Du bist ein König 🤴 Ich komm darauf grad nicht klar, wie einfach das eigentlich ist 😂😂 Ich werde dich auf jeden Fall weiterempfehlen! Ich dank dir mein Lieber! Ich wünsch dir viel Erfolg! 🍀👍
Wirklich ausgezeichnet erklärt. Deutliche aussprache, präzise und einfache Verwendung der Fachbegriffe und einfache darstellung komplizierter Aspekte, die eigentlich dadurch sehr leicht verständlich werden, ganz im Sinne des Feynman Prinzips ;) Insbesondere gefallen mir die Beispiele mit alternativen Lösungsmöglichkeiten sehr gut. Didaktisch super. Weiter so!
Du bist wirklich begnadet. Und damit meine ich nicht nur deine Mathefertigkeiten sondern auch deine didaktischen Fähigkeiten. Du gehörst einfach in den Lehrbetrieb. Mach bitte weiter so!
Danke! Beim Erklären spreche meine Gedanken langsam und geordnet aus. Hoffe damit können sich langfristig noch andere für die kreative Welt der Mathematik begeistern :)
Wahrscheinlich erst im nächsten Semester. Bin die nächste Zeit erst mal damit beschäftigt Klausurvorbereitungskurse zu geben. So kurz vor den Klausuren brauchen viele noch persönliche Unterstützung :)
Gibt es einen Unterschied bei der Berechnung des Arbeitsintegrals zu dem Oberflächenintegral 2. Art? Hat die Berechnung des Arbeitsintegrals schon mit dem Satz von Stokes zu tun? Oder ist es eine Alternative Methode?
Beim Arbeitsintegral 2. Art wird mit der Tangentialkomponente (= Ableitung der parametrisierten Kurve) gearbeitet und beim Oberflächenintegral mit dem Normalenvektor (= Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen nach beiden Variablen). Beim Kurvenintegral wird 1 Integral berechnet und beim Oberflächenintegral 2 Integrale. Der Integralsatz von Stokes verbindet ein Kurvenintegral 2. Art mit einem Oberflächenintegral 2. Art.
Ich habe alles auf anhieb verstanden, was mich bei deinen Videos immer so sehr freut. Nur ist mir im Skript eine kleine Sache aufgefallen, die leicht anders war als hier, aber ich geh davon aus, dass es vielleicht nicht auf die selbe Situation bezogen ist wie hier, weshalb es zu diesem kleinen Unterschied kam. Also der Unterschied wovon ich gerade so lange rede, ist einfach nur dass ich bei 11:35 sehe, dass man den Normalvektor nicht normiert, aber in meinem Skript wurde er normiert und es verstehe gerade nicht wann und weshalb man es manchmal normiert/nicht normiert. Für die Rechnung jedenfalls hat man keine Normierung gebraucht, aber wofür braucht man sie dann? Danke für deine Videos und immer so schnell kommende Antworten btw ich kann mich dafür einfach nicht genug bedanken :)
Hey Peter, In meiner Aufgabe hatte ich bei Teil 2 des Videos in der Rotation von dem Vektorfeld noch x und y dabei, also nicht so wie du nur Zahlen. Was setze ich denn wann für diese Variablen ein? Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!
Sobald du integrierst, setzt die die Parametrisierung ein. Für x die x-Komponente der Parametrisierung. Für y die y-Komponente der Parametrisierung, etc.
Warum multiplizierst du im Integranden nicht mit der Determinante der Jacobimatrix? Die Fläche ist doch in x y z gegeben und du verwendest Polarkoordinaten. Vielen Dank im Voraus
Sehr gute Frage! Das ist nur notwendig, wenn während der Integration die Koordinaten gewechselt werden. Hier wurde aber schon von Anfang an in Polarkoordinaten parametrisiert.
Bei 4:27 wäre es denke ich noch ein wenig ansehnlicher, wenn beim Integral dann statt "v" direkt "v(K(t))" stehen würde. PS.: Ich liebe deine Videos und will nur konstruktive Kritik geben.
Danke dafür :) Hab ich tatsächlich drüber nachgedacht. Aus meiner Erfahrung weiß ich nur leider, dass die meisten davon verwirrt sind. Versuche es so einfach wie möglich zu machen. Darum lieber die einfache Schreibweise und noch mal 10 sec mehr zum Erklären eingebaut. Wenn du weitere Ideen hast, schreib mir gern. Ich will immer was an den Videos verbessern.
Muss ich, falls beim Bilden der Rotation keine Konstanten (wie in diesem Beispiel) sondern etwas in Abhängigkeit von x,y oder z rauskommen, diese dann durch die jeweilige Komponente von F ersetzen?
