와우, 매번 들을 때마다 매번 새로운 것을 배웠는데, 이 영상에서도 새로운 것을 알게 되었네요. 신뢰도가 신뢰구간을 반복하여 모평균을 추정하고 그 확률을 나타낸다는 것을 처음 배웠습니다. 단순히 표본을 100번 추출하면 95번은 맞다 정도로만 알고 있었거든요. 비슷한 말일 순 있겠지만, 이번 영상으로 확실히 알게되었네요!
제가 한번 말로 평균 추정 방법의 설명을 시도해 보겠습니다. 입력: 표본의 평균, 표준편차, 표본 크기 출력: 모집단의 평균이 있을 만한 범위와 있을 만한 정도. (신뢰구간, 신뢰도) 모집단, 모집단의 평균, 모집단의 표준편차, 표본, 표본의 크기, 표본의 평균, 표본의 표준편차는 겉으로 드러난 양이어서 이해하기 쉽습니다. 특별히 주의해서 구분할 용어는 표본과 관련되어 있습니다. 모집단에서 구성원을 하나씩 하나씩 뽑아 일정 수만큼 뽑아 만든 작은 집단을 표본이라고 부릅니다. 표본을 하나의 개별 구성원이라고 생각하면 안됩니다. 하나의 개별 구성원은 원소라고 하겠습니다. 표본의 크기는 원소가 몇개 있느냐입니다. n이라고 표기해 봅니다. 겉으로 바로 드러나지 않는 것이 있습니다. 모집단과 표본의 관계입니다. 어떤 관계가 있어서 표본의 특성에서 모집단의 특성을 추정하는가? 입니다. 이 관계를 알아보는 과정을 살펴 봅시다. 1. 표본을 여러개 만듭니다. (표본 구성원이 여럿이라는 것만 말하는 것이 아닙니다. 물론 표본에는 구성원이 여럿이지만 이런 표본들이 여러개라는 의미입니다.) 예를 들어 100개의 구성원으로 표본을 한 번 만들었다면 이런 일을 여러번 합니다. 한 원소를 뽑고 특성값을 취한 후 다시 모집단에 넣고 다른 원소를 뽑는 방식으로 표본을 만들었다면 복원 추출했다고 합니다. 표본 크기를 채을 때까지 되돌리지 않고 원소들을 뽑아 표본을 만들었다면 비복원 추출입니다. 다음 번 표본을 만들 때에는 복원이든 비복원이든 이전 표본의 원소들을 모두 모집단에 되돌려 놓고 다시 임의로 뽑습니다. 2. 한 표본의 평균과 표준 편차를 구합니다. 3. 다른 표본의 평균과 표준 편차를 구합니다. 4. 표본마다 평균이 다릅니다. 표준 편차는 표본의 크기 n이 크면 표본마다 거의 비슷하다고 합니다. n이 커지면 표본의 표준편차가 모집단의 표준편차와 같아지는 정도가 표본 평균이 모집단의 평균과 같아지는 정도보다 훨씬 크다고 합니다. 더 자세한 내용은 통계해석학에서 증명이 나오겠지요. 이제 우리가 추정하고 싶은 한 표본의 평균과 모평균이 얼마나 차이나는지 알아보겠습니다. 5. 이제 이 표본 평균들이 어떤 분포를 하는지 살펴봅니다. 한 표본의 원소들이 어떤 분포를 하는지 살피는 것이 아닙니다. 여러 표본들에서 각각 구한 평균들이 어떤 분포를 하는지 살핍니다. 분포를 알려면 표본을 수없이 만들어야 겠지요. 이 분포를 알면 내가 가지고 있는 한 표본의 평균이 이 분포에서 어떤 위치에 있는지 알수 있습니다. 수없이 안 만들고 이 분포의 특징을 알아 봅시다. 6. 이 분포의 요소들인 표본의 평균은 많은 수(n개) 의 원소들이 임의로 모여 도출한 값입니다. central limit theorem의 조건을 만족하므로 정규분포를 갖습니다. 이 표본 평균들을 평균하면 무엇이 나올까요? 전체 표본에 포함된 원소들의 평균입니다. 그러면 이는 모평균입니다. 7. 이 표본 평균의 표준 편차는 어떨까요? 여러 원소들로 평균을 낸 것이어서 평균들은 서로 비슷 비슷할 것입니다. 그래서 평균들이 어느 정도 차이나는가는 원소들이 어느정도 차이나는가보다 훨씬 작습니다. 표본의 크기가 클수록 평균들이 더 비슷할 테니까 표본의 크기가 클수록 표본 평균의 표준편차는 작아집니다. 모집단 표준 편차보다 거의 √n 배로 작아진다고 합니다. 8. 