On considère le nombre complexe z = cos2π/7+i sin2π/7. 1. On pose S = z + z2 + z4 et T = z3 + z5 + z6. Montrer que S et T sont conjugués et que la partie imaginaire de S est positive. 2. Calculer S +T, ST puis en déduire S et T .
@10:40 Pour Im(S), on peut faire plus propre que de regarder à peu près sur le cercle trigonométrique. Avec les formules de l'angle double on a : sin(a) + sin(2a) + sin(4a) = sin(a)*(X^3-X+1) en posant X = 2*cos(a). On peut conclure en étudiant la fonction x -> x^3-x+1 sur ]0,2[.
Il y a plus simple avec: sin(2pi/7) + sin(4pi/7) + sin(8pi/7) = sin(2pi/7) + sin(4pi/7) - sin(pi/7)= sin(2pi/7) - sin(pi/7)+ sin(4pi/7) (car 8pi/7= pi + pi/7 ) . Ensuite sur [0,pi/2] sin croissante donc sin(2pi/7) >= sin(pi/7) et sur [0,pi] sin>=0 donc sin(4pi/7)>=0 . Ainsi sin(2pi/7) - sin(pi/7)+ sin(4pi/7) >=0 .
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On considère le nombre complexe z = cos2π/7+i sin2π/7.
1. On pose S = z + z2 + z4
et T = z3 + z5 + z6.
Montrer que S et T sont conjugués et que la partie imaginaire de S est positive.
2. Calculer S +T, ST puis en déduire S et T .
Un exo niveau 1° C des années 70 !
Exercice très élégant en fait ...
@10:40 Pour Im(S), on peut faire plus propre que de regarder à peu près sur le cercle trigonométrique.
Avec les formules de l'angle double on a :
sin(a) + sin(2a) + sin(4a) = sin(a)*(X^3-X+1) en posant X = 2*cos(a).
On peut conclure en étudiant la fonction x -> x^3-x+1 sur ]0,2[.
Il y a plus simple avec:
sin(2pi/7) + sin(4pi/7) + sin(8pi/7) = sin(2pi/7) + sin(4pi/7) - sin(pi/7)= sin(2pi/7) - sin(pi/7)+ sin(4pi/7) (car 8pi/7= pi + pi/7 ) .
Ensuite sur [0,pi/2] sin croissante donc sin(2pi/7) >= sin(pi/7) et sur [0,pi] sin>=0 donc sin(4pi/7)>=0 . Ainsi sin(2pi/7) - sin(pi/7)+ sin(4pi/7) >=0 .
@@maths-lycee1:25 1:27
exercice donné en 1979 Bac C Orléans Tours....
C'était avant J. Lang et JM. Blanquer et toutes les "réformes" appliquées à ce qui s'appelait "Baccalauréat".
bonjour, pourquoi la partie imaginaire de w doit etre positive
En notres exercies comme cette exercies
Je comprends bienfaits
bonjour, pourquoi la partie imaginaire de S doit etre positive et non pas w désolé
❤❤❤❤😂😂😂🎉🎉😢😢😊