Wieso wird der Normalenvektor bei der Berechnung des Flussintegrals nicht normiert? Und wieso müssen wir bei dem Wechsel der Integrationsvariablen von kartesischen zu Zylinder Koordinaten nicht die Determinante der Jacobi-Matrix anhängen?
Der Normalenvektor wurde normiert, um auf das skalare Oberflächenelement zu kommen und dann wieder mit der Norm multipliziert, um auf die Differentiale der Parametrisierung zu kommen. Schau dir dafür gern noch mal die Grundlagen zum Oberflächenintegral an: ruclips.net/video/-v79Y635CJk/видео.html Wir brauchen die Determinante der Jacobi-Matrix deshalb nicht, weil wir nicht während des Integrierens mit Polarkoordinaten substituieren, sondern direkt eine Parametrisierung in Polarkoordinaten wählen.
Vielen dank du hast mich gerettet, unser dozent hats nicht auf die reihe gebracht das so simpel zu erklären oder einfach mal die Formel in der form auf zu schreiben. Btw kurze Frage, ginge das dann auch für einen spitzen Kegel? Und würde es dann mit der grundfläche übereinstimmen? ( den hätte ich dann ja im Zylinderkoordinaten system)
Freut mich, dass es dir gefällt! Mit der Mantelfläche eines spitzen Kegels funktioniert es auch, grundlegend mit jeder Fläche, die durch die selbe Kurve berandet wird :)
@@MathePeter oke danke ^^ hatte heute meine klausur und es kam zwar nur Satz von Green dran, aber dank dir bin ich super ez durchgekommen ^^ die restlichen 20 min hatte ich mich dann nur gelangweilt also vielen dank für die tolle Erklärung :D
Wie muss man vorgehen bei einem Vektorfeld v(x,y,z) = (z x y) mit der Fläche F {(x,y,z) ∈ R^3 : z = x^2 - y^2, 1 < x^2 + y^2 < 4)}? Also man erkennt direkt wieder die Kreisfläche x^2 + y^2, dann haperts aber bei mir wie ich vorgehen muss...
@@MathePeter perfekt, so hatte ich auch meine Parametrisierung gewählt habe dann als Ergebnis 3pi raus was auch schön ist, jedoch haperte dann an dem Satz von Stokes … ich habe leider nicht ansatzweise eine Idee wir ich anfangen soll. Ich habe es versucht wie der Prof und komme auf 5pi was leider nicht stimmt
Ich hab auch 3π raus, sowohl mit dem Oberflächenintegral, als auch mit dem Kurvenintegral. Hast du vlt die Zirkulationen der beiden Ränder addiert und bist mit 4π+π auf 5π gekommen? Du musst die abziehen, also 4π-π=3π.
Cool das es auch zu solchen Themen gute verständliche Videos gibt. Passt hier aber leider nicht ganz zu meinem Problem. Oder habe ich es noch nicht ganz verstanden? Kann ich mit dem Video diese Aufgabe lösen? Bestimme mit dem Satz von Green des Flacheninhalt des Bereichs D, der von dem Zykloidenbogen w(t) = (t * sin t , 1 - cos t) ; 0
Kann ich wirklich mal noch ein Video dazu machen :) Für den Flächeninhalt brauchst du das Integral ∫∫1dB über den Bereich B, der von der Kurve eingeschlossen wird. Schau dir mal den Satz von Green an: de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Green Damit im Integranden eine 1 steht (für Flächenberechnung), musst du dir das Vektorfeld v=(f,g) so ausdenken, dass g abgeleitet nach x minus f abgeleitet nach y gleich 1 ergibt. Ich habs mir auf die Schnelle ausgedacht v=(0,x), geht vielleicht aber noch einfacher, kannst dabei kreativ sein. Dann einfach nur ein Kurvenintegral 2. Art berechnen, wie ichs in dem Video ruclips.net/video/HmgkyI_Q0Oo/видео.html erklärt hab. Wenn ich mich nicht verrechnet hab, sollte pi^2 als Ergebnis rauskommen. Überprüfs aber bitte noch mal, habs nur kurz überflogen.
