8 is in between x1=√63 and x2=√65 on x-axis. Map these 3 points onto y=x^2. Then x2-x1~= (y2-y1)/s, where s is the slope of the tangent line on x=8, which is y'(8)=16. So x2-x1~= (65-63)/16
=(√65 - √63)(√65 + √63)/(√65 + √63) = 2/(√65 + √63) > 2/(2√64)=1/8 = 0.125, therefore ~0.13. Easy to prove √(x+1) + √(x-1) < 2 √x, take the square of both sides, you get √(x^2-1) < x after simplification, which is obviously true.
By the by， i had to say sorry again to professor Mark. G. low working at wharton business school. I am always difficult on how to distinguish the difference between professors and police makers. This is my personal issue.
y=x^2 的函數 在x=8 的斜率等于 16，所以 答案是 （65-63)/16=0.125
best so far
没看懂, 求解答
8 is in between x1=√63 and x2=√65 on x-axis. Map these 3 points onto y=x^2. Then x2-x1~= (y2-y1)/s, where s is the slope of the tangent line on x=8, which is y'(8)=16. So x2-x1~= (65-63)/16
@@wlinusc这才是学霸的解法
這解法太強了
确实，不严谨。0.125是临近，应当判断是0.13还是0.12。正解是泰勒公式对（1+x)^0.5在x=0附近展开，相减后第0、2次项消掉，第一次项=1/8，此时只要看一下第三次项的正负符号即可，三次小量值的大小只有1/64的三次方了附近了。一般不会影响结果，但是因为恰好是在临界状态，三阶项正负决定四舍还是五入。
本解法末尾將 1/256忽略不計,理由上不夠堅強,尤其得到估計值0.125,第三位是5,萬一真確值第三位小於5,取兩位的答案就不一樣了.所以應有一套理由確認其真確值略大於0.125才行,用不等式應是最嚴謹的辦法.
假設所求為x, 可證明 1/8 < x < 1/√63 < 16/127, 確認 0.125
同意你的說法、原解說者解法、並非嚴𧫴的數學方式、數學不能想當然耳！
影片這樣好比
0.9999999999
跟1.000001
相差微乎其微但取前面幾位，卻是天差地別
0.99不等於1.00
請問是如何得出
1/根號63＜16/127的
想了解中間推到這步的過程
感謝MANTIMTIM君發現鄙人的錯誤,
茲更正為 1/8 < x < 1/√63 < 15/119=0.1260504...
確認 0.125
@@MANTIMTIM 感謝閣下發現鄙人的錯誤,我將去掉減項後,應變大錯成變小.
可更正為 1/8 < x < 1/√63 < 15/119=0.1260504...
推導如下:
63=64-1=64 - 2*8*(1/15) + (1/15)
> 8^2 - 2*8*(1/15) + (1/15)^2
=(8 - 1/15)^2
所以 √63 > 8 - 1/15 = 119/15
倒數後,大小相反.
用平方差公式: √65-√63=2/(√65+√63)≈1/8=0.125. 更加规范的误差估算: ∆≈(2√64-√65-√63)/(2*64) 是二次差分(≈4*10^-6)，可以忽略不计。
誤差估算 是怎麼算?
@@serenityrio6891 直接求近似解与准确解的差。
2/(√65+√63)=1/[(√65+√63)/2]≈1/√64=1/8
恩...
這麼算是可以地
確實沒有破綻
因為誤差是正數
也就是實際值=0.125+正數
下一步答案可以寫0.13
不要像版主一樣不計算誤差值
答题不严谨，0.125正好是临界，舍去1/256的时候，需要证明“舍去前大于舍去后”，不然结果有可能小于0.125，哪怕是0.12499999999999999，保留2位也是0.12。虽然正确答案确实是0.13。
确实，不严谨。0.125是临近，应当判断是0.13还是0.12。正解是泰勒公式对（1+x)^0.5在x=0附近展开，相减后第0、2次项消掉，第一次项=1/8，此时只要看一下第三次项的正负符号即可，三次小量值的大小只有1/64的三次方了附近了。不会影响结果，但是因为恰好是在临界状态，三阶项正负决定四舍还是五入。
没吊意思 这种非解析解不敲计算机再等何时😂
这就是解析解啊，你是说无理数解吗@@heinlich
在計算過程中忽略不計是邏輯錯誤,1/256這不是微分缺近於零的數字,不能約略不計,這解法計算過程理論不對,題目忽略小數點以下2位是指整個計算完成後才能忽略,不適計算過程中可以任意忽略!
