Mathe-Check: Auf welchem Niveau bist du? Finde es jetzt heraus!
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- Опубликовано: 17 сен 2024
- In diesem Video kannst du herausfinden, auf welchem Mathe-Niveau du wirklich bist! Wir stellen dir drei spannende Aufgaben vor - eine für Schüler der 7. Klasse, eine für die Oberstufe und eine für das erste Semester eines Mathestudiums. Schau dir die Erklärungen an und teste, ob du alle Aufgaben lösen kannst. Egal, ob du Schüler, Abiturient oder Student bist - finde dein Mathe-Level heraus und verbessere dein Wissen!
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Der Beweis für die Irrationalität von Wurzel aus 2 geht sogar noch einen Tick kürzer, mit aber etwas mehr Begründen.
Und zwar so: Der Anfang ist ähnlich, man braucht aber die Teilerfremdheit nicht. Mache es auch indirekt. Es sei also angenommen, Wurzel aus 2 ist rational, dann gibt es zwei positive ganze Zahlen p und q, für die sqrt(2)=p/q gilt. Wir formen um: 2=p^2/q^2, also 2*q^2=p^2. Nun gilt aber, dass p^2 und q^2 Quadratzahlen sind. Damit müssen aber sowohl p^2 als auch q^2 jeden Primfaktor in gerader Anzahl enthalten. Somit gilt das auch für den Primfaktor 2. Damit enthält aber 2*q^2 den Primfaktor genau einmal mehr, also in ungerader Anzahl. Daraus folgt aber, dass 2*q^2 keine Quadratzahl sein kann. Damit ist aber durch unsere Gleichung auch p^2 keine Quadratzahl, somit p keine positive ganze Zahl was ein Widerspruch ist.
Dieser Beweis funktioniert auch allgemein. Man kann analog auch nachweisen, dass die Wurzel aus jeder positiven ganzen Zahl immer entweder ganzzahlig oder irrational ist, das heisst eine ganze Zahl ist entweder Quadratzahl oder deren Wurzel ist irrational.
Anstelle von 2 schreibt man einfach eine beliebige Zahl n und legt fest, dass n keine Quadratzahl ist. Dann kann man folgern, dass n mindestens einen Primfaktor in ungerader Anzahl enthalten muss, da n sonst Quadratzahl wäre. Die Summe einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl ist immer ungerade und q^2 muss den einen Primfaktor, den n in ungerader Anzahl enthält in gerader Anzahl enthalten. Damit enthält n*q^2 diesen Primfaktor aber in ungerader Anzahl womit n*q^2 keine Quadratzahl sein kann und wir wiederrum unseren Widerspruch konstruieren können.
@@SG49478 dann muss also jeder Primfaktor ein gerader Anzahl enthalten sein Punkt ich sage es mal ganz offen: damit hast du an der Uni im zweiten Semester etwa zwei Drittel der Mathematik Studenten abgehängt. Das ist jetzt nicht überraschend weil dieses Video jetzt abgehängt hast werden das Studium eh irgendwann nach dem zweiten Semester abbrechen.
Es gibt für den 2 Quadrate Satz komm mal den ich jetzt hier nicht weiter erläutern will, ein sehr schönen Beweis in einer Zeile..
Das ist hoch elegant und genial.
Selbst ein guter Mathematiker wird unter Umständen wenn das nicht gerade ganz genau sein Fachgebiet ist erstmal drei Tage an den Beweis kauen.
Mathematik hat sehr viel damit zu tun dass sich Begriffe setzen. Und man ständig mit dem Begriffen arbeitet und sie das ganze auch mal im Unterbewusstsein etwas verfestigt.
Im Studium wurde strikt zwischen "indirektem Beweis" und "Beweis durch Widerspruch" unterschieden. Letzterer beruht *nicht* auf dem herbeifuehren eines Widerspruchs, sondern auf der Aequivalenz von "aus A folgt B" und "aus nicht B folgt nicht A", sprich statt zu zeigen, dass aus einer Aussage A eine Aussage B folgt, beweist man, dass aus der Aussage "nicht B" die Aussage "nicht A" folgt. Dazu ist kein Widerspruch notwendig.
In der Schule wurde dieser Unterschhied *nicht* gemacht.
Ich hab jetzt schon mit nem höheren Niveau am Ende gerechnet. Hier ein Vorschlag für das nächst höhere Niveau (so ähnlich aus Ana3):
"Leite eine Formel für das Volumen einer n-dimensionalen Einheitskugel her."
Gutes Vid. bin soweit durch mit HM, aber das erinnert mich an lange Stunden vorm iPad
Vielen Dank, das können wir uns vorstellen!