표본의 평균들은 평균이 모평균이고 표준편차는 모집단 표준편차/ √n 인 정규 분포를 따릅니다. 모집단의 표준편차는 n이 크면 한 표본의 표준편차와 같다고 봅니다. (모집단 표준 편차 = 한 표본의 표준편차) 9. 이제 한 표본의 평균과 이 평균들의 분포의 관계로부터 표본 평균과 평균들의 평균(=모평균)의 관계를 추정해 냅니다. 10. 이는 어떤 정규분포에서 한 요소와 평균의 관계와 같습니다. 평균 주위에 요소들이 모여 있는 구간이 있습니다. 요소들의 95%가 평균을 중심으로 모인 구간의 길이를 a 라고 합시다 (1.96 x 모집단 표준편차/√n )의 2배. 그럼 이 구간안에 있는 모든 요소(표본평균)에서 양팔을 뻗으면 한쪽 팔(1.96 x 모집단 표준편차/√n)은 평균에 닿습니다. 어떤 요소들은 팔의 중간에 평균이 닿고 구간 맨끝에 있는 요소는 팔 끝에 평균이 닿습니다. 아무튼 이 구간안에 있으면서 이 구간 만큼 양팔을 뻗으면 한쪽 팔은 평균에 닿습니다. 11. 현재 표본의 평균에서 얼마큼 팔을 뻗으면 이분포의 평균에 닿을까요? 팔을 무한정 길게 뻗으면 100% 닿습니다. 양팔을 a 구간 만큼 뻗으면 얼마나 자주 닿을까요? 표본평균들의 95%가 모인 구간에 현재 표본의 평균이 있으면 항상 닿습니다. 현재 표본 평균이 이 구간에 있을 확률이 얼마일까요? 이 표본이 다른 표본들에 비해 특별하지 않다면 95%입니다. 왜냐하면 95%의 표본평균들이 이 구간에 있기 때문입니다. 12. 그래서 현재 한 표본의 평균에서 이 구간만큼 범위를 늘리면 이 구간 안에 모평균이 들어 오는 경우는 95%입니다. 나머지 5%는 현재 표본의 평균이 평균들의 분포에서 평균들의 평균으로부터 많이 떨어져 이 구간밖에 존재하는 5%의 경우입니다. 여담으로 모평균을 기준으로 설명해 보겠습니다. 모평균은 표본평균들의 평균과 같습니다. 모평균이 임의의 한 표본의 평균으로부터 a 구간 이하로 떨어져 있을 경우는 그 표본평균이 a 구간 안에 있으면 됩니다. a 구간에 있을 경우가 95%라고 했으니 이렇게 말할 수 있습니다. "모평균이 한 표본의 평균으로부터 a 구간 안에 있을 확률은 95%이다. 또는 95%(신뢰도)의 확률로 a 구간(신뢰구간)안에 있다." --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 요약 크기가 n인 표본의 평균이 m일때 모평균은 얼마로 추정할까? 1. 표본의 평균들의 분포는 정규 분포이고 이 분포의 평균은 모평균, 표준편차는 표본 표준편차/√n로 근사화된다. 2. 현재 표본의 평균이 이 분포의 어디에 있는지 모르지만 몰려 있는 구간은 안다. 3. 95%의 표본 평균들이 모평균 +/- 1.96(표본 표준편차/√n) 구간 안에 있다. 4. 현재 표본도 보통 표본의 하나이므로 현재 표본의 평균이 이 구간안에 있을 확율은 95%이다. 5. 이 구간안에 있는 있을 경우 모평균과 차이는 최대 +/- 1.96(표본 표준편차/√n) 이고 최소 0이다. 6. 얼마나 차이나는지 하나로 정할 수 없으므로 표본 평균이 95% 구간에 있으면 모평균은 표준 평균 +/- 1.96(표본 표준편차/√n) 구간 안에 있다. 자 이제 표본의 원소들을 임의로 잘 선택했다면 모집단을 추정할만한 정보인 표본의 갯수(n), 표본의 평균(m), 표본의 표준편차(σ)를 얻습니다. 그럼 기억하고 있는 수치와 식 (모평균 범위 = m +/- 1.96(σ/√n), 신뢰도 95%. 혹은 신뢰도 99% 추정시 2.58사용)으로 모집단의 평균을 추정할 수 있습니다. 현실에서 문제를 풀려면 이 수치와 식은 기억해야 합니다. 과정 이해를 묻는 시험은 없지만 이해하고 나면 식과 수치를 기억하는 데 거부감이 없어집니다.
