Si tous les professeurs de mathématiques avait ta pédagogie, ta passion et ta bonne humeur, 95% des étudiants seraient des monstres en mathématiques. Nous serions une société remplie d'ingénieur et nous aurions déjà réussi à maitriser la plupart des technologies : minage d'astéroïdes, voyages interstellaires, ordinateurs quantiques... merci de rendre les maths aussi passionnantes !
@@stephane3690 Sous couvert de compliment ce commentaire ne me semble pas innocent, il laisse déjà penser que finalement, le problème serait un peu le prof de maths, pas les classes surchargés et les budgets inadaptés, non, c'est le prof de maths qui n'est pas assez pédagogue, joyeux ou passionné, ensuite pour ce qui est du paragraphe final, il s'agit juste d'une suite de spéculations sans fondement, et bon une société "remplie d'ingénieur" pour quelqu'un qui pratique les maths ce n'est pas vraiment un modèle de société souhaitable hahaha
père de collégien, tonton de deux autres qui arrivent pendant la toussaint et qui auront des cours particuliers de math, merci beaucoup pour les nombreuses vidéos qui me donne du contenu et de la pédagogie. Super chaine !
On aurait pu également procéder par identification après avoir factorisé le polynôme de rang 4 par x et trouver que 1 est solution du polynôme de rang 3. En procédant par identification pour factoriser le polynôme de rang 3 on poserait alors: (x-1)(ax²+bx+c) = x3-4x²-7x+10 En développant le premier membre on trouverait ax3+(b-a)x²+(c-b)x-c = x3-4x²-7x+10 et du coup par identification: a=1 b-a = -4 c-b = -7 et -c = 10 soit a=1; b=-3 et c=-10 Ce qui ramènerait à écrire (x-1)(x²-3x-10); il ne resterait qu'à factoriser x²-3x-10 et pour cela on utiliserait le discriminant Delta = (-3)² - 4 (1)(-10) ce qui donne 49 carré de 7 et comme delta est positif on a deux solutions -2 et 5 Du coup on a définitivement x(x-1)(x+2)(x-5)=0 soit 4 solutions: -2; 0; 1; 5 CQFD
Où étais tu quand j'étais en terminale..Bravo pour tes vidéos. Excellente pédagogie, tout parait si simple. Ca c'est les bons côtés de youtube et du progrès.
Sincèrement avec vous je comprends bien la mathématiques grâce à vos explications claires. Je suis presque chaque jour prof. Que Dieu vous bénisse richement
palala c bg de fou j'aime trop les maths des quand je comprends, très bien expliqué en plus. Perso je pense qu'on pouvait direct voir les 2 racines évidentes à la fin (5 et -2) puisque j'ai moi même d'abord pensé à 5 avant de voir le -2 très bonne vidéo comme d'hab!
Bonjour , merci pour cette superbe vidéo . J'ai question concernant le 7x² . J'ai l'impression qu'il a été oublié dans le résultat final ,non ? J'ai peut être loupé quelque chose, si quelqu'un peut m'éclairer. Merci d'avance
Moi aussi j'ai buggé mais, la propriété est là pour une raison. Vu que factoriser en (x-a) est possible, il a cherché en commençant par les termes simple (x^2, et 10). Tu aurais pu très bien retrouver le résultat de la factorisation en commençant par 7x -> faut aimer se faire mal dans ce cas
juste une question et le - 7x j'en fais quoi ?il me manque un chiffre si (x-1) (x²-3x-10) il manque une constante dans la factorisation ? cest juste une question sauf si je me trompes
Toujours aussi interressant de vous suivre, mais une vidéo 2 biceps avec des commentaires/explications 3 bisounours (comme souvent d'ailleurs ) :-) :-) Merci professeur 🥰
Salut, j'aime bien l'approche. Sauf erreur de ma part, je constate qu'il y a le terme en x de l'équation du degré 3 qui est oublié. Merci de m'éclairer
Bonjour , j'ai un problème de mathématiques qui me tracasse, je veux avoir le résultat , la formule ou bien la forme simplifié de la somme d'une suite d'un même variable a exposants décroissant et a coefficient croissant ex: X^n + 2X^n-1 + 3X^n-2+..............+nX Pourriez-vous m'aider svp ????
Ta somme a pour expression "compacte" : sigma(pour i allant de 1 à n) de (n-k+1)*x^k. Ce terme indexé (n-k+1)*(x^k) est égal à n*(x^k) - (k+1)*(x^k). Tu utilises la propriété de linéarité du sigma pour séparer cette expression en une différence de deux sigma : -> le 1er a pour expression n*(x^k), tu sors le facteur n du sigma (tu peux le faire car il ne dépend pas de l'indice de sommation k), tu as alors n*(sigma de x^k). C'est une somme géométrique que tu peux simplifier avec la formule usuelle (attention aux bornes de l'indice de sommation !) ; -> le 2ème sigma a pour expression (k+1)*(x^k) : c'est une somme "géométrique dérivée", la dérivée de sigma de x^(k+1) (pour le visualiser tu dérives avec la linéarité de la sommation et la formule de dérivation des puissances et tu retrouves bien sigma de (k+1)*(x^k) : il faut donc établir la formule simplifiée de la somme géométrique correspondante à cette "somme dérivée" et dériver cette formule simplifiée pour trouver celle de la somme dérivée. Il y a tout un travail à faire au niveau des bornes de l'indice de sommation pour qu'il corresponde bien avec la puissance k dans le terme, il faut faire un changement d'indice, voire retirer/ajouter un terme dans la somme (en l'ajoutant/retranchant hors de la somme pour compenser) pour être conforme avec la formule de somme géométrique. Au final tu fais la formule simplifiée du 1er sigma moins celle de la 2ème et t'as le résultat !
