2:04 우리는 조금 다르게 이렇게 나타내보자. 라고 해버리고 설명이 없는데 제가 느끼기에 이 부분이 제일 핵심이거든요... sinx=kx(x-pi)(x+pi)... 대신 sinx=kx(1-x/pi)(1+x/pi)... 으로 표현하는게 어째서 가능한지? (1번) 그렇게 바꾸는 것의 의미는 무엇인지?(2번) (즉 그렇게 바꿔서 썼을 때 갖게 되는 의의.. 메클로린급수로 알게 된 3차항의 계수 -1/6과 같다는 점을 이용하는 것이 핵심인듯 한데 꼭 저 방법으로 접근해야만 하는건지..) 이 두 가지가 정말 중요한 부분인 거 같은데 영상에서는 없어서 아쉽습니다. 이 두 가지 질문에 답해주실 수 있나요? 보다가 스스로 해결이 되는 거 같아서 다른 분들도 공유할 수 있게 몇 자 적어보겠습니다. 저와 같은 의문을 가졌던 분들에게 도움이 되시길... sinx=kx(x-pi)(x+pi)... 꼴에서 k와 sinx=kx(1-x/pi)(1+x/pi)... 꼴에서 k는 서로 완전히 다른 값입니다. k값을 구하는 기법으로 sinx/x의 x가 0으로 가는 극한을 이용했는데 이렇게 k를 구해보면 앞선 식에서는 (-1/pi^2)(-1/pi^4)... 꼴로 0으로 수렴하는 값이 나와버리죠.. 즉 저대로 내버려두면 앞선 식은 k는 0으로 다가가고 괄호 안의 값은 한 없이 커져 버립니다. 그래서 이 한없이 작아지는 값들을 괄호 안에다 일부 곱해버린 형태를 취한건데 예를 들어 (x-pi)에 -1/pi를 곱하면 (1-x/pi)꼴이 나오고 (x+pi)에는 1/pi를 곱하면 (1+x/pi)꼴이 나오는거죠.. 즉 무한소로 가는 첫 번째 식 k값을 적절히 괄호 안에 녹여서 정리한 것이 두 번째 식이 된 것이고 이 때문에 두 번째 식에서는 k가 1이 됩니다. 그래서 밑도 끝도 없이 처음부터 저렇게 수식을 취하는 거는 말이 안되고 저렇게 안 하면 괄호 값이 계속 엄청 커져버리니까 앞의 상수로 적절히 보정되는 값은 나중에 sinx/x 꼴 극한으로 찾으면 되니 괄호안의 값을 먼저 보정했다고 보는게 맞는 듯 합니다.
안녕하세요 아직 학생이라 그런데 1:53 에서 근이 같다고 저렇게 하는게 다른 분들 얘기하는거 들어보니 테일러 급수를 알면 해결 되는 건가요? 아니면 또 다른 내용이 있나요? 근만 같다고해서 두 식이 같은건 아니지 않나....? x 축과 만나는 점만 같고 나머지는 다를 수도 있고... 죄송합니다 제가 아직 좀 부족해서 그런데 이것 또한 테일러 급수와 관련이 있나 여쭤보고싶네요.
그런데 사인함수의 근이 π 의 정수배라는 것 만으로 그렇게 다항식으로 표현할 수가 있는 건가요? 거리에 따른 빛의 세기로 증명한 건 이해가 되던데 이건 sinx를 그렇게 다항식으로 나타낼 수 있다는 것 자체에서 납득이 안가네요. 솔직히 그 앞에 지수 함수를 넣어도 같은 근을 가지는 식이 되는 것 아닌가요?
현대에 와서 보면 저 시그마 식에 대한 해를 구하기는 참 간단한 문제 같아 보이는데, 수학이 근 몇 백년 동안 매우 빠르게 발전했다는 말이겠지요 ㅎㅎ.. 마지막에 소개해주신 부분은 참으로 흥미롭습니다. 저는 개인적으로 자연상수와 원주율은 신이 인간에게 주신 무엇인가의 힌트가 아닌가 생각해봅니다. 전혀 예상치 않던 곳에서 복소평면과 극좌표를 이어주는가 하면, 풀리지 않던 미분방정식의 해로서 세상의 비밀을 조금씩 풀어주지요.. 수학을 전공하진 않았지만 저 두 무리수는 참 특별한 것 같습니다.