![[확률과 통계][LV 1] 28강. 통계적 추정_모평균의 추정](http://i.ytimg.com/vi/ATsSRPADNUc/mqdefault.jpg)
너무 감사합니다!
고맙습니다
대단히 명쾌하게 설명하시네요. 정말 좋은 자료인 것 같습니다.
이 영상 미쳤다 계속 개념에 대해 아리송하게 잡혔었는데 80-90% 이해가 확 되네요 유튜브 댓글 처음달아봐욬ㅋㅋㅋㅋ감사합니닿ㅎㅎㅎ
감사합니다~~~
항상 양질의 수학 관련 영상들을 보기쉽게 편집해주셔서 항상 감사한 마음입니다!!
이런 수학 흥미를 불러일으키는 채널이
앞으로 더욱더 흥해 질꺼에요!!
항상 좋은 영상 만들어주셔서 감사합니다!!!
정리 짱이십니다. 이해가 쏙쏙 되네요 ^^ 감사해요~
감사합니다!
오늘도 잘 보고 갑니다.
와 이거 진짜 대박이에요... 10년전부터 헷갈리고 계속 까먹던 개념이어서 그냥 외웠었는데 영상 보고 확실하게 완전히 이해했어요 감사합니다
유익하네요 ㅎ 감사합니다
알고 있는 내용이긴 하지만 다시 한번 정리를 할 수 있게 되었네요^^
감사합니다!
와우, 매번 들을 때마다 매번 새로운 것을 배웠는데, 이 영상에서도 새로운 것을 알게 되었네요.
신뢰도가 신뢰구간을 반복하여 모평균을 추정하고 그 확률을 나타낸다는 것을 처음 배웠습니다.
단순히 표본을 100번 추출하면 95번은 맞다 정도로만 알고 있었거든요.
비슷한 말일 순 있겠지만, 이번 영상으로 확실히 알게되었네요!
말로 들어도 이해하기 힘든것을...음악의 힘인가요?
마지막에 모평균을 포함하는 구간이 95개가 되는 지점을 모평균이라 추정한다 하면 최종 모평균 +- 허용오차는 어떻게되나여?
표본개수만큼 허용오차가 여러개 있을텐데 궁금합니다.
신뢰도와 신뢰구간 보기엔 이해한것 같지만, 막상 설명할려면 쉽지 않습니다. 설명할수 없다면 정확히 이해한게 아닌겁니다. 좋은 영상 감사합니다.
제가 한번 말로 평균 추정 방법의 설명을 시도해 보겠습니다.
입력: 표본의 평균, 표준편차, 표본 크기
출력: 모집단의 평균이 있을 만한 범위와 있을 만한 정도. (신뢰구간, 신뢰도)
모집단, 모집단의 평균, 모집단의 표준편차, 표본, 표본의 크기, 표본의 평균, 표본의 표준편차는 겉으로 드러난 양이어서 이해하기 쉽습니다. 특별히 주의해서 구분할 용어는 표본과 관련되어 있습니다. 모집단에서 구성원을 하나씩 하나씩 뽑아 일정 수만큼 뽑아 만든 작은 집단을 표본이라고 부릅니다. 표본을 하나의 개별 구성원이라고 생각하면 안됩니다. 하나의 개별 구성원은 원소라고 하겠습니다. 표본의 크기는 원소가 몇개 있느냐입니다. n이라고 표기해 봅니다.
