유체역학16 💧 2-7 질량관점 연속방정식 (continuity equation)

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안녕하세요 피토스터디입니다
유체역학 16 번 강의입니다 (vrew 자막은 썸네일에)
아무것도 없는 우주 공간에서 공간보존법칙 입니다
이것은 허공에 발차기 한 것처럼 헛된 노력입니다
하지만 질량을 채우게 되면요. 연속방정식 으로 바뀌게 됩니다
미소체적은 비체적으로 정의되는 변수가 되고요
공간보존법칙은 네 가지의 의미를 가진다고 했는데요
이번 강의에서는 연속방정식에 대해서 논의합니다
가장 알기 쉽게 설명하면요. 은행의 이자율을 생각하면 됩니다
은행의 이자율을 1 초당 이자율로 생각하면요
이것은 divergence 와 같고 비체적의 체적변화율
또는 체적변화율과 동일합니다
그리고 이것은 (질량관점) 연속방정식이 됩니다
이번 강의에서는 질량관점이 어떤 뜻인지 주로 설명하도록 하겠습니다
공간보존법칙은 수학적 법칙이라고 할 수 있고요
하지만 물질의 경우에 연속의 가정은
길이 스케일의 한계를 가지고 있습니다
이것을 잊지 말아야 합니다
앞에서 공부한 공간보존법칙은 체적변화에 대한 원리를 설명하고요
발산의 물리적인 의미를 설명했습니다
이번 강의에서는 연속방정식 이란 것을 추가 하는데요
연속방정식은요. 유체 뿐만 아니라 고체에도 성립하는 것입니다
따라서 마시멜로와 팝콘을 대상으로 논의하기로 하겠습니다
화면에 보인 캐릭터는 라그랑주 탐정이고요
질량에 붙어서 함께 움직이는 관찰자의 역할을 합니다
움직이는 것을 강조하기 위해서 비행기 모자를 썼습니다
여기서 마시멜로는 부풀어 오르고
옥수수 알은 뻥튀기가 되어서 팝콘이 됩니다
하지만 원래 질량은 변하지 않는 상황을 나타냅니다
체적변화에 대해서는 공간보존법칙이 성립하고요
질량은 일정합니다. 이 경우에 (dm)' 은 제로가 됩니다
상태 1 과 상태 2 사이에서 질량의 변화는 없습니다
첫 번째 수식은 공간보존법칙 이고요
이 두 개의 식을 결합한 것이 이번 강의의 주 목적입니다
먼저 (dm)' =0 이니까 dm 은 상수가 됩니다
따라서 공간보존법칙을 dm 으로 나누고요
상수이므로 미분의 안으로 들어갑니다
그런데 비체적의 정의를 이용하면요
47 번식은 48 번식으로 바뀝니다
한 가지 재미있는 것은요
원래의 공간보존법칙과 모양이 똑같게 됩니다
dV 를 비체적으로 바꿨고요
이와 같이 공간보존법칙과
질량관점 연속방정식이 모양이 똑같은 상황은요
마치 거푸집에 주물을 부어서
똑같은 모양을 만드는 것과 유사합니다
비체적에는 질량개념이 들어가고요
공간보존법칙에는 질량개념이 포함되지 않은 차이 입니다
그래서 비어있는 거푸집의 역할을 하는 것으로 비유할 수 있습니다
연속방정식은 여러 형태로 존재하는데요
첫 번째 유도한 결과를 prototype 원형이라고 생각할 수 있습니다
그 이유를 설명할까요
시간과 체적, 질량의 3 요소는 원래 본능적인 감각에 속합니다
"방울이" 에 나타나 있는데요
시간과 질량을 엮어서 질량보존법칙 이고요
일정한 질량을 말합니다
질량과 체적 사이에서는 비체적이 정의되고요
시간과 체적의 변화에 대해서 공간보존법칙 입니다
이 세 가지를 엮어서 하나의 수식을 얻는데요
이것이 바로 질량관점 연속방정식의 원형 (prototype) 입니다
그런데 질량관점에서 밀도 대신에 비체적이 사용되었습니다
그 이유는 아주 쉬운데요
옥수수 알이 뻥튀기돼서 팝콘이 되면요
부피가 늘었다고 합니다
밀도가 줄었다고 하는 경우는 거의 없겠죠
따라서 prototype 으로서는 비체적이 변수가 됩니다
물론 밀도를 이용해서 방정식을 나타낼 수도 있습니다
실제로 밀도는 비체적의 역수 이므로
비체적에 대한 질량관점 연속방정식에서 rho 분의 1 을 대입하고
이것은 유체역학의 교과서에서 많이 보이는 수식입니다
또 다른 방법이 있는데요
질량보존법칙 (dm)' = 0 로부터 시작합니다
질량은 밀도 곱하기 체적이므로
전체 미분은 앞의 미분과 뒤의 미분으로
그리고 (dV)' 은 공간보존법칙 으로부터 divergence 를 포함하고요
dV 를 나누면 밀도에 대한 연속방정식을 얻게 됩니다
지금까지의 유도과정은 기존의 교과서와 많이 다른데요
왜냐하면 공간보존법칙과 발산의 물리적인 의미
그리고 질량관점의 연속방정식이
모두 은행의 이자율과 같은 개념임을 강조하기 때문입니다
은행의 원금과 이자의 그림을 질량관점 연속방정식과 함께 그렸습니다
질량관점 연속방정식의 문제점이 있습니다
prime 을 Dt 분의 D 로 나타낸 것인데요
가장 어려운 점은 유체의 정의에서 찾을 수 있습니다
유체는 아무리 작은 전단응력을 받더라도
연속적으로 계속하여 변형이 일어나는 물질로 정의됩니다
유체가 흐르는 속에 미소체적 (질량) 이 있고요
두 명의 관측자가 있습니다
라그랑주 탐정은요 미소체적 (질량) 을 따라가는 것이고요
오일러 탐정은 검사체적에 붙어 있어서 고정되어 있습니다
유체의 전체유동에 따라서
미소질량의 표면에 전단응력이 작용하고요 변형이 발생합니다
사각형의 미소질량에 전단력이 작용하는 상황을 과도하게 그려볼까요
이와 같이 체적이 변하면서 과도하게 변형되면요
다른 미소질량과 섞이거나
또는 이 검사체적을 구별할 수 없는 상황이 발생합니다
따라서 질량에 고정된 관측자로는 해석이 상당히 어렵습니다
이러한 이유로
유체역학에서는 검사체적 관점에서 해석하는 오일러 방법을 택합니다
오일러 방법은 나중에 알아보기로 하고요
이번 강의에서는 질량관점 연속방정식의 유도과정과 의미
그리고 문제점을 논의하였습니다
오늘의 개념카드입니다
"방울이" 는 모두 본능적인 감각요소를 가지고 있는데요
이 중에서 시간, 체적, 질량을 아우른 것이 질량관점 연속방정식 입니다
이것은 이자율의 개념과 동일하고요
두 식을 결합해서 질량관점 연속방정식을 유도하였습니다
라그랑주 관점에서 연속방정식은요
비체적과 밀도 두 가지를 모두 사용하지만요
나중에 공부하는 오일러 관점에서는 밀도 만을 변수로 채택합니다
비체적은 전혀 변수로 택하지 않습니다
시청해주셔서 감사합니다

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강의 감사합니다

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