如果這樣約數也可以的話, 何用這樣複雜
先上下乘√65 + √63, 分子=2, 分母=√65 + √63,約8+8, 所以答案=2/16=0.125
另解:
√x 圖形向下彎曲, 所以 (√65 + √63)/2 < √64 = 8 => (√65 + √63) < 16
√65 > 8,
(8-0.2)(8-0.2) = 64 - 3.2 + 0.04 < 63
=> 7.8² < 63
=> √63 > 7.8
8 + 7.8 < (√65 + √63) < 16
=> 15.8 < (√65 + √63) < 16
=> 2/16 < 2/(√65 + √63) < 2/15.8
=> 0.125 < 2/(√65 + √63) < 0.129
=> 0.125 < √65 - √63 < 0.129 (∵ (√65 + √63) (√65 - √63) = 2)
=> √65 - √63 ≃ 0.13
(8-0.1)(8-0.1) = 64 - 1.6 + 0.01 < 63
=> 7.9² < 63
=> √63 > 7.9
如果這樣約數也可以的話, 何用這樣複雜
先上下乘√65 + √63, 分子=2, 分母=√65 + √63,約8+8, 所以答案=2/16=0.125
use taylor expansion, (1+x) ^ 1/2 ~= 1 + 1/2 * x - 1/8 * x^2
65^1/2 - 63 ^1/2 ~= 8 * ( (1+1/64) ^ 1/2 - (1-1/64)^1/2) = 8 * (1/2 * 1/64 * 2) = 0.125
我相信这种解法在实际应用中肯定是错的。最后保留两位小数和中途删掉数据是两回事
我10歲的小孩用他的思考方式解出來了......
他的直覺思考是
64是8的平方，那√64+1一定就8~9之間，各自給平方後，就是64~81之間的數
至於是比8多多少？
他的思考是 81-64=17，也就是64~81之間有17等分，再用比例的概念 1/17約0.06，接著再8+0.06=8.06
同樣，√64-1就一定是7~8之間，各自給平方後，就是49~64之間的數
64 - 49＝15
也就是49~64之間有15等分
再1/15約0.07
接著再8-0.07=7.93
8.05 - 7.94 ＝0.13
我後來用他的思考方式列了一個 √(25+2)-√(25-3)
36-25=11 ； 2/11=0.18；5+0.18=5.18
25-16=9；3/9=0.33；5 - 0.33=4.67
5.18 - 4.67 = 0.51
真的可以耶！！！
老實說我覺得多此一舉，用十分逼近法找兩個的值直接運算就好，反正他只要保留兩位數
令 65^0.5=8+x；65=64+16x+x²，x=1/（16+x）
65^0.5=8+1/（16+x）≈8+1/16；同理可得63^0.5≈8-1/16
原式 ≈2/1 6=1/8 =0.125≈0.13
答案要求保留2个小数位。在这里可能会变成回答的陷阱。
如果也允许以3个小数位作答，用0.125作答便没有错。但确实的数是比0.125略小一点。不知道批卷者是否接受 0.12 和 0.13 两个都算对 ？
保留2个小数位, 沒特別說, 就是四捨五入. 還有, 你說0.125略小一点, 不對. 是比0.125大. 請看我的另解中有說明.
果然众位数学大拿厉害，不过所有用到微分导数概念的解法都超纲了，只能用平方与平方根方法作解，写出推算步骤，除非此题允许以multiple choices做选择，不用写出步骤。
已知，7*7=49，8*8=64，9*9=81；
因为，64-49=15，81-64=17, 64^0.5-49^0.5=1，81^0.5-64^0.5=1
推出65^0.5-63^0.5=(65-63)/((15+17)/2)=1/8
我就很粗暴地直接把根號65和根號63手算開出來，反正只求小數兩位也不用開很久。雖然影片裡的做法適用的情況可能很有限，現實生活中手機按一按幾秒鐘就有答案了，不過我個人還是肯定這支影片促進學生或觀眾思考的作用
複雜的數學用簡單的方法簡單的觀念去處理,方顯出道行!這題直接用逼近法算出就可,不用耍花槍,平方根再怎麼搞也是無法完全開出來,就無需多費時間去找複雜的路子!