정말 좋은 영상입니다. 그 동안 소수의 규칙성을 언급하는 다른 동영상에서는 소수를 가지고 만든 식의 값이 pi를 포함하는 값이 나온다고 퉁 치고 갔는 데, 이 영상에서는 그것을 아주 쉽게 고등학교 1학년 수준의 지식으로도 알 수 있게 해 주네요. 저는 사인 함수를 x=n * pi를 근으로 가지는 다항식과 같다라고 한 부분이 굉장히 참신하면서도 과연 맞나 곰곰히 생각을 해 보았는 데, 이 부분은 100% 확신은 못 하겠네요. 테일러 급수를 이해하고 모든 실수에서 수렴하는 테일러 급수가 sin함수에 존재한다는 것을 알면 그렇게 쓰겠는 데, 그런 사실을 모르면 그 부분을 전개할 수는 없을 것 같아요. sinx와 같은 근을 가지는 함수는 얼마든지 만들 수 있을테니까요. 오랜만에 생각을 하게 만드는 좋은 영상이었습니다.
모두 합산해서, 분모가 무한히 커지면 결국, 0.00000000000000001,..... 어쩌구 저쩌구 나갈텐데, ... 그런데, 육분지 파이를 계산해보면, 1.64493406685,... 이렇게 나오거든요. 저의 계산 방식은 아닌거지요 ? 왜,이렇게 쉬운 방법을 안 쓰고 마치 어디서 짜깁기를 한듯한 방식으로 계산을 하는 것인가요 ?
![[질문과 토론의 과학 #9] 😜리만가설에 미치다!](http://i.ytimg.com/vi/Ik2Dz_qKkwY/mqdefault.jpg)
소름의 연속이다.. 진짜 오일러는 미쳤다 정말...
설명이 매우 간결하고 명확하네요, 채널 흥했으면 좋겠어요. 앞으로도 쭉 꾸준히 영상 올려주셨으면 좋겠어요
문과출신인데 나중에는 아예 이해가 안됨. 그러나 설명이 쉽고 군더더기가 없어서 열번정도 더 보면 이해가 갈듯말듯할 것 같아 추천박고 갑니다.
와 대박.. 지금까지 봐온 리만가설 영상들은 신비화해서 설명하는 약팔이 영상 아니면 너무 전문적이라 이해하기 어려운 영상이 대부분이었는데.. 확 와닿네요.
2:04 우리는 조금 다르게 이렇게 나타내보자. 라고 해버리고 설명이 없는데 제가 느끼기에 이 부분이 제일 핵심이거든요... sinx=kx(x-pi)(x+pi)... 대신 sinx=kx(1-x/pi)(1+x/pi)... 으로 표현하는게 어째서 가능한지? (1번) 그렇게 바꾸는 것의 의미는 무엇인지?(2번) (즉 그렇게 바꿔서 썼을 때 갖게 되는 의의.. 메클로린급수로 알게 된 3차항의 계수 -1/6과 같다는 점을 이용하는 것이 핵심인듯 한데 꼭 저 방법으로 접근해야만 하는건지..) 이 두 가지가 정말 중요한 부분인 거 같은데 영상에서는 없어서 아쉽습니다. 이 두 가지 질문에 답해주실 수 있나요?
보다가 스스로 해결이 되는 거 같아서 다른 분들도 공유할 수 있게 몇 자 적어보겠습니다. 저와 같은 의문을 가졌던 분들에게 도움이 되시길...
sinx=kx(x-pi)(x+pi)... 꼴에서 k와 sinx=kx(1-x/pi)(1+x/pi)... 꼴에서 k는 서로 완전히 다른 값입니다. k값을 구하는 기법으로 sinx/x의 x가 0으로 가는 극한을 이용했는데 이렇게 k를 구해보면 앞선 식에서는 (-1/pi^2)(-1/pi^4)... 꼴로 0으로 수렴하는 값이 나와버리죠.. 즉 저대로 내버려두면 앞선 식은 k는 0으로 다가가고 괄호 안의 값은 한 없이 커져 버립니다. 그래서 이 한없이 작아지는 값들을 괄호 안에다 일부 곱해버린 형태를 취한건데 예를 들어 (x-pi)에 -1/pi를 곱하면 (1-x/pi)꼴이 나오고 (x+pi)에는 1/pi를 곱하면 (1+x/pi)꼴이 나오는거죠.. 즉 무한소로 가는 첫 번째 식 k값을 적절히 괄호 안에 녹여서 정리한 것이 두 번째 식이 된 것이고 이 때문에 두 번째 식에서는 k가 1이 됩니다. 그래서 밑도 끝도 없이 처음부터 저렇게 수식을 취하는 거는 말이 안되고 저렇게 안 하면 괄호 값이 계속 엄청 커져버리니까 앞의 상수로 적절히 보정되는 값은 나중에 sinx/x 꼴 극한으로 찾으면 되니 괄호안의 값을 먼저 보정했다고 보는게 맞는 듯 합니다.
