Интересная задача, как ни странно я её решил, хотя с тригонометрией не дружу, пришлось подсматривать формулы приведения. Ну и вершину параболы нашел с помощью производной, не знал я той более простой формулы.
Предлагаю обобщить данную задачу: какова наибольшая и наименьшая сумма косинусов (синусов) в ЛЮБОМ треугольнике (рассматривая и вырожденные треугольники тоже)
Можно написать неравенство Йенсенна и понять, что сумма трёх косинусов не больше 3, при этом равенство достигается только если два угла по 0 градусов и один 180
Косинус развёрнутого угла вроде бы минус единица. Так что 1+1-1=1. С другой стороны, для вырожденного в полуполосу треугольника косинусы прямых углов - это нули, и 0+0+1=1. Опять единица, как ни крути.
А чтобы в равнобедренном треугольнике сумма синусов была меньше, чем сумма косинусов, углы при основании должны быть максимум примерно по 16 градусов...
Хм, интересная логика) Давайте в целом прекратим обсуждать то, что мы уже знаем, чтобы подрастающим поколениям это было недоступно. Пусть они сами все открывают заново)
Не согласен с решением. Не рассмотрен еще один случай. В решении не обосновано ,почему экстремумы квадратичного уравнения после замены будут такими же у исходной функции (косинус осциллирует, поэтому сложная функция имеет и другие экстремумы). Надо использовать производную сложной функции, приравнять ее нулю и получить два варинта экстремума для косинуса: а) sqrt(2)/2 б) 0.5 Потом проверить сумму косинусов и получить два экстремума: 1) 1,5 2) sqrt(2) (что близко к 1,5, но по счастливому стечению обстоятельств меньше, чем 1,5)
Косинус 90 градусов равен 0, а не 1. Экстремум в данном случае абсолютный, поэтому он при замене сохраняется, если только точка экстремума входит в область значений формулы замены, что было проверено.
@@pskv20 да, насчет косинуса 90 опечатался. Тем не менее, откуда при решении можно заранее знать абсолютный это экстремум или нет? Когда знаешь график функции и другие экстремумы, то уже легко рассуждать. Однако переход не объяснен
@@pskv20например, если мы в задаче захотим искать максимальное (или минимальное) значение суммы синусов, то в итоге будет аналогичная парабола, и такие же рассуждения, как у автора, приведут к потере подходящего случая.
@@nickkarlov853не очень понял, какая с синусами парабола. Там будет 2*sin(a)*(1+cos(a)), не вижу, как это к квадратичной функции привести. Максимальное значение выражения не зависит от того, что считается независимой переменной (а вот локальный экстремум - да, может зависеть, что вы вероятно и имели в виду). Нужно только проверить его достижимость.
В данном случае имеет значение только то что функция косинуса может занимать все значения от -1 до 1. Остальные её свойства не имеют значения. Нам в общем то насрать какие там будет угол в аргументе, главное это значение его косинуса. Это уж потом когда мы нашли максимум, мы смотрим что за угол, и существует ли такой треугольник.
Мне кажется не хватает пояснения по поводу формулы привидения cos(180 - 2a). В общем случае 2а должно быть острым углом, в нашем - угол тупой (2а = 2 * 60 = 120). Т.е. как бы формула приведения не работает.
Ответ лишь один. Не должно. Если угол лежит в первой четверти - это лишь проще представлять в голове, и не более того. А сам 2a может быть абсолютно какой угодно.
А как же рассмотреть вырожденные случаи треугольника, когда углы при основании по нулям?) А если серьезно, то, когда мы получили квадратичное уравнение по косинусам, разве нельзя найти необходимые значения через производные? Обычно же их используют для поиска максимумов и минимумов.
@@hktundra в любом случае, рассмотреть такой случай отдельно, наверное, было бы можно, да и времени сильно много не отняло. Да и в целом это была скорее шутка.
Молодец, попытался реализовать идею с исчезновением себя, а потом падением микрофона. Правда выглядит коряво, но если подумаешь, сможешь получше. Удачи.
Всё строго и чётко. Ни одного лишнего слова.
Приятно посмотреть и послушать. Спасибо.
Рад, что вам нравится!
Надеюсь этот канал будет расти, доказательство без воды и хорошим объяснением. Успехов!
Интересная задача, как ни странно я её решил, хотя с тригонометрией не дружу, пришлось подсматривать формулы приведения. Ну и вершину параболы нашел с помощью производной, не знал я той более простой формулы.
Всё верно. Максимальная сумма cos(x)+cos(y)+cos(z) при ограничении x+y+z=180 градусов равна 3/2
Для функции вида f(x) = -2cosx*cosx+2cosx+1 через производную находим максимум. Скорее всего, он при угле в 60 градусов.
Собственно спасибо за видео, собственно так-то за идею большое, собственно, но спасибо. Собственно
Еще только прочитав условие задачи подумал, что максимум будет, если все углы треугольника будут равны между собой. И решение это подтвердило.
Предлагаю обобщить данную задачу: какова наибольшая и наименьшая сумма косинусов (синусов) в ЛЮБОМ треугольнике (рассматривая и вырожденные треугольники тоже)
Можно написать неравенство Йенсенна и понять, что сумма трёх косинусов не больше 3, при этом равенство достигается только если два угла по 0 градусов и один 180
Косинус развёрнутого угла вроде бы минус единица. Так что 1+1-1=1. С другой стороны, для вырожденного в полуполосу треугольника косинусы прямых углов - это нули, и 0+0+1=1. Опять единица, как ни крути.
@@ЖеняШешуков-ч9ы, по неравенству Йенсена получится, что она не больше 3/2, и равенство достигается только в правильном треугольнике.