可是這樣做等於在計算中間取一次近似值，結尾又取一次，這樣不夠嚴謹吧。
如果要這樣搞，乾脆一開始兩兩都去直式開放再相減不就好了😂
这样有点复杂，可以变化为同时乘以分子分母根号下65加根号下63，这样分子是2，分母约等于16，约等于1/8
實際值約等於0.125...
接下來又約等於0.13這步驟不對
實際值如果約等於0.12499999也是約等於0.125
那答案約等於0.12才對
儘管解題技巧很高超，但如果沒有實用的價值，那又有什麼意義呢？
數學是在培養邏輯
这题的实用价值在于 太小可以省略 这个概念。
以后碰到难题可以只求近似解。
81-64=17
64-49=15
（15+17）/15*17=32/255=0.1254
這樣可以嗎？
確實不嚴謹，就算0.1249999近似值也是0.12，如果說近似到小數點後3位就沒什麼爭議
這題是沒辦法百分百確定答案的題目，如果沒計算機的話
為啥不直接（√64×√1）-（√64÷√1）然後8×√1-8÷√1=8（√1-1÷√1）=8（i-1/i)也就是8（i²-1/i)，我們知道i²=-1,所以答案是-16/i
虛數離初中課程太遠了😂，解法是沒問題
評論區的方法比影片教學更精彩。還有人用英文字母教中文發音😂😂😂
就假會啊
我們有注音
=(√65 - √63)(√65 + √63)/(√65 + √63) = 2/(√65 + √63) > 2/(2√64)=1/8 = 0.125, therefore ~0.13. Easy to prove √(x+1) + √(x-1) < 2 √x, take the square of both sides, you get √(x^2-1) < x after simplification, which is obviously true.
數學廢材想問
8的平方為什麼不能提出來
1的平方也是1 一樣提出
最後得到式子 9-7=2
根号（8+1）的平方，提出来才是8+1=9，但是8^2+1不等于（8+1）^2，所以不能直接开平方
我也這樣心算…..讚👍
這樣算不對啊。8 和 1 不能這樣拿出來的。 sqrt (8+1) 不等於 sqrt(8) + sqrt(1)。減的也一樣。
@@DMichigan因為他第二行就這樣摺疊啊 他把掛號省略(牢籠） 那我就逃獄
答案應小於題解第五行，所以答案應為0.12。
视频中的方法只能得一半的分。
正确的解法 ，估算 √65-√63的上限和下限。
1、先做个变换 √65-√63=2/(√65+√63)，然后估算√65+√63的范围
2、√65+√63 √65+√63< 2*8
3、√65+√63>2√63
4、2√63= 2√(64-1) >2√(64-2*8/5+1/25)=2√(8-1/5)^2=2×(39/5)
5、得到范围1/8 < 2/(√65+√63) < 5/39
6、1/8=0.125 ； 5/39 < 1.26
7、0.125
直接按計算機，不管要小數點幾位，就給你的正確答案，何必設計一個奇怪的問題，又用一個奇怪的解法。
數學講求的是運算的邏輯，如果只要答案，那電腦就可以解決大部分的數學題目了........
