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日本語でルベーグ積分をわかりやすく解説する動画は貴重ですね。書籍は色々とありますが、独学者にとって動画での解説は大変ありがたいです。
ありがとうございます！ルベーグ積分の需要が思ったより多く，正直びっくりしています笑
くっそわかりやすい
めちゃくちゃわかりやすいです。本当にありがとうございます。助かります。
今まで見た動画で一番わかり易い！！
嬉しい感想をありがとうございます！
これから勉強するけどなんとなくイメージ掴めた気がします😊
助かる。もっとルベーグ積分について、問題を出して欲しい。
ルベーグの収束定理を使う基礎演習の動画アップしましょうか笑
@@TKT_Yamamoto 本当ですか？すごい嬉しいです。ルベーグ積分の周辺が本当に難しくてわからないのです。
「周辺」と言えるほど広いことはまだまだ先になりますが，範囲によってはピンポイントで扱うことはあるかもしれません
@@TKT_Yamamoto 期待してます
ルベーグ積分独学中でしていろんな本を読みながら頑張ってるんですが具体例を書いてある本とかは少なくそれを言葉で説明してくださる動画はありがたいです。ところでf_n(x)をg(x)で上から抑える条件が必要な理由がよくわからないのですが説明していただけると幸いです。この仮定がないと成立しない場合があるのですかね？
嬉しいコメントをありがとうございます！また，質問もありがとうございます！【一様にf_nを評価する可積分関数gの存在が必要な理由】一言で説明するのは難しいのですが，可積分関数はきちんと積分が有限になる程度には「大人しい関数」ということができます．そのため，可積分関数gに一様に評価される関数f_nたちもそれなりに「大人しい関数」となっているので，極限と積分の関係についてもそれなりにいい性質をもてる，というのが1つの説明になると思います．【項別積分が成り立たない例】ご指摘のように，f_nたちによっては項別積分ができないこともあります．例えば，f_n:ℝ→ℝを f_n=n²x (0≦x≦1/n), -n²x+2n (1/n≦x≦2/n), 0 (他の場合)とすると，f_n(1/n)=nなのでnを大きくするにつれグラフはどんどん細く尖っていきますが，f_nの積分はnによらず常に1です．一方，f_nの極限関数fは恒等的に0となるので，fの積分は0となります．つまり，これは極限と積分の順序交換が成り立っていない例になっており，|f_n|≦gとなる可積分関数gはとれません．
@@TKT_Yamamoto なるほど。すべてのnに対してf_nを上から抑えてやると確かに積分の単調性から可積分になりますね。ありがとうございます。これからも動画見て勉強させていただきます。
リーマン積分の意味で極限とインテグラルの入れ替えが可能なとき、リーマン積分の結果とルベーグ積分の結果は一致しますか？
はい，「有界閉区間において，リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能で両者の結果は一致する」という事実が証明できます(証明にはこの動画の[ルベーグの収束定理]を用いる方法があります)！つまり，(広義ではない普通の)有界閉区間上のリーマン積分の上位互換としてルベーグ積分が考えられるわけですね．(上記のように「リーマン積分の結果とルベーグ積分の結果が一致」するためにはご質問の前提「リーマン積分の意味で極限とインテグラルの入れ替えが可能なとき」は必要ありませんが，もし「(有界閉区間上の)リーマン積分で項別積分可能なら，ルベーグ積分でも項別積分可能でリーマン積分のときと結果は一致するか？」という質問だったのであれば，この場合にも答えはYesとなります．)
とても楽しく勉強させていただきました．ありがとうございます! 私事ですが，最近，関数のリプシッツ連続性に関わる定理・手法(不動点定理，picardの逐次近似法 etc.)などを勉強しているので，このあたりについても何か動画を作成して頂けると嬉しいです．(本動画には関係のない提案ですみません...)宜しくお願いいたします．
楽しいと感じて頂けたとのこと，とても嬉しい言葉です！ありがとうございます！実はたまたまPicardの逐次近似法の動画を作成している途中ですので，乞うご期待ということで少々お待ちください！
とても楽しみです！ よろしくお願いします。
こちらこそご視聴くださり、ありがとうございました！
