Muito bacana essa explicação! Não sou matemático, sou engenheiro elétrico e, para nós, engenheiros, a matemática é sempre vista como uma ferramenta poderosíssima, mas apenas uma ferramenta. Nesse sentido, pouco nos importa o formalismo, desde que o resultado seja-nos útil. Mas não deixa de ser interessantíssimo entender o que está “por trás” daquilo que usamos e abusamos para resolver nossos problemas.
Boa explicação no sentido de facilitar o entendimento. Usualmente, uma explicação formal utiliza muitos termos oriundos de definições e provas anteriores que a tornam mais precisa, porém mais exigente para a compreensão necessária à sua apreensão.
Eu só queria agradecer o tanto q o senhor tem mudado a minha vida com as suas aulas. Estou no penúltimo ano de engenharia elétrica e n conseguiria terminar o curso sem o seu trabalho. Muito obrigado
Uma outra abordagem possível para construir os reais é pensá-los como o limite de uma série de números racionais. É uma abordagem consistente e que você pode até tangenciar na escola.
Eu conheço esta noção por causa da faculdade e estudei num livro de ensino médio do ano de 2007, que é muito técnico e, inclusive faz algumas demonstrações não tão usuais na escola, como demonstrar a irracionalidade de raiz quadrada de 2.
Excelente síntese, Professor! Pena que o aprendizado de matemática em nosso país é pífio! Os governantes desse país estão empurrando todos os problemas sociais para dentro das escolas, e não devolvem quase nada do dinheiro da população para a educação. Se gasta dinheiro da população com pão e circo, como por exemplo: copa do mundo, olimpíadas...mas, estudar mesmo que é bom! NADA! E assim continuamos cada vez mais um país atrasado!
Conhecia, mas não lembrava. Analise foi uma materia dificil. Dava vontade de chorar kkkk tenho pesadelos com o mestre Elon, por causa do livro dele kkkk
Professor, no exemplo 3, você usou um número que não pertencia a Q (raiz de 2), para provar que Q não seria um corpo ordenado completo. Se adotarmos a mesma estratégia para R, usando um número complexo, não se poderia erroneamente inferir que R também não o seria? (não sou matemático, mas adoro suas aulas!)
Ficou um pouco forçado. Mas você pode substituir o exemplo por uma sequênciade racionais cujo limite seja raiz de 2. Inclusive, existem outros axiomas que substituem esse do supremo. Exemplo: toda sequência de Cauchy converge para um elemento do conjunto.
Imaginei que o professor teria usado um exemplo para facilitar o entendimento, mas não consegui imaginar um outro exemplo melhor sem entrar em "loop". Examinando a definição quase indecifrável da Wikipédia para a tal sequência que você citou, vejo agora porque o professor (mais uma vez) acertou na didática. Obrigado pelo esclarecimento, Eduardo!
Interessante sua pergunta. Veja que ele está usando o argumento de que o intervalo (-∞, √2) em Q (racionais) não possui supremo (menor cota superior) que seja racional. Este conjunto em Q seria {x ∈ Q : x²
Excelente, professor! Estou gostando bastante de suas aulas. Apenas uma correção numa fala sua que saiu por engano em 14:35 . O senhor disse que "Q não é um corpo ordenado " em vez de "Q não é um corpo ordenado completo". O Q é um corpo ordenado(como apresentado num momento anterior da aula), só não é completo.
Não sabia desse definição. O que se aprende é que os reais é a união dos irracionais com racionais. Agora uma dúvida que eu pensarei:" por os complexos não são um corpo ordenado completo?"
Só não compreendi duas coisas. 1) Por que você não falou do fechamento de + e x. Você pulou 2) Tinha de provar por absurdo que se existisse um supremo q* no conjunto (-00,raiz(2))interseção Q, haveria um q1 tal que q*o, logo existe um q1 talque q*
@@todaamatematica, 40 aulas?!! Vou seguir. Uma das grandes falhas do ensino é não falar sobre a completude dos reais. Ensina-se que o Q é denso, intuitivamente o aluno acha que os racionais cobrem a reta toda. Aí vem o professor com Pitágoras e desenha um triângulo retângulo de catettos 1 com a hipotenusa sobre a reta e mostra que os racionais deixam buracos. Eu queria ver um professor deparando-se com esse questionamento do aluno:"Nós pensamos que os racionais preenchiam a reta, mas deixavam buracos. Agora você afirmou que os irracionais fecham a reta. Como posso saber que juntos os racionais e irracionais não deixam buracos?"
