1. 옛날에 미적분학이 태동할 때 무한소의 개념을 차용해서 정립됐음(dy/dx) 2. 근데 시간이 지나다 보니 무한소는 오류 따라서 극한으로 미적분 재정의 3. 아직도 dy/dx란 표기 자체는 살아있긴 함(극한으로 재정의) + 무한소/무한소라는 아이디어 자체는 미적분학을 처음 배울때 아이디어로 용이, 이걸 살려보고자 초실수체를 사용하는 비표준 해석학 창립
헷갈리시는 분들은 무한소가 오개념임을 귀류법으로 생각해봅시다.🤔 한없이 작은 양수 "무한소"가 존재한다 가정하자. 그렇다면 가정에 의해 무한소보다 더 작은 양수는 존재하지 않는다. 하지만 (무한소/2)는 무한소보다 더 작은 무한소이므로 모순. 따라서 무한소는 존재할 수 없다. 이 개념을 무한소가 아닌 입실론과 델타를 사용하여 정의한 것이 극한의 새로운 정의이고, 그래서 무한소와 극한은 양립할 수 없다 보시면 될 거 같아요.
1의 길이를 가진 선분이 있습니다. 이선분을 100등분 하고 그모든 조각을 더하면 1입니다. 또 무한대로 나누고 , 그모든 조각을 더하면 1인가요? 0 인가요? (즉 무한대분의1은 0인가요?) 점은 길이가 없는 것으로 알고 있는데 1이라는 선이 0이라는 점이 될 수 있나요? 선은 아무리 나누어도 본질상 선이어야 하지 않을까요?
난 이런 영상 볼 때 우리나라가 발전하고 있구나!...라는 걸 느낌. 페터숄체같은 천재는 타고난 초고지능과 환경이 어우러져 탄생한 결과물(?)이라 보거든요. 님같은 분들의 영상을 챙겨보는 우리나라 수학영재들이 혹은 미래에 수학영재를 낳을 학생들에게 큰 자양분이 될거라 믿어 의심치 않습니다. 대단히 감사합니다. p.s. 느낌에 제가 선생님보다 나이가 찔끔 더 많은 거 같은데... 유튜브가 내 어릴적에도 있었더라면... 이딴 소리는 지난세대가 자식세대보고 늘상 하는 18번이죠^^;; ... 어느새 꼰대가 되어 버렸네요. ㅠㅠ
극한과 무한소가 양립 불가능한 이유가, 극한을 채택하면 f(x) = x이고 x -> 0일 때 그 값은 정확이 0이 되기 때문에 0보다 약간 크거나 작다는 어중간한 값을 정의할 수 없고, 반대로 무한소를 채택하면 역시 정확한 값을 갖는다는 극한(극한값)의 특성상 양립 불가능하다고 볼 수 있을까요?
제가 이해하기로는, 엡실론 델타 논법으로 극한을 정의 할때는 임의의 0보다 큰 실수(델타)에 대해 |x-a|은 항상 0보다 크고 델타보다 작아야합니다. 이때 무한소 (0보다 크며 0과 무한소 사이에 다를 실수가 존재하지 않는 수, 실수체에서는 존재하지 않음)가 존재한다고 가정하고, 이 델타를 무한소로 둔다면 정의에 의해 0
한가지 궁금한게 있는데요, 유리수>실수>초실수 순으로 조밀성이 확장되는 것뿐이지 초실수는 초실수대로의 조밀성이 만족되는 것 아닌가요? 제 생각에는 0~1 사이에서 0.5를 뽑을 확률(가능함)이 1.5를 뽑을 확률(불가능함)과 같은 0으로 표현되어야하는 실수체계는 직관적으로 옳지 않고 초실수체계가 더 복잡하기는 해도 더 진실에 가까운 수체계라고 보이거든요. 기존의 법칙들을 그대로 적용해도 단지 초실수의 영역으로 확장만 하면 될뿐 특별히 문제될만한 게 없어보이고요. 혹시 그럼에도 불구하고 초실수체계가 표준으로 채택되지 않는 이유를 단순한 '편의성'외에 실제로 어떤 기존법칙에 대입되었을 때의 결과의 차이나 모순으로 나타나는 예시가 있을까요? 그게 없다면 저는 오히려 초실수체계를 표준으로 보고 무한소도 당연히 있는 개념인데 다만 '실수체계'에서는 편의상 없는 것으로 본다라고 해야되지 않을까 싶네요..