Der Beweis für Irrationalität von Wurzel 2 wird in Klasse 8 gemacht
Aus welchem Bundesland kommst du?
@@MatheMind Ich unterrichte an einem Gymnasium in Hessen
Cool! :)
Also in NRW hatten wir das gar nicht, und ich hatte Mathe-LK. Letztes Jahr fertig geworden.
Das mit den Brüchen war kein Problem, aber obwohl ich das damals konnte, habe ich die Ableitungsregeln einfach nicht mehr drauf gehabt. Die braucht man im Leben so selten 🙂
Und das mit dem Beweis... sagen wir es so, ich konnte der Logik folgen, aber alleine hätte ich es wohl nicht hinbekommen.
1) auf Hauptnenner )hoer 12) bringen und die Zaehler addieren ergibt 17/12
2) Bei derAbeitung falen konstante Summmanden weg, die Ableitung der e-Fuunktionist wieder die e--Funktion.. Wir braucheniher aber noch die Kettenregel: aeussere Ableitung multipliziert mit innerere Ableitung ergibt e^(2x+4)*2 (die Ableiung von 2x+4 ist 2).
3) Annahme: es gibt eine rationalle Zahlll x mmit x^2=2
Sei x=p/q mit p und q teilerfremde nattuerlice Zahlen (jede posittive rationale Zahll laesst sich als Quotient teillerfreder nattuerlicher Zahlen schreiben) und x^2=2
Dann ist x^2=(p/q)^2=p^2/q^2
Wenn x^2=2 ist, dann ist p^2=2*q^2.. Die rechte Seite der Gllleichung ist gerade, wei sie den Fator 2 enthaelt. p kann dann nicht ungerade sein, weil das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist. Also ist p gerade. Dann ist p=2*n fuer eine natuerliche Zahl n. Dann ist
p^2=(2*n)^2=4*n^2. Wegen p^2=2*q^2 erhalten wir 4*n^2=2*q^2 Teilen der Geichung durch 2 ergibt 2*n^2=q^2 Die line Seite der Geichung ist gerade, aso auch die Rechte Seite der Geichung. q^2 kann aber nur gerade sein, wenn q gerade, sprichh durch 2 teilbar ist. Da aber p auch gerade sein muss (siehe oben), sind pund q nicht teilerfremd (beide durch 2 teilbar) was ein Widerspruchzur Voraussetzung "p und q sind teilerfremd" ist. Folgich muss unsere Annahme
p^2/q^2=2 mit teillerfreden p und q fasch gewesen sein. Es gibt also eine rationale Zahl x mmitt x^2=2
cooles Video. Bin ja schon 50 und mein Studium ist 30 Jahre her. Aber die 11.Klasse hab ich noch hingekriegt. Ok, das mit den Beweisen hab ich damals schon gehasst. War aber als Ingenieur nicht so wichtig. Blos gut ;)
Ich schreibe diesen Kommentar während ich das Video schau:
1. Meine Rechnung: 2*4=8, 3*3=9, 9+8=17; 3*4=12, also insgesamt 17/12 , nicht kürzbar
Ergebnis: 17/12, stimmt also, wenn man nicht auf ganze macht
2. Meine Rechnung: Ableitung: (2+0)*e^(2x+4)-0, das lässt sich vereinfachen zu 2e^(2x+4)
Ergebnis: 2e^(2x+4), stimmt also auch
3. Meine Rechnung: Den Beweis haben wir schonmal in der 8.. gemacht, ich glaub es ging so:
Annahme: sqrt(2) ist rational, a
Dann gilt: (a/b)=sqrt(2), a und b sind teilerfremd
(a/b)=sqrt(2) /^2
(a²/b²)=2 /*b²
a²=2*b²
a² hat also den Teiler 2. Das heißt, dass es eine andere Zahl geben muss, die multipliziert mit 2 a selber ergibt. Nennen wir sie k !
Setzen wir k für a ein !
(2k)²=2*b²
4k²=2b² /:2
2k²=b²
b² hat also ebenfalls den Teiler 2. Also muss es ebenfalls eine Zahl geben, die mal 2 b ergibt.
