є Х, тогда х должен принадлежать Х, как элемент, соответствующий "плохому" множеству. Противоречие. Х - не "плохое". Если же Х - "хорошее", то есть х Є Х, тогда х не может принадлежать Х, поскольку в Х только элементы, соответствующие "плохим" множествам. Опять противоречие: х не может ни принадлежать Х ни не принадлежать Х. Это означает, что множеству Х не соотвествует никакой элемент из М. Взаимно- однозначное соответсие невозможно, и мощность Р больше мощности М. Следствие. Существуют множества сколь угодно большой мощности.
Боюсь, Вы неправильно поняли "множество всех подмножеств". Например, если множество из трех элементов. {1,2,3}, множество его подмножеств содержит 8=(2 в кубе) элементов: "пусто", {1},{2},{3},{1,2},{1,3}{2,3},{1,2,3}. Если множество из n элементов, то число его подмножеств= (2 в степени n) элементов. Если же множества бесконечные, число подмножеств производит скачок по мощности. Например, множество всех подмножеств счетного множества уже не счетно, можно доказать, что получим континуум. А если нужен пример множества мощности больше континуум - то это множество всех действительных функций. Его мощность больше континуума.
Основатель теории множеств. - это ГЕОРГ КАНТОР и эти ребята говорят - теперь это наше всё! Само слово «КАНТОР» означает певец в синагоге, поющий псалмы. Кантор главный запевала в синагоге теории множеств. Его псалмы в теории множеств называют теоремами, но ВСЕ теоремы Кантора лживы. Центральная теорема Кантор о том, что множество всех действительных чисел на отрезке 0-1 имеет ЯКОБЫ несчётную мощность. Кантор строит таблицу всех действительных чисел на отрезке 0-1 1 - 0, a1, a2, a3, a4, a5 … 2 - 0, b1, b2, b3, b4, b5 … 3 - 0, c1, c2, c3, c4, c5 … 4 - 0, d1, d2, d3, d4, d5 … 5 - 0, e1, e2, e3, e4, e5… ………………………………… И далее по диагональному методу Кантор строит новое действительное число НДЧ, которого в этой таблице ЯКОБЫ нет. Как он строит НДЧ? Очень чётко, конструктивно и просто. НДЧ = 0, не a1, не b2, не c3, не d4, не e5 … (1) И далее Кантор доказывает, что это НДЧ в данной таблице отсутствует. Потому, что оно отличается от всех чисел данной таблицы: от первого числа в первой цифре, после запятой, от второго числа во второй цифре, от N-го числа в N-й цифре и так до безконечности. Вот и всё доказательство. Бурные продолжительные аплодисменты! И вроде не видно никаких дыр. А не видно потому, что структуру таблицы никто не обсуждал. Опровержение Мельника А.Д. из книги «Что такое параллельная математика?». Но давайте мы посмотрим внимательно на диагональную процедуру и раскопаем наконец особенности структуры Таблицы Кантора. Легко видеть, что диагональная процедура работает только на квадратных таблицах. Но Таблица всех действительных чисел совсем не такова - она не квадратная, а прямоугольная и в ней диагональная процедура всю таблицу не охватывает. И никакими манипуляциями невозможно построить в этой таблице НДЧ, которого там нет. Для простоты и сокращения примера будем писать числа не в десятичном, а в двоичном коде. Рассмотрим вначале Таблицу Кантора в конечном виде. Пусть она будет конечной из чисел, с 2-мя цифрами после запятой. Тогда ширина таблицы ВОС (количество столбцов) будет 2, а глубина (количество строк) будет 4: 1 - 0, 0 0. 2 - 0, 0 1. 3 - 0, 1 0. 4 - 0, 1 1. Строки можно переставлять, ничего не изменится. Запустим по ней диагональную процедуру Кантора и построим его любимое новое число НДЧ = 0,10. Диагональная процедура закончена. НДЧ построено по диагональному методу Кантора. Это НДЧ = 0,10 от первого числа отличается в первой цифре, от второго - во второй. Из этого Кантор делает вывод, что НДЧ ЯКОБЫ вообще не существует в таблице. Но это явная ложь. НДЧ отсутствует только в квадратной части таблицы, а таблица ВОС на самом деле не квадратная, а прямоугольная. НДЧ отсутствует только в первых 2-х строках квадратной части таблицы, но прекрасно существует в этой же таблице - ниже квадратной части, в прямоугольной части. Если мы возьмём таблицу, где есть n цифр после запятой, то ширина таблицы будет n, а глубина 2 в степени n, для двоичной системы и 10 в степени n, для десятичной. Ничего в структуре таблицы не меняется, всё то же самое, она прямоугольная. Кстати растёт вниз гораздо быстрее, чем по строкам. По индукции перейдём от n к безконечности - ничего не меняется. Ширина таблицы будет ∞, а глубина 10 в степени ∞. Таблица не квадратная и в ней диагональная процедура Кантора всю таблицу не охватывает и ничего не доказывает. А в НАСТОЯЩЕЙ (прямоугольной) таблице есть ВСЕ НДЧ Кантора и вообще все действительные числа - тема полностью закрыта. Вот и лопнуло доказательство центральной теоремы Кантора о континууме действительных чисел. Вывод - множество действительных числе СЧЁТНО. Кстати ВСЕ множества счётны - других нет.