겉으로 바로 드러나지 않는 것이 있습니다. 모집단과 표본의 관계입니다. 어떤 관계가 있어서 표본의 특성에서 모집단의 특성을 추정하는가? 입니다. 이 관계를 알아보는 과정을 살펴 봅시다.
1. 표본을 여러개 만듭니다. (표본 구성원이 여럿이라는 것만 말하는 것이 아닙니다. 물론 표본에는 구성원이 여럿이지만 이런 표본들이 여러개라는 의미입니다.) 예를 들어 100개의 구성원으로 표본을 한 번 만들었다면 이런 일을 여러번 합니다. 한 원소를 뽑고 특성값을 취한 후 다시 모집단에 넣고 다른 원소를 뽑는 방식으로 표본을 만들었다면 복원 추출했다고 합니다. 표본 크기를 채을 때까지 되돌리지 않고 원소들을 뽑아 표본을 만들었다면 비복원 추출입니다. 다음 번 표본을 만들 때에는 복원이든 비복원이든 이전 표본의 원소들을 모두 모집단에 되돌려 놓고 다시 임의로 뽑습니다.
2. 한 표본의 평균과 표준 편차를 구합니다.
3. 다른 표본의 평균과 표준 편차를 구합니다.
4. 표본마다 평균이 다릅니다. 표준 편차는 표본의 크기 n이 크면 표본마다 거의 비슷하다고 합니다.
n이 커지면 표본의 표준편차가 모집단의 표준편차와 같아지는 정도가 표본 평균이 모집단의 평균과 같아지는 정도보다 훨씬 크다고 합니다. 더 자세한 내용은 통계해석학에서 증명이 나오겠지요.
이제 우리가 추정하고 싶은 한 표본의 평균과 모평균이 얼마나 차이나는지 알아보겠습니다.
5. 이제 이 표본 평균들이 어떤 분포를 하는지 살펴봅니다. 한 표본의 원소들이 어떤 분포를 하는지 살피는 것이 아닙니다. 여러 표본들에서 각각 구한 평균들이 어떤 분포를 하는지 살핍니다. 분포를 알려면 표본을 수없이 만들어야 겠지요. 이 분포를 알면 내가 가지고 있는 한 표본의 평균이 이 분포에서 어떤 위치에 있는지 알수 있습니다. 수없이 안 만들고 이 분포의 특징을 알아 봅시다.
6. 이 분포의 요소들인 표본의 평균은 많은 수(n개) 의 원소들이 임의로 모여 도출한 값입니다. central limit theorem의 조건을 만족하므로 정규분포를 갖습니다. 이 표본 평균들을 평균하면 무엇이 나올까요? 전체 표본에 포함된 원소들의 평균입니다. 그러면 이는 모평균입니다.
7. 이 표본 평균의 표준 편차는 어떨까요? 여러 원소들로 평균을 낸 것이어서 평균들은 서로 비슷 비슷할 것입니다. 그래서 평균들이 어느 정도 차이나는가는 원소들이 어느정도 차이나는가보다 훨씬 작습니다. 표본의 크기가 클수록 평균들이 더 비슷할 테니까 표본의 크기가 클수록 표본 평균의 표준편차는 작아집니다. 모집단 표준 편차보다 거의 √n 배로 작아진다고 합니다.
8. 표본의 평균들은 평균이 모평균이고 표준편차는 모집단 표준편차/ √n 인 정규 분포를 따릅니다. 모집단의 표준편차는 n이 크면 한 표본의 표준편차와 같다고 봅니다. (모집단 표준 편차 = 한 표본의 표준편차)
9. 이제 한 표본의 평균과 이 평균들의 분포의 관계로부터 표본 평균과 평균들의 평균(=모평균)의 관계를 추정해 냅니다.