日本語でルベーグ積分をわかりやすく解説する動画は貴重ですね。書籍は色々とありますが、独学者にとって動画での解説は大変ありがたいです。
ありがとうございます！
ルベーグ積分の需要が思ったより多く，正直びっくりしています笑
くっそわかりやすい
めちゃくちゃわかりやすいです。本当にありがとうございます。助かります。
今まで見た動画で一番わかり易い！！
嬉しい感想をありがとうございます！
これから勉強するけどなんとなくイメージ掴めた気がします😊
助かる。もっとルベーグ積分について、問題を出して欲しい。
ルベーグの収束定理を使う基礎演習の動画アップしましょうか笑
@@TKT_Yamamoto
本当ですか？すごい嬉しいです。ルベーグ積分の周辺が本当に難しくてわからないのです。
「周辺」と言えるほど広いことはまだまだ先になりますが，範囲によってはピンポイントで扱うことはあるかもしれません
@@TKT_Yamamoto
期待してます
ルベーグ積分独学中でしていろんな本を読みながら頑張ってるんですが具体例を書いてある本とかは少なくそれを言葉で説明してくださる動画はありがたいです。
ところでf_n(x)をg(x)で上から抑える条件が必要な理由がよくわからないのですが説明していただけると幸いです。
この仮定がないと成立しない場合があるのですかね？
嬉しいコメントをありがとうございます！また，質問もありがとうございます！
【一様にf_nを評価する可積分関数gの存在が必要な理由】
一言で説明するのは難しいのですが，可積分関数はきちんと積分が有限になる程度には「大人しい関数」ということができます．
そのため，可積分関数gに一様に評価される関数f_nたちもそれなりに「大人しい関数」となっているので，極限と積分の関係についてもそれなりにいい性質をもてる，というのが1つの説明になると思います．
【項別積分が成り立たない例】
ご指摘のように，f_nたちによっては項別積分ができないこともあります．
例えば，f_n:ℝ→ℝを
f_n=n²x (0≦x≦1/n), -n²x+2n (1/n≦x≦2/n), 0 (他の場合)
とすると，f_n(1/n)=nなのでnを大きくするにつれグラフはどんどん細く尖っていきますが，f_nの積分はnによらず常に1です．一方，f_nの極限関数fは恒等的に0となるので，fの積分は0となります．
つまり，これは極限と積分の順序交換が成り立っていない例になっており，|f_n|≦gとなる可積分関数gはとれません．
@@TKT_Yamamoto なるほど。すべてのnに対してf_nを上から抑えてやると確かに積分の単調性から可積分になりますね。
ありがとうございます。これからも動画見て勉強させていただきます。
リーマン積分の意味で極限とインテグラルの入れ替えが可能なとき、リーマン積分の結果とルベーグ積分の結果は一致しますか？
はい，「有界閉区間において，リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能で両者の結果は一致する」という事実が証明できます(証明にはこの動画の[ルベーグの収束定理]を用いる方法があります)！
つまり，(広義ではない普通の)有界閉区間上のリーマン積分の上位互換としてルベーグ積分が考えられるわけですね．
(上記のように「リーマン積分の結果とルベーグ積分の結果が一致」するためにはご質問の前提「リーマン積分の意味で極限とインテグラルの入れ替えが可能なとき」は必要ありませんが，もし「(有界閉区間上の)リーマン積分で項別積分可能なら，ルベーグ積分でも項別積分可能でリーマン積分のときと結果は一致するか？」という質問だったのであれば，この場合にも答えはYesとなります．)
とても楽しく勉強させていただきました．ありがとうございます!
私事ですが，最近，関数のリプシッツ連続性に関わる定理・手法(不動点定理，picardの逐次近似法 etc.)などを勉強しているので，このあたりについても何か動画を作成して頂けると嬉しいです．(本動画には関係のない提案ですみません...)
宜しくお願いいたします．
楽しいと感じて頂けたとのこと，とても嬉しい言葉です！ありがとうございます！
実はたまたまPicardの逐次近似法の動画を作成している途中ですので，乞うご期待ということで少々お待ちください！
とても楽しみです！ よろしくお願いします。
めちゃくちゃわかりやすいです。本当にありがとうございます。助かります。
こちらこそご視聴くださり、ありがとうございました！