@@MathePeter Soo, ich habe mein Vektorveld v(f,g) = (-y,0) gewählt (sollte ja auch gehen) Damit habe ich dann F(B) = - ∫y dx + 0 dy + 0 (Fläche unter x-Achse = 0). mit dx = 1-cos(t)*dt (x komponente von w(t) abgeleitet. so ergibt sich das integral F(B) = ∫(1-cos(t))^2dt von 0 bis 2pi = 3pi. Ich hoffe, das passt so. Wenn das Freitag in meiner Klausur dran kommt, gibts hoffentlich ein paar ansatzpunkte :D
w(t) = (t - sin(t), 1 -cos (t)) und von 0 bis 2pi Beim Kopieren der Aufgabe hat er das nicht richtig kopiert gehabt und irgendwie hab ich ein Mal eingefügt... habe es oben korrigiert. :/@@MathePeter
Das "zusätzliche" r ist die Determinante der Jacobimatrix. Die brauchst du, wenn du während der Integration eine Koordinatentransformation durchführst. Dieses r speziell entsteht, wenn du von kartesischen Koordinaten in Polar-/Zylinderkoordinaten wechselst. Nur hier haben wir keinen Wechsel durchgeführt, sondern schon die ganze Zeit mit Zylinderkoordinaten gerechnet. Darum steckt dieses r bereits mit im Normalenvektor und darf nicht noch mal dran multipliziert werden.
@@MathePeter Moin, müsste man nicht noch das Ergebnis der Rotation rot(v) = (-1,0,-1) nach Zylinderkoordinaten transformieren, da du diese ja noch in kartesischen Koordinaten gemacht hast? Vg, Jakob
@@xxjakobxx würden dort noch x, y und z vorkommen, würden wir dort auch die Parametrisierung einsetzen. Das ist aber nicht der Fall, denn der Rotationsvektor ist Konstant. Also bleibt er so.
Nach was muss ich die Parametrisierung ableiten wenn man die obere Häkfte der Einheitssphäre als Fläche gegeben hat? Die Parametrisierung ist dann ja von 2 Winkeln und dem Radius abhängig.
Wenn es nur um die Oberfläche der Kugel, also die Sphäre geht, dann ist der Radius konstant. Der Radius wäre ja nur variabel, wenn es um das Volumen der Kugel geht.
Und genau das sind die beiden Variablen von der Parametrisierung. Wenn du ein Oberflächenintegral berechnen willst, dann einfach das Kreuzprodukt der Ableitungen nach beiden Winkeln. Wenn es um den Integralsatz von Stokes geht, dann kannst du mit der Kurve arbeiten, die diese Fläche berandet, das ist der Rand eines Kreises, 1 dimensional, die Parametrisierung hat nur eine Variable.
Was genau bedeutet Transformation, bzw. warum muss man v mit K'(t) multiplizieren? Kann man nicht einfach mit den Koordinaten r und phi rechnen? Ist vielleicht eine dumme Frage
hey peter ich hab bei minute 13.00 noch mit r multipliziert wegen dem Verzerrungsfaktor, ich habe mir gemerkt dass wenn ich bei integralen in polarkoordinaten gehe, dass man das machen muss hat in dem Fall nicht gestimmt wie ist denn die allgemeine Regel ?
Wenn du mit kartesischen Koordinaten anfängst und dann während der Integration zu Polarkoordinaten wechselst, dann musst du die Determinante der Jacobimatrix, also das r, noch ergänzen. Wenn du aber schon von Anfang an mit Hilfe von Polarkoordinaten parametrisierst, dann brauchst du nicht noch zusätzlich ein r dazu schreiben. Gibt ja gar keine Begründung dafür.
Ich muss tatsächlich sagen, dass es mir leichter fällt durchzublicken, wenn die Fläche / Kurve von ihrer Parametrisierung sauber unterschieden werden (mit den Buchstaben).
Das kann ich verstehen. Wenn ich es in LaTeX schreibe, dann nutze ich jetzt zwar immer noch den selben Buchstaben, schreibe den einen aber kaligrafisch.
Hallo MathePeter! ich möchte mich zunächst einmal bei dir bedanken, dass du und deine Videos mich beim Studium (Bauing) begleiten. Ich hätte allerdings noch eine wichtige Frage zu den Integralgrenzen bei Parametrisierung der Halbkugeloberfläche. Warum wird TETA bei [0,pi/2] eingegrenzt und nicht bei [0,pi]. Bei einer Halbkugel müsste es doch bis 180° gehen oder? Auf eine Antwort würde ich mich besonders freuen! mfg. K.Kocan
cos(theta) steht in der z-Komponente und sin(theta) in den x-y-Komponenten. Das heißt der "Kreis" mit Winkel theta verläuft von der z-Achse bis hin zur x-y-Ebene. theta€[0,π/2] meint also den Viertelkreis von der z-Achse bis hin zur x-y-Ebene. Wenn du diesen Kreis jetzt noch um 360° (phi€[0,2π)) in der x-y-Ebene drehst, hast du die obere Halbkugel.