按計算機，是實用層面考量，是我今天在工作現場必須解決問題
但沒有空做複雜計算或者不能出錯，由被設計出來的機器代替我完成
而計算機也是由知道了計算方法的人類設計出來的
考試就是在考你知不知道如何算出來
不要講的計算機好像天然存在似的
直接掏出Casio😂
能解這種問題的人有發明了新數學定理了嗎？
屁用没有，在数学研究上等于放着铲车不用非要用勺子铲土，在工程计算上没有普适性，就跟上中学了还在比十以内加减法速度一样。
国内数学教育的现状 既不培养逻辑思维严密性 又不培养数学计算实用性 完全浪费生命 有这时间还不如泡几个妞
这太有用了。告诉我们太小可以省略。
我建议初中时候就应该学微积分，d(x^1/2) = 1/(2x^1/2), 当x=8,斜率刚刚好是1/(2*8), 65^1/2 - 63^1/2 = 65^1/2-64^1/2 + 64^1/2 - 63^/12 = 2* (1*(2*8)) = 1/8
为什么不是小学？
@@weili9349 小學連代數甚至實數或指數的概念都還沒建立，在目前的學習系統下很難再去理解極限
這並不合理，不是每個學生都會從事理科職業，文科生學了之後對他們沒有用。除非初中就預先分好理科和文科，但這時候的學生仍然處於摸索的狀態，過早的分類會影響部分學生的發展。比較折中的方法大概就是學校搞些精英班，不過前提也是要學校有這個條件，以及政府的支持（教育局等等）就是了。
对结果我认同，讲解所用的概念不认同。因为 1/16=0.06125 是小数两位。换一种概念再讲解吧。
其实断断续续学的，并不理想，我的基本功就高中最多了，还有那个狗屎手开根的方法，我不想说什么有没有提高计算的办法，求大神们教导一下
我知道葵花宝典，上有一门记载了如何提高计算的办法，我挥刀自宫后，发现还没练成，再割，已经快把张易明给气疯了，其实，我仔细走来，太焦虑了，steven chu 说的好，我们对你也有相同期待。
求中美合作，让我不要骂张易明，其实我挥刀自宫太严重了，告诉你个小秘密，我压根就瞧不起我的小初高，但我很对不起，那个最后的班长，还问许多呢？你说我是不是贱货养的，你们要是有种，去挑唆 steven 和gilbert 决斗啊！老二为老三尽力了，哎
该死的舅舅，请蔡天文教授带着自己的妹妹天西教授先去一趟新西兰，还有救不，还能读博士不！我来Hoover 来晚了。
By the by， i had to say sorry again to professor Mark. G. low working at wharton business school. I am always difficult on how to distinguish the difference between professors
and police makers. This is my personal issue.
By the way, my basic target on ietls test is 9 at each 4 patterns. 憋苗头不是个好习惯。徐丹老师说的。
0 这个数目字念ling（零）, 不是念lin（林） 。
要是现实情况下，直接按计算器就出来了。这玩意你一辈子都用不到，真不知道做这些题的目的干嘛？？
思考解決方法的過程遠比答案重要
接着优化一下
4、 2√63= 2√(64-1) >2√(64-2*8/2+1/4)=2√(8-1/2)^2=2×(15/2)
5、得到范围1/8 < 2/(√65+√63) < 2/15
6、1/8=0.125 ； 2/15 < 0.134
7、0.125
絕對無用的腦力浪費😂
學這要做什麼
√65-√63=√35+√30-√30+√33=√68
我65人分30個出來
跟
對方63人分30個出來
出來打雙方死光
對方33人想這樣打最後我們會全死光
最後33人妥協加入35我的幫派
這告訴你 識時務者為俊傑
通機變者為英雄
老師 陳惠敏
😂😂😂😂😂😂
繞遠路的計程車司機🤔
我問我們學校的學霸，他說你沒錢買計算機嗎。
別問我為甚麼，總之1/√65
(64^2-1)
牵强。
真学霸都在评论区
我用暴力手解，就在8.063-7.937 = 1.26~, 約1.3... :(
我會直接用mean value theorem解😂
牛
看你的解法....我頭很痛 明明不到1分鐘可解出來的簡單題目 讓你這樣算 多出2~3倍時間 你這套如果我拿去教我女兒 她大學指考數學可能不及格 我記得數A還有倒扣 每題都多2倍時間去算根本算不完整張考卷
我記得我數A或叫數甲 當初考88分 數乙考98分....我大女兒繼承我數學天賦 七年級上學期三次數學100 98 99 用你這方式教 她大概50 50 50
看了评论，得预习下微分
现在这水平就能算学霸么？
¯▁▁ ▁▁
√x²+1 - √x²-1 = ⅟x
所以 8是1/8, 9是1/9.....依此類推
會一點微積分就能算
0.125 - 0.004 = 0.121 所以答案應該是 0.12
f(x) = sqrt(x)
f'(x) = 0.5 * x^(-0.5)
f'(64) ~= f(65) - f(63) / (65-63)
f'(64) = 0.5* x^(-0.5) = 0.5 * (1/8)
f(65) - f(63) ~= 2* f'(64) = 0.125
題目要求保留兩位數
所以你必須算出是0.125+還是0.125-
答案到底是0.12還是0.13?