Эту задачу также можно решить следующим образом: как известно, cosx+cosy+cosz=r/R+1≤3/2 в силу формулы Эйлера (d^2=R^2-2Rr)
@@romansharafutdinov5262 Отличное решение!
- Гоги, дакажи щто эта равнабэдрэный трэуголник.
- Мамой клянусь!
То, что максимум достигается в равностороннем треугольнике, очевидным образом следует из соображений симметрии :-).
А чтобы в равнобедренном треугольнике сумма синусов была меньше, чем сумма косинусов, углы при основании должны быть максимум примерно по 16
градусов...
Спосибо!
Пожолуйсто)
Условие равнобедренности лишнее. Без него результат тот же.
Тривиальная задачка, ее сможет решить даже почти хороший двоечник, которым ты и являешься.
Скажите, называние других двоечниками помогает вам бороться с комплексами?)
@@PBVmaths а причем тут комплексы? Задачи которых полным полно в учебниках, да еще и тривиальных. Обсуждать их - означает вы дегенерат или агрегат.
Хм, интересная логика) Давайте в целом прекратим обсуждать то, что мы уже знаем, чтобы подрастающим поколениям это было недоступно. Пусть они сами все открывают заново)
А для синусов результат будет ~3, но чуть-чуть поменьше?
Для синусов максимум 3√3/2 ≈ 2,598
И достигается тоже у раностороннего треугольника.
Не согласен с решением. Не рассмотрен еще один случай. В решении не обосновано ,почему экстремумы квадратичного уравнения после замены будут такими же у исходной функции (косинус осциллирует, поэтому сложная функция имеет и другие экстремумы). Надо использовать производную сложной функции, приравнять ее нулю и получить два варинта экстремума для косинуса: а) sqrt(2)/2 б) 0.5
Потом проверить сумму косинусов и получить два экстремума:
1) 1,5
2) sqrt(2) (что близко к 1,5, но по счастливому стечению обстоятельств меньше, чем 1,5)
Косинус 90 градусов равен 0, а не 1. Экстремум в данном случае абсолютный, поэтому он при замене сохраняется, если только точка экстремума входит в область значений формулы замены, что было проверено.
@@pskv20 да, насчет косинуса 90 опечатался. Тем не менее, откуда при решении можно заранее знать абсолютный это экстремум или нет? Когда знаешь график функции и другие экстремумы, то уже легко рассуждать. Однако переход не объяснен
@@pskv20например, если мы в задаче захотим искать максимальное (или минимальное) значение суммы синусов, то в итоге будет аналогичная парабола, и такие же рассуждения, как у автора, приведут к потере подходящего случая.
@@nickkarlov853не очень понял, какая с синусами парабола. Там будет 2*sin(a)*(1+cos(a)), не вижу, как это к квадратичной функции привести.
Максимальное значение выражения не зависит от того, что считается независимой переменной (а вот локальный экстремум - да, может зависеть, что вы вероятно и имели в виду). Нужно только проверить его достижимость.
В данном случае имеет значение только то что функция косинуса может занимать все значения от -1 до 1. Остальные её свойства не имеют значения. Нам в
общем то насрать какие там будет угол в аргументе, главное это значение его косинуса. Это уж потом когда мы нашли максимум, мы смотрим что за угол, и существует ли такой треугольник.
Мне кажется не хватает пояснения по поводу формулы привидения cos(180 - 2a). В общем случае 2а должно быть острым углом, в нашем - угол тупой (2а = 2 * 60 = 120). Т.е. как бы формула приведения не работает.
Чушь, cos(180 - 2a) равен (-cos2a) при всех углах 2а, не обязательно острых. Формула косинуса разности углов вам в помощь
@@ДендроидВиверновичДраконов В видео ясно сказано "Воспользуемся формулой приведения...". По этому я и говорю что нужно пояснить.
Ответ лишь один. Не должно.
Если угол лежит в первой четверти - это лишь проще представлять в голове, и не более того. А сам 2a может быть абсолютно какой угодно.
cos 120º = − 0.5
А как же рассмотреть вырожденные случаи треугольника, когда углы при основании по нулям?)
А если серьезно, то, когда мы получили квадратичное уравнение по косинусам, разве нельзя найти необходимые значения через производные? Обычно же их используют для поиска максимумов и минимумов.
Можно, но смысл, если исследовать квадратичную функцию проще без производных)
Вырожденный треугольник это либо 0+0+180 либо 90+90+0. В обоих случаях сумма косинусов равна 1, что явно меньше, чем 1.5 в равностороннем
@@hktundra в любом случае, рассмотреть такой случай отдельно, наверное, было бы можно, да и времени сильно много не отняло. Да и в целом это была скорее шутка.
@@МониторКлавиатурович-з3ш Зачем? У функции только один максимум, рассмотрение других вариантов, говрит, что рассматривающий не понимает, что делает.
@@hktundra cos0 + cos0 + cos180 = 1 + 1 + 0 = 2
Молодец, попытался реализовать идею с исчезновением себя, а потом падением микрофона. Правда выглядит коряво, но если подумаешь, сможешь получше. Удачи.
1.5. 2cosx-cos2x.
В военное время косинус может достигать значение 4😅
1.5
Блин, навскидку думал что около 2~2пи
так и есть, cos0 + cos0 + cos180 = 1 + 1 + 0 = 2, при основании почти 0, третий почти 180, на выходе почти 2
я большую чушь сморозил cos0 + cos0 + cos180 = 1 + 1 + (-1) = 1
Условие задачи не полное. Необходимо уточнить, в мирное время или в военное и в какой стране😂