Excellente question à la fin de la vidéo qui est tout autant excellente : pourquoi une équation de degré 4 ne peut avoir que 4 solutions ? Je n’ai aucun souvenir d’avoir traité cette propriété des polynômes en TS spé Maths (promo 2005). Alors je dis OUI à un épisode de démonstration 🤩
Parce-que si a est racine du polynôme, vous pouvez factoriser par (x-a). Or si vous avez plus de 4 solutions (disons 5 pour l'exemple), ça veut dire que vous pouvez factoriser par 5 monômes de degré 1. En redeveloppant vous obtenez alors un polynôme de degré 5. Contradiction. CQFD.
@@mikelenain" Parce-que si a est racine du polynôme, vous pouvez factoriser par (x-a)".. ben c'est justement ça qu'il faut démontrer, ce que vous dites c'est juste que vous démontrez que 4=4 parce que 2=2. Le théorème invoqué s'appelle en fait le "grand théorème de l'algèbre" ou selon le cas, "le théorème fondamental de l'algèbre", sa démonstration très ardue, n'est pas au programme de lycée. Cordialement.
Pourquoi tu fais le dommage scolatéral et non la division de polynômes Au début fallait que tu factorisait x^4-4x^3-7x^2+10x Puis il fallait que tu résolve la factorisation=0 Soit x(x-1)(x+2)(x-5)=0 Ce qui fait x=0 ou x-1=0 ou x+2=0 ou x-5=0 Soit x=0 ou x=1 ou x=-2 ou x=5 S={-2;0;1;5}
je comprends pas un truc. quand on passe la somme des x sous la forme (x-1)(etc...) , on n'a pas pris en compte le -7x dans le calcul de la parenthese de droite. Pourquoi ?
Cela etamt dit, et apres developpement de cette factorisation, oui, je retrouve bien la somme des x telle que precedemment. C'est juste que je ne me l'explique pas. NB : j'ai commence a travailler a l'age de 16ans (informatique) et me suis arrete en seconde 😢
Au lieu de tatonner en essayant de passer en revue les méthodes classiques évoquées, il suffit d'appliquer les méthodes directes Cardot, ...(voir sur wikipédia ou sur autres sites).
Quand vous dites qu'au dessus du degrés 2 il n'y a pas de technique qui marche tout le temps, je crois bien que jusqu'à 4 on a des théorèmes généralistes pour ça ?
C'est a partir du degré 4 pas du degré 3 qu'il n'existe pas de méthode générale de résolution. Notez que pour le degré 3 , la méthode n'est quasi pas enseignée car compliquée pour rien, vous pouvez la trouver sur internet. En effet la nature donne rarement des équations de degré 3. Bizarrement comme dans la solution de degré 2 , on fait un changement de variable pour annuler le second terme. Après , je sais pas. A partir du degré 4 , sauf cas particuliers , non seulement y'a pas de méthode mais il a été prouvé que les racines n'étaient pas faites avec des racines n iemes où n est quelconque. Il faut se dire que quand on vous balance un polynome de degré >=3 , vous devrez passer par une racine évidente pour réduire son degré. Des fois vous aurez affaire a un cube parfait. Bref , on vous donne un cas particulier qui fonctionne. Aucun prof ne vous donnera une équation au hasard du style x3-racine(34)*x2+PI*x-8=0 , là, vous pourriez y passer votre vie sans jamais trouver.
00:26 FAUX : il existe des formules générales qui permettent de résoudre toutes les équations polynômiales de degré 3 (formule de Cardan) et de degré 4 (formule de Ferrari).
Aujourd'hui je te donne 100 likes. j'adore les maths et je viens de rendre compte que j ai perdu bcp de temps sur certains exos.. je ne connassais pas cette maniere de trouver la racine de 1.... ON APPRENDS TOUS LES JOURS.
y'a une solution évidente: x = 0 on peu donc factoriser par (x - 0) une autre solution évidente x = 1 factorisation par (x - 1) on obtient (x-0)(x-1)( ax² + bx + c) qu'on sait résoudre...
Pas encore vu la vidéo. Je n'ai pas vu -2 en racine évidente. Posons f(x)=x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 10x = 0. On vérifie que 0 est racine évidente. Donc f(x) = x g(x) avec g(x) = x^3 - 4x^2 - 7x + 10 On voit aussi que x = 1 est racine évidente. Après calcul, on a g(x) = (x - 1)(x^2 - 3x -10). Si on est bon, on voit que -2 est aussi racine évidente (ce ne fut pas mon cas. Après discriminant, on arrive à f(x) = x(x - 1) (x - 5) (x + 2) Soit S = {0,1,-2,5}
En regardant la video, et en discutant généralement Math avec des collègues qui peuvent être intéressé (ce qui est rare), je me demande pourquoi le théorème fondamental de l'algèbre (dit théorème de d'Alembert-Gauss, énoncé par D'Alembert, démontré par Gauss) n'est pas plus mis en avant en général. Alors certes, pour être exact, ce théorème n'est que énoncé en classe préparatoire ou en faculté (seul théorème non démontré). J'ai eu une démonstration en Licence de Physique (que comme étant physicien, du coup, je n'ai pas compris). Donc il est démontré en Licence. Pour rappel, je suis passé avant le LMD. Mais ce théorème est important. Pour rappel, dans un polynôme de degré n> 0 (à coefficient complexe pour le coup) a au moins une racine (dans les complexe, pour le coup aussi). Ce théorème n'aide pas à trouver les racines, mais il dit qu'il y a au moins une racine. C'est un théorème d'existence. Or si j'ai un polynôme P (de degré n>1), alors il est factorisable par un polynôme Q de degré n - 1. Donc si r est racine, P(x) = (x - r).Q(x) ou Q est un polynôme de degré n-1. Mais de fait, le théorème s'applique à Q(x). Donc conséquence: un polynôme de degré n (à coefficient complexe), a n racine dans les complexes. A noter que si j'ai (x - 1)^2 comme polynôme, j'ai 2 racines, 1 et 1... soit une racine double. Ce qui m'amène une autre question. Soit un polynôme P à coefficient réel. Selon le théorème de d'Alembert, il a n racine (dans les complexes, évidement). Or, il me semble que si z est racine de ce polynôme (à coefficient réel), alors le conjugué de z est aussi solution. Or, je ne sais pas si c'est toujours vrai. Je ne sais même pas si c'est démontrable ou pas. Ni comment le démontrer. Mais si c'est vrai, un polynôme de degré n avec n impair a obligatoirement une racine réel. Cordialement.
