The Gamma Function
HTML-код
- Опубликовано: 14 окт 2024
- Is it possible to define (1/2)!? Can we define the factorial of non-integer values? As it turns out, we can! To do this we need to introduce an important function from higher-level mathematics called the gamma function. Don't worry: I keep everything at a level that only requires understanding calculus 2, specifically integration by parts and improper integrals. We go through everything: motivating the gamma function, some of it's basic values, how to relate factorials to the gamma function, and proving an important property of the gamma function. Two prerequisite videos are linked below as well as timestamps.
Why 0! = 1: • Why 0! = 1
The Gaussian Integral: • The Gaussian Integral
Timestamps
Motivation for the Gamma Function: • The Gamma Function
Evaluating the Gamma Function with Integration By Parts: • The Gamma Function
Properties of the Gamma Function: • The Gamma Function
Gamma Function of 1/2: • The Gamma Function
Gamma Function of Positive Half-Integers: • The Gamma Function
Looking for a specific problem or topic? Try checking my website:
www.blacktshir...
► Artist Attribution
Music By: "After The Fall"
Track Name: "Pieces"
Music Published by: Chill Out Records LLC
License: Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY - 4.0)
Full license here: creativecommon...
Pofessor Black Shirt, you are one of the best math presenter on youtube. I am a retired EE who spends a lot of time on youtube math channels, guys like you are realy saving guys like me from getting dementia. Your explation of the gamma function is very clear that even an old guy like me have no problem understanding your lecture, keep up the good work.
Totally agree, I too am a retired engineer who did a math's degree many years ago. Never did anything to do with the gamma function and wondered what it was and what it would be used for, now I know thanks to this extremely clear explanation, hopefully my dementia is also held at bay :) and Im now subscribed for my regular antidementia lesson.
I have never seen such a simple and clear explanation. Thank you so much.
You’re welcome, fellow mathematician!
It has truly brightened my day to stumble onto this channel. After a long search, I came upon this extremely clear and thorough description of the gamma function. Continue doing what you're doing; you are a great instructor.
This is actually a true explanation of the gamma function.
Thanks! It’s my favorite way to introduce students to the gamma function.
Thanks for the new and simple way of finding INTEGRATION BY PARTS .....!!!
This video really provided a fantastic explanation of the Gamma Function! Your clear and engaging presentation made a complex topic much easier to understand. Thank you so much Professor BlackTshirt. ❤
The clarity of your whiteboard script is very helpful.
omg I love how you teach, no long winded to lalaland. but strike to the core and done and move one! thank you
you havent made a math video in over a year it seems. I cam across your channel recently. I love ur stuff man.
Thanks! It’s been hard to make time to record with the majority of my courses going back to in-person. I hope to get back at it eventually.
Wow! Thanks mate the best articulated explanation of the Gamma Function I have found, yes I viewed many before I found yours, subscribed!!
Thanks, fellow mathematician!
Really cool! Thank you, very down to earth and understandable! Helped me a lot
Thanks for the compliment, fellow mathematician!
this guy is so underrated
Thanks! I think my channel could be more popular but I’m lacking the time to record.
very intuitive, thanks, great teacher knows how to simplify
You made me to understand this l am humbled to say this you have showed me a great light
I’m glad that you found it helpful, fellow mathematician!
The best explanation on utube Thank you Sir
Muy bien explicado. La mejor clase de Función Gamma. Muchas gracias.
De nada!
Its really works simple for me.thanks a lot
In the proof of gamma(z+1)=z. gamma(z), how did u take got -t^(z)e^(-t) to be 0 if u take limit
L’hospital’s rule is the simplest way to show that this term goes to 0.
you are an amazing teacher
It is really interesting that π appears at so much unexpected places. 😃
Seeing mathematical concepts pop up in unexpected places is one of my favorite things about mathematics!
really helpful! Thanks
You’re welcome, fellow mathematician!
Let's integrate by parts multiple times and then derive formula for product in terms of Gamma function
That sounds crazy. I’m in!
@@BlackTshirtMathProfessor It maybe helpful
Look , when you solving odes like Legendre , Chebyshev, Hermite,Bessel using power series (Frobenius) method you will get recurrence relation for coefficients
This recurrence relation can be sometimes expressed as product and later this product can be expressed in terms of Gamma function so we are able to write general form of solution using series
Thank you.
You’re welcome, fellow mathematician!
Ok but how was it found?
I don’t know. You’ll have to ask Daniel Bernoulli
Nothing's better than Harry Potter Teahing me Gamma Function 😊😊
How do you find the gamma function of (1/n). Where n is greater than 2.
I am waiting
Well, you’re going to have to continue to wait. I don’t know when I’ll get back to recording videos.
Gamma of (p/q) = ? such that p and q are natural number.
This helped me so much with my statistical mechanics course! And finally a simple explanation without that indian accent!! Subscibed!!
Thanks!
Очень интересно... но где то подвох...
Что мы знаем о факториалах...
Для начала мы знаем что
факториал следующего числа равен факториалу предыдущего числа умноженному на это самое следующее число...
N!= (N-1)!×N
или по другому... факториал предыдущего числа равен факториалу следующего числа деленному на это самое следующее число...
N!=(N+1)!/(N+1)
есть еще вид (N+1)!= N!×(N+1)...
значит (N-1)!=N!/N и N=N!/(N-1)!
При N=1 получаем 0!=1!/1 и 1=1!/0!
При N=0 получаем (-1)!=0!/0 и 0=0!/(-1)!
