Wirklich eine sehr schöne Übersicht. Die kann man sehr gut gebrauchen. Es ist schön zu sehen, dass einige es echt schaffen, z. B. hier in diesem Kanal (aber auch auf anderen Kanälen ;-) ) Vorstellung zu vermitteln, was in der Mathematik enorm wichtig ist. Toll!
Das ist wirklich sehr schön aufbereitet und verständlich erklärt (auch wenn teils zu stark vereinfacht). ABER Leute, glaubt mir: Wenn ihr Mathematik als Hauptfach studiert, dann müsst ihr diesen Prozess der Aufarbeitung selbst durchlaufen. Es kostet sehr viel Zeit und Kraft, aber davon habt ihr am Ende mehr; und vor allem für längere Dauer. Das Gehirn funktioniert am besten, wenn das Belohnungssystem durch eigene harte Arbeit und durch eigene Entdeckungen stimuliert wird. Man muss ja sein Gehirn auf deduktives Denken trainieren, man muss sich die Dinge selbst erschließen können. Diese mundgerechten Video-Häppchen, die einen glauben lassen, man hätte alles verstanden, reichen nicht aus. Denkt mal drüber nach...
Sehr gerne Hugo! Schau auch unbedingt auf meiner Lernplattform math-intuition.de vorbei, dort findest du ganze Videokurse zur Klausurvorbereitung für deine Mathevorlesung :)
Vielen Dank, hab's jetzt einigermaßen verstanden :) ich hatte mir natürlich auch das von Daniel jung angesehen aber ich finde deins viel besser ;) danke! :)
+Karla Catacora Hey Karla, danke für das Feedback :) Schreibt ja nicht jeder hier was, daher freue ich mich besonders :) Wenn du übrigens immer frisch auf dem Laufenden bleiben willst (neue Videos oder Artikel und Kurse von meiner Website), dann empfehle ich dir meinen Newsletter! Darüber kannst du mir auch immer direkt ne Mail bei Fragen schreiben und ein Mini-eBook gits auch dazu ;) Findest du alles auf www.math-intuition.de . Würde mich freuen persönlich von dir zu hören :)
Sehr schön, ein Semester Lineare Algebra in einer Viertelstunde verständlich gemacht. Nach 20 Jahren habe ich mich neulich gefragt, wie das eigentlich nochmal war...mit Gruppe und Körper. Hier ist die Antwort.
Hallo Vielen Dank für die tolle Erklärung, für mich als angehenden Medizininformatik Student, war es sehr verständlich, TOP TOP TOP :) Hast dir ein Abo verdient weiter so 👍
@@tonikaiser2823 Bei Medizininformatik musst du durch das fast gleiche Mathe durch wie bei normaler Informatik, zumindest da wo ich studiere. Und man braucht ja auch sehr vieles von der Mathematik in anderen Teilbereichen der Informatik, sowohl bei der Anwendung als auch zum Verständnis. Informatik ist quasi angewandte Mathematik.
Auch als Auffrischung eigenen Wissens immer wieder erfrischend. Ist aber die Mengen-Darstellung Min 13:27 richtig? Körper sind die sprichwörtlich umfassendere Menge, so daß Körper die Untermenge Ringe einschließen und nicht umgekehrt (s. auch Vorlesung 7: Einführung in endliche Körper für den AES von Christof Paar, Min11:56 ruclips.net/video/cumjreKJMB0/видео.html)
Danke für deine Frage! Beide Darstellungen sind richtig :) Das, was aber illustriert wird, sind unterschiedliche Dinge: 1. Ich habe im Video visualisiert: Jeder Körper ist insbesondere ein Ring (Satz in der Vorlesung). Also sind Körper spezielle Ringe. 2. Im Video von Prof. Paar wurde etwas anderes veranschaulicht: Jeder Körper enthält die Struktur eines Rings (weil Körper ja Ringe sind) und jeder Ring enthält die Struktur einer Gruppe (sogar zwei Gruppen). Die Aussagen sind beide richtig. Visualisiert wurden aber unterschiedliche Dinge.
Eine andere Antwort auf deine Frage: Ich habe visualisiert, dass (schematisch) die "Menge aller Körper" eine Teilmenge wäre von der "Menge aller Ringe". Herr Paar hat hingegen gezeigt: In einem Körper findest du die Struktur eines Ringes und (sogar von zwei) Gruppen.
Gutes Video, wieso werden in einigen definitioen vom RING nur addition und Multiplikation erwähnt ? Ist Z (ganze zahlen) eine ausnahme ? Ist mit subtraktion das additiv inverse gemeint
Gute Frage! Das liegt daran, dass ich jedes "Minus" als ein "Plus" lesen kann, nämlich a - b = a + (-b), und jedes "geteilt durch" als ein "mal": a / b = a * (b^(-1)). Und (-b) bezeichnet nun einfach das additive Inverse zum Element b und analog bezeichnet b^(-1) das multiplikative Inverse zu B. Daher werden alle Ringe (insbesondere auch alle Körper) nur mit + und * definiert. Bei Ringen und Körpern muss bzgl "+" immer eine Gruppe vorliegen, deshalb gibt es zu jedem Element ein add. Inverses und damit ein "Minus". Der Unterschied vom Ring zum Körper liegt beim Mal: In einem Körper K hat jedes Element außer der Null ein multiplik. Inverses, d.h. ich kann durch jedes Element "teilen" (außer durch Null). Bei einem Ring hingegen kann es sein, dass nur manche Elemente so ein mult. Inverses haben, durch die ich problemlos "teilen" kann. Diese nennt man dann Einheiten.
Also ich verstehe was vektorräume etc sind und wie die miteinander verknüpft sind. Nun habe ich immer noch einige grundlegende Fragen. -Um eine gleixhung zu lösen muss man zunächst definieren in welchem rahmen man sich befindet? Wieso benutzt man verschiedene räume? Gruppen, module, vektorräume etc...?