Du meinst, warum nicht noch mal der Faktor "r" im Integranden erscheint? Das liegt daran, dass dieser Faktor "r" die Determinante der Jacobimatrix ist, der laut Transformationssatz im Integranden hinzukommt, wenn du während der Integration von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten wechselt. Da aber bereits von Anfang an Polarkoordinaten vorlagen (siehe Parametrisierung in Schritt 1), kommt es nicht zu einer Substitution während der Integration.
Also für die Parametrisierung einer Fläche brauchen wir 2 Variablen. Winkel phi und Radius klein r. Und diese Variable klein r liegt im Intervall von 0 bis R, weil ja die gesamte Kreisfläche bis zum äußeren Rand mit Radius R beschrieben werden soll. Wieso meinst du weglassen?
@@MathePeter Ich meine doch das vektorielle Kurvenintegral, mein Fehler. Wir verwenden ja doch im Video das vektorielle Oberflachenintegral. Zwei verschiedene Sachen.
Ah verstehe. Du meinst weil eine Kurve nur 1-dimensional ist, darf die Parametrisierung auch nur eine Variable haben. Und das stimmt. Die Variable heißt t. Das große R ist keine Variable, sondern nur eine Konstante. Wenn ich auch den Radius variieren lassen will, dann setze ich dafür klein r ein und gebe dem Grenzen wie [0,R]. Alles was nicht hinter der Parametrisierung noch mal explizit erwähnt wird, ist konstant.
Ich habe da eine frage wäre jetzt die Z komponente jetzt ein Intervall wie zum beispiel zwischen 0 und 1 wie würde man da dann den ersten teil vom Satz von stokes benutzen. Vielen Dank im Voraus :)
Die Zirkulation ist per Definition ein Kurvenintegral. Wenn auch das z noch verschiedene Werte aus einem Intervall annehmen kann, dann handelt es sich um eine Fläche und damit nicht mehr um eine Zirkulation.
Manchmal ist noch die Richtung entscheidend. Also ob (0,0,1) oder (0,0,-1). Aber ansonsten sollte das passen, wenn es sich um eine Fläche handelt, die parallel zur x-y-Ebene liegt.
Wenn es ein Potential gäbe, also das Vektorfeld konservativ wäre, könnte man es nehmen. Nur ist das nicht der Fall, darum muss man auf die allgemeine Berechnung zurückgreifen oder eben auf den Integralsatz von Stokes.
Du bist ein König 🤴
Ich komm darauf grad nicht klar, wie einfach das eigentlich ist 😂😂
Ich werde dich auf jeden Fall weiterempfehlen!
Ich dank dir mein Lieber!
Ich wünsch dir viel Erfolg! 🍀👍
Haha das freut mich! Sag Bescheid, wenns noch was gibt, wo ich helfen kann :)
i realize it is kinda off topic but does anyone know a good place to watch new series online?
Wirklich ausgezeichnet erklärt. Deutliche aussprache, präzise und einfache Verwendung der Fachbegriffe und einfache darstellung komplizierter Aspekte, die eigentlich dadurch sehr leicht verständlich werden, ganz im Sinne des Feynman Prinzips ;) Insbesondere gefallen mir die Beispiele mit alternativen Lösungsmöglichkeiten sehr gut. Didaktisch super.
Weiter so!
Ich finde es sollte einen Bildungsorden geben für Leute wie dich :D
Du bist wirklich begnadet. Und damit meine ich nicht nur deine Mathefertigkeiten sondern auch deine didaktischen Fähigkeiten. Du gehörst einfach in den Lehrbetrieb. Mach bitte weiter so!
Sehr gut erklärt!
Generell erklärst du die Themen alle sehr verständlich im Vergleich zu anderen RUclipsr
Danke! Beim Erklären spreche meine Gedanken langsam und geordnet aus. Hoffe damit können sich langfristig noch andere für die kreative Welt der Mathematik begeistern :)
WOW! Bester Chanel auf RUclips
Mathepeterliebe ❤️❤️
#soschönkannmathesein XD
Danke für deine Videos! Damit lernt es sich viel leichter als mit Büchern/ in Vorlesungen!
daniel jung hätte es nicht besser machen können!
vielen lieben dank für das video und die super erklärung, jetzt kann mathe3 kommen :>
Du machst super verständliche Videos !!
Vielen vielen Dank, sehr gut erklärt, bitte umbedingt weiter so .
Danke dir, tolle Erklärung wie immer!
Extrem gutes Video. Hab dich gerade zufällig gefunden morgen schreib ich Mathe ^^ du hast den Abend gerettet! :D Danke
Viel Erfolg! Sag Bescheid wie es gelaufen ist :)
Machst du in nächster Zeit noch Videos zu Laplace- und Fouriertransformationen?