Et bien j'avais tout faux. Après réflexion, j'avais bien vu que 0 était solution, et je m'étais dit "et voilà j'ai trouvé". 🙃 Mais, dans mon fort intérieur, me doutais bien qu'avec un polynôme de degré 4, il y en avait d'autres des racines ... Et oui. Par contre, bien que je connaisse maintenant (merci prof) la superbe équation de factorisation : P=(x-a)Q je n'ai pas su l'appliquer. HONTE SUR MOI !!! 😞 Et quand bien même, j'aurai eu des difficultés : il a fallu que je mette en pause pour bien comprendre la suite de 5:18. Et bien sûr, une fois que c'est fait, je me demande pourquoi je n'ai pas pu trouver tout seul..... 😭 De plus, je me serai arrêté à x=-2. Je n'aurai pas été plus loin.
0 est solution automatique en effet dès lors que le polynôme est sans constante au bout, ce qu'on a à résoudre est donc essentiellement de degré 3 ce qui simplifie bien des choses. Le réflexe une fois qu'on est là est de commencer par chercher une racine évidente entière de faible valeur, typiquement entre -3 et 3. Si l'exercice est bien fait (enfin, tout dépend du point de vue), il est bien improbable qu'aucun de ces six nombres ne marche (au pire on teste -4 et/ou 4). Une fois cette racine évidente identifiée, on procède à la factorisation pour extraire les deux dernières racines, pour ça on utilise soit la division euclidenne de polynômes (sans doute un peu avancé), soit l'identification des coeffs (en développant), soit comme montré en vidéo on recherche une nouvelle racine évidente, qui peut même être identique à la première (c'est alors une racine double). Pour le degré 2, on a des formules toutes faites et de problème il n'y a plus.
Remarque : on peut éviter, pour la première phase , de passer par le disque et le plan complexe ! Il suffit en effet d'écrire a²+b²a²0 donc 0< a² < 1 et on retombe sur ses pattes avec |a|
Bizzarement peut etre, cést la plus facile des equations que j ai eu a resoudre. en franchement 1 ou 2 secondes. il suffit d'oublier les x . -7-4+10 = -1. Donc x=1
Equation cubique déguisée, ayant 1 comme racine évidente. Pour le cas général voir méthode de Tartaglia (pas Cardan svp, voleur intellectuel de Tartaglia). Pour une équation de degré 4, voir méthode de Ferrari. 4 est le degré maximal de résolution analytique d'une équation polynomiale. Pb d'algèbre des polynômes pas évident à prouver... Plus terre à terre pour intéresser votre public. Vous connaissez sans doute ce joli pb de degré 4 : à quelle hauteur deux échelles de longueur 2 et 3m se croisent dans un couloir de largeur 1m ?
Vous pouvez aussi utiliser la division extensive une fois que vous avez le premier facteur. Ensuite utiliser la formule quadratique pour trouver le reste des facteurs. POV, ça donne le meme résultat.
![OhGeesy x Lefty Gunplay - What It Iz [Official Music Video]](http://i.ytimg.com/vi/L0yzW9t2ixk/mqdefault.jpg)
Si tous les professeurs de mathématiques avait ta pédagogie, ta passion et ta bonne humeur, 95% des étudiants seraient des monstres en mathématiques. Nous serions une société remplie d'ingénieur et nous aurions déjà réussi à maitriser la plupart des technologies : minage d'astéroïdes, voyages interstellaires, ordinateurs quantiques... merci de rendre les maths aussi passionnantes !
On aurait même dépassé la vitesse de la lumière à mon avis, ton prof de français ne devait pas être assez passionné et pédagogue non plus...
@@eclena5410 oh leu rat jeux !
@@eclena5410 sois gentille
@@stephane3690 Sous couvert de compliment ce commentaire ne me semble pas innocent, il laisse déjà penser que finalement, le problème serait un peu le prof de maths, pas les classes surchargés et les budgets inadaptés, non, c'est le prof de maths qui n'est pas assez pédagogue, joyeux ou passionné, ensuite pour ce qui est du paragraphe final, il s'agit juste d'une suite de spéculations sans fondement, et bon une société "remplie d'ingénieur" pour quelqu'un qui pratique les maths ce n'est pas vraiment un modèle de société souhaitable hahaha
@@eclena5410 sans ingénieurs tu serais pas là à verser ta bile de prolo sur youtube :( épargne nous tes dissonances cognitives stp
père de collégien, tonton de deux autres qui arrivent pendant la toussaint et qui auront des cours particuliers de math, merci beaucoup pour les nombreuses vidéos qui me donne du contenu et de la pédagogie. Super chaine !