Stell dir vor, du willst eine Gleichung mit reellen Zahlen nach der Variablen x (auch eine reelle Zahl) auflösen. Dann brauchst du nur den Körper der reellen Zahlen. Dieser Körper ist (by the way) gleichzeitig auch ein 1-dimensionaler Vektorraum über sich selbst. Wenn du nun zwei Gleichungen mit zwei (oder mehr) Variablen in den reellen Zahlen lösen willst, dann sind alle Elemente (x,y), die für eine Lösung in Frage kommen, Elemente von R^2, also einem 2-dimensionalen reellen Vektorraum. Bei 3,4,5 ... Gleichungen analog. Die dafür erlaubten Rechenregeln sind Plus, Minus, Mal Geteilt. Hättest du nur die Grundrechenarten Plus, Minus und Mal zur Verfügung gehabt, dann hättest du statt Vektorräumen mit Moduln zutun gehabt. Klarer jetzt?
Wenn man ganz genau ist, gibt es dann nicht nur die Addition? Denn Mult. ist nur eine besondere Art der Addition und Subtr. und Div. sind nur weitere besondere (Umkehr-) Arten der Add. bzw. Mult. Tolle Reihe, übrigens, weiter so.
Sehr gute Frage, die habe ich mir auch schonmal gestellt ;) Hier ein paar Denkanstöße dazu: Beispielsweise bei 1+1+1 = 3*1 lässt sich die Multiplikation tatsächlich auf eine Addition zurückführen. Allerdings geht das nur solange, wie mind. einer der Faktoren eine natürliche Zahl ist, da ich z. B. 3 * 0,5 als Summe 0,5 + 0,5 + 0,5 "auseinanderziehen" kann, aber z.B. 0,5 * 0,5 nicht mehr. Daher lässt sich die Multiplikation nicht immer auf die Addition zurückführen, sondern nur in wenigen Fällen. Außerdem solltest du nie vergessen, dass es nicht nur die oben verwendeten Grundrechenarten aus der Schule (+, -, * und / ) gibt (denn diese sind ja nur für reelle Zahlen definiert), sondern sehr viel mehr Verknüpfungen: Beispielsweise gibt es ja auch eine Addition und Multiplikation von Matrizen. Auch dabei lässt sich die Multiplikation (Matrix * Matrix = Matrix) nicht auf die Addition zurückführen. Bemerkung: Dabei bedeuten die Worte "gibt es" (wie fast immer in Mathe), dass eine solche Addition bzw. Mult. einfach irgendwann definiert wurde (was man natürlich IMMER machen kann - das ist ja die große Freiheit in Mathe) und dass diese Definition sich als nützlich für gewisse Zwecke erwiesen hat und deshalb in deiner Vorlesung erscheint. Die Begriffe "Addition" und "Multiplikation" sind daher immer sehr kontext-abhängig. Aber die reelle Multiplikation mit mind. einer natürlichen Zahl lässt sich wie gesagt tatsächlich auf die reelle Addition zurückführen.
Interessant, mit Matrizen kenne ich mich als Laie natürlich Null aus^^, aber nochmal zur Rückführung der Multiplikation bei 0,5: 1. 0,5*3 = 0,5+0,5+0,5+0; Ich muss hier immer das neutrale Element mit hinzuaddieren, weil sonst zB 0,5*1 keine Addition mehr wäre. 2. 0,5*2 = 0,5+0,5 3. 0,5*1= 0,5+0 4. 0,5*0,5 = 0,25+0, denn wir wissen: 0,5*1=0,5 und 0,5*0=0. 0,5*0,5 liegt nun genau zwischen 0,5*1 und 0,5*0, daher muss der neue Summand ebenfalls genau zwischen 0,5 und 0 liegen, also: 0,25...und alles wäre (einstweiligen) gerettet^^. In wikipedia steht allerdings auch, dass Addition und Multiplikation die beiden Grundoperationen sind und Subtr. und Div. daraus abgeleitet, alle zusammen bilden die Grundrechenarten. Wäre halt schön, wenn man alles auf die Addition zurückführen könnte und komisch ist in der Tat, dass Computer ja multiplizieren können, aber eigentlich technisch bedingt nur immer addieren können, d.h. irgendwie muss ja der Computer mit Hilfe der Addition multiplizieren....