@osilva1355 , eu acredito na evolução do ensino da matemática tem relação com avanço do potencial tecnológico do país. Quando do antigo científico, fiquei em casa matutando que mesmo que houvesse um enormidade de casas decimais de raiz(2) calculadas que desse para escrever em um papel com dois anos luz, mais a frente poderia haver um padrão de repetição, que independente do número de casas decimais calculadas, mais a frente poderia haver um padrão. Levei minha preocupação à professora. Ela me solicitou que ficasse após a aula e demonstrou por absurdo, usando x^2-2=0 e usando propriedades de polinômio de coeficientes inteiros que se r fosse raiz racional desse polinômio r deveria pertencer à {-1,1,-2,2} o que era absurdo. Depois aprendi que que Q era denso, logo conjecturei que preenchiam a reta, sem a maldade de ver que colocando um triângulo retângulo de catetos de comprimento 1 e com a hipotenusa começando na origem, raiz(2) estaria na reta, fato que a professora apresentou em seguida aos racionais. Não consegui criar a dúvida de quem me garantia que os |Reais não deixavam buracos na reta. Só bem mais tarde, já terminado o curso básico de engenharia é que conversando com um colega de campus, que me indicou alguns livros da biblioteca para ler é que descobri sobre a cardinalidade dos reais e conhecer assunto sobre completude. No científico que fiz, estudamos análise com definição de grupo, grupo abeliano, grupo cíclico, anéis e corpo. Estudamos figuras planas fechadas pelo conceito de Papy, as classificando como figuras de borda, abertas e fechadas, Assim uma circunferência era um disco de borda, o círculo era um disco fechado e o círculo/circunferência=disco aberto, tinha limite e derivada e noção de integral. Falar que a completude dos Reais é axiomática e não tem como ser provada não vejo esse escarcéu da metáfora hiperbólica, "...fazer bolo sem forma.", mas sim como algo bem razoável. Meu sonho era que meu país produzisse chips com semicondutores ou com óxido de grafeno, aumentasse seu potencial de construção civil, pontes avançadas e estradas, naval. Que nossa indústria não só montasse peças trazidas de fora, que tivéssemos capacidade de usinagem de ponta e não fôssemos apenas exportadores de commodities. E eu acredito que só com o avanço da matemática poderemos começar a caminhar nesse sentido. Não estou querendo fazer bolo sem forma, pois bolo é para sobremesa, para um lanchinho e é perecível, estou preocupado é nas nossas futuras gerações. Não acredito que a China tenha alavancado, ou performado esse rump up, como dizem os frequentadores de cursos de MBA, sem ter dado ênfase à matemática. Não creio que eles tenham se conformado assim como você se conformou acerca da grade curricular clássica.
@@pedrojose392 você estudou muito e agora acha que todo aluno é igual você e quer que sejam ensinadas coisas muito específicas. Dica? A maioria deles não quer saber nem do simples e óbvio.
@@todaamatematica Não fiz, formei em engenharia elétrica, lá não tem análise. Eu vi GAAL(Geometria Analítica e Álgebra Linear), cálculo numérico, cálculo 1,2 e 3, equações diferenciais A (ordinárias) e B(parciais), probabilidade e processo estocástico e como optativa fiz variáveis complexas (usei o livro Variáveis Complexas e Aplicações de James Brown (Autor), Ruel Churchill (Autor)).
Até mês passado eu achava que sabia o que era um número real. Cada dia me surpreendo mais com esses assuntos.
Muito bacana essa explicação! Não sou matemático, sou engenheiro elétrico e, para nós, engenheiros, a matemática é sempre vista como uma ferramenta poderosíssima, mas apenas uma ferramenta. Nesse sentido, pouco nos importa o formalismo, desde que o resultado seja-nos útil. Mas não deixa de ser interessantíssimo entender o que está “por trás” daquilo que usamos e abusamos para resolver nossos problemas.
Esse canal é simplesmente FANTÁSTICO! Todos os dias aprendo mais e mais. Viva a matemática! Obrigado, professor.
Muito obrigado pelo elogio. Agradeço se compartilhar o canal com os amigos.
Boa explicação no sentido de facilitar o entendimento.
Usualmente, uma explicação formal utiliza muitos termos oriundos de definições e provas anteriores que a tornam mais precisa, porém mais exigente para a compreensão necessária à sua apreensão.
Excelente mestre.Foi bom relembrar estes conceitos das aulas de análise.
Eu só queria agradecer o tanto q o senhor tem mudado a minha vida com as suas aulas. Estou no penúltimo ano de engenharia elétrica e n conseguiria terminar o curso sem o seu trabalho. Muito obrigado
Fico feliz em ajudar, Alex!
Muito obrigado,excelente aula!!!
Uma outra abordagem possível para construir os reais é pensá-los como o limite de uma série de números racionais. É uma abordagem consistente e que você pode até tangenciar na escola.
Boa noite, pode explicar melhor essa abordagem? Ou indicar alguma leitura a respeito.
também quero indicações
Parabéns!!!!!!!