Danke für deine ganzen bisherigen Videos, sind alle sehr hilfreich.
Wahrscheinlich erst im nächsten Semester. Bin die nächste Zeit erst mal damit beschäftigt Klausurvorbereitungskurse zu geben. So kurz vor den Klausuren brauchen viele noch persönliche Unterstützung :)
MathePeter ok schade, aber trotzdem vielen Dank
Echt super erklärt!
Sehr hilfreich! Hast mich gerettet
Vielen Dank 😁
freue mich über dein feedback!
Gibt es einen Unterschied bei der Berechnung des Arbeitsintegrals zu dem Oberflächenintegral 2. Art? Hat die Berechnung des Arbeitsintegrals schon mit dem Satz von Stokes zu tun? Oder ist es eine Alternative Methode?
Beim Arbeitsintegral 2. Art wird mit der Tangentialkomponente (= Ableitung der parametrisierten Kurve) gearbeitet und beim Oberflächenintegral mit dem Normalenvektor (= Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen nach beiden Variablen). Beim Kurvenintegral wird 1 Integral berechnet und beim Oberflächenintegral 2 Integrale. Der Integralsatz von Stokes verbindet ein Kurvenintegral 2. Art mit einem Oberflächenintegral 2. Art.
Richtig gut! Mach weiter so:)
Ich habe alles auf anhieb verstanden, was mich bei deinen Videos immer so sehr freut. Nur ist mir im Skript eine kleine Sache aufgefallen, die leicht anders war als hier, aber ich geh davon aus, dass es vielleicht nicht auf die selbe Situation bezogen ist wie hier, weshalb es zu diesem kleinen Unterschied kam. Also der Unterschied wovon ich gerade so lange rede, ist einfach nur dass ich bei 11:35 sehe, dass man den Normalvektor nicht normiert, aber in meinem Skript wurde er normiert und es verstehe gerade nicht wann und weshalb man es manchmal normiert/nicht normiert. Für die Rechnung jedenfalls hat man keine Normierung gebraucht, aber wofür braucht man sie dann? Danke für deine Videos und immer so schnell kommende Antworten btw ich kann mich dafür einfach nicht genug bedanken :)
Die Normierung macht es übersichtlicher, wenn du mathematische Beweise damit führen willst.
Hey Peter,
In meiner Aufgabe hatte ich bei Teil 2 des Videos in der Rotation von dem Vektorfeld noch x und y dabei, also nicht so wie du nur Zahlen. Was setze ich denn wann für diese Variablen ein? Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!
Sobald du integrierst, setzt die die Parametrisierung ein. Für x die x-Komponente der Parametrisierung. Für y die y-Komponente der Parametrisierung, etc.
Was ist, wenn bei der Rotation noch x- und y-Werte enthalten sind? Setze ich dann die Werte der Parametrisierung F ein, also bei x^2+y^2 dann r^2?
Ganz genau!
Warum multiplizierst du im Integranden nicht mit der Determinante der Jacobimatrix? Die Fläche ist doch in x y z gegeben und du verwendest Polarkoordinaten. Vielen Dank im Voraus
Sehr gute Frage! Das ist nur notwendig, wenn während der Integration die Koordinaten gewechselt werden. Hier wurde aber schon von Anfang an in Polarkoordinaten parametrisiert.
Bei 4:27 wäre es denke ich noch ein wenig ansehnlicher, wenn beim Integral dann statt "v" direkt "v(K(t))" stehen würde.
PS.: Ich liebe deine Videos und will nur konstruktive Kritik geben.
Danke dafür :) Hab ich tatsächlich drüber nachgedacht. Aus meiner Erfahrung weiß ich nur leider, dass die meisten davon verwirrt sind. Versuche es so einfach wie möglich zu machen. Darum lieber die einfache Schreibweise und noch mal 10 sec mehr zum Erklären eingebaut. Wenn du weitere Ideen hast, schreib mir gern. Ich will immer was an den Videos verbessern.
Muss ich, falls beim Bilden der Rotation keine Konstanten (wie in diesem Beispiel) sondern etwas in Abhängigkeit von x,y oder z rauskommen, diese dann durch die jeweilige Komponente von F ersetzen?
Ja genau! :)
@@MathePeter danke für die schnelle Antwort. Du rettest mir echt mein Studium. :) LG
Wieso wird der Normalenvektor bei der Berechnung des Flussintegrals nicht normiert? Und wieso müssen wir bei dem Wechsel der Integrationsvariablen von kartesischen zu Zylinder Koordinaten nicht die Determinante der Jacobi-Matrix anhängen?
