Senza formula chiusa, che festa è?

Se vuoi vedere la dimostrazione della formula chiusa per la somma dei primi n numeri naturali che fa uso dell’induzione matematica, segui il link:
• L'induzione matematica
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Alessandro Manzini, Luca Bartoli
Scheda dell’attività: Senza formula chiusa, che festa è?
CONTESTO: Quotidiano, casalingo, numerico, combinatorio, rivolto a studenti del 2° Biennio
STRUMENTI:
Carta e penna (eventualmente righello per tracciare le righe), oppure computer con Geogebra.
Tabella e calcolatrice (eventualmente foglio elettronico per appuntare i primi termini della successione).
OBBIETTIVI:
Produrre congetture e sostenerle con ragionamenti coerenti e pertinenti
Scoprire e descrivere regolarità in dati o situazioni osservate
Scegliere, adattare, utilizzare schematizzazioni matematiche (formule, grafici, figure geometriche, ecc.) per affrontare problemi
NODI CONCETTUALI: Trasversali: “Argomentare, congetturare, dimostrare”, “Risolvere e porsi problemi”. Matematici: “Numeri e algoritmi”, “Relazioni e funzioni”, in particolare: modellizzare/schematizzare una situazione reale, successioni numeriche, formule per ricorrenza ed espressione in forma chiusa, somma dei primi n numeri naturali.
METODOLOGIA: Partendo da un quesito che fa capolino nel mezzo di una vicenda familiare (un convegno di amici intorno ad un tavolo) si accompagna il pubblico dalla schematizzazione della situazione e dalla formalizzazione del quesito (in simboli) fino alla congettura conclusiva e alla relativa dimostrazione, attraversando ragionamenti di tipo euristico: per individuare regolarità dei dati (somma primi n naturali); e di tipo concettuale: per giustificare le motivazioni della ricerca (formula chiusa).
DESCRIZIONE DELL’ATTIVITA’:
“Se n persone sedute intorno ad un tavolo fanno un brindisi, quante volte sbattono i bicchieri?”
I FASE: Si introduce chi guarda nella scena del brindisi, e si fa emergere a poco a poco il dubbio matematico, si schematizza la situazione reale con punti e linee, e si pone la domanda: “Quante rette passano per n punti (non allineati)?”
II FASE: Si introduce la notazione per indicare la successione in n, e con un’euristica si arriva a dare: la definizione per ricorrenza e la definizione iterativa (con collegamento alla situazione di partenza).
III FASE: Si esprime la necessità di trovare una formula chiusa per n generico, mostrando i limiti della definizione per ricorrenza e della formula iterativa.
IV FASE: Si procede con la congettura e dimostrazione di una formula chiusa, passando prima per un caso particolare.
V FASE: Per concludere si mostra l’applicazione della formula per qualche istanza.
RIFERIMENTI ALLE INDICAZIONI NAZIONALI: Già dal 1° Biennio “Lo studente sarà in grado di rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando strumenti informatici) un insieme di dati, scegliendo le rappresentazioni più idonee” (Dati e Previsioni). La nostra attività si colloca nel 2° Biennio, al termine del quale lo studente “acquisirà la conoscenza di semplici esempi di successioni numeriche, anche definite per ricorrenza, e saprà trattare situazioni in cui si presentano progressioni aritmetiche e geometriche” (Relazioni e Funzioni).