와...증명 진짜 아름답네
바젤문제 영상 중에서 가장 쉽고 간결하게 설명하셨네요.
초등학생도 이해하겠습니다 ㅎㅎㅎ
감사합니다
몇 번이고 일시정지 하고 적어 보면서 따라 갑니다~감사히 잘 봤습니다.
테일러급수가 뭔지몰라 다른유툽영상 찾아보고 다시보니 이해가가네요.
답을 알고나니 간단한 것을 90년동안 못풀다니..
이래서 수학은 재미있습니다.
구독하고 갑니다.
안녕하세요 아직 학생이라 그런데 1:53 에서 근이 같다고 저렇게 하는게 다른 분들 얘기하는거 들어보니 테일러 급수를 알면 해결 되는 건가요? 아니면 또 다른 내용이 있나요? 근만 같다고해서 두 식이 같은건 아니지 않나....? x 축과 만나는 점만 같고 나머지는 다를 수도 있고... 죄송합니다 제가 아직 좀 부족해서 그런데 이것 또한 테일러 급수와 관련이 있나 여쭤보고싶네요.
테일러 급수를 안다고 해도 x축과의 접점에서 순간접점을 p>0이라고 두면 sinx(p²+1)(p³-1)'+px²의 꼴이니까 여기서 sinx(2p²+m²-1) 단, m은 소수인경우 x축에서의 접점은 p²log_n (p+1)=x이니까 x²+2p-1
와 지금봤지만 이렇게 알기쉬운영상을 올려주셔서 감사합니다 오일러 정말 대단하네요...
그런데 사인함수의 근이 π 의 정수배라는 것 만으로 그렇게 다항식으로 표현할 수가 있는 건가요? 거리에 따른 빛의 세기로 증명한 건 이해가 되던데 이건 sinx를 그렇게 다항식으로 나타낼 수 있다는 것 자체에서 납득이 안가네요. 솔직히 그 앞에 지수 함수를 넣어도 같은 근을 가지는 식이 되는 것 아닌가요?
f(x)가 근을 a를 가지고 있는 식이라면 f(a)=0 이므로 (x-a) 나 (1-x/a) 를 인수로 가지고 있다고 생각하시면 이해가 될까요?
@@kayuaao1234 초월함수를 그것이 가지는 근에따라 다항함수의 인수분해로 표현할 수 있다는 거에 관한 증명 같은거 찾아볼 수 있을까요?
엄밀히 따지자면 초월함수를 다항함수의 곱으로 근사시키는 과정이고 테일러 급수랑 같은 메커니즘이라고 생각하시면 됩니다.
@@mks8271 초월함수를 다항함수로 근사시키는건 일정 포인트에서만 근사시키는거지 않나요?? 저 식에서 sinx자체를 다항식의 인수논리로 표현하는건
sinx 전부를 표현하는것 같은데요
테일러급수는 x=a에서 근사시키면 그 지점에서만 성립하지 다른지점에서까지
근사시키는건 아닌걸로 알고있어서요
@@jhl320 아니요. 테일러급수는 다른 지점에서도 근사가 성립합니다. 가령 sinx= x-x^3/3!..... 이고 0에서 근사한 테일러 급수이지만 x에 다른값을 집어넣어도 오차항 이내의 오차만 생길뿐 여전히 근사는 유효합니다
흥할 가능성이 보이는 채널이군요
현대에 와서 보면 저 시그마 식에 대한 해를 구하기는 참 간단한 문제 같아 보이는데, 수학이 근 몇 백년 동안 매우 빠르게 발전했다는 말이겠지요 ㅎㅎ..
마지막에 소개해주신 부분은 참으로 흥미롭습니다. 저는 개인적으로 자연상수와 원주율은 신이 인간에게 주신 무엇인가의 힌트가 아닌가 생각해봅니다.