Eu conheço esta noção por causa da faculdade e estudei num livro de ensino médio do ano de 2007, que é muito técnico e, inclusive faz algumas demonstrações não tão usuais na escola, como demonstrar a irracionalidade de raiz quadrada de 2.
OLÁ! TE RECORDAS DO NOME DO LIVRO?
Excelente síntese, Professor! Pena que o aprendizado de matemática em nosso país é pífio! Os governantes desse país estão empurrando todos os problemas sociais para dentro das escolas, e não devolvem quase nada do dinheiro da população para a educação. Se gasta dinheiro da população com pão e circo, como por exemplo: copa do mundo, olimpíadas...mas, estudar mesmo que é bom! NADA! E assim continuamos cada vez mais um país atrasado!
Passa o nome do livro pra gente por favor.
@@silvanacosta1686provavelmente, é o fundamentos da matemática elementar, do Gelson iezzi
Nome do livro pfv
Que vídeo incrível!
Muito bom!
Rapaz, show de bola!
Excelente!
Ótimo!!
Adorei!
Muito boom!
Ótima aula!!
Agora sim vamos ver análise real com o mestre Gustavo ❤
Conhecia, mas não lembrava. Analise foi uma materia dificil. Dava vontade de chorar kkkk tenho pesadelos com o mestre Elon, por causa do livro dele kkkk
Boa tarde! Ainda não conhecia , professor Gustavo OBRIGADA por mais esta aula.
Disponha!
Professor, no exemplo 3, você usou um número que não pertencia a Q (raiz de 2), para provar que Q não seria um corpo ordenado completo. Se adotarmos a mesma estratégia para R, usando um número complexo, não se poderia erroneamente inferir que R também não o seria? (não sou matemático, mas adoro suas aulas!)
Ficou um pouco forçado. Mas você pode substituir o exemplo por uma sequênciade racionais cujo limite seja raiz de 2. Inclusive, existem outros axiomas que substituem esse do supremo. Exemplo: toda sequência de Cauchy converge para um elemento do conjunto.
Imaginei que o professor teria usado um exemplo para facilitar o entendimento, mas não consegui imaginar um outro exemplo melhor sem entrar em "loop". Examinando a definição quase indecifrável da Wikipédia para a tal sequência que você citou, vejo agora porque o professor (mais uma vez) acertou na didática. Obrigado pelo esclarecimento, Eduardo!
Interessante sua pergunta.
Veja que ele está usando o argumento de que o intervalo (-∞, √2) em Q (racionais) não possui supremo (menor cota superior) que seja racional. Este conjunto em Q seria {x ∈ Q : x²
Felipe, obrigado por sua explicação. Sua notação para o intervalo (-∞, √2) , utilizando x²
Simplesmente o melhor 💥
Muito obrigado pelo elogio!
R é o único corpo ordenado completo..valeu Dedekind
Muito bacana o vídeo!
Acho extremamente interessante essa formalidade matemática que diversas vezes é omitida na escola.
Por mais conteúdos assim!
Professor, qual o melhor livro introdutório sobre Teoria dos Números?
Introdução à teoria dos números do Plínio
Pra questões mais avançadas e de olimpíadas talvez seja mt bom o do Caminha
Bem explicado!
Excelente, professor! Estou gostando bastante de suas aulas. Apenas uma correção numa fala sua que saiu por engano em 14:35 . O senhor disse que "Q não é um corpo ordenado " em vez de "Q não é um corpo ordenado completo". O Q é um corpo ordenado(como apresentado num momento anterior da aula), só não é completo.
Muito obrigado pela correção!
🙋
Supimpa 👍😄
Não sabia desse definição. O que se aprende é que os reais é a união dos irracionais com racionais.
Agora uma dúvida que eu pensarei:" por os complexos não são um corpo ordenado completo?"
Complexos não são ordenados.
Presente.😁👍
Não conhecia a definição formal
Só não compreendi duas coisas.
1) Por que você não falou do fechamento de + e x. Você pulou
2) Tinha de provar por absurdo que se existisse um supremo q* no conjunto (-00,raiz(2))interseção Q, haveria um q1 tal que q*o, logo existe um q1 talque q*
Essa é apenas uma aula introdutória, os detalhes técnicos virão nas próximas 40 aulas deste capítulo.
@@todaamatematica, 40 aulas?!! Vou seguir. Uma das grandes falhas do ensino é não falar sobre a completude dos reais. Ensina-se que o Q é denso, intuitivamente o aluno acha que os racionais cobrem a reta toda. Aí vem o professor com Pitágoras e desenha um triângulo retângulo de catettos 1 com a hipotenusa sobre a reta e mostra que os racionais deixam buracos. Eu queria ver um professor deparando-se com esse questionamento do aluno:"Nós pensamos que os racionais preenchiam a reta, mas deixavam buracos. Agora você afirmou que os irracionais fecham a reta. Como posso saber que juntos os racionais e irracionais não deixam buracos?"