Doch a und b sind teilerfremd, haben aber beide den Teiler 2Ich schreibe diesen Kommentar während ich das Video schau:
1. Meine Rechnung: 2*4=8, 3*3=9, 9+8=17; 3*4=12, also insgesamt 17/12 , nicht kürzbar
Ergebnis: 17/12, stimmt also, wenn man nicht auf ganze macht
2. Meine Rechnung: Ableitung: (2+0)*e^(2x+4)-0, das lässt sich vereinfachen zu 2e^(2x+4)
Ergebnis: 2e^(2x+4), stimmt also auch
3. Meine Rechnung: Den Beweis haben wir schonmal in der 8.. gemacht, ich glaub es ging so:
Annahme: sqrt(2) ist rational, a
Dann gilt: (a/b)=sqrt(2), a und b sind teilerfremd
(a/b)=sqrt(2) /^2
(a²/b²)=2 /*b²
a²=2*b²
a² hat also den Teiler 2. Das heißt, dass es eine andere Zahl geben muss, die multipliziert mit 2 a selber ergibt. Nennen wir sie k !
Setzen wir k für a ein !
(2k)²=2*b²
4k²=2b² /:2
2k²=b²
b² hat also ebenfalls den Teiler 2. Also muss es ebenfalls eine Zahl geben, die mal 2 b ergibt.
Doch a und b sind teilerfremd, haben aber beide den Teiler 2 !
Das ist ein Wiederspruch!
Also ist sqrt(2) irrational, q. e. d.
Ergebnis: Ich hab zwar andere Variablen, aber es richtig!
Fazit: ich habe alle 3 Aufgaben geschafft, sorry für den langen Kommentar XD
Das sieht sehr gut aus!💪
Danke für deine Mühe!
2/3 + 3/4: Schmetterlingsmethode. Zähler und Nenner über Kreuz multipliziert und die Ergebnisse addiert sind der neue Zähler. Produkt der Nenner ist der neue Nenner.
2 · 4 + 3 · 3 = 17
3 · 4 = 12.
Ergebnis ist also 17/12.
Auch eine super Methode!:)
Besser ist es aber genau zu wissen was da vor sich geht. Methoden sind fürs schnelle Rechnen gedacht, was aber in der Uni niemanden interessiert.^^
Allein zur Findung des größten gemeinsamen Teilers gibt es einige sehr interessante mathematische Weisheiten, statt sie direkt von den konkreten Nennern abzuleiten.
Insbesondere für einen Informatiker oder noch Student sind diese mathematischen Pfeiler weitaus interessanter und enorm zielführender in der Programmierung.^^
Daher kann ich jedem nur Raten, bei Mathe stärker auf die Lemmas und Sätze einzugehen und sie nach zu vollziehen. Dann seid ihr BESTENS gerüstet für das Studium später.^^
Der Beweis der Irrationalität von Wurzel(2) wird häufig bereits in der 9. Klasse Gymnasium vermittelt.
Das wäre uns nach über 500 Nachhilfeschülern neu...
@@MatheMind Lambacher Schweizer 9 Seite 11, aktuelle bayerische Ausgabe - da steht er in voller Schönheit drin. Ich hatte schon Schüler, die mussten den Beweis sogar auswendig lernen (gebe selber Nachhilfe).
Spannend. Auswendig lernen ist aber pädagogisch nicht sonderlich wertvoll :D (von der Schule nicht von dir)
@@MatheMind Ja, sehe ich auch so.
Ich hatte es sogar schon in der 8. Klasse Gymnasium gelehrt bekommen
Die nächste Schwierigkeitsstufe: Man konstruiere den Homomorphismus: (V/X) / (W/X) ~ V/W mit V, W und X Vektorräumen über dem selben Körper K und dim V > dim W > dim X.
Ist doch auch 1. Semester Lineare Algebra nicht?
@@zenon6493 Genau. Die vorhergehende Stufe war vor dem Mathestudium, also dachte ich: 1. Semester passt. Die nächste Stufe wäre vielleicht die Fortsetzung eines Prämaßes zu einem Maß.
@@SiqueScarface Dann vielleicht für das 5. Semester:
Seien E und F Vektorbündel über einer glatten Mannigfaltigkeit. Sei ζ: Γ(E) -> Γ(F) ein R-linearer Operator. Zeige, dass ζ genau dann ein punktweiser Operator ist, wenn ζ C∞(M)-linear ist.
War eine Aufgabe bei uns im Studium. Semester 5, Vorlesung Algebraische Topologien :)
Mein Matheniveau:
x * 5 = 6.25
x * 5 = 6.25 | -5
x * 5 - 5 = 6.25 - 5
x = 1.25
1.25 * 5 = 6.25 ✓
Top! :)
@@MatheMind Der Witz beruht auf der Überlegung:
a * b = a + b => a = b / (b - 1)
(5 / (5 - 1)) * 5 = (5 / (5 - 1)) + 5 = 6.26
Aber ich vermute das konntest du dir auch selbst zusammenreimen ;)
Die Kettenregel ging für mich in Ordnung, und den Beweis habe ich auch verstanden. Selbst führen hätte ich ihn aber nicht können. Ist alles etwas her ... Abitur '81 😂 nein, nicht 1881
Das hört sich doch trotzdem sehr gut an!💪
Wieso hört das Video denn auf wenn’s interessant wird? Hätte gerne noch mindestens 2 weiter Niveous gesehen. Wäre schön wenn du nochmal sagen wir ein Bachelor, ein Master und ein Doktor/Professor Niveau ergänzen würdest in nem weiteren Video.