전혀 예상치 않던 곳에서 복소평면과 극좌표를 이어주는가 하면, 풀리지 않던 미분방정식의 해로서 세상의 비밀을 조금씩 풀어주지요.. 수학을 전공하진 않았지만 저 두 무리수는 참 특별한 것 같습니다.
우주성장이 자연상수로 설명됩니다.
멍 때리고 보다가 '아셧나요' 에서 확 깼어요 ㅋ
흥해라 수학력발전소
저 식을 보고 바로 사인함수를 떠올린다고? 미쳤네진짜ㅋㅋㅋㅋㅋ
바로는 아니겠죠
그래도 대단하긴 하지만
아마 테일러 급수를 먼저 생각했을 듯 하네요
오일러가 썼던 방식인가요?
0:30 이 문제는 바젤대학에서 부터 출발하여...
와 진짜 보면서 소름이 쫙 돋았다 ㄷㄷㄷ
좋은 영상 감사합니다~
오일러....당신은 대체......
바젤문제 증명 궁금했는데 이거보고 해결이 되네요
정말 좋은 영상입니다. 그 동안 소수의 규칙성을 언급하는 다른 동영상에서는 소수를 가지고 만든 식의 값이 pi를 포함하는 값이 나온다고 퉁 치고 갔는 데, 이 영상에서는 그것을 아주 쉽게 고등학교 1학년 수준의 지식으로도 알 수 있게 해 주네요. 저는 사인 함수를 x=n * pi를 근으로 가지는 다항식과 같다라고 한 부분이 굉장히 참신하면서도 과연 맞나 곰곰히 생각을 해 보았는 데, 이 부분은 100% 확신은 못 하겠네요. 테일러 급수를 이해하고 모든 실수에서 수렴하는 테일러 급수가 sin함수에 존재한다는 것을 알면 그렇게 쓰겠는 데, 그런 사실을 모르면 그 부분을 전개할 수는 없을 것 같아요. sinx와 같은 근을 가지는 함수는 얼마든지 만들 수 있을테니까요. 오랜만에 생각을 하게 만드는 좋은 영상이었습니다.
저도 sin함수랑 같은 근을 가지는 함수를 얼마든지 만들 수 있다는 점에서 님과 비슷한 생각을 했는데 sin함수랑 근이 같으면서 매끄러운(무한번 미분 가능한)함수는 asinx밖에 없는거 아닐까 하는 추측을 좀 해봤습니다
이와 관련된 증명도 찾아보면 있지 않을까 싶네요
와 발상자체가 흥미롭다
나는 증명이 제일 어렵던데
2:06초에 어떻게 저런식이나오죠?
어떻게 kx(x-ㅠ)(x+ㅠ)(x-2ㅠ)(x+2ㅠ)...이 저런 식으로형태가 바뀌죠?
@@gsy1838 양변의 x에 0, ±pie, ±2pie ......을 대입하면 양변이 0이 되어서 저런식이 나와요.
@@seokky314 ㄱㅅㄱㅅ합니당
@@gsy1838 서기님이 말씀하신건 틀렸다고 보긴 어렵지만... 원래 정리했던 식에서 모든 곱해진 항들에 1/pi를 곱했다고 보면 됩니다 pi는 상수이기 때문에 모든 항에 나눠준 pi가 k에 포함이 되는 형태로 보면 되는거죠
2:52 바로 x^3의 계수를 알 수 있는 방법이 무엇인가요?
테일러 급수를 이용한겁니다. 자세한건 인터넷 찾아보시면 나와요
유리계수 다항함수로 초월함수를 나타내는 방법중에 하나인 테일러 급수입니다
계속 다항함수를 근사시켜서 초월함수 꼴로 만드는거에요
와..이과 잘하는 학생들도 이해할수 있겠어요. 항등식, 계수비교, 멱급수, 극한등등 테일러급수도 미분등으로 간단히 유도하는 영상이 추가됬으면 더 좋았을듯. 추천합니다.
@동경대 테일러 급수를 아시면서 무엇을 말씀하려는지. 간단하게 유도하려한것을 비판하는건가요. 잘난체를 하고픈건가요.
4:50 위 식과 아래 식이 같은 이유가 뭐저?