兩個分別泰勒展開估算就好
(1+x)^n ≈ 1+nx
太簡單了😂，65-63=2所以答案是根號2
这道题不会是学渣老师由果推因出的一道垃圾题吧，完全没有意义
真棒，對歐。🤓❤️🎉
√65-√63=√35+√30-√30+√33=√68
我65人分30個出來
跟
對方63人分30個出來
出來打雙方死光
對方33人想這樣打最後我們會全死光
最後33人妥協加入35我的幫派
老師 陳惠敏
😂😂😂😂😂😂
奇技淫巧
直接用開根法，結束
出这种题有什么意义呢
0.004开根号等于0.063
所以他也解釋了，能省略 0.004 的原因不單是因爲它是 0.004，而是因爲相對於64 和 63 （即 64 + 0.004 及 63 - 0.004 再開跟），影響就很小了。
答案：0.125003818298549、取0.125004的值比較符合臨界值。
超過百萬位數分之一，對計算根號精準度沒有太大的意義，故小數點後第七點看自己判斷是否進位，這數值0.0000001很接近0.000001，所以我選擇進位變0.125004
I have a calculator
這種題目都是拿碰巧的數字來發揮毫無實質價值 要不換個大數字玩玩看
1/256 忽略不计 别忘了那是在根号内 出来后有影响
可忽略，因並不是1/256開根號，是加64後開根號，相對於64，1/256小到沒邊
不严谨
根号下的1/256等于0.2，明显是不能忽略不计的，你把他忽略掉来解只是碰巧得到了和答案近似的结果。不提倡你这种误导观众的解题思路。
64為主
这个题对这个社会有什么价值
模糊
簡單來講 你要有慧根
心算0.1
太不严谨
胡闹。直接舍掉，不证明就是猜
寫 得 很 不 工 整……out
√65 -√63=√2
全是套路
至少板書要好看一下吧
字太小了
5秒
好拖...
不信
这不对啊，这结果忽略了好多个啊。首先开根号之后，结果是正负值，最后正减正，负减负，正减负，负减正，至少最后出现四个结果才对吧
請回頭看看原式，只會有一個正的數而已喔！
@@misakidavid 原式哪里说答案要忽略负值了？
√65比√63大，√65-√63不可能是負的
@@misakidavid 你先看懂我的回复可以吗？这跟谁大谁小没有关系 根号4的结果可以是2也可以是-2
@@liyisu這是positive square root
只會出來正數
√65 - √63
= 7.5 - 7.1
= 0.4
So, √65 - √63 = 0.4
身為不會讀書的我
看這影片我腦袋只有一句話
工沙小
还有这样的？玩赖
搞这玩意有啥价值？
讚!
最后的结果如果只是约等于那就不正确。我们要的是结果等于
现实中只要约等于就够了，何必在乎1/256这种数值呢？
吹毛求疵本身就很不实用。
平心靜氣的想一下，有多少Nobel Prize winners 在他們中學的時候能不用計算器解這個問題。再問問你認為當前世界五百強公司的創辦人或主持人有多少人不用計算器解決了這問題。我保證有Asperger’s Syndrome 的人比正常人能更快地不用計算器解出這問題。正常人用指頭按計算器找答案。所以這問題考你什麼？
沒辦法
學生只懂數字 開平方 (a+b)^2 時
就考這不然要考什麼
考這種不像工程問題要一堆物理概念 微積分 工數等工具
才能處理解讀的
也不能考如何解決烏俄戰爭 以哈戰爭呀
心平气和德想一下，诺贝尔奖没有数学奖。
错误的解法。