On aurait pu également procéder par identification après avoir factorisé le polynôme de rang 4 par x et trouver que 1 est solution du polynôme de rang 3. En procédant par identification pour factoriser le polynôme de rang 3 on poserait alors:
(x-1)(ax²+bx+c) = x3-4x²-7x+10
En développant le premier membre on trouverait ax3+(b-a)x²+(c-b)x-c = x3-4x²-7x+10 et du coup par identification:
a=1
b-a = -4
c-b = -7
et -c = 10
soit a=1; b=-3 et c=-10
Ce qui ramènerait à écrire (x-1)(x²-3x-10); il ne resterait qu'à factoriser x²-3x-10 et pour cela on utiliserait le discriminant Delta = (-3)² - 4 (1)(-10) ce qui donne 49 carré de 7 et comme delta est positif on a deux solutions -2 et 5
Du coup on a définitivement x(x-1)(x+2)(x-5)=0 soit 4 solutions: -2; 0; 1; 5
CQFD
c'est ce que j'ai fait aussi x)
Franchement , j'aime beaucoup vos explications prof et vous m'inspirez bcp au-travers de vos explications et votre méthodologie d'enseigner
Où étais tu quand j'étais en terminale..Bravo pour tes vidéos. Excellente pédagogie, tout parait si simple. Ca c'est les bons côtés de youtube et du progrès.
"Où étais tu quand j'étais en terminale ?" peut-être en terminale également ? 🙂
Sincèrement avec vous je comprends bien la mathématiques grâce à vos explications claires. Je suis presque chaque jour prof. Que Dieu vous bénisse richement
Merci pour ce message 😊
Meilleur prof vraiment 🙏
Incroyable j ai refait l équation et je constate que vos methodes de factorisation sont différentes de celles au Sénégal
Voilà depuis le temps que j'attendais que tu fasses des équations avec des puissances impair
Wallah tu es le best ❤
J'adore! non seulement les exos, mais le dynamisme sans égal du professeur 👍
Je suis fan ! Ça me permet d'aider mes enfants. Merci à vous.
Incroyable comme vous enseignez
super bien expliqué, merci. Quel pédagogue !
🎉🎉 c'est incroyable
Merci !!
J'aime beaucoup cette série de vidéo.
Il y a un bail que j'attendais que tu fasses des équations avec des puissances impaires
Merci mille fois j'étais très nul dans les mathématiques mais maintenant je suis la meilleure dans ma classe ❤
palala c bg de fou j'aime trop les maths des quand je comprends, très bien expliqué en plus. Perso je pense qu'on pouvait direct voir les 2 racines évidentes à la fin (5 et -2) puisque j'ai moi même d'abord pensé à 5 avant de voir le -2
très bonne vidéo comme d'hab!
Géniale cette résolution basée sur l'exploitation de plusieurs outils et propriétés
Bonjour , merci pour cette superbe vidéo .
J'ai question concernant le 7x² . J'ai l'impression qu'il a été oublié dans le résultat final ,non ?
J'ai peut être loupé quelque chose, si quelqu'un peut m'éclairer.
Merci d'avance
Moi aussi j'ai buggé mais, la propriété est là pour une raison. Vu que factoriser en (x-a) est possible, il a cherché en commençant par les termes simple (x^2, et 10). Tu aurais pu très bien retrouver le résultat de la factorisation en commençant par 7x -> faut aimer se faire mal dans ce cas
merci pour cette video et il y aurait pas un numero de la chaine pour faire des appel video et tout pour nous ameliorer encor plus
C’est un super polynôme à tracer en découvrant les max/min en première dérivée, les points d’inflexion et la convexité en deuxième dérivée.
C trés clair mec 👍🏼👍🏼
vous etes le meilleur prof 👌👌
Après avoir factoriser comment résoudre P(x+4)pour un autre équation . merci beaucoup à vous ❤
Pour la première racine, on peut également le voir ainsi : s'il y a x dans tous les termes, 0 est une racine évidente.
Ce super la façon d'enseigner bravo à toi mon pote je me rappelle quand j'étais en classe de troisième secondaire et début seconde .
Merci bcp. Telement excelent
Et le -7x il a disparu? Merci de votre réponse :)
excellent, super génial, bravo, merci
C'est formidable!
Vous êtes exceptionnel je vous dit
juste une question et le - 7x j'en fais quoi ?il me manque un chiffre si (x-1) (x²-3x-10) il manque une constante dans la factorisation ? cest juste une question sauf si je me trompes
Toujours aussi interressant de vous suivre, mais une vidéo 2 biceps avec des commentaires/explications 3 bisounours (comme souvent d'ailleurs ) :-) :-) Merci professeur 🥰
Salut, j'aime bien l'approche. Sauf erreur de ma part, je constate qu'il y a le terme en x de l'équation du degré 3 qui est oublié. Merci de m'éclairer
effectivement, il manque une précision concernant le -7x
Est ce que cette technique marche pour tous polynômes?
J'ai réussi à le faire sans passer par delta. Que des racines évidentes. bien joué prof !
Tu enseignes dans quel établissement? Je m'y inscris tout de suite! 🙃
Et oui... ça manque pas d'idées... Merci... et... toujours BRAVO !
Il y a 1 et 0 comme racine évidente, on factorise donc par x et par (x-1). On se retrouve avec un second degré. Un coup de Δ et le tour est joué.