ostihpem Sorry, dass ich erst so spät antworte. Zu deinem Kommentar: Natürlich könnte ich zu jeder Zahl imme noch zusätzlich "+0" dazu schreiben, und auf diese Weise eine Addition daraus machen. Aber bei z.B. 0,5*0,5 = 0,25 + 0 hat diese daraus entstehende Summe auf der rechten Seite im Prinzip nichts mehr mit der ursprünglichen Multiplikation zu tun. Du hast zwar eine Addition bekommen, aber das hilft dir nicht, um das Produkt auszurechnen, weil du trotzdem "wissen" musst, dass 0,5*0,5 = 0,25 ist. Aber ich denke ich kann dir deine Frage bzgl. wie es der Computer macht, dennoch beantworten: Im Computer sind zum einen riesige Additions- und Multiplikationstabellen schon vorgespeichert, sodass quasi nur noch "nachgeschaut" werden muss. Das klappt genau solange, wie du immer mit natürlichen Zahlen zutun hast und nur addieren oder multiplizieren willst. Willst du nun beispielsweise jedoch Gleitkommazahlen multiplizieren, dann muss der Computer folgendes machen: 1. Ab einer gewissen Dezimalstelle runden, z.B. nach der zehnten (was ja meist ausreichen dürfte). 2. Er verschiebt einfach solange das Komma, bis dann daraus eine natürliche Zahl entstanden ist (und merkt sich das Komma verschieben natürlich für später). 3. Mit der zweiten Zahl für das Produkt macht er das genauso. 4. Jetzt kann er in seiner Tabelle nachschauen, wie natürliche Zahlen multipliziert werden und kommt auf ein zwischenergebnis. 5. Zuletzt muss er nur noch entsprechend das Komma verschieben, um sein Endergebnis zu haben. Voila ;) Beispiel: 0,5 * 0,5 -> 5 * 5 (und zwei Kommastellen verschoben= -> 25 (und zwei Kommastellen verschoben) -> 0,25 (Ergebnis)
Ich stelle mir das so vor: 0,5 * 3 = 3mal 0,5 (zur 0) addieren = 1,5 0,5 * 2 = 2mal 0,5 (zur 0) addieren = 1 0,5 * 1 = 1mal 0,5 (zur 0) addieren = 0,5 0,5 * 0,5 = 0,5mal 0,5 (zur 0) addieren =0,25 ... 0,5 * 0 = 0mal 0,5 (zur 0) addieren = 0. Diese Umrechnungstabelle von Multiplikation zu Addition sieht für mich doch ziemlich "rund" aus. Man muss nur verstehen, dass 0,5mal 0,5 addieren schlicht bedeutet: addiere die Hälfte von 0,5 zu 0. Das ergibt sich wiederum logisch daraus, dass 1mal 0,5 addieren bedeutet, dass einmal die "volle" 0,5 zur 0 addiert wird. Ich habe noch einen Link gefunden (ok, wikipedia^^), wo in der Tat steht, dass alles auf Addition zurückführbar ist: de.wikipedia.org/wiki/Addierwerk Das eigentlich Spannende ist dann, dass sogar die Addition noch weiter auf rein logische Verknüpfungen rückführbar ist, die so gar nichts mehr mit Zählen zu tun haben. Irgendwie trotzdem komisch, dass es keinen bekannten Satz oder sowas gibt, der beweist, dass die Rechenoperation der Multiplikation äquivalent als Addition formuliert werden kann. Vielen Dank jedenfalls für deine ausführliche Beantwortung, finde ich toll, dass du dir die Zeit dafür nimmst und anderen (wie mir) beim Verstehen hilfst.
ostihpem Hey ostihpem, Du hast ein paar falsche Prämissen aus denen du folgerst. Wie Math Intuition schon gesagt hat, kannst du "0,5 * 0,5 = 0,5mal 0,5 (zur 0) addieren =0,25" nur sagen, wenn du vorher weißt das 0,5*0,5 = 0,25 ist was du dann zu deiner 0 addierst. Wenn ich dich jetzt Frage was 0,4 * 0.57, kannst du das erst wieder in einer addition ausdrücken wenn du sie multipliziert hast und danach zu der 0 hinzuaddierst. Das heißt aber nicht, dass du die Multiplikation durch die Addition ausdrücken kannst. Denn du musstest vorher Multiplizieren um Addieren zu können ;) In einem Computer wird viel Gerechnet und in den Einheiten wo die Berechnungen besonders schnell gehen müssen, werden wie bereits schon erwähnt Tabellen verwendet um die Berechnungszeit zu verkürzen. Allerdings ist das nicht immer so und auch nicht der Regelfall. Wenn man das wirklich verstehen will, musst du dich mit anderen Zahlensystemen auseinandersetzen. Was wir aus der schule kennen ist das dezimalsystem: ziffern von 0 - 9 binär wäre 0 - 1 hexadezimal wäre 0 - F (in zahlen: 0 - 15) Das Addierwerk dessen link du gepostet hast, arbeitet beispielsweise mit Binärzahlen, wie es generell auf bitebene üblich ist. Mehr dazu findest du hier: de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem Du hast Recht damit, wenn du sagst im Computer wird mehr oder weniger alles auf Logische bzw. Boolsche Ausdrücke zurückgeführt wird, die in der Tat nichts mehr mit der Addition an sich zu tun hat. Aber dadurch das Tansistoren Zustände speichern können (in dem Fall 1 oder 0) kann man diese Zustände auch auslesen und somit z.B. eine Binärzahl zusammen bauen. Mit dieser Zahl kannst du dann entweder so rechnen kann oder sie weiter transfomieren ein Dezimalsystem wo dann wieder mit der alt bekannten Addtion arbeiten kannst.
okay... eins versteh ich jz nich so wirklich ich dachte polynomringe seien über einen Ring aufgebaut also R[x] und wenn man das gleiche mit einem Körper macht habe man einen Polynomraum? ich meine ja, jeder körper ist auch ein ring... aber wann entsteht ein Polynomraum und wann ein Polynomring?
+Apelyn's Entertainment. Wenn du einen Ring R und einen Körper K hast, dann sind sowohl R[x] als auch K[x] (Polynomringe). Ich brauchte immer nur den Begriff Polynomring. Jedoch kann es sein, dass mit Polynomraum doch noch etwas (formal leicht) unterschiedliches gemeint ist: Nämlich suggeriert ja "Raum", dass man auch eine Struktur des Vektorraums haben will. Man kann auch tatsächlich K[x] auch als Vektorraum auffassen, jedoch R[x] im Allgemeinen nicht. Das würde die unterschiedlichen Begriffe erklären. Jedoch brauchst du dir darüber denke ich keine tiefen Gedanken machen, da es von der Menge her sowieso immer das gleiche ist und eine Ring-Struktur immer vorliegt. Daher Polynomring.
+Math Intuition okay, denn ich muss hier in übungen teils basen zu K[x] beweisen, das setzt ja voraus, dass es sich um einen vektorraum handelt... also ist K[x] allgemein ein vektorraum UND ein polynoming? und R[x] nur ein polynomring? ist allgemein jeder Vektorraum auch ein Ring? ja oder? aber vielen dank für die antwort!