극한 제대로 못 가르치는 수학 교사도 많고, 수학과 졸업해도 극한 개념 제대로 안 박혀 있는 사람이 많다. lim (1/n) = 0 인데, 우변의 0이 우리가 아는 0과 약간 다른 또는 무한소만큼 다르다고 주장하는 이들이 많다. 1/n이 단 하나의 유일한 값으로 한 없이 가까이 가는데, 그 값이 바로 0이다. 0은 1/n이 닿지 못하지만 무한히 지향하고 있는 유일한 값이고, 그게 극한값이다.
한없이 가까이 간다는 개념은 고등학생들의 이해를 돕기위해 그렇게 표현했는데 입실론 델타 논법에서는 사실 한없이 간다는 개념은 없습니다. 위상수학이 아닌 단순 해석학에서는 엡실론(오차)의 유클리디안 거리가 없다로 보시면 되며 극한값은 정확히 0입니다 한없이 다가간다는 표현때문에 오해가 자꾸 오해를 낳게된다는…그렇다고 고등학교과정에서 입실론 델타 논법을 가르칠수도 없고…
제가알기로는 수와 수열을 대응시키는 방법으로 몇가지 공리? 들을 덧붙여 연산,함수,대소비교 등등 극한을 제외하고 실수에서 했던짓들을 그대로 할수 있도록 초실수라는 새로운 체계로 옮깁니다 이 체계는 한없이 큰 수,한없이 작은 수 등을 구현할수있는데 수와 수열을 대응시키는것인만큼 무한소도 하나가 아니에요
그니까 실수 세상을 하나의 우주(집합)라고 생각했다면, 지금은 그 수 하나하나가 하나의 작은 우주(초실수의 집합)에 해당하며, 나아가 이런 실수 집합또한 더 큰 우주의 일부다. 뭐 이렇게 설명해야될까요. 실수 하나가 사실 수많은 초실수를 대표하며, 그리고 실수집합을 아득히 뛰어넘는 거대한 무한크기의 집합들이 있으며 실수 체계에서 통하던 성질들의 대부분이 각각의 세계에서 통하더라. 뭐 이정도로 축약할 수 있겠네요. 수학적으로 엄밀한 말은 아니지만 대충 이런 세계관을 생각하시면 될것 같습니다.
와..저도 고3 수학강사였는데 무한소와 극한은 다른 영역이라는 걸 몰랐네요..🤯이건 지금까지 제가 완전 오해하고 있었군요..역시 모든 학문에는 끝이 없다는 걸 다시 한 번 느꼈고, 적어도 대학 수준을 공부해야 그나마 그 학문의 맛을 봤다 할 수 있겠네요..😔너무나 감사합니다🙏
![[수학史] 무한의 선구자. 칸토어](http://i.ytimg.com/vi/NfCIR6TgSFw/mqdefault.jpg)
![[수학史] 무한의 선구자. 칸토어](/img/tr.png)
![[무한소 논쟁사] 무한소도 모르면서 미분을 만들다니 !!! (엡실론-델타 논법 外)](http://i.ytimg.com/vi/IOMlCEqcvD4/mqdefault.jpg)
![[지식in] 바퀴의 역설](http://i.ytimg.com/vi/uOP-uYUQ8oI/mqdefault.jpg)
한국 수학교육의 빛과 소금같은 채널 ㅠ
수학 선생님들의 선생님 .
한국의 오일러 이상엽선생님 ㅠ
학생들의 수학에 대한 관심을 갓나온 국밥마냥 뜨끈~하게 데워준다는 의미에서 오일러 대신 수학계의 보일러 추천함니당.
ㅋㅋㅎㅋㅎㅋㅎㅋㅋㅎㅋㅎㅋㅋㅎㅋㅎㅎㅋㅎㅎㅋㅎㅋㅋㅎㅋㅎㅋㅎㅋㅋㅎㅎㅋㅋㅎㅋㅎㅎㅋㅋㅎㅋ
미적분을 설명하는 서로 다른 두 해석학이 존재한다.