Der Normalenvektor wurde normiert, um auf das skalare Oberflächenelement zu kommen und dann wieder mit der Norm multipliziert, um auf die Differentiale der Parametrisierung zu kommen. Schau dir dafür gern noch mal die Grundlagen zum Oberflächenintegral an: ruclips.net/video/-v79Y635CJk/видео.html
Wir brauchen die Determinante der Jacobi-Matrix deshalb nicht, weil wir nicht während des Integrierens mit Polarkoordinaten substituieren, sondern direkt eine Parametrisierung in Polarkoordinaten wählen.
Wie finde ich die Orientierung bei der Kugeloberfläche, also beim grünen Beispiel heraus?
Die z-Komponente ist für den Bereich der Winkel positiv. Das heißt der Normlenvektor zeigt hier in jedem Punkt von der konvexen Seite weg.
Vielen dank du hast mich gerettet, unser dozent hats nicht auf die reihe gebracht das so simpel zu erklären oder einfach mal die Formel in der form auf zu schreiben. Btw kurze Frage, ginge das dann auch für einen spitzen Kegel? Und würde es dann mit der grundfläche übereinstimmen? ( den hätte ich dann ja im Zylinderkoordinaten system)
Freut mich, dass es dir gefällt! Mit der Mantelfläche eines spitzen Kegels funktioniert es auch, grundlegend mit jeder Fläche, die durch die selbe Kurve berandet wird :)
@@MathePeter oke danke ^^ hatte heute meine klausur und es kam zwar nur Satz von Green dran, aber dank dir bin ich super ez durchgekommen ^^ die restlichen 20 min hatte ich mich dann nur gelangweilt also vielen dank für die tolle Erklärung :D
Wie muss man vorgehen bei einem Vektorfeld v(x,y,z) = (z x y) mit der Fläche F {(x,y,z) ∈ R^3 : z = x^2 - y^2, 1 < x^2 + y^2 < 4)}? Also man erkennt direkt wieder die Kreisfläche x^2 + y^2, dann haperts aber bei mir wie ich vorgehen muss...
Für die Parametrisierung einfach x=r*cos(phi), y=r*sin(phi), z= f(x,y) mit eingesetzen x und y. Die Grenzen sind r€[1,2] und phi€[0,2π).
@@MathePeter perfekt, so hatte ich auch meine Parametrisierung gewählt habe dann als Ergebnis 3pi raus was auch schön ist, jedoch haperte dann an dem Satz von Stokes … ich habe leider nicht ansatzweise eine Idee wir ich anfangen soll. Ich habe es versucht wie der Prof und komme auf 5pi was leider nicht stimmt
Ich hab auch 3π raus, sowohl mit dem Oberflächenintegral, als auch mit dem Kurvenintegral. Hast du vlt die Zirkulationen der beiden Ränder addiert und bist mit 4π+π auf 5π gekommen? Du musst die abziehen, also 4π-π=3π.
Cool das es auch zu solchen Themen gute verständliche Videos gibt.
Passt hier aber leider nicht ganz zu meinem Problem. Oder habe ich es noch nicht ganz verstanden?
Kann ich mit dem Video diese Aufgabe lösen?
Bestimme mit dem Satz von Green des Flacheninhalt des Bereichs D,
der von dem Zykloidenbogen w(t) = (t * sin t , 1 - cos t) ; 0
Kann ich wirklich mal noch ein Video dazu machen :)
Für den Flächeninhalt brauchst du das Integral ∫∫1dB über den Bereich B, der von der Kurve eingeschlossen wird. Schau dir mal den Satz von Green an: de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Green
Damit im Integranden eine 1 steht (für Flächenberechnung), musst du dir das Vektorfeld v=(f,g) so ausdenken, dass g abgeleitet nach x minus f abgeleitet nach y gleich 1 ergibt. Ich habs mir auf die Schnelle ausgedacht v=(0,x), geht vielleicht aber noch einfacher, kannst dabei kreativ sein. Dann einfach nur ein Kurvenintegral 2. Art berechnen, wie ichs in dem Video ruclips.net/video/HmgkyI_Q0Oo/видео.html erklärt hab. Wenn ich mich nicht verrechnet hab, sollte pi^2 als Ergebnis rauskommen. Überprüfs aber bitte noch mal, habs nur kurz überflogen.
@@MathePeter ich werde es mir heute nocheinmal angucken. Danke für die schnelle antwort :)
@@MathePeter Soo, ich habe mein Vektorveld v(f,g) = (-y,0) gewählt (sollte ja auch gehen) Damit habe ich dann F(B) = - ∫y dx + 0 dy + 0 (Fläche unter x-Achse = 0). mit dx = 1-cos(t)*dt (x komponente von w(t) abgeleitet. so ergibt sich das integral F(B) = ∫(1-cos(t))^2dt von 0 bis 2pi = 3pi.