+Apelyn's Entertainment. Ne ne ne, aufpassen! ;) Das folgende hat sogut wie keiner verstanden: Grundsätzlich ist alles immer die gleiche Menge! Mengen haben jedoch keine Struktur, d.h. du hast keine Rechenoperationen und keine Rechenregeln zur Verfügung. Du kannst aber einer Menge natürlich eine Struktur definieren (deine Rechenregeln). Man kann ihr auch - je nach Anwendungsfall unterschiedliche Strukturen verpassen! Zum Beispiel kann ich die reellen Zahlen aus Körper auffassen, als Ring oder auch als Vektorraum, je nach Kontext, was ich gerade benötige. Es gibt jedoch sowas wie einen "häufigsten" / "typischen" anwendungsfall. Zum beispiel, dass die reellen zahlen eben ein Körper sind und kein Vektorraum. Ebenso ist K[x] typischerweise ein (Polynom-)ring, aber man kann ihn auch als Vektorraum auffassen - wie du schon schreibst - und dann z.B. eine Basis suchen. R[x] kann ich deshalb nicht als Vektorraum auffassen, weil ich für einen Vektorraum immer noch zusätzlichg einen Körper brauche, auf dem der VR basiert. Bei K[x] habe ich ja einen Körper (nämlich K), aber bei R[x] nicht mehr. Vektorräume sind also auch erstmal was völlig anderes als Ringe. Jedoch kann es natürlich (wie bei K[x] jetzt gelernt) auch Überschneidungen geben.
Ich habe im Video gezielt keine 100% saubere Definition geliefert, sondern nur die zentralen Aspekte. Bei einem Körper und Ring gelten natürlich noch ein paar "Verträglichkeitsbedinungen" wie das Distributivgesetz und die beiden Assoziativgesetze etc. Gerade der Versuch, immer exakt zu sein, macht Mathe ja oft so schwer verständlich für viele.
Leider wird einem in den Beweisen der Kopf abgerissen, wenn man nciht genau argumentiert, dinge auslässt etc ;( Vielen Dank für das Video, war super um einem nochmal die einzelnen Zusammenhänge / Unterschiede aufzuzeigen :)
Hey, ich bin kein mathe geek, daher bitte um toleranz falls ich was falsches sage. Bei uns wurden die Stukturen von der Reihenfolge anders aufgebaut, was ich persönlich verständlicher finde. Daher vielleicht ein kleiner Verbessungsvorschlag: - eine Gruppe (G,*) ist eine Menge G ungleich der leeren Mit einer Abbildung *: GxG->G die Assoziativ ist, ein neutrales Element hat und ein Inverses für jedes Element aus G besitzt - eine Gruppe deren Abbildung zusätzlich kommutativ ist, ist eine "abelsche Gruppe" -ein Ring (R,+,*) ist eine Menge R mit 2 Abbildungen +: R->R und *: R->R, wenn (R,+) eine abelsche Gruppe ist, * auf R assoziativ ist und * und + die distributiv Gesetze erfüllen - existiert ein Einselement mit 1*a = a*1 = a auf R, so ist (R,+,*) ein "Ring mit Eins" - ist * auf R Kommutativ, so nennt man (R,+,*) einen "Kommutativen Ring" - Ein Körper (K,+,*) ist ein kommutativer Ring mit Eins, wobei (K\{0},*) eine abelsche Gruppe sein muss. - Wenn V eine Menge und K ein Körper ist und +:V x V -> V und *:K x V -> V . und zu dem: (V,+) abelsche Gruppe ist .... usw. (siehe: de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum ) Die Formeln lassen sich in den Kommentaren schlecht auffschreiben. Worauf ich hinaus will ist, dass das ich mir das ganze hierarchisch vorstelle, wie eine Zwiebel, bei der in man in der mitte ne Gruppe hat, danach kommt ne abelsche Gruppe, damit kann man einen Ring aufbauen, damit einen Körper und damit einen Vektorraum. Module kannte ich ehrlich gesagt bis eben garnicht :)
Genau so war es bei mir auch. Doch weil ich das wenig intuitiv finde, habe ich es mal versucht anders zu erklären ;) Wenn dir das aus der VL mehr zusagt, umso besser für dich :) Das mit der Zwiebel ist genau das, was ich auch versucht habe zu erklären, vielleicht hilft das dem ein oder anderen ja auch noch.
Du hast irgendwie den sinn dieses videos nicht verstanden xD hier gehts nicht um definitionen, die haben wir alle von der vorlesung und sind auch leicht in ganz vielen büchern zu finden. Hier gehts drum ein besseres verständnis zu kriegen und sich einige wichtige eigenschaften leicht merken zu können. Ich finde es die perfekte ergänzung zum vorlesungsstoff.
mega cool dein kanal, super angenehm dir zuzuhören. Wieder was entspanntes für den Feierabend. Danke :)
❤🎉😮😢😢😢😊😮😊😮😮😅😂❤🎉😂😢😮😢😮😅😅🎉😮😮😅😅 0:20 😅😅😅😅😮😅
😮🎉😢😂😅😢😮😅😢😢😅😢😅😅😅😢😢🎉😅😮😊😅😂😅🎉😢😢😢❤😮😅😢❤😢🎉😮😊😢😂😢😮🎉
sehr angenehme Stimme zum Zuhören ^^
Wie bitte? Finde sie schrecklich, aber ich assoziiere bestimmt andere Dinge mit ihr als du ;)
Ich find sie auch angenehm^^
Wirklich eine sehr schöne Übersicht. Die kann man sehr gut gebrauchen. Es ist schön zu sehen, dass einige es echt schaffen, z. B. hier in
diesem Kanal (aber auch auf anderen Kanälen ;-) ) Vorstellung zu vermitteln, was in der Mathematik enorm wichtig ist. Toll!
Das Video ist Gold wert!! Bringt endlich Ordnung in das Begriffschaos
+Lucynnyu Freut mich sehr! Danke für das Feedback :) Hast du noch mehr verwirrende Begriffe, zu denen es noch kein Video gibt? ;)
Tolle Videos, tolles Konzept, super erklärt!
Vielen Dank für die Simplifikation, du hast stärk Dunkelheit von mein Gehirn beleuchtet. Es hat mich auch mit meine Diskret Struktur geholfen.
