Un Interesante Problema sobre Teoría de Números
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- Опубликовано: 5 сен 2024
- El video se estructura en dos partes:
1. En la primera, se realiza un análisis sobre la forma general de escribir los números enteros positivos que no son divisibles por 2 ni por 3, esto con el objetivo de reescribir el problema de forma más sencilla.
2. En la segunda parte, se demuestra la proposición utilizando el Método de Casos y el Principio de Inducción Matemática.
Si desean acceder a un PDF con la demostración realizada diríjanse al siguiente Linktree: linktr.ee/agor....
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Danse Macabre - No Violin de Kevin MacLeod tiene una licencia Atribución 4.0 de Creative Commons. creativecommon...
Fuente: freepd.com/Clas...
Artista: incompetech.com/
Valor de alto valor social, felicitaciones... Si deseas utiliza fondo musical que no tenga esos altos y bajos para que no distraiga. De por si, quien ve sus videos son matemáticos que aman el silencio y disfrutan de una demostración... Muchas gracias
Muchas gracias a ti por el buen comentario. Te agradezco por valorar el trabajo. Y tomaré en cuenta tu recomendación. Un abrazo 🤗. Me alegra que hayas disfrutado el video.
Muy buen video. presentas una respuesta formal explicada de manera muy didáctica
¡Muchas gracias!, me alegra mucho que lo hayas disfrutado. Un abrazo.
Muchas gracias por el vídeo.
Quizás, como sugerencia, podrías bajar (mucho) el volumen de la música de fondo.
Gracias
Gracias a usted por ver el video. En mis nuevos videos he tenido en cuenta esta sugerencia. Te invito a verlos también. Un abrazo!
Otra forma de resolver es de la siguiente manera:
1) Si a no es multiplo ni de 2 ni de 3, entonces se puede comprobar que a es de la siguiente forma: a = (2^m)*(3^n) +1 o a = (2^m)*(3^n) - 1 , para todo m >=1, n >=1 y m y n enteros.
2) Si bien vamos a hacer el análisis para el caso de (2^m)*(3^n) - 1, se puede seguir el mismo razonamiento para el caso de que a = (2^m)*(3^n) +1.
Elevamos al cuadrado ambos miembros => a^2 = ((2^m)*(3^n) - 1)^2
3) Restamos uno a cada lado y aplicamos diferencias de cuadrados => a^2 - 1 = ((2^m)*(3^n)-1)^2 - 1^2 ==>
a^2 - 1 =((2^m)*(3^n)-2)(2^m)*(3^n)
4) Del punto 1, dijimos que m >=1 y n>=1, entonces podemos definir m sin perder generalidad como => m = n + k , para todo k entero mayor o igual a 0
5) Llevamos m = n +k a 3 => a^2 - 1 = (2^k.2^n.3^n - 2).2^k.2^n.3^n => a^2 - 1 = 2. [6^n] .2^k. [2^(k-1).2^n. 3^n - 1]
6) Ahora analizamos algunos términos: Primero (2^(k-1).2^n. 3^n - 1). Dado que n >=1 y e N y k >=0 y k e N, entonces podemos concluir que 2^(k-1).2^n. 3^n siempre es múltiplo de 3, por lo que podemos afirmar que la siguiente expresión: (2^(k-1).2^n. 3^n - 1) es 3° - 1. También podemos decir de manera general que 3° - 1 es múltiplo de 2, es decir es 2°).
Entonces podemos afirmar que a^2 - 1 =2. [6^n] .2^k. 2°.
Si analizamos 6^n, tal como hemos definido n en 1), podemos asegurar que 6^n = 6°
Por lo que podemos decir , luego de ordenar, que a^2 - 1 = 2 . 6° . 2° . 2^k = 8°.3°. 2^k = 24°.2^k
Dado que k puede ser 0 o cualquier otro número natural, entonces podemos afirmar que (a^2 - 1) es 24°.
Genial!
antes de ver el video dejo mi respuesta. SI porque:
a se puede representar como (6n-1) que no es un multiplo de 2 ni de 3
entonces (a^2 -1)/24 se puede escribir como [(6n-1)^2-1]/24
resolviendo el cuadrado queda como: (36n^2-12n)/24
divido denominador y numerador por 12 y queda. n(3n-1)/2
analizando solo 3n-1 para todo n tal que n pertenece al conjunto de números enteros positivos esa expresión te va a dar un numero par. parto es divisible por 2, por tan la conjetura inicial es correcta.
Veo no correcta tu deducción, pues por ejemplo no se puede escribir 19=6n-1, para ningún entero n, por qué de lo contrario 6 sería divisor de 20; siendo 19 primo con 2, y con 3. Quizá se pueda modificar un poco tu prueba, usando el hecho que el tal a si se puede escribir como a=6n ± 1, para algún n. Yo estoy dando una prueba basado en propiedades elementales de grupos finitos.
@@albertogarcia4177 Oh vaya no lo había notado gracias
🎉
Solución b) a^2-1=(a+1)(a-1), 3 no divide a a, si a 1(mod3) entonces a-1 es 0(mod3), si a 2(mod3)entonces a+1=0(mod3), luego un factor siempre es multiplo de 3, como a impar tanto a-1 como a+1 son pares, luego son pares consecutivos, el producto de 2 pares consecutivos es siempre multiplo de 8. Luego la expresión es multiplo de 24
El volumen de la música distrae
Muchas gracias. Lo arreglaré para próximos videos. Un abrazo.
Todos los cuadrados son 1 o 0 mod 3, luego como 3 no divide a , a^2=1(mod3), a^2-1=0(mod3), luego como 2 no divide a, a impar, entonces a es congruente a un impar mod 8, i^2, 1^2,3^2,5^2,7^2 son todos 1(mod8) luego 1-1=0(mod8) luego 8 y 3 dividen a a^2-1, entonces 24 lo divide
@@DAVIDALYAHIRRADILLOROJAS Excelente razonamiento!!! Muchas gracias.
Un bonito problema..... creo que te enredaste un poco con las explicaciones.
Muchas gracias por el comentario. Esta bien, trataré de mejorar en los próximos videos. Un abrazo.