표준 해석학:극한으로 미적분을 설명
비표준 해석학:무한소로 미적분을 설명
깰꼼
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 썸넬 귀여우시네요 ㅎㅎ
정리) 실수체에는 무한소가 존재하지 않으므로
ε-δ논법의 극한으로 미적분을 정의
↕
초실수체는 무한소로 미적분을 정의하나, 실수체의 공리를 사용하지 않으므로 조밀성이 성립하지 않음
어우,,, 상엽쌤 무서워요 ㅠㅠ
마치 저희 수학교수님 무한급수 판정법 오개념 설명하실때의 그,, 분노가 느껴지는 것같은 분노가 상엽쌤한테도 😢😢
대학생때 이걸들었어야했는데
이제야 보내요ㅠㅠㅠ
현직 수학교사인데 정말 이상엽님 유튜브 보고 많이 공부하고 있습니다. 감사합니다. ^^
1. 옛날에 미적분학이 태동할 때 무한소의 개념을 차용해서 정립됐음(dy/dx)
2. 근데 시간이 지나다 보니 무한소는 오류 따라서 극한으로 미적분 재정의
3. 아직도 dy/dx란 표기 자체는 살아있긴 함(극한으로 재정의) + 무한소/무한소라는 아이디어 자체는 미적분학을 처음 배울때 아이디어로 용이, 이걸 살려보고자 초실수체를 사용하는 비표준 해석학 창립
와 진짜 하나하나가 빛나는 강의..
입실론 델타로 무한소가 존재하지 않는다는 증명도 영상에 있었으면 좋았을거같아요 선생님 영상중에 기억에 남는 증명이았거든요
어느 영상 언제쯤에 나오는지 알 수 있을까요 ㅠㅜ???
@@anemone4972 [0.999...=1 오해3가지]편에 나오네요.
헷갈리시는 분들은 무한소가 오개념임을 귀류법으로 생각해봅시다.🤔
한없이 작은 양수 "무한소"가 존재한다 가정하자.
그렇다면 가정에 의해 무한소보다 더 작은 양수는 존재하지 않는다.
하지만 (무한소/2)는 무한소보다 더 작은 무한소이므로 모순.
따라서 무한소는 존재할 수 없다.
이 개념을 무한소가 아닌 입실론과 델타를 사용하여 정의한 것이 극한의 새로운 정의이고, 그래서 무한소와 극한은 양립할 수 없다 보시면 될 거 같아요.
무한소가 오개념인게 아니라 극한과 병치될 수 없는게 맞아요.
무한소는 실수 체계에서 존재할 수 없기 때문에 결국 실수를 확장해서 초실수체 만들어야 다룰수 있기 때문이죠
감사합니다!
8:46 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 설마 이 영상보고도 그런사람이 있겠습니까
❤
1의 길이를 가진 선분이 있습니다.
이선분을 100등분 하고 그모든 조각을 더하면 1입니다.
또 무한대로 나누고 , 그모든 조각을 더하면 1인가요? 0 인가요?
(즉 무한대분의1은 0인가요?)
점은 길이가 없는 것으로 알고 있는데
1이라는 선이 0이라는 점이 될 수 있나요?
선은 아무리 나누어도 본질상 선이어야 하지 않을까요?
관심은 있되 재능은 없는 저처럼 어설픈 이들에게 꼭 필요한 설명이었습니다.
수치해석이나 유체역학에서는 infinitesimal이라는 표현자체를 엄청 자주쓰죠 실제로 크기를 잡아야하니까 물론 이마저도 여기서말하는 무한소랑은 완전같다고 볼순없지만
난 이런 영상 볼 때 우리나라가 발전하고 있구나!...라는 걸 느낌.
페터숄체같은 천재는 타고난 초고지능과 환경이 어우러져 탄생한 결과물(?)이라 보거든요.