Bonjour, est ce que l'équation aurait pu être résolue si on ne trouvait pas de solutions évidentes au tout début ?
Merci
Pas de cette manière en tout cas, nous n'aurions pas pu favorisé.
On voit que a+b+c+d= 1-4-7+10=0
Donc x1=1
et hop on descend au 3° degré en factorisant (x-1)
Un peu de gymnastique (pour le fun) :
#1) Séparez les termes en fonction de x :
x⁴ - 4x³ - 7x² + 10x = 0
peut être réécrite sous la forme x⁴ - 4x³ + 0 - 7x² + 10x + 0 = 0.
#2) Regroupez les termes en fonction de x :
x⁴ - 4x³ - 7x² + 10x = 0
peut être réécrite sous la forme x⁴ - (4x³ - 7x²) + 10x = 0.
#3) Utilisez la factorisation par différence de carrés pour factoriser le terme en crochets :
4x³ - 7x² = (2x³)² - (3x²)²
= (2x³ - 3x²)(2x³ + 3x²)
#4) Remplacez le terme en crochets par sa factorisation :
x⁴ - (4x³ - 7x²) + 10x = 0
peut être réécrite sous la forme x⁴ - (2x³ - 3x²)(2x³ + 3x²) + 10x = 0.
#5) Utilisez la factorisation par ajout et retrait de termes similaires pour factoriser l'expression :
x⁴ - (2x³ - 3x²)(2x³ + 3x²) + 10x
= (x⁴ - (2x³ + 3x²) + 10x) + (2x³ - 3x²)(2x³ + 3x²)
= (x⁴ - 10x + 2x³ + 3x²) + (2x³ - 3x²)(2x³ + 3x²)
= (x² - 2x + 1)(x² + 2x + 1) + (2x³ - 3x²)(2x³ + 3x²)
#6) Regroupez les termes en fonction de x :
(x² - 2x + 1)(x² + 2x + 1) + (2x³ - 3x²)(2x³ + 3x²)
= (x² - 2x + 1)(x² + 2x + 1) + (4x³ - 6x²)(x² + 2x + 1)
= (x² - 2x + 1)((x² + 2x + 1) + (4x³ - 6x²))
#7) Utilisez la factorisation par ajout et retrait de termes similaires pour factoriser l'expression :
(x² - 2x + 1)((x² + 2x + 1) + (4x³ - 6x²))
= (x² - 2x + 1)(x² + 6x³ + x² - 2x + 1)
= (x² - 2x + 1)(2x² + 6x³ - 2x + 1)
#8) Utilisez la factorisation par ajout et retrait de termes similaires pour factoriser l'expression :
(x² - 2x + 1)(2x² + 6x³ - 2x + 1)
= (x² - 2x + 1)(2x² - 2x + 1) + (6x³)(2x² + 6x³ - 2x + 1)
= (x² - 2x + 1)(2x² - 2x + 1) + (6x³)(2x² - 2x + 1) + (6x³)(6x³)
= (x² - 2x + 1)(2x² - 2x + 1 + 6x³) + (6x³)(6x³)
= (x - 1)²(2x² + 6x³ + x + 1) + (6x³)²
#9) Utilisez la factorisation par différence de carrés pour factoriser le terme en crochets :
2x² + 6x³ + x + 1
= (x + 1)² + 6x³
= (x + 1)² + 3x³ + 3x³
= (x + 1)² + (3x³ + 3x³)
= (x + 1)² + 2(3x³)
= (x + 1)² + 6x³
#10) Remplacez le terme en crochets par sa factorisation :
(x - 1)²(2x² + 6x³ + x + 1) + (6x³)²
= (x - 1)²((x + 1)² + 6x³) + (6x³)²
= (x - 1)²(x + 1)² + (x - 1)²(6x³) + (6x³)²
= (x - 1)²(x + 1)² + 6x³(x - 1)² + (6x³)²
#11) Regroupez les termes en fonction de x³ :
(x - 1)²(x + 1)² + 6x³(x - 1)² + (6x³)²
= (x³ - 6x³ + 36x³) + (x - 1)²(x + 1)²
= 36x³ + (x - 1)²(x + 1)²
#12) Regroupez les termes en fonction de x :
36x³ + (x - 1)²(x + 1)²
= (36x³ + (x - 1)²) + (x - 1)²
= (36x³ + x² - 2x + 1) + (x - 1)²
#13) Regroupez les termes en fonction de x² :
(36x³ + x² - 2x + 1) + (x - 1)²
= (x² - 2x + 1) + (36x³ + (x - 1)²)
#14) Regroupez les termes en fonction de x³ :
(x² - 2x + 1) + (36x³ + (x - 1)²)
= (x² - 2x + 1) + 36x³ + (x - 1)²
#15) Regroupez les termes en fonction de (x - 1)² :
(x² - 2x + 1) + 36x³ + (x - 1)²
= (x - 1)² + (x² - 2x + 1) + 36x³
#16) Regroupez les termes en fonction de x² :
(x - 1)² + (x² - 2x + 1) + 36x³
= (x² - 2x + 1) + (x - 1)² + 36x³
#17) Regroupez les termes en fonction de x³ :
(x² - 2x + 1) + (x - 1)² + 36x³
= (x - 1)² + 36x³ + (x² - 2x + 1)
#18) Regroupez les termes en fonction de x :
(x - 1)² + 36x³ + (x² - 2x + 1)
= 36x³ + (x² - 2x + 1) + (x - 1)²
L'équation x⁴ - 4x³ - 7x² + 10x = 0 peut maintenant être réécrite sous la forme :
36x³ + (x² - 2x + 1) + (x - 1)² = 0
Cette équation peut être factorisée sous la forme :
(6x³ + x² - 2x + 1)(6 + x - 1) = 0
Il y a donc deux solutions possibles pour x : x = -1 ou x = -6/5.