При N=(-1) получаем (-2)!=(-1)!/(-1) и (-1)=(-1)!/(-2)!
При N=(-2) получаем (-3)!=(-2)!/(-2) и (-2)=(-2)!/(-3)!
При N=(-3) получаем (-4)!=(-3)!/(-3) и (-3)=(-3)!/(-4)!
При N=(-4) получаем (-5)!=(-4)!/(-4) и (-4)=(-4)!/(-5)!
Видим что вычисление положительных факториалов по действию очень похоже на действие возведения в степень...
только множители различные...
Исходя из полученных формул отрицательный факториал берется не только от отрицательного значения но и имеет смысл обратных значений для положительных факториалов N...
Во всяком случае вполне возможно
N!=(N+1)!/(N+1)
0!=1!/1=1
(-1)!=0!/(0)=1/(0)= 1 неделённая единица
(-2)!=(-1)!/(-1)= 1/(-1)= -1
(-3)!=(-2)!/(-2)=(-1)/(-2)= 1/2
(-4)!=(-3)!/(-3)=(1/2)/(-3)= -1/6
(-5)!=(-4)!/(-4)=(-1/6)/(-4)= 1/24
(-6)!=(-5)!/(-5)=(1/24)/(-5)= -1/120...
Интересно что получаются обратные значения Гамма функциям от положительных значений когда
Г(N+1)=N!
Г(N+1)=N×Г(N)=N×(N-1)!
Немного неожиданно...
Получается что для отрицательных Г(-(N+1))=1/Г(N+1)=1/N!
Но есть "проблема" со знаком...
Видим что постоянно через один изменяется знак при делении "факториалов" от отрицательных значений...
Предположу что нужно брать для отрицательных значений N значение по модулю (а для обобщения и для положительных значений N...)
N!=(N+1)!/|N+1| (N-1)!=N!/|N|
0!=1/1=1
(-1)!=0!/0=1/0= 0 (относительный ноль)
или безотносительно единица неделённая что более верно...
Тогда следует (-2)!= (-1)!/|-1|=1
(-3)!=(-2)!/|-2|=1/2
(-4)!=(-3)!/|-3|=1/6
(-5)!=(-4)!/|-4|=1/24...
Как видим получаем обратные величины факториалов для положительных значений N...
но еще идет сдвиг на один ход относительно факториалов для положительных значений N...
Смею предположить что отрицательные факториалы должны считаться по формуле
N!=(N+1)!/|N|...
Тогда
(-1)!=0!/|-1|=1/1=1
(-2)!=(-1)!/|-2|=1/2
(-3)!=(-2)!/|-3|=1/6
(-4)!=(-3)!/|-4|=1/24
(-5)!=(-4)!/|-5|=1/120...
и получается что эти значения численно равны коэффициентам для нахождения "обратного факториала"...
Кстати по этой же формуле получается
0!=1!/0=1/0=1 единица неделённая
что наверное будет более верно...
Если уж быть совсем дерзким и исходить из того что график этих значений должен бы быть хоть немного математически красив то возможно факториалы от отрицательных значений должны бы быть и сами отрицательными...
Но я пока не нахожу физического смысла отрицательным значениям факториалов...
(самим факториалам от отрицательных чисел смысл проявился очень явно)...
к тому же придется признать что тогда при этом 0!=1/0=0 равен относительному нулю...
Но это пока мои личные фантазии...
и в этом надо сначала разобраться...
а перед этим хорошенько подумать...
Мне все же ближе "вариант с модулями"...
Іронія в тому, що все неправильно.
Насправді, від'ємні цілі факторіали розходяться в ±∞. І, насправді, формула n!=n(n-1)! справедлива для КОЖНОГО цілого числа. 1!=1(1-1)!=1*0! і тут 0! повинен бути 1. Щодо 0!=0*(0-1)!=0*(-1)! то скажу що це також правильно, і ні, нуль не вийде тому що "все помножене на 0 буде 0"(а якщо ∞*0, що тоді?), якщо ти використаєш ліміт для такої біліберди, то отримаєш 1. На графіку ти сам можеш бачити де розходяться від'ємні факторіали.
Насправді, коли я робив свою теорію і зачепив факторіали, у мене також вийшло 0!=1.
Ну а про модулі хочеться сміятися, так як (-1)! це по суті 1/0, а не щось інше(саме смішне що субфакторіал визначений для всіх чисел, а подвійний для від'ємних непарних цілих чисел, в тому числі нецілі)
!0 також 1, тому що !0=0!(1/0!)=1*1=1
Ні каплі сенсу з твого коментарію не зрозумів, так як все неправильно.
Can someone tell me what is the practical applications of non integer factorial?
Mathematics doesn't care about practical applications. There are uses of it in quantum and statistical mechanics, if you want to explore further.
@@BlackTshirtMathProfessor That's the problem. That modern academia convinced everybody that mathematics shouldn't care about practical applications. QM is not really an applied science and I doubt that in statistics non integer factorial is used.
I don’t think it’s used in statistics but it does have some uses in statistical mechanics. Statistics and statistical mechanics are not the same thing.
@@BlackTshirtMathProfessor I thought it was a typo. Well you should know there is no such a thing as statistical mechanics. It's the application of statistics to other fields as a measurement and prediction tool and then you have statistical physics, thermodynamics etc.
@@BlackTshirtMathProfessorit is used in Statistics. Eg, for hypothesis testing, with test statistic distribution as chi square or gamma.
Use black and white colour please.
No 😁
Γ(z)= ∫₀ ᪲ tᶻ⁻¹ e⁻ᵗ dt