님같은 분들의 영상을 챙겨보는 우리나라 수학영재들이 혹은 미래에 수학영재를 낳을 학생들에게
큰 자양분이 될거라 믿어 의심치 않습니다. 대단히 감사합니다.
p.s. 느낌에 제가 선생님보다 나이가 찔끔 더 많은 거 같은데... 유튜브가 내 어릴적에도 있었더라면...
이딴 소리는 지난세대가 자식세대보고 늘상 하는 18번이죠^^;; ... 어느새 꼰대가 되어 버렸네요. ㅠㅠ
극한과 무한소가 양립 불가능한 이유가, 극한을 채택하면 f(x) = x이고 x -> 0일 때 그 값은 정확이 0이 되기 때문에 0보다 약간 크거나 작다는 어중간한 값을 정의할 수 없고, 반대로 무한소를 채택하면 역시 정확한 값을 갖는다는 극한(극한값)의 특성상 양립 불가능하다고 볼 수 있을까요?
제가 정확히 답변드릴 실력은 없으나 비표준해석학에서는 h가 무한소일 때 f(h)=h인데, 따라서 f(h)와 0사이에는 무한소만큼 차이가 나기 때문에 lim x->0 f(x)=0인 것으로 봅니다. 무한소를 사용했으므로 이것은 당연하게도 우리가 알고 있는 극한이 아닙니다.
제가 이해하기로는,
엡실론 델타 논법으로 극한을 정의 할때는 임의의 0보다 큰 실수(델타)에 대해 |x-a|은 항상 0보다 크고 델타보다 작아야합니다.
이때 무한소 (0보다 크며 0과 무한소 사이에 다를 실수가 존재하지 않는 수, 실수체에서는 존재하지 않음)가 존재한다고 가정하고,
이 델타를 무한소로 둔다면 정의에 의해 0
비표준해석학에서는 '표준부분정리'가 완비성과 극한을 대체한다고 들었어요
이에대하여 알아보시면 표준적인 실해석학에서의 완비성과 연관있는 극한의 정의와 비표준해석학에서의 표준부분정리는 절대 양립불가능함을 알수 있어요
@@DuRu_Suk 영상에서 완비성 언급하신걸로 봐서는 이렇게 이해하는게 저도 맞다고 생각해요
근데... 무한소 개념을 채택할 수 없다면 극한식의 0/0꼴은 수학적으로 불가능한 분모가 0인 상태가 되는거 아닌가요?
선생님 x=유리수 -> y=0, x=무리수, y=1 인 함수에 대해 다룬 내용이 있을까요?
이런 거 적분하는 게 있었는데 용어가 기억이 안 나네요 ㅠㅠ
@@anheegang Lebesgue Integral
디리클레
한가지 궁금한게 있는데요, 유리수>실수>초실수 순으로 조밀성이 확장되는 것뿐이지 초실수는 초실수대로의 조밀성이 만족되는 것 아닌가요? 제 생각에는 0~1 사이에서 0.5를 뽑을 확률(가능함)이 1.5를 뽑을 확률(불가능함)과 같은 0으로 표현되어야하는 실수체계는 직관적으로 옳지 않고 초실수체계가 더 복잡하기는 해도 더 진실에 가까운 수체계라고 보이거든요. 기존의 법칙들을 그대로 적용해도 단지 초실수의 영역으로 확장만 하면 될뿐 특별히 문제될만한 게 없어보이고요. 혹시 그럼에도 불구하고 초실수체계가 표준으로 채택되지 않는 이유를 단순한 '편의성'외에 실제로 어떤 기존법칙에 대입되었을 때의 결과의 차이나 모순으로 나타나는 예시가 있을까요? 그게 없다면 저는 오히려 초실수체계를 표준으로 보고 무한소도 당연히 있는 개념인데 다만 '실수체계'에서는 편의상 없는 것으로 본다라고 해야되지 않을까 싶네요..
걍 비표준 해석학 배워보세요. 무한소로 표기가 쉬워진다 정도 제외하면 우리가 하는 대학수학이 엡실론 델타 기반인 이유가 있습니다. 물론 비표준해석학이 더 좋으시다면 그걸 공부하셔도 됩니다. 어차피 결과적으론 같은 결과가 나오거든요.