@@pedrojose392????? Por qual motivo isso seria importante na educação básica? Tá querendo fazer bolo sem forma.
@osilva1355 , eu acredito na evolução do ensino da matemática tem relação com avanço do potencial tecnológico do país. Quando do antigo científico, fiquei em casa matutando que mesmo que houvesse um enormidade de casas decimais de raiz(2) calculadas que desse para escrever em um papel com dois anos luz, mais a frente poderia haver um padrão de repetição, que independente do número de casas decimais calculadas, mais a frente poderia haver um padrão. Levei minha preocupação à professora. Ela me solicitou que ficasse após a aula e demonstrou por absurdo, usando x^2-2=0 e usando propriedades de polinômio de coeficientes inteiros que se r fosse raiz racional desse polinômio r deveria pertencer à {-1,1,-2,2} o que era absurdo. Depois aprendi que que Q era denso, logo conjecturei que preenchiam a reta, sem a maldade de ver que colocando um triângulo retângulo de catetos de comprimento 1 e com a hipotenusa começando na origem, raiz(2) estaria na reta, fato que a professora apresentou em seguida aos racionais. Não consegui criar a dúvida de quem me garantia que os |Reais não deixavam buracos na reta. Só bem mais tarde, já terminado o curso básico de engenharia é que conversando com um colega de campus, que me indicou alguns livros da biblioteca para ler é que descobri sobre a cardinalidade dos reais e conhecer assunto sobre completude. No científico que fiz, estudamos análise com definição de grupo, grupo abeliano, grupo cíclico, anéis e corpo. Estudamos figuras planas fechadas pelo conceito de Papy, as classificando como figuras de borda, abertas e fechadas, Assim uma circunferência era um disco de borda, o círculo era um disco fechado e o círculo/circunferência=disco aberto, tinha limite e derivada e noção de integral.
Falar que a completude dos Reais é axiomática e não tem como ser provada não vejo esse escarcéu da metáfora hiperbólica, "...fazer bolo sem forma.", mas sim como algo bem razoável. Meu sonho era que meu país produzisse chips com semicondutores ou com óxido de grafeno, aumentasse seu potencial de construção civil, pontes avançadas e estradas, naval. Que nossa indústria não só montasse peças trazidas de fora, que tivéssemos capacidade de usinagem de ponta e não fôssemos apenas exportadores de commodities. E eu acredito que só com o avanço da matemática poderemos começar a caminhar nesse sentido. Não estou querendo fazer bolo sem forma, pois bolo é para sobremesa, para um lanchinho e é perecível, estou preocupado é nas nossas futuras gerações. Não acredito que a China tenha alavancado, ou performado esse rump up, como dizem os frequentadores de cursos de MBA, sem ter dado ênfase à matemática. Não creio que eles tenham se conformado assim como você se conformou acerca da grade curricular clássica.
@@pedrojose392 você estudou muito e agora acha que todo aluno é igual você e quer que sejam ensinadas coisas muito específicas. Dica? A maioria deles não quer saber nem do simples e óbvio.
😮 Uffa !!!
Acho que agora eu entendi.
< é menor quê, não?
Nunca vi/li nada acerca desse tema (definição dos números reais).
Sequências de 0's e 1's sequências de Cauchy são bem melhores que cortes de dedekind
Quanto mais estudo. Mais sei, que não sei nada
Acho impressionante com eu consigo entender e continuar sem entender.
Acho que minha inteligência é relativística, depende do observador kkk
Número real é aquele que dados dois números inteiros "a" e "b" não pode ser expresso por "a/ b ". Simples assim.... ou será que estou errado?
Esses aí são os irracionais, considerando a, b inteiros.
Complexo!
Não conhecia a definição precisa de um número real.
Já fez análise, João?
@@todaamatematica Não fiz, formei em engenharia elétrica, lá não tem análise. Eu vi GAAL(Geometria Analítica e Álgebra Linear), cálculo numérico, cálculo 1,2 e 3, equações diferenciais A (ordinárias) e B(parciais), probabilidade e processo estocástico e como optativa fiz variáveis complexas (usei o livro Variáveis Complexas e Aplicações de James Brown (Autor), Ruel Churchill (Autor)).
@@todaamatematica não, estudando agora com o seu canal.
O que é um número real....faltou o "é"....
Olha que interessante, dei o like de número 256, é igual a 2 elevado a 8.
Não conhecia, acabei o a licenciatura em matemática sem definirem o que é o número real.
Não professora