Trotzdem danke für die Mühe des Video 🙏
Gerne! Wir können gerne noch einen zweiten Teil mit schwierigeren Aufgaben erstellen!
@@MatheMind Das fände ich toll, ich denke es würde definitiv den ein oder anderen interessieren! Ihr macht übrigens klasse Videos ☺️👍
Vielen Dank!😊
Statt den Widerspruchsbeweis hätte man eher den Kern einer Matrix oder Folgen/Reihen nehmen können, als Einstieg zur Uni Mathe.
Ich konnte alle Aufgaben im Video lösen - hoffentlich ein gutes Zeichen für mein zukünftiges Studium! :D
Sehr gut, das ist auf jeden Fall eine gute Basis!💪
Beweis durch Widerspruch. ICH LIEB'S!!!!
Wir auch😍
Ich fande den beweis net schwer da hatten wir schon schwerere matheaufgaben im lk
Perfekt! :)
Bruchrechnen ist eher ein Stoff für die 5. Klasse.
Hängt immer ein bisschen von Schulform und Bundesland ab. Gibt es aber auch zum Teil in der 5.Klasse, da gebe ich dir recht! ;)
Addieren und Subtrahieren wohl eher in der 6. Klasse. Kann natürlich in unterschiedlichen Bundesländern verschieden sein.
So ist es.
bin jetzt in der neunten und entspreche dem niveau der elften klasse.
Sehr gut!🚀💪🏼
der Beweis ist nice
Moin. Die beiden ersten Aufgaben sind sehr einfach. Bei der dritten bin ich etwas anders als im Video gezeigt vorgegangen. Die Beweisidee (Widerspruch) war mir vertraut. Meine Durchführung basiert dann auf der Teilerfremdheit: Ich setze a/b = sqrt(2) woraus a²/b² = 2 und a² = 2b² folgt. Argument: Wenn a und b teilerfremd sind, dann sind auch a² und b² zueinander teilerfremd. Das ergibt sich daraus, dass wenn man annimmt, dass a² und b² einen gemeinsamen Teiler d haben, dieser auch a und b teilen muss (Widerspruch). Dann kann aber a² = 2b² nicht richtig sein, denn a² ist hier ein Vielfaches von b² und damit sind a² und b² nicht teilerfremd, womit wir den Widerspruch haben. Ist das so auch korrekt?
Haben es nur kurz überflogen, klingt aber logisch :)
Meiner Meinung nach ist die Folgerung, dass a^2 und b^2 nicht teilerfremd sind, weil a^2 ein Vielfaches von b^2 ist ein wenig zu schnell, es sei denn du erwähnst, dass der Fall b = 1 auf jeden Fall auszuschließen ist. Dies sieht man eigentlich leicht, aber es ist durchaus erwähnenswert. Die Aussage, dass wenn a und b teilerfremd sind, auch a^2 und b^2 es sind, ist richtig, aber die Aussage, dass wenn a^2 und b^2 einen gemeinsamen Teiler d haben, dieser auch a und b teilen muss ist im Allgemeinen falsch, es sei denn d ist prim.
@@nilspfahl7515 Gerade an der Stelle war ich mir auch nicht sicher. Habe aber auf die Schnelle keinen kurzen Beweis für die Sache mit der Teilerfremdheit der Quadrate gefunden. Ich schau mir das nochmal genauer an. Danke für die Antwort!
@@martinhahn1390der Beweis der Teilerfremdheit der Quadrate geht recht simpel über die Primfaktorzerlegung. a^2 hat die gleichen Primfaktoren (in jeweils zweifacher Potenz) wie a. Da a und b teilerfremd sind, haben sie keine gemeinsamen Primfaktoren. Somit haben a^2 und b^2 keine gemeinsamen Primfaktoren und sind somit teilerfremd
Bin nicht mit gekommen nach der ersten Rechnung
Ist ja schonmal gut, dass du die erste Aufgabe lösen konntest! :)
Ich habe versucht, den Trick aus diesem Video zu wiederholen, und jetzt habe ich einen neuen Traum: nie wieder zu versuchen, Tricks aus dem Internet zu wiederholen🍒