좋은 강의 감사합니다. ^^ 해석학이 수학의 꽃이죠 ^^ 전 참고로 해석학과 위상수학 정수론을 좋아해용 ㅎㅎ
상엽쌤 인스타는 안하시나요ㅠㅠ
재밋어용
직관도 중요. 형식도 중요. 논리도 중요..근데 아무래도 논리가 중요 ? ㅎㅎ🐶💙🇰🇷💚🍓🍉
극한 제대로 못 가르치는 수학 교사도 많고, 수학과 졸업해도 극한 개념 제대로 안 박혀 있는 사람이 많다.
lim (1/n) = 0 인데, 우변의 0이 우리가 아는 0과 약간 다른 또는 무한소만큼 다르다고 주장하는 이들이 많다.
1/n이 단 하나의 유일한 값으로 한 없이 가까이 가는데, 그 값이 바로 0이다.
0은 1/n이 닿지 못하지만 무한히 지향하고 있는 유일한 값이고, 그게 극한값이다.
이건 고1도 아는 내용 아닌가요??
@@Hbseoulcity 그 내용을 수학교사조차도 오개념으로 알고있는 사람이 많다는뜻..
한없이 가까이 '간다' 라는 개념은 틀린 개념입니다.
@@종이인형-m8b 무슨 말인지 궁금하지만 궁금하지 않기도 한 복잡한 기분 ㅋㅋ.. 이럴거면 알맹이없는 논의를 위한 논의랑 뭐가 다른지
한없이 가까이 간다는 개념은 고등학생들의 이해를 돕기위해 그렇게 표현했는데 입실론 델타 논법에서는 사실 한없이 간다는 개념은 없습니다. 위상수학이 아닌 단순 해석학에서는 엡실론(오차)의 유클리디안 거리가 없다로 보시면 되며 극한값은 정확히 0입니다
한없이 다가간다는 표현때문에 오해가 자꾸 오해를 낳게된다는…그렇다고 고등학교과정에서 입실론 델타 논법을 가르칠수도 없고…
제논의 역설에 대해서도 영상 만들어주실 수 있나요? 항상 궁금했던건데 이해 할 수 있는 설명을 찾지 못했습니다
무한고와 극한의 차이점이 무엇인가요?
1 무한대는 존재하지만 무한소는 존재하지 않으며
2 무한대는 수가 아니지만
3 1을 무한대로 나눌 수는 있고
4 1/무한대 = 0 이다
이걸 암기하는건 아무것도 아니지만
'이해' 하는건 정말 어렵습니다.
그럼 무한소라는게 초실수로 존재하는 공리체계가 있고 그냥 표준적으로 받아들여지는 공리체계가 있다는거네요?
그러면 비표준해석학에서도 0.99999....는 1인가요?
등호는 아니지만 동치관계(물결표시 두줄)로 나타냅니다. 부분집합인 개념이지요. 즉 0도 포함이라는 얘기입니다
비표준 해석학은 0.999... 가 매우 여러가지가 있습니다. 표준부분이 0.999...로 표현되지만 그 이후도 계속 9로 가는 경우(=1), 그리고 중간에 ...999000.. 으로 가는 경우(
7:39 끊깁니다
비표준 해석학을 찍먹해봤다가 대가리 깨졌읍니다 ㅜㅠ
수능 수학 해설강의 찍어주세요ㅠㅠ
비표준해석학 초실수체는 그럼 무한소곱하기 정수꼴인가요?
제가알기로는 수와 수열을 대응시키는 방법으로 몇가지 공리? 들을 덧붙여 연산,함수,대소비교 등등 극한을 제외하고 실수에서 했던짓들을 그대로 할수 있도록 초실수라는 새로운 체계로 옮깁니다 이 체계는 한없이 큰 수,한없이 작은 수 등을 구현할수있는데
수와 수열을 대응시키는것인만큼 무한소도 하나가 아니에요
초실수는 무한소 사이에도 크고작음이 있고... 무한대도 있습니다!