Das ist wirklich sehr schön aufbereitet und verständlich erklärt (auch wenn teils zu stark vereinfacht). ABER Leute, glaubt mir: Wenn ihr Mathematik als Hauptfach studiert, dann müsst ihr diesen Prozess der Aufarbeitung selbst durchlaufen. Es kostet sehr viel Zeit und Kraft, aber davon habt ihr am Ende mehr; und vor allem für längere Dauer. Das Gehirn funktioniert am besten, wenn das Belohnungssystem durch eigene harte Arbeit und durch eigene Entdeckungen stimuliert wird. Man muss ja sein Gehirn auf deduktives Denken trainieren, man muss sich die Dinge selbst erschließen können. Diese mundgerechten Video-Häppchen, die einen glauben lassen, man hätte alles verstanden, reichen nicht aus. Denkt mal drüber nach...
Mein Gehirn funktioniert nicht so.
Danke, für das zeitlose tolle Video 👏
Sehr gerne Hugo! Schau auch unbedingt auf meiner Lernplattform math-intuition.de vorbei, dort findest du ganze Videokurse zur Klausurvorbereitung für deine Mathevorlesung :)
Vielen Dank, hab's jetzt einigermaßen verstanden :) ich hatte mir natürlich auch das von Daniel jung angesehen aber ich finde deins viel besser ;) danke! :)
Das hat mega geholfen, danke schön!!
+Karla Catacora Hey Karla, danke für das Feedback :) Schreibt ja nicht jeder hier was, daher freue ich mich besonders :)
Wenn du übrigens immer frisch auf dem Laufenden bleiben willst (neue Videos oder Artikel und Kurse von meiner
Website), dann empfehle ich dir meinen Newsletter! Darüber kannst du mir auch immer direkt ne Mail bei Fragen schreiben und ein Mini-eBook gits auch dazu ;) Findest du alles auf www.math-intuition.de . Würde mich freuen persönlich von dir zu hören :)
Richtig gute Übersicht, direkt nen Screenshot gemacht zum Lernen
Richtig guter Überblick!
Sehr schön, ein Semester Lineare Algebra in einer Viertelstunde verständlich gemacht. Nach 20 Jahren habe ich mich neulich gefragt, wie das eigentlich nochmal war...mit Gruppe und Körper. Hier ist die Antwort.
Super Video!
Hallo
Vielen Dank für die tolle Erklärung, für mich als angehenden Medizininformatik Student, war es sehr verständlich, TOP TOP TOP :)
Hast dir ein Abo verdient weiter so 👍
bitte was? bei Medizininformatik braucht man das oder wie?
@@tonikaiser2823 Bei Medizininformatik musst du durch das fast gleiche Mathe durch wie bei normaler Informatik, zumindest da wo ich studiere. Und man braucht ja auch sehr vieles von der Mathematik in anderen Teilbereichen der Informatik, sowohl bei der Anwendung als auch zum Verständnis. Informatik ist quasi angewandte Mathematik.
Deine Videos sind einfach klasse :-)
Danke!
Auch als Auffrischung eigenen Wissens immer wieder erfrischend.
Ist aber die Mengen-Darstellung Min 13:27 richtig? Körper sind die sprichwörtlich umfassendere Menge, so daß Körper die Untermenge Ringe einschließen und nicht umgekehrt (s. auch Vorlesung 7: Einführung in endliche Körper für den AES von Christof Paar, Min11:56 ruclips.net/video/cumjreKJMB0/видео.html)
Danke für deine Frage! Beide Darstellungen sind richtig :) Das, was aber illustriert wird, sind unterschiedliche Dinge:
1. Ich habe im Video visualisiert: Jeder Körper ist insbesondere ein Ring (Satz in der Vorlesung). Also sind Körper spezielle Ringe.
2. Im Video von Prof. Paar wurde etwas anderes veranschaulicht: Jeder Körper enthält die Struktur eines Rings (weil Körper ja Ringe sind) und jeder Ring enthält die Struktur einer Gruppe (sogar zwei Gruppen).
Die Aussagen sind beide richtig. Visualisiert wurden aber unterschiedliche Dinge.
Eine andere Antwort auf deine Frage: Ich habe visualisiert, dass (schematisch) die "Menge aller Körper" eine Teilmenge wäre von der "Menge aller Ringe".
Herr Paar hat hingegen gezeigt: In einem Körper findest du die Struktur eines Ringes und (sogar von zwei) Gruppen.
Super Sache, danke dir! :)
danke das helft sehr gut
Lern Deutsch
Sehr gut erklärt! :-)
Gutes Video, wieso werden in einigen definitioen vom RING nur addition und Multiplikation erwähnt ? Ist Z (ganze zahlen) eine ausnahme ? Ist mit subtraktion das additiv inverse gemeint
Gute Frage! Das liegt daran, dass ich jedes "Minus" als ein "Plus" lesen kann, nämlich a - b = a + (-b), und jedes "geteilt durch" als ein "mal": a / b = a * (b^(-1)). Und (-b) bezeichnet nun einfach das additive Inverse zum Element b und analog bezeichnet b^(-1) das multiplikative Inverse zu B.
Daher werden alle Ringe (insbesondere auch alle Körper) nur mit + und * definiert. Bei Ringen und Körpern muss bzgl "+" immer eine Gruppe vorliegen, deshalb gibt es zu jedem Element ein add. Inverses und damit ein "Minus".
Der Unterschied vom Ring zum Körper liegt beim Mal: In einem Körper K hat jedes Element außer der Null ein multiplik. Inverses, d.h. ich kann durch jedes Element "teilen" (außer durch Null). Bei einem Ring hingegen kann es sein, dass nur manche Elemente so ein mult. Inverses haben, durch die ich problemlos "teilen" kann. Diese nennt man dann Einheiten.
Gutes Video
Danke!!
Also ich verstehe was vektorräume etc sind und wie die miteinander verknüpft sind. Nun habe ich immer noch einige grundlegende Fragen. -Um eine gleixhung zu lösen muss man zunächst definieren in welchem rahmen man sich befindet? Wieso benutzt man verschiedene räume? Gruppen, module, vektorräume etc...?