Très bonne vidéo
Bonjour , j'ai un problème de mathématiques qui me tracasse, je veux avoir le résultat , la formule ou bien la forme simplifié de la somme d'une suite d'un même variable a exposants décroissant et a coefficient croissant ex:
X^n + 2X^n-1 + 3X^n-2+..............+nX
Pourriez-vous m'aider svp ????
Ta somme a pour expression "compacte" : sigma(pour i allant de 1 à n) de (n-k+1)*x^k. Ce terme indexé (n-k+1)*(x^k) est égal à
n*(x^k) - (k+1)*(x^k).
Tu utilises la propriété de linéarité du sigma pour séparer cette expression en une différence de deux sigma :
-> le 1er a pour expression n*(x^k), tu sors le facteur n du sigma (tu peux le faire car il ne dépend pas de l'indice de sommation k), tu as alors n*(sigma de x^k). C'est une somme géométrique que tu peux simplifier avec la formule usuelle (attention aux bornes de l'indice de sommation !) ;
-> le 2ème sigma a pour expression (k+1)*(x^k) : c'est une somme "géométrique dérivée", la dérivée de sigma de x^(k+1) (pour le visualiser tu dérives avec la linéarité de la sommation et la formule de dérivation des puissances et tu retrouves bien sigma de (k+1)*(x^k) : il faut donc établir la formule simplifiée de la somme géométrique correspondante à cette "somme dérivée" et dériver cette formule simplifiée pour trouver celle de la somme dérivée. Il y a tout un travail à faire au niveau des bornes de l'indice de sommation pour qu'il corresponde bien avec la puissance k dans le terme, il faut faire un changement d'indice, voire retirer/ajouter un terme dans la somme (en l'ajoutant/retranchant hors de la somme pour compenser) pour être conforme avec la formule de somme géométrique.
Au final tu fais la formule simplifiée du 1er sigma moins celle de la 2ème et t'as le résultat !
Comment faire lorsqu’il y a un coefficient constant ?
+2×(-5)=-10
Excellente question à la fin de la vidéo qui est tout autant excellente : pourquoi une équation de degré 4 ne peut avoir que 4 solutions ? Je n’ai aucun souvenir d’avoir traité cette propriété des polynômes en TS spé Maths (promo 2005). Alors je dis OUI à un épisode de démonstration 🤩
Parce-que si a est racine du polynôme, vous pouvez factoriser par (x-a). Or si vous avez plus de 4 solutions (disons 5 pour l'exemple), ça veut dire que vous pouvez factoriser par 5 monômes de degré 1. En redeveloppant vous obtenez alors un polynôme de degré 5. Contradiction. CQFD.
@@mikelenain" Parce-que si a est racine du polynôme, vous pouvez factoriser par (x-a)".. ben c'est justement ça qu'il faut démontrer, ce que vous dites c'est juste que vous démontrez que 4=4 parce que 2=2. Le théorème invoqué s'appelle en fait le "grand théorème de l'algèbre" ou selon le cas, "le théorème fondamental de l'algèbre", sa démonstration très ardue, n'est pas au programme de lycée. Cordialement.
@@michelbernard9092 ce n'est pas ainsi que j'avais compris sa question. Effectivement le grand théorème de l'algèbre n'est pas si simple à démontrer.
@@michelbernard9092 Ça tombe bien, y'a justement eu une vidéo qui le démontrait y'a quelques jours, basée sur la division.
f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
4 facteurs donc degré 4 et donc 4 solutions (le mot racine embrouille les élèves)
Super super super
Merci merci merci
Pourquoi tu fais le dommage scolatéral et non la division de polynômes
Au début fallait que tu factorisait x^4-4x^3-7x^2+10x
Puis il fallait que tu résolve la factorisation=0
Soit x(x-1)(x+2)(x-5)=0
Ce qui fait
x=0 ou x-1=0 ou x+2=0 ou x-5=0
Soit
x=0 ou x=1 ou x=-2 ou x=5
S={-2;0;1;5}
Vous pouvez nous faire des exercice de logique difficile
je comprends pas un truc.
quand on passe la somme des x sous la forme (x-1)(etc...) , on n'a pas pris en compte le -7x dans le calcul de la parenthese de droite.
Pourquoi ?
Cela etamt dit, et apres developpement de cette factorisation, oui, je retrouve bien la somme des x telle que precedemment.
C'est juste que je ne me l'explique pas.
NB : j'ai commence a travailler a l'age de 16ans (informatique) et me suis arrete en seconde 😢
Bonjour
Merci de cette vidéo
Vous avez cependant oublié le -7x à 5:50
Effectivement j’arrivais pas à comprendre cette étape. 😊😊😊
merci
Au lieu de tatonner en essayant de passer en revue les méthodes classiques évoquées, il suffit d'appliquer les méthodes directes Cardot, ...(voir sur wikipédia ou sur autres sites).
parfait, le jour où j'ai un DM
merci
Vous êtes un vrai chef ! (PS : j'ai 70 ans et j'ai l'impression de rajeunir de 55 ans...)
Ça fait très plaisir à lire ça 😍
Equation du 4ème degré quel bail
Ça m'a plu :-)
Quand vous dites qu'au dessus du degrés 2 il n'y a pas de technique qui marche tout le temps, je crois bien que jusqu'à 4 on a des théorèmes généralistes pour ça ?