10. 이는 어떤 정규분포에서 한 요소와 평균의 관계와 같습니다. 평균 주위에 요소들이 모여 있는 구간이 있습니다. 요소들의 95%가 평균을 중심으로 모인 구간의 길이를 a 라고 합시다 (1.96 x 모집단 표준편차/√n )의 2배. 그럼 이 구간안에 있는 모든 요소(표본평균)에서 양팔을 뻗으면 한쪽 팔(1.96 x 모집단 표준편차/√n)은 평균에 닿습니다. 어떤 요소들은 팔의 중간에 평균이 닿고 구간 맨끝에 있는 요소는 팔 끝에 평균이 닿습니다. 아무튼 이 구간안에 있으면서 이 구간 만큼 양팔을 뻗으면 한쪽 팔은 평균에 닿습니다.
11. 현재 표본의 평균에서 얼마큼 팔을 뻗으면 이분포의 평균에 닿을까요? 팔을 무한정 길게 뻗으면 100% 닿습니다. 양팔을 a 구간 만큼 뻗으면 얼마나 자주 닿을까요? 표본평균들의 95%가 모인 구간에 현재 표본의 평균이 있으면 항상 닿습니다. 현재 표본 평균이 이 구간에 있을 확률이 얼마일까요? 이 표본이 다른 표본들에 비해 특별하지 않다면 95%입니다. 왜냐하면 95%의 표본평균들이 이 구간에 있기 때문입니다.
12. 그래서 현재 한 표본의 평균에서 이 구간만큼 범위를 늘리면 이 구간 안에 모평균이 들어 오는 경우는 95%입니다. 나머지 5%는 현재 표본의 평균이 평균들의 분포에서 평균들의 평균으로부터 많이 떨어져 이 구간밖에 존재하는 5%의 경우입니다.
여담으로 모평균을 기준으로 설명해 보겠습니다.
모평균은 표본평균들의 평균과 같습니다. 모평균이 임의의 한 표본의 평균으로부터 a 구간 이하로 떨어져 있을 경우는 그 표본평균이 a 구간 안에 있으면 됩니다. a 구간에 있을 경우가 95%라고 했으니 이렇게 말할 수 있습니다. "모평균이 한 표본의 평균으로부터 a 구간 안에 있을 확률은 95%이다. 또는 95%(신뢰도)의 확률로 a 구간(신뢰구간)안에 있다."
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요약
크기가 n인 표본의 평균이 m일때 모평균은 얼마로 추정할까?
1. 표본의 평균들의 분포는 정규 분포이고 이 분포의 평균은 모평균, 표준편차는 표본 표준편차/√n로 근사화된다.
2. 현재 표본의 평균이 이 분포의 어디에 있는지 모르지만 몰려 있는 구간은 안다.
3. 95%의 표본 평균들이 모평균 +/- 1.96(표본 표준편차/√n) 구간 안에 있다.
4. 현재 표본도 보통 표본의 하나이므로 현재 표본의 평균이 이 구간안에 있을 확율은 95%이다.
5. 이 구간안에 있는 있을 경우 모평균과 차이는 최대 +/- 1.96(표본 표준편차/√n) 이고 최소 0이다.
6. 얼마나 차이나는지 하나로 정할 수 없으므로 표본 평균이 95% 구간에 있으면 모평균은 표준 평균 +/- 1.96(표본 표준편차/√n) 구간 안에 있다.
자 이제 표본의 원소들을 임의로 잘 선택했다면 모집단을 추정할만한 정보인 표본의 갯수(n), 표본의 평균(m), 표본의 표준편차(σ)를 얻습니다. 그럼 기억하고 있는 수치와 식 (모평균 범위 = m +/- 1.96(σ/√n), 신뢰도 95%. 혹은 신뢰도 99% 추정시 2.58사용)으로 모집단의 평균을 추정할 수 있습니다. 현실에서 문제를 풀려면 이 수치와 식은 기억해야 합니다. 과정 이해를 묻는 시험은 없지만 이해하고 나면 식과 수치를 기억하는 데 거부감이 없어집니다.
@@hyungjinkang9977 정말 감사합니다.. 덕분에 이해했습니다!