Stell dir vor, du willst eine Gleichung mit reellen Zahlen nach der Variablen x (auch eine reelle Zahl) auflösen. Dann brauchst du nur den Körper der reellen Zahlen. Dieser Körper ist (by the way) gleichzeitig auch ein 1-dimensionaler Vektorraum über sich selbst.
Wenn du nun zwei Gleichungen mit zwei (oder mehr) Variablen in den reellen Zahlen lösen willst, dann sind alle Elemente (x,y), die für eine Lösung in Frage kommen, Elemente von R^2, also einem 2-dimensionalen reellen Vektorraum.
Bei 3,4,5 ... Gleichungen analog.
Die dafür erlaubten Rechenregeln sind Plus, Minus, Mal Geteilt.
Hättest du nur die Grundrechenarten Plus, Minus und Mal zur Verfügung gehabt, dann hättest du statt Vektorräumen mit Moduln zutun gehabt.
Klarer jetzt?
Aber ist der Körper nicht auch ein Spezialfall des Vektorraums und ein Ring ein Spezialfall des Moduls, weil n ja auch gleich 1 sein kann?
Ganz genau!
@@mathintuition Dann hättest du doch die Grafik am Ende anders machen müssen. So sieht es so aus als wären das jeweils disjunkte Mengen.
@@antoniusnies-komponistpian2172 gute idee!
ist Z mit Multiplikation eine Gruppe?? wo sind die inverse?
Bezüglich Multiplikaton nicht! Nur bezüglich Addition.
Ist nen nur als variabele gedacht oder hat es eine feste bedeutung ?
Meinst du ein kleines "n" ? Das ist einfach eine variable für eine natürliche Zahl.
Okay das wollte ich nur wissen thx
Wenn man ganz genau ist, gibt es dann nicht nur die Addition? Denn Mult. ist nur eine besondere Art der Addition und Subtr. und Div. sind nur weitere besondere (Umkehr-) Arten der Add. bzw. Mult.
Tolle Reihe, übrigens, weiter so.
Sehr gute Frage, die habe ich mir auch schonmal gestellt ;) Hier ein paar Denkanstöße dazu:
Beispielsweise bei 1+1+1 = 3*1 lässt sich die Multiplikation tatsächlich auf eine Addition zurückführen. Allerdings geht das nur solange, wie mind. einer der Faktoren eine natürliche Zahl ist, da ich z. B. 3 * 0,5 als Summe 0,5 + 0,5 + 0,5 "auseinanderziehen" kann, aber z.B. 0,5 * 0,5 nicht mehr.
Daher lässt sich die Multiplikation nicht immer auf die Addition zurückführen, sondern nur in wenigen Fällen.
Außerdem solltest du nie vergessen, dass es nicht nur die oben verwendeten Grundrechenarten aus der Schule (+, -, * und / ) gibt (denn diese sind ja nur für reelle Zahlen definiert), sondern sehr viel mehr Verknüpfungen:
Beispielsweise gibt es ja auch eine Addition und Multiplikation von Matrizen. Auch dabei lässt sich die Multiplikation (Matrix * Matrix = Matrix) nicht auf die Addition zurückführen.
Bemerkung: Dabei bedeuten die Worte "gibt es" (wie fast immer in Mathe), dass eine solche Addition bzw. Mult. einfach irgendwann definiert wurde (was man natürlich IMMER machen kann - das ist ja die große Freiheit in Mathe) und dass diese Definition sich als nützlich für gewisse Zwecke erwiesen hat und deshalb in deiner Vorlesung erscheint.
Die Begriffe "Addition" und "Multiplikation" sind daher immer sehr kontext-abhängig. Aber die reelle Multiplikation mit mind. einer natürlichen Zahl lässt sich wie gesagt tatsächlich auf die reelle Addition zurückführen.
Interessant, mit Matrizen kenne ich mich als Laie natürlich Null aus^^, aber nochmal zur Rückführung der Multiplikation bei 0,5:
1. 0,5*3 = 0,5+0,5+0,5+0; Ich muss hier immer das neutrale Element mit hinzuaddieren, weil sonst zB 0,5*1 keine Addition mehr wäre.
2. 0,5*2 = 0,5+0,5
3. 0,5*1= 0,5+0
4. 0,5*0,5 = 0,25+0, denn wir wissen: 0,5*1=0,5 und 0,5*0=0. 0,5*0,5 liegt nun genau zwischen 0,5*1 und 0,5*0, daher muss der neue Summand ebenfalls genau zwischen 0,5 und 0 liegen, also: 0,25...und alles wäre (einstweiligen) gerettet^^.
In wikipedia steht allerdings auch, dass Addition und Multiplikation die beiden Grundoperationen sind und Subtr. und Div. daraus abgeleitet, alle zusammen bilden die Grundrechenarten. Wäre halt schön, wenn man alles auf die Addition zurückführen könnte und komisch ist in der Tat, dass Computer ja multiplizieren können, aber eigentlich technisch bedingt nur immer addieren können, d.h. irgendwie muss ja der Computer mit Hilfe der Addition multiplizieren....
ostihpem
Sorry, dass ich erst so spät antworte. Zu deinem Kommentar:
Natürlich könnte ich zu jeder Zahl imme noch zusätzlich "+0" dazu schreiben, und auf diese Weise eine Addition daraus machen. Aber bei z.B. 0,5*0,5 = 0,25 + 0 hat diese daraus entstehende Summe auf der rechten Seite im Prinzip nichts mehr mit der ursprünglichen Multiplikation zu tun. Du hast zwar eine Addition bekommen, aber das hilft dir nicht, um das Produkt auszurechnen, weil du trotzdem "wissen" musst, dass 0,5*0,5 = 0,25 ist.