C'est a partir du degré 4 pas du degré 3 qu'il n'existe pas de méthode générale de résolution.
Notez que pour le degré 3 , la méthode n'est quasi pas enseignée car compliquée pour rien, vous pouvez la trouver sur internet.
En effet la nature donne rarement des équations de degré 3.
Bizarrement comme dans la solution de degré 2 , on fait un changement de variable pour annuler le second terme.
Après , je sais pas.
A partir du degré 4 , sauf cas particuliers , non seulement y'a pas de méthode mais il a été prouvé que les racines n'étaient pas faites avec des racines n iemes où n est quelconque.
Il faut se dire que quand on vous balance un polynome de degré >=3 , vous devrez passer par une racine évidente pour réduire son degré. Des fois vous aurez affaire a un cube parfait. Bref , on vous donne un cas particulier qui fonctionne.
Aucun prof ne vous donnera une équation au hasard du style x3-racine(34)*x2+PI*x-8=0 , là, vous pourriez y passer votre vie sans jamais trouver.
Je suis un peu perdu à 6:18. On ne compense pas pour le -7x ?
Mais si on n'a pas partout x et on n'a pas une racine évidant comme on résoudre cette équation par exemple 3x⁴-15x²+6x+2=0
Vous êtes vraiment pédagogue
Déjà 0 est racine
L'équation à résoudre est ramenée à
x³ - 4x² - 7x + 10 = 0
1 est une deuxième racine (1 - 4 - 7 + 10 = 0)
(x³ - 4x² - 7x + 10) / (x - 1) = x² - 3x - 10
delta = (-3)² - 4 × 1 × (-10) = 9 + 40 = 49 = 7²
x1 = (-(-3) - 7)/2 = -2
x2 = (-(-3) + 7)/2 = 5
f(x) = x⁴ - 4x³ - 7x² + 10x = x(x - 1)(x + 2)(x - 5)
f(0) = 0 - 0 - 0 + 0 = 0
f(1) = 1 - 4 - 7 + 10 = 0
f(-2) = (-2)⁴ - 4(-2)³ - 7(-2)² + 10(-2) = 16 + 32 - 28 - 20 = 0
f(5) = (5)⁴ - 4(5)³ - 7(5)² + 10(5) = 625 - 500 - 175 + 50 =0
S = { -2 ; 0 ; 1 ; 5 }
00:26 FAUX : il existe des formules générales qui permettent de résoudre toutes les équations polynômiales de degré 3 (formule de Cardan) et de degré 4 (formule de Ferrari).
On factorise par x et on résoud avec la méthode de cardan le polynome de degré 3 en facteur
Aujourd'hui je te donne 100 likes. j'adore les maths et je viens de rendre compte que j ai perdu bcp de temps sur certains exos.. je ne connassais pas cette maniere de trouver la racine de 1.... ON APPRENDS TOUS LES JOURS.
Même le plus peut comprendre vos explications !
Même le plus nul
y'a une solution évidente: x = 0 on peu donc factoriser par (x - 0) une autre solution évidente x = 1 factorisation par (x - 1) on obtient (x-0)(x-1)( ax² + bx + c) qu'on sait résoudre...
Bravo
Suis ton fan numéro 1
😊😊
S'ils m'ont expliqué à l'époque pourquoi on apprend çà .
Dans la vraie vie, physique, chimie, astronomie..
0,1,5, et −2
0:50 bon cette fois c’est confirmé, tu as le X factor.
J allais aimé le math si je t avais connu avant c est mn plus grand regret sinon je me rattrape avec toi😊
J'ai fait exactement pareil 😉
Pas encore vu la vidéo.
Je n'ai pas vu -2 en racine évidente.
Posons f(x)=x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 10x = 0.
On vérifie que 0 est racine évidente.
Donc f(x) = x g(x) avec g(x) = x^3 - 4x^2 - 7x + 10
On voit aussi que x = 1 est racine évidente.
Après calcul, on a g(x) = (x - 1)(x^2 - 3x -10).
Si on est bon, on voit que -2 est aussi racine évidente (ce ne fut pas mon cas.
Après discriminant, on arrive à f(x) = x(x - 1) (x - 5) (x + 2)
Soit S = {0,1,-2,5}
En regardant la video, et en discutant généralement Math avec des collègues qui peuvent être intéressé (ce qui est rare), je me demande pourquoi le théorème fondamental de l'algèbre (dit théorème de d'Alembert-Gauss, énoncé par D'Alembert, démontré par Gauss) n'est pas plus mis en avant en général.
Alors certes, pour être exact, ce théorème n'est que énoncé en classe préparatoire ou en faculté (seul théorème non démontré).
J'ai eu une démonstration en Licence de Physique (que comme étant physicien, du coup, je n'ai pas compris). Donc il est démontré en Licence.
Pour rappel, je suis passé avant le LMD.
Mais ce théorème est important.
Pour rappel, dans un polynôme de degré n> 0 (à coefficient complexe pour le coup) a au moins une racine (dans les complexe, pour le coup aussi).
Ce théorème n'aide pas à trouver les racines, mais il dit qu'il y a au moins une racine. C'est un théorème d'existence.
Or si j'ai un polynôme P (de degré n>1), alors il est factorisable par un polynôme Q de degré n - 1. Donc si r est racine, P(x) = (x - r).Q(x) ou Q est un polynôme de degré n-1.
Mais de fait, le théorème s'applique à Q(x).
Donc conséquence: un polynôme de degré n (à coefficient complexe), a n racine dans les complexes.