둘 다 A 니까요
@@yeongho_lim 아하 그렇군요 감사합니다
sigma(1/n^2)은 학부에서 배운 기억이 나는데 소수로 변환하는 발상은 처음 보는거라 소름이네요...
수학적 사고력에 대해서도 해주세요.
뷰티풀🎉
와 지렸다 ㅋㅋㅋ
Pi 제곱이 10 조금 안되니까 6으로 나누면 약 1.6xxxx 수치가 나오는데
위 무한급수의 합과 근접해보이긴 하네요.
자연상수를 적용하면 좀더 이해가 쉬울거같은데
리미트를 저리 막붙혀도 되나요? 제 학교 선생님께서 리미트 붙이는건 안된다 하셨는데
양쪽식이 같다면 괜찮습니다^^
와... 파이 등판!
왜 이런 채널이 아직 까지 구독자 1000명이지
5학년인데 바로 이해되니 좋네요
5학년이 바젤 문제를 이해했다면 못해도 과고는 갈듯
여기서 5학년이란 50 을 의미.
@@카르비젤 진짜 5학년이 테일러급수를 어떻게 암.. 최소 미분은 알아야되는데
대학교 5학년?
@@hongjunlee714 의대면 대학교 5학년 가능
아- 저의 착각이었네요, 항이 계속되면, 분자가 무한히 작아지는게 아니라, 어떤 수로 수렴되는군요. 그럼, 대충 계산해봐도 1.6 ,... 이정도 나올 것같습니다. 맞습니다. 저의 내공이 짧은 탓이었습니다.
정말 이해가 안가는게
연산도중에 왜 갑자기 파이를 대입시키는지 가르쳐 주어야
이치를 간파할 수 있는데...
정작 이 중요한 부분을 왜 누락시켰는지 납득이 안갑니다
왜 단일식을 무한등차식으로 만들면 몸속에서 거부감이들지 자꾸 ㅜ
아셨나요?
까무러치게 아름답다;;; 근데 테일러급수는 아직 받아들여지지가 않는 느낌? 뭐 제가 안받아들인다고 달라지는건업ㅇ지만..ㅋㅋ 그동안 고등학생때까지 배운 수학은 나름대로 엄밀함?이 있엏ㅇ는데 테일러 급수는 뭔가 날치기같아서요
그래사 리만 가설을 증명한거임? 왜 100억 안받아감
모두 합산해서, 분모가 무한히 커지면 결국, 0.00000000000000001,..... 어쩌구 저쩌구 나갈텐데, ... 그런데, 육분지 파이를 계산해보면, 1.64493406685,... 이렇게 나오거든요. 저의 계산 방식은 아닌거지요 ? 왜,이렇게 쉬운 방법을 안 쓰고 마치 어디서 짜깁기를 한듯한 방식으로 계산을 하는 것인가요 ?
님말대로 무식하게 13번째 항까지 계산해봤는데 1.5708937982...나오는데요? 항이 무한해질수록 1.644...에 근접해지는걸보니 얼추맞는거같은데... 0.000000000001....은 무슨소리신지... 문제 자체를 이해못하신듯
@도날드 더하는 건데...
잘 모르면 조용히 하세요
진짜 멍청하네
1/n의 무한급수는 수렴하지 않는걸로 아는데 1/n^2는 수렴하네 신기하당
잘 이해하다가 테일러 급수 나오고 이해못함
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ닉네임
여긴 어디 난 누구
오일러....쌌다
나는 뉘긴가, 여긴 으딘가...
이걸 거의 고등학생방식으로 푸는게 ㄹㅇ 개도랐네
sinx를 저렇게 pi에 정수배를 근으로 갖는 다항식으로 표현한거 솔직히 납득이 안가네요. lnx가 1에서 근을 갖는다고 lnx = x-1 이렇게 표현하진 않잖아요
와드
근데 x=1일때 ln x 기울기가 1이니 x=1근처에서 x-1로 근사한다하면 납득이 되네요.
테일러급수를 공부하시면 아실수 있어요
ㅇㅈ 근데 천재들이 연구해서 나온 결과가 저거면 우리가 생각해도 답 안나올듯 ㅋㅋ
@@김준범-w1r 테일러급수도 x=a에서만 성립하지 말하자면 그 부근에서 근사시키는거지 다른 지점에서도 근사가 되는게 아니지않나요?? 그래서 틀린것같은데
오 띵강의노
일베인가? 말투 뭔가?