Aber ich denke ich kann dir deine Frage bzgl. wie es der Computer macht, dennoch beantworten: Im Computer sind zum einen riesige Additions- und Multiplikationstabellen schon vorgespeichert, sodass quasi nur noch "nachgeschaut" werden muss. Das klappt genau solange, wie du immer mit natürlichen Zahlen zutun hast und nur addieren oder multiplizieren willst.
Willst du nun beispielsweise jedoch Gleitkommazahlen multiplizieren, dann muss der Computer folgendes machen:
1. Ab einer gewissen Dezimalstelle runden, z.B. nach der zehnten (was ja meist ausreichen dürfte).
2. Er verschiebt einfach solange das Komma, bis dann daraus eine natürliche Zahl entstanden ist (und merkt sich das Komma verschieben natürlich für später).
3. Mit der zweiten Zahl für das Produkt macht er das genauso.
4. Jetzt kann er in seiner Tabelle nachschauen, wie natürliche Zahlen multipliziert werden und kommt auf ein zwischenergebnis.
5. Zuletzt muss er nur noch entsprechend das Komma verschieben, um sein Endergebnis zu haben.
Voila ;)
Beispiel: 0,5 * 0,5 -> 5 * 5 (und zwei Kommastellen verschoben= -> 25 (und zwei Kommastellen verschoben) -> 0,25 (Ergebnis)
Ich stelle mir das so vor:
0,5 * 3 = 3mal 0,5 (zur 0) addieren = 1,5
0,5 * 2 = 2mal 0,5 (zur 0) addieren = 1
0,5 * 1 = 1mal 0,5 (zur 0) addieren = 0,5
0,5 * 0,5 = 0,5mal 0,5 (zur 0) addieren =0,25
...
0,5 * 0 = 0mal 0,5 (zur 0) addieren = 0.
Diese Umrechnungstabelle von Multiplikation zu Addition sieht für mich doch ziemlich "rund" aus. Man muss nur verstehen, dass 0,5mal 0,5 addieren schlicht bedeutet: addiere die Hälfte von 0,5 zu 0. Das ergibt sich wiederum logisch daraus, dass 1mal 0,5 addieren bedeutet, dass einmal die "volle" 0,5 zur 0 addiert wird.
Ich habe noch einen Link gefunden (ok, wikipedia^^), wo in der Tat steht, dass alles auf Addition zurückführbar ist: de.wikipedia.org/wiki/Addierwerk
Das eigentlich Spannende ist dann, dass sogar die Addition noch weiter auf rein logische Verknüpfungen rückführbar ist, die so gar nichts mehr mit Zählen zu tun haben.
Irgendwie trotzdem komisch, dass es keinen bekannten Satz oder sowas gibt, der beweist, dass die Rechenoperation der Multiplikation äquivalent als Addition formuliert werden kann.
Vielen Dank jedenfalls für deine ausführliche Beantwortung, finde ich toll, dass du dir die Zeit dafür nimmst und anderen (wie mir) beim Verstehen hilfst.
ostihpem
Hey ostihpem,
Du hast ein paar falsche Prämissen aus denen du folgerst.
Wie Math Intuition schon gesagt hat, kannst du "0,5 * 0,5 = 0,5mal 0,5 (zur 0) addieren =0,25" nur sagen, wenn du vorher weißt das 0,5*0,5 = 0,25 ist was du dann zu deiner 0 addierst.
Wenn ich dich jetzt Frage was 0,4 * 0.57, kannst du das erst wieder in einer addition ausdrücken wenn du sie multipliziert hast und danach zu der 0 hinzuaddierst. Das heißt aber nicht, dass du die Multiplikation durch die Addition ausdrücken kannst. Denn du musstest vorher Multiplizieren um Addieren zu können ;)
In einem Computer wird viel Gerechnet und in den Einheiten wo die Berechnungen besonders schnell gehen müssen, werden wie bereits schon erwähnt Tabellen verwendet um die Berechnungszeit zu verkürzen. Allerdings ist das nicht immer so und auch nicht der Regelfall. Wenn man das wirklich verstehen will, musst du dich mit anderen Zahlensystemen auseinandersetzen.
Was wir aus der schule kennen ist das dezimalsystem: ziffern von 0 - 9
binär wäre 0 - 1
hexadezimal wäre 0 - F (in zahlen: 0 - 15)
Das Addierwerk dessen link du gepostet hast, arbeitet beispielsweise mit Binärzahlen, wie es generell auf bitebene üblich ist. Mehr dazu findest du hier: de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem
Du hast Recht damit, wenn du sagst im Computer wird mehr oder weniger alles auf Logische bzw. Boolsche Ausdrücke zurückgeführt wird, die in der Tat nichts mehr mit der Addition an sich zu tun hat. Aber dadurch das Tansistoren Zustände speichern können (in dem Fall 1 oder 0) kann man diese Zustände auch auslesen und somit z.B. eine Binärzahl zusammen bauen. Mit dieser Zahl kannst du dann entweder so rechnen kann oder sie weiter transfomieren ein Dezimalsystem wo dann wieder mit der alt bekannten Addtion arbeiten kannst.
0:42
das hat gleich viel aussagekraft wie: Ja das ist halt dieser zahlenkram
okay... eins versteh ich jz nich so wirklich
ich dachte polynomringe seien über einen Ring aufgebaut also R[x]
und wenn man das gleiche mit einem Körper macht habe man einen Polynomraum?
ich meine ja, jeder körper ist auch ein ring...
aber wann entsteht ein Polynomraum und wann ein Polynomring?
+Apelyn's Entertainment. Wenn du einen Ring R und einen Körper K hast, dann sind sowohl R[x] als auch K[x] (Polynomringe).
Ich brauchte immer nur den Begriff Polynomring.
Jedoch kann es sein, dass mit Polynomraum doch noch etwas (formal leicht) unterschiedliches gemeint ist: Nämlich suggeriert ja "Raum", dass man auch eine Struktur des Vektorraums haben will. Man kann auch tatsächlich K[x] auch als Vektorraum auffassen, jedoch R[x] im Allgemeinen nicht. Das würde die unterschiedlichen Begriffe erklären.