Ich hoffe, das passt so. Wenn das Freitag in meiner Klausur dran kommt, gibts hoffentlich ein paar ansatzpunkte :D
@@therealXoranUs Wenn du die x-Komponente von w(t) ableitest, brauchst du die Produktregel. Die hieß doch t*sin(t), richtig?
w(t) = (t - sin(t), 1 -cos (t)) und von 0 bis 2pi
Beim Kopieren der Aufgabe hat er das nicht richtig kopiert gehabt und irgendwie hab ich ein Mal eingefügt... habe es oben korrigiert. :/@@MathePeter
Hallo,
warum wird denn bei 14:20, wenn du die Gleichung in Zylinderkoordinaten aufschreibst, nicht das zusätzliche r mit hingeschrieben?
Mfg
Das "zusätzliche" r ist die Determinante der Jacobimatrix. Die brauchst du, wenn du während der Integration eine Koordinatentransformation durchführst. Dieses r speziell entsteht, wenn du von kartesischen Koordinaten in Polar-/Zylinderkoordinaten wechselst. Nur hier haben wir keinen Wechsel durchgeführt, sondern schon die ganze Zeit mit Zylinderkoordinaten gerechnet. Darum steckt dieses r bereits mit im Normalenvektor und darf nicht noch mal dran multipliziert werden.
@@MathePeter Moin, müsste man nicht noch das Ergebnis der Rotation rot(v) = (-1,0,-1) nach Zylinderkoordinaten transformieren, da du diese ja noch in kartesischen Koordinaten gemacht hast? Vg, Jakob
@@xxjakobxx würden dort noch x, y und z vorkommen, würden wir dort auch die Parametrisierung einsetzen. Das ist aber nicht der Fall, denn der Rotationsvektor ist Konstant. Also bleibt er so.
@@MathePeter Alles klar, vielen Dank!
Nach was muss ich die Parametrisierung ableiten wenn man die obere Häkfte der Einheitssphäre als Fläche gegeben hat? Die Parametrisierung ist dann ja von 2 Winkeln und dem Radius abhängig.
Wenn es nur um die Oberfläche der Kugel, also die Sphäre geht, dann ist der Radius konstant. Der Radius wäre ja nur variabel, wenn es um das Volumen der Kugel geht.
@@MathePeter Stimmt, aber man hat ja trotzdem zwei Winkel bei Kugelkoordinaten.
Und genau das sind die beiden Variablen von der Parametrisierung. Wenn du ein Oberflächenintegral berechnen willst, dann einfach das Kreuzprodukt der Ableitungen nach beiden Winkeln. Wenn es um den Integralsatz von Stokes geht, dann kannst du mit der Kurve arbeiten, die diese Fläche berandet, das ist der Rand eines Kreises, 1 dimensional, die Parametrisierung hat nur eine Variable.
@@MathePeter Danke, dass mir hat mir wirklich geholfen.
Was genau bedeutet Transformation, bzw. warum muss man v mit K'(t) multiplizieren? Kann man nicht einfach mit den Koordinaten r und phi rechnen? Ist vielleicht eine dumme Frage
Schau dir mal meine Videos zu Kurvenintegralen und Oberflächenintegralen an. Da erkläre ich ausführlich was es mit der Transformation auf sich hat.
hey peter ich hab bei minute 13.00 noch mit r multipliziert wegen dem Verzerrungsfaktor, ich habe mir gemerkt dass wenn ich bei integralen in polarkoordinaten gehe, dass man das machen muss hat in dem Fall nicht gestimmt wie ist denn die allgemeine Regel ?
Wenn du mit kartesischen Koordinaten anfängst und dann während der Integration zu Polarkoordinaten wechselst, dann musst du die Determinante der Jacobimatrix, also das r, noch ergänzen. Wenn du aber schon von Anfang an mit Hilfe von Polarkoordinaten parametrisierst, dann brauchst du nicht noch zusätzlich ein r dazu schreiben. Gibt ja gar keine Begründung dafür.
Ich muss tatsächlich sagen, dass es mir leichter fällt durchzublicken, wenn die Fläche / Kurve von ihrer Parametrisierung sauber unterschieden werden (mit den Buchstaben).
Das kann ich verstehen. Wenn ich es in LaTeX schreibe, dann nutze ich jetzt zwar immer noch den selben Buchstaben, schreibe den einen aber kaligrafisch.
@@MathePeter Das ist clever.