아하 감사합니다
듣기만해도 골때리네
그니까 실수 세상을 하나의 우주(집합)라고 생각했다면, 지금은 그 수 하나하나가 하나의 작은 우주(초실수의 집합)에 해당하며, 나아가 이런 실수 집합또한 더 큰 우주의 일부다. 뭐 이렇게 설명해야될까요. 실수 하나가 사실 수많은 초실수를 대표하며, 그리고 실수집합을 아득히 뛰어넘는 거대한 무한크기의 집합들이 있으며 실수 체계에서 통하던 성질들의 대부분이 각각의 세계에서 통하더라. 뭐 이정도로 축약할 수 있겠네요. 수학적으로 엄밀한 말은 아니지만 대충 이런 세계관을 생각하시면 될것 같습니다.
알레프로 무한을 센거 처럼 무한소도 하나의 단위처럼 생각할 수 있고 이를 통해서 직관적으로 극한을 이해해도 되는 줄 알았는데 잘못 생각하고 있는거였나 극한을 입실론 델타로 이해하는 것과 무한소로 이해하는 것의 차이는 뭐죠?
비표준해석학에서는 말씀하신 대로 무한소들 간에도 크고 작음이 있어서 이를 바탕으로 미분값을 정의하는 것이 맞습니다.
그 단위가되는 무한소의 정의가 있다던가 아니면 여러 무한소들을 가지고 연산,대소비교까지 할 수 있다면 안될건 없지 않나요? 윗분말씀처럼 비표준해석학이라던가
다만 현재의 극한의 정의와는 양립불가능하겠죠
무한소가 존재한다고 가정한 초실수체는 완비성을 지니지 못 하기 때문에 극한값이 존재할 수가 없습니다
무한소도 하나의 단위가 있다고 이해해서 미적분을 풀어도 문제가 되지는 않습니다.... 다만 그것은 우리가 다루는 수학과는 다른 수학입니다...
@@이차원-v1m 완비성? 수학은 어려뷰
이분 수학의 기쁨을 전파 하시는 분인가요? 아니면 중고등 수학학원 강사이신가요? 이 강의 말고 다른 강의를 듣다보면 뭔가 혼용된 느낌이신데 확실히 표방하시는게 뭔지 궁금합니다
와..저도 고3 수학강사였는데 무한소와 극한은 다른 영역이라는 걸 몰랐네요..🤯이건 지금까지 제가 완전 오해하고 있었군요..역시 모든 학문에는 끝이 없다는 걸 다시 한 번 느꼈고, 적어도 대학 수준을 공부해야 그나마 그 학문의 맛을 봤다 할 수 있겠네요..😔너무나 감사합니다🙏
루트 안에 루트를 사용하면 어떻게 돼요...?
그루트..
루트(루트())요
루트를 푸려면 제곱을 해야하죠
루트 루트 루트2를 2로 만드려면 제곱을 몇번해야 하나요? 3번이죠?
그럼 다시 돌아와서 제곱을 3번하면 2가되는 수가 무엇일까요? 2^(1/8)이지요
즉 루트에 루트를 취하는것은 지수에 1/2를 곱하는것과 같은 거랍니다
1/4제곱
지수로 표현하면 됨
무한한 시간분의 우리인생100년은 0인가요?
그렇다면 우리인생은 0인가요? 지금 죽어도 아무 의미없는 것인가요?
아니 무슨 난 아는게 하나도 없었네
수학자들 중에서 '직관성'을 강조해서 현대 수학과는 다른 방향을 가려고 하는 사람들이 있다고 들었는데 그쪽 이야기인가 보군요?
디지털 체계에서는 존재하는 무한소
아....비표준해석학을 컴퓨터공학에서 사용해야 하는건가!
오오 그럴듯해요
오!?
물리학과 학생입니다. 무한소변환(infinitesimal transformation)을 물리학에선 너무나 자주씁니다.근데 이걸 계속 쓰는게 너무 찜찜하네요 ㅠㅠ
비표준해석학 공부하시면 엄밀하게 쓰실순 있을듯. 근데 그냥 아무리 더해도 양의 실수가 되지 않는 초실수나 걍 미지수 개념으로 쓰시면 딱히 문제가 되지 않긴 해요.
초실수체 뭔가 물리학 느낌나..
초전도체요? ㅋㅋㅋㅋ
넹!ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
래퍼 서출구 닮았어요 형님