Jedoch brauchst du dir darüber denke ich keine tiefen Gedanken machen, da es von der Menge her sowieso immer das gleiche ist und eine Ring-Struktur immer vorliegt. Daher Polynomring.
+Math Intuition
okay, denn ich muss hier in übungen teils basen zu K[x] beweisen, das setzt ja voraus, dass es sich um einen vektorraum handelt...
also ist K[x] allgemein ein vektorraum UND ein polynoming?
und R[x] nur ein polynomring?
ist allgemein jeder Vektorraum auch ein Ring? ja oder?
aber vielen dank für die antwort!
+Apelyn's Entertainment. Ne ne ne, aufpassen! ;) Das folgende hat sogut wie keiner verstanden:
Grundsätzlich ist alles immer die gleiche Menge! Mengen haben jedoch keine Struktur, d.h. du hast keine Rechenoperationen und keine Rechenregeln zur Verfügung. Du kannst aber einer Menge natürlich eine Struktur definieren (deine Rechenregeln). Man kann ihr auch - je nach Anwendungsfall unterschiedliche Strukturen verpassen!
Zum Beispiel kann ich die reellen Zahlen aus Körper auffassen, als Ring oder auch als Vektorraum, je nach Kontext, was ich gerade benötige.
Es gibt jedoch sowas wie einen "häufigsten" / "typischen" anwendungsfall. Zum beispiel, dass die reellen zahlen eben ein Körper sind und kein Vektorraum.
Ebenso ist K[x] typischerweise ein (Polynom-)ring, aber man kann ihn auch als Vektorraum auffassen - wie du schon schreibst - und dann z.B. eine Basis suchen.
R[x] kann ich deshalb nicht als Vektorraum auffassen, weil ich für einen Vektorraum immer noch zusätzlichg einen Körper brauche, auf dem der VR basiert. Bei K[x] habe ich ja einen Körper (nämlich K), aber bei R[x] nicht mehr.
Vektorräume sind also auch erstmal was völlig anderes als Ringe. Jedoch kann es natürlich (wie bei K[x] jetzt gelernt) auch Überschneidungen geben.
Ich denke bei den Körper fehlt noch der Zusatz, dass das Distributivgesetz gilt.
Ich habe im Video gezielt keine 100% saubere Definition geliefert, sondern nur die zentralen Aspekte. Bei einem Körper und Ring gelten natürlich noch ein paar "Verträglichkeitsbedinungen" wie das Distributivgesetz und die beiden Assoziativgesetze etc.
Gerade der Versuch, immer exakt zu sein, macht Mathe ja oft so schwer verständlich für viele.
Leider wird einem in den Beweisen der Kopf abgerissen, wenn man nciht genau argumentiert, dinge auslässt etc ;( Vielen Dank für das Video, war super um einem nochmal die einzelnen Zusammenhänge / Unterschiede aufzuzeigen :)
Hey,
ich bin kein mathe geek, daher bitte um toleranz falls ich was falsches sage.
Bei uns wurden die Stukturen von der Reihenfolge anders aufgebaut, was ich persönlich verständlicher finde.
Daher vielleicht ein kleiner Verbessungsvorschlag:
- eine Gruppe (G,*) ist eine Menge G ungleich der leeren Mit einer Abbildung *: GxG->G die Assoziativ ist, ein neutrales Element hat und ein Inverses für jedes Element aus G besitzt
- eine Gruppe deren Abbildung zusätzlich kommutativ ist, ist eine "abelsche Gruppe"
-ein Ring (R,+,*) ist eine Menge R mit 2 Abbildungen +: R->R und *: R->R, wenn (R,+) eine abelsche Gruppe ist, * auf R assoziativ ist und * und + die distributiv Gesetze erfüllen
- existiert ein Einselement mit 1*a = a*1 = a auf R, so ist (R,+,*) ein "Ring mit Eins"
- ist * auf R Kommutativ, so nennt man (R,+,*) einen "Kommutativen Ring"
- Ein Körper (K,+,*) ist ein kommutativer Ring mit Eins, wobei (K\{0},*) eine abelsche Gruppe sein muss.
- Wenn V eine Menge und K ein Körper ist und +:V x V -> V und *:K x V -> V . und zu dem:
(V,+) abelsche Gruppe ist
.... usw. (siehe: de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum )
Die Formeln lassen sich in den Kommentaren schlecht auffschreiben. Worauf ich hinaus will ist, dass das ich mir das ganze hierarchisch vorstelle, wie eine Zwiebel, bei der in man in der mitte ne Gruppe hat, danach kommt ne abelsche Gruppe, damit kann man einen Ring aufbauen, damit einen Körper und damit einen Vektorraum. Module kannte ich ehrlich gesagt bis eben garnicht :)
Genau so war es bei mir auch. Doch weil ich das wenig intuitiv finde, habe ich es mal versucht anders zu erklären ;) Wenn dir das aus der VL mehr zusagt, umso besser für dich :) Das mit der Zwiebel ist genau das, was ich auch versucht habe zu erklären, vielleicht hilft das dem ein oder anderen ja auch noch.
Du hast irgendwie den sinn dieses videos nicht verstanden xD hier gehts nicht um definitionen, die haben wir alle von der vorlesung und sind auch leicht in ganz vielen büchern zu finden. Hier gehts drum ein besseres verständnis zu kriegen und sich einige wichtige eigenschaften leicht merken zu können. Ich finde es die perfekte ergänzung zum vorlesungsstoff.
Hallo und willkommen bei einer neuen Folge von Meth Intuition?
Ist hier doch eher ein Chemie Channel? 🤔
10/10 pain skills
Zu viele Fehler. Abgebrochen.
An welchen Stellen fanden Sie Fehler? Erkklären Sie das doch mal bitte.
Coole Motivationen, aber die Definitionen fand ich persönlich irreführend:/