Hallo MathePeter!
ich möchte mich zunächst einmal bei dir bedanken, dass du und deine Videos mich beim Studium (Bauing) begleiten.
Ich hätte allerdings noch eine wichtige Frage zu den Integralgrenzen bei Parametrisierung der Halbkugeloberfläche. Warum wird TETA bei [0,pi/2] eingegrenzt und nicht bei [0,pi]. Bei einer Halbkugel müsste es doch bis 180° gehen oder?
Auf eine Antwort würde ich mich besonders freuen!
mfg. K.Kocan
cos(theta) steht in der z-Komponente und sin(theta) in den x-y-Komponenten. Das heißt der "Kreis" mit Winkel theta verläuft von der z-Achse bis hin zur x-y-Ebene. theta€[0,π/2] meint also den Viertelkreis von der z-Achse bis hin zur x-y-Ebene. Wenn du diesen Kreis jetzt noch um 360° (phi€[0,2π)) in der x-y-Ebene drehst, hast du die obere Halbkugel.
Wieso hast du nicht als Flächenelement rdrd(Phi) anstatt drd(phi)?
Du meinst, warum nicht noch mal der Faktor "r" im Integranden erscheint? Das liegt daran, dass dieser Faktor "r" die Determinante der Jacobimatrix ist, der laut Transformationssatz im Integranden hinzukommt, wenn du während der Integration von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten wechselt. Da aber bereits von Anfang an Polarkoordinaten vorlagen (siehe Parametrisierung in Schritt 1), kommt es nicht zu einer Substitution während der Integration.
Sollte man bei dem vektoriellem Oberflächenintegral allerdings nicht das R weglassen bei der Parametrisierung?
Also für die Parametrisierung einer Fläche brauchen wir 2 Variablen. Winkel phi und Radius klein r. Und diese Variable klein r liegt im Intervall von 0 bis R, weil ja die gesamte Kreisfläche bis zum äußeren Rand mit Radius R beschrieben werden soll. Wieso meinst du weglassen?
@@MathePeter Ich meine doch das vektorielle Kurvenintegral, mein Fehler. Wir verwenden ja doch im Video das vektorielle Oberflachenintegral. Zwei verschiedene Sachen.
Ah verstehe. Du meinst weil eine Kurve nur 1-dimensional ist, darf die Parametrisierung auch nur eine Variable haben. Und das stimmt. Die Variable heißt t. Das große R ist keine Variable, sondern nur eine Konstante. Wenn ich auch den Radius variieren lassen will, dann setze ich dafür klein r ein und gebe dem Grenzen wie [0,R]. Alles was nicht hinter der Parametrisierung noch mal explizit erwähnt wird, ist konstant.
Ich habe da eine frage wäre jetzt die Z komponente jetzt ein Intervall wie zum beispiel zwischen 0 und 1 wie würde man da dann den ersten teil vom Satz von stokes benutzen. Vielen Dank im Voraus :)
Die Zirkulation ist per Definition ein Kurvenintegral. Wenn auch das z noch verschiedene Werte aus einem Intervall annehmen kann, dann handelt es sich um eine Fläche und damit nicht mehr um eine Zirkulation.
@@MathePeter danke
Aus z=0 folgt doch n =(0, 0 , 1). Muss mandas berechnen in einer solchen Aufgabe?
Manchmal ist noch die Richtung entscheidend. Also ob (0,0,1) oder (0,0,-1). Aber ansonsten sollte das passen, wenn es sich um eine Fläche handelt, die parallel zur x-y-Ebene liegt.
nimmt man da nicht normal das Potential bzw. die stammfunktion halt?
Wenn es ein Potential gäbe, also das Vektorfeld konservativ wäre, könnte man es nehmen. Nur ist das nicht der Fall, darum muss man auf die allgemeine Berechnung zurückgreifen oder eben auf den Integralsatz von Stokes.
@@MathePeter alles klar danke
achso das ist eh das mit dem kreuzprodukt 0 oder?
Genau
Ist 1-cos(2t) nicht t+(1/2)sin(2t) "aufgeleitet"??
Nein, du kannst gern die Gegenprobe machen und den Sinus wieder ableiten. Da wird sich das Vorzeichen nicht ändern.
@@MathePeter stimmt haha danke dir!
In 10 Minuten geht die Klausur los
Wie liefs??
@@MathePeter die lief echt gut 👍
@@MathePeter Dank deinen Videos
Sehr gut, das freut mich! :)
du bistn ehrenmann
Ehrenmann
mein Prof hat eis kalt die letzte Übung wo wir mit dem Integralsatz von stokes rechnen nicht hochgeladen und die rettest mir gerade die klausur
the boss :)