Вообще-то есть весьма абстрактная теорема, состоящая в том, что множество всех подмножеств данного множеств имеет мощность большую, чем данное множество. Из более "осязаемых" множеств, имеющих мощность большую континуума, можно привести пример множества всех действительнозначных функций.
Спасибо, очень полезно. Даже через 10 лет помогли
Просматриваю ваши уроки для повторения материала. Всё доходчиво и "показательно". Отлично объясняете!
Очень доходчиво, спасибо большое.
Спасибо за труд
Спасибо!
Еще более мощные, чем континуума, множества... Заинтриговали!
Никаких несчётных множеств вообще не существует. Кантор - прохвост.
почему множество точек интервала (0,1) не счетно?
0,1 это 1; 0,2 это 2; 0,3 это 3 ... 0,11 это 10; 0,12 это 11 ... и тд. множество пронумеровано
+Вася Херов И тем не менее все числа так занумеровать не удастся. Доказательство этого содержится в видеоуроке (где-то после 7-й минуты). Как только Вы занумерованные Вами числа запишите по порядку в столбик, сразу можно будет построить число,Вами не занумерованное (по диагонали, как в уроке). Такова бесконечность!
+Математика от alwebra.com.ua но так же можно доказать, что и множество рациональных чисел несчетно.
Спасибо за вопрос! Его красоту оценил, и не только я. Получается хороший софизм. Но все-таки с рациональными числами доказательство не проходит из-за того, что полученное по диагонали число для нас есть просто бесконечная десятичная дробь, то есть число ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ, которое совсем не обязательно (но возможно!- и в этом сила софизма.) будет рациональным. То есть, мы не можем утверждать, что мы нашли не занумерованное рациональное число.
И что же это за ещё более мощные, чем континуум-множество, множества?
Спасибо за вопрос, давно такого у меня не спрашивали!
Отвечу с удовольствием.
Теорема.
Множество всех подмножеств данного множества имеет мощность большую мощности данного множества.
Есть и весьма остроумное, с первого взгляда, шулерское доказательство, которое, тем не менее, вполне строго.
Доказательство.
Пусть данное множество М, а Р - множество всех его подмножеств. Элементами Р выступают подмножества М.
Мощность множества Р, очевидно, не меньше мощности М, т.к. среди элементов Р есть и одноэлементные подмножества, которых ровно столько, сколько элементов в М. Поэтому, достаточно показать, что мощности Р и М разные, то есть между их элементами нельзя установить взаимно-однозначное соответствие.
Предположим противное - такое соответствие установлено: Каждому подмножеству А соотвествует единственный элемент а из М.
При этом а может принадлежать А, либо не принадлежать А. Назовем множества первого типа "хорошими" (а Є А), а второго типа - "плохими" (а не Є А).
Обозначим теперь Х - множество всех элементов из М, соответствующих "плохим" подмножествам. Ясно, что Х - подмножество Р. Тогда по предположению, ему соответствует некий элемент х из М. Выясним, является ли Х "плохим" или "хорошим", то есть принадлежит ли х множеству Х или нет.
Если Х "плохое", то есть, х не Є Х, тогда х должен принадлежать Х, как элемент, соответствующий "плохому" множеству. Противоречие. Х - не "плохое".
Если же Х - "хорошее", то есть х Є Х, тогда х не может принадлежать Х, поскольку в Х только элементы, соответствующие "плохим" множествам. Опять противоречие: х не может ни принадлежать Х ни не принадлежать Х. Это означает, что множеству Х не соотвествует никакой элемент из М. Взаимно- однозначное соответсие невозможно, и мощность Р больше мощности М.
Следствие. Существуют множества сколь угодно большой мощности.
Спасибо Вам! Как я понял, множество, в которое входят все действительные числа и множество действительных чисел, имеет мощность "над-континуум"?
Боюсь, Вы неправильно поняли "множество всех подмножеств".
Например, если множество из трех элементов. {1,2,3}, множество его подмножеств содержит 8=(2 в кубе) элементов: "пусто", {1},{2},{3},{1,2},{1,3}{2,3},{1,2,3}. Если множество из n элементов, то число его подмножеств= (2 в степени n) элементов. Если же множества бесконечные, число подмножеств производит скачок по мощности. Например, множество всех подмножеств счетного множества уже не счетно, можно доказать, что получим континуум.
