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Andreas Schaefer
Германия
Добавлен 15 сен 2013
Lecture Videos (Theory of Computing)
Periodizität, Monotonie, Beschränktheit und Umkehrbarkeit
Periodische Funktionen wiederholen sich regelmäßig, d.h. es gilt f(x+p) =f(x). Typische Beispiele sind die trigonometrischen Funktionen. Ein typisches Beispiel für eine streng monoton wachsende Funktion ist die e-Funktion. Wenn der x-Wert größer wird, wird auch der Funktionswert größer. Beschränkte Funktionen können nicht über Schranken wachsen oder darunter fallen. Die Sinusfunktion ist zum Beispiel nach unten durch -1 und nach oben durch 1 beschränkt. Wenn Funktionen auf einem Intervall streng monoton sind, sind sie dort umkehrbar.
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Die Trigonometrischen Funktionen
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Wir definieren Sinus und Kosinus am Einheitskreis und betrachten erste einfache Eigenschaften der Funktionen
Die natürliche Logarithmusfunktion
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Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion. Sie ist deshalb nur für positive reelle Zahlen definiert und hat eine Nullstelle bei x=1.
Die natürliche Exponentialfunktion
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Die natürliche Exponentialfunktion ist für alle reellen Zahlen definiert und liefert eine positive reelle Zahl. Sie hat keine Nullstellen.
Eigenschaften der Determinante
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Wir stellen die wichtigen Eigenschaften der Determinante kompakt vor und illustrieren sie mit Beispielen. Die Eigenschaften werden nicht bewiesen.
Determinante - Entwicklung nach Laplace
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Wir zeigen, wie eine Determinante für eine beliebige n x n Matrix durch Entwicklung nach Laplace bestimmt werden kann. Wir entwickeln dazu die Determinante einer 4x4 Matrix nach der zweiten Zeile und nach der zweiten Spalte um das Verfahren zu demonstrieren.
Berechnung der Determinanten für 2x2 und 3x3 Matrizen
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Die Berechnung der Determinante für 2x2 Matrizen ist einfach die Differenz von Hauptdiagonalen und Nebendiagonalen. Die Determinante für 3x3 Matrizen kann mit der Regel von Sarrus bestimmt werden.
Determinanten -- Idee
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Die Determinante gibt an, wie sich das Volumen durch eine lineare Abbildung verändert.
Die Drehung im R^2 als lineare Abbildung
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Die Drehung eines Vektors im R^2 ist eine lineare Abbildung. Wir bestimmen die zugehörige Drehmatrix.
Lineare Abbildungen
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Wenn eine Matrix mit einem passenden Vektor multipliziert wird, erhält man als Ergebnis einen Vektor. In diesem Sinne definieren Matrizen Abbildungen. Diese Abbildungen sind verträglich mit Addition und Multiplikation mit Skalaren, es handelt sich um lineare Abbildungen. Man kann zeigen, dass jede lineare Abbildung durch eine Matrix beschrieben wird und wir erhalten die Matrix einfach aus den B...
Rang einer Matrix
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Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl an linear unabhängigen Spalten oder Zeilen. Die Zahl ist gleich unabhängig davon, ob Zeilen oder Spalten betrachtet werden. Diese Eigenschaft beweisen wir in dem Video aber nicht. Der Rang einer Matrix kann einfach über die Herstellung der Zeilenstufenform ermittelt werden, es ist dann die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen.
Basis eines Vektorraums
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Ein System von Vektoren mit dem jeder andere Vektor als Linearkombination dargestellt werden kann, heißt Erzeugendensystem. Wenn die Vektoren darin linear unabhängig sind - das System minimal ist - heißt es Basis. Bei den Beispielen beschränken wir uns auf R^2 und R^3.
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
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Wir definieren den Begriff der Linearkombination und der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit. Vektoren sind linear abhängig, wenn sich ein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt.
Gauß-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme - Beispiel für unendlich viele Lösungen
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Wir demonstrieren das Gauß-Verfahren an einem Beispiel mit unendlich vielen Lösungen.
Gauß-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme - Beispiel für keine Lösungen
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Wir zeigen die Anwendung des Gaußverfahrens in einem Fall, in dem das System keine Lösung besitzt.
Matrix: Transponieren, Addieren und Multiplizieren mit Skalar
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Vektoren (Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor)
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Integrationstechniken - Partialbruchzerlegung nach Polynomdivision
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Integrationstechniken - Praktische Durchführung der Substitutionsregel
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Integrationstechniken - Partialbruchzerlegung - Nenner zerfällt nicht vollständig in Linearfaktoren
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Integrationstechniken - Partialbruchzerlegung - Nenner zerfällt nicht vollständig in Linearfaktoren