A noter que si j'ai (x - 1)^2 comme polynôme, j'ai 2 racines, 1 et 1... soit une racine double.
Ce qui m'amène une autre question.
Soit un polynôme P à coefficient réel.
Selon le théorème de d'Alembert, il a n racine (dans les complexes, évidement).
Or, il me semble que si z est racine de ce polynôme (à coefficient réel), alors le conjugué de z est aussi solution.
Or, je ne sais pas si c'est toujours vrai.
Je ne sais même pas si c'est démontrable ou pas. Ni comment le démontrer.
Mais si c'est vrai, un polynôme de degré n avec n impair a obligatoirement une racine réel.
Cordialement.
Et bien j'avais tout faux.
Après réflexion, j'avais bien vu que 0 était solution, et je m'étais dit "et voilà j'ai trouvé". 🙃
Mais, dans mon fort intérieur, me doutais bien qu'avec un polynôme de degré 4, il y en avait d'autres des racines ...
Et oui.
Par contre, bien que je connaisse maintenant (merci prof) la superbe équation de factorisation :
P=(x-a)Q
je n'ai pas su l'appliquer. HONTE SUR MOI !!! 😞
Et quand bien même, j'aurai eu des difficultés : il a fallu que je mette en pause pour bien comprendre la suite de 5:18.
Et bien sûr, une fois que c'est fait, je me demande pourquoi je n'ai pas pu trouver tout seul..... 😭
De plus, je me serai arrêté à x=-2. Je n'aurai pas été plus loin.
0 est solution automatique en effet dès lors que le polynôme est sans constante au bout, ce qu'on a à résoudre est donc essentiellement de degré 3 ce qui simplifie bien des choses. Le réflexe une fois qu'on est là est de commencer par chercher une racine évidente entière de faible valeur, typiquement entre -3 et 3. Si l'exercice est bien fait (enfin, tout dépend du point de vue), il est bien improbable qu'aucun de ces six nombres ne marche (au pire on teste -4 et/ou 4). Une fois cette racine évidente identifiée, on procède à la factorisation pour extraire les deux dernières racines, pour ça on utilise soit la division euclidenne de polynômes (sans doute un peu avancé), soit l'identification des coeffs (en développant), soit comme montré en vidéo on recherche une nouvelle racine évidente, qui peut même être identique à la première (c'est alors une racine double). Pour le degré 2, on a des formules toutes faites et de problème il n'y a plus.
salut pouvez vous m'aider à démontrer cette implication a³+b³
soit A(a,b) dans le plan : z=a+ib et |z[²=a²+b²
Remarque : on peut éviter, pour la première phase , de passer par le disque et le plan complexe ! Il suffit en effet d'écrire a²+b²a²0 donc 0< a² < 1 et on retombe sur ses pattes avec |a|
Vous etes étudiante à quel niveau?
Il faut tout simplement développer (a+b)^3
@@michelbernard9092 mais j'ai a³+b³ non pas a²+b²
Franchement je voulais être votre élève
factorisre x⁶-x⁴-x²+1 ?
x (x^3 - 4x² - 7x + 10) = 0
=> x (x^3 - 4x² - 7x + 10) = 0
=> x (x-1)(x² - 3x - 10) = 0
=> x (x-1)(x+2)(x-5) = 0
x = {0 ; 1 ; -2 ; 5}
Bizzarement peut etre, cést la plus facile des equations que j ai eu a resoudre. en franchement 1 ou 2 secondes. il suffit d'oublier les x . -7-4+10 = -1. Donc x=1
Perso, j'ai trouvé la 1 d'abord. Puis la 5, puis la 0 et enfin le reste (-2)
Il me semblait que les méthodes Cardan et Ferro fonctionnaient systématiquement 😱
Equation cubique déguisée, ayant 1 comme racine évidente. Pour le cas général voir méthode de Tartaglia (pas Cardan svp, voleur intellectuel de Tartaglia).
Pour une équation de degré 4, voir méthode de Ferrari. 4 est le degré maximal de résolution analytique d'une équation polynomiale. Pb d'algèbre des polynômes pas évident à prouver...
Plus terre à terre pour intéresser votre public. Vous connaissez sans doute ce joli pb de degré 4 : à quelle hauteur deux échelles de longueur 2 et 3m se croisent dans un couloir de largeur 1m ?
Bon, moi je suis parti sur un changement de variable.
X=x² mais sans trop y croire.
Effectivement je ne suis arrivé à rien..... je regarde a vidéo.
Je n'ai rien compris parce que je suis un âne vecteur de 7 ! 😒 Pourtant, le professeur est passionné, il a des mérites.
Exemple un peu simple ...
A retenir : si la somme des coef. =0 alors une racine évidente x= 1
Bonjour peux-tu faire des exercices à un niveau plus élevé s’il te plaît ? C’est lassant les équations et fractions à un moment.
Cordialement,
x = 1 ?
Dans une autre vie vous aurez été un super héro 🦸
déjà sans réfléchir je vois 2 solutions : x = 0 et x = 1. bon maintenant je vais réfléchir ....
Ou alors on fait la division ecludienne
Vous pouvez aussi utiliser la division extensive une fois que vous avez le premier facteur. Ensuite utiliser la formule quadratique pour trouver le reste des facteurs. POV, ça donne le meme résultat.
Avec un polynôme de degré 3 j’utiliserais horner ça va plus vite. Et après j’utiliserais le discriminant.
Moi je suis en seconde et jme demandais si dire que x égale a 0 ça marche 😂😅
Ben X = 0, pas compliqué 😁 (je suis loin).