А если нужен пример множества мощности больше континуум - то это множество всех действительных функций. Его мощность больше континуума.
Ясненько.
Слишком много слов множество
Основатель теории множеств. - это ГЕОРГ КАНТОР и эти ребята говорят - теперь это наше всё! Само слово «КАНТОР» означает певец в синагоге, поющий псалмы. Кантор главный запевала в синагоге теории множеств. Его псалмы в теории множеств называют теоремами, но ВСЕ теоремы Кантора лживы.
Центральная теорема Кантор о том, что множество всех действительных чисел на отрезке 0-1 имеет ЯКОБЫ несчётную мощность.
Кантор строит таблицу всех действительных чисел на отрезке 0-1
1 - 0, a1, a2, a3, a4, a5 …
2 - 0, b1, b2, b3, b4, b5 …
3 - 0, c1, c2, c3, c4, c5 …
4 - 0, d1, d2, d3, d4, d5 …
5 - 0, e1, e2, e3, e4, e5…
…………………………………
И далее по диагональному методу Кантор строит новое действительное число НДЧ, которого в этой таблице ЯКОБЫ нет. Как он строит НДЧ? Очень чётко, конструктивно и просто.
НДЧ = 0, не a1, не b2, не c3, не d4, не e5 … (1)
И далее Кантор доказывает, что это НДЧ в данной таблице отсутствует. Потому, что оно отличается от всех чисел данной таблицы: от первого числа в первой цифре, после запятой, от второго числа во второй цифре, от N-го числа в N-й цифре и так до безконечности. Вот и всё доказательство. Бурные продолжительные аплодисменты!
И вроде не видно никаких дыр. А не видно потому, что структуру таблицы никто не обсуждал. Опровержение Мельника А.Д. из книги «Что такое параллельная математика?».
Но давайте мы посмотрим внимательно на диагональную процедуру и раскопаем наконец особенности структуры Таблицы Кантора.
Легко видеть, что диагональная процедура работает только на квадратных таблицах. Но Таблица всех действительных чисел совсем не такова - она не квадратная, а прямоугольная и в ней диагональная процедура всю таблицу не охватывает. И никакими манипуляциями невозможно построить в этой таблице НДЧ, которого там нет.
Для простоты и сокращения примера будем писать числа не в десятичном, а в двоичном коде. Рассмотрим вначале Таблицу Кантора в конечном виде. Пусть она будет конечной из чисел, с 2-мя цифрами после запятой. Тогда ширина таблицы ВОС (количество столбцов) будет 2, а глубина (количество строк) будет 4:
1 - 0, 0 0.
2 - 0, 0 1.
3 - 0, 1 0.
4 - 0, 1 1.
Строки можно переставлять, ничего не изменится. Запустим по ней диагональную процедуру Кантора и построим его любимое новое число НДЧ = 0,10. Диагональная процедура закончена. НДЧ построено по диагональному методу Кантора. Это НДЧ = 0,10 от первого числа отличается в первой цифре, от второго - во второй. Из этого Кантор делает вывод, что НДЧ ЯКОБЫ вообще не существует в таблице.
Но это явная ложь. НДЧ отсутствует только в квадратной части таблицы, а таблица ВОС на самом деле не квадратная, а прямоугольная. НДЧ отсутствует только в первых 2-х строках квадратной части таблицы, но прекрасно существует в этой же таблице - ниже квадратной части, в прямоугольной части.
Если мы возьмём таблицу, где есть n цифр после запятой, то ширина таблицы будет n, а глубина 2 в степени n, для двоичной системы и 10 в степени n, для десятичной. Ничего в структуре таблицы не меняется, всё то же самое, она прямоугольная. Кстати растёт вниз гораздо быстрее, чем по строкам.
По индукции перейдём от n к безконечности - ничего не меняется. Ширина таблицы будет ∞, а глубина 10 в степени ∞. Таблица не квадратная и в ней диагональная процедура Кантора всю таблицу не охватывает и ничего не доказывает.
А в НАСТОЯЩЕЙ (прямоугольной) таблице есть ВСЕ НДЧ Кантора и вообще все действительные числа - тема полностью закрыта.
Вот и лопнуло доказательство центральной теоремы Кантора о континууме действительных чисел.
Вывод - множество действительных числе СЧЁТНО. Кстати ВСЕ множества счётны - других нет.
Дед, пей таблетки.
Еще более мощные, чем континуума, множества... Заинтриговали!
Вообще-то есть весьма абстрактная теорема, состоящая в том, что множество всех подмножеств данного множеств имеет мощность большую, чем данное множество.
Из более "осязаемых" множеств, имеющих мощность большую континуума, можно привести пример множества всех действительнозначных функций.
@@Alwebra разве это не теорема Кантора ? полагаю она