Il numero di Eulero: cos'è in concreto. ruclips.net/video/O5lHVxzEFVc/видео.html Cosa sono le derivate, capiamolo veramente! ruclips.net/video/f5c0WaPbNUE/видео.html
Non ti seguo da molto (ti do del tu perché potresti essere mio figlio 🤗), ma ormai ho visto un bel numero di tuoi interventi e li ho trovati tutti molto ben fatti: linguaggio rigoroso, ma non oscuro, né pedante, attenzione ai dettagli, richiamo a concetti fondamentali, molto utile per una piena comprensione. Sono laureato in matematica e quindi parlo con cognizione di causa. Bravo, vai avanti così 👏👏👏
Signor Professore Matematico Pattaro : Grazie di esistere ! Non trovo le parole….Le vostre dimostrazioni sono così limpide e esatte che rendete la matematica affascinante rendendomi un pochino meno ignorante !
Ogni tanto rinfresco le basi delle 2 lauree econnomico-scientifiche che dovrei avere....ma l'ignoranza di ritorno è sempre in agguato e quindi qualche magnifica passeggiata in questi video rigorosi e mai saccenti semmai molto appetitosi sono sempre un balsamo rivitalizzante! A me queste cose servono come ansiolitico.....insieme allo sport. Quando il cervello sta impegnato in capriole di precisione.....finisce di rovinare la vita alla persona che lo porta a spasso e dovrebbe usarlo di più.....parlo di me stessa. Grazie!!!
Ciao Valerio, video molto bello! Hai un po' semplificato quando dal minuto 8:48 in poi hai usato la posizione t=1/k: a quel punto per fare le cose in maniera più pulita andava separato il caso t->0+ dal caso t->0-. Unico piccolo difetto di un video molto ben fatto e ben strutturato
Mi è piaciuto perché: 1) perché si fa vedere concretamente cosa significhi l"uguaglianza ossia la funzione derivata assume gli stessi valori della funzione (e questo è a mio avviso nella chiara direzione di togliere mnemonicita') 2) bella componente di sostituzione delle variabili nel calcolo dei lim, ma con attenzione (può capitare di trascurare questo aspetto entrando in un automatismo sbagliato) a cosa tenda la variabile 3) limiti notevoli (ovvero primo grado sviluppo di Taylor) quindi una sorta di prima modalità di risolvere i limiti Insomma un bel ripassone, ma ben ragionato, sui lim Complimenti 👏
Io 2 mesi fa ho provato a fare la stessa dimostrazione ma diversamente, praticamente, siccome ogni funzione può essere scritta come sviluppo in serie di una successione ho posto: f(x)=f'(x), così facendo ho imposto tre cose che a(n)=(a(n+1))' così, ci sono due funzioni che soddisfano questa condizione: f(x)=0, e una funzione che abbia questo sviluppo qua: 0+1+x+x²/2+x³/6+.......+x^n/n! Che è proprio lo sviluppo di e^x, solo che alle superiori non si trattano gli sviluppi in serie perciò come dimostrazione non va tanto bene, la tua è migliore
Io per l'ennesima volta sono senza parole. Il video più bello del canale rimane quello che dimostra 0!=1 e che accenna ai fattoriali con i numeri non interi (per chi non l'ha visto cercatelo!!!), ma anche questo è da podio. Grazie grazie grazie.
Buongiorno e innanzitutto complimenti per quedto canale che rappresenta senz'altro una risorsa utile per ogni studente. Nulla da ridire sulla correttezza del procedimento seguito, che ha anche il pregio di presentare alcuni limiti notevoli, mi sembra però che il motivo per cui la derivata della funzione y=e^x coincida con la funzione stessa resti un po' nascosto sotto ai tecnicismi impiegati, quando è invece possibile ricondurre, con breve riflessione, la ragione di ciò direttamente alla definizione di e come limite di (1+1/N)^N. Propongo qui un approccio diverso, un po' meno formale e più discorsivo, ma che credo faccia ben capire cosa ci sia dietro a questa sorprendente coincidenza della funzione con la sua derivata. Cominciamo col notare che ogni potenza y=a^x cresce proporzionalmente al suo valore. Lei in effetti ha già fatto vedere questo per y=e^x. Per ogni valore di x l'incremento da x a x+h è dato da Dy=a^(x+h)-a^x=a^x(a^h-1) (D sta per il simbolo "delta"). L'incremento è proporzionale ad a^x cioè al valore della funzione. Quanto più grande è la funzione tanto più grande è il suo incremento e quindi la sua velocità d'incremento Dy/Dx e quindi la sua derivata. Possiamo anche dire che a parità d'intervallo h, per la potenza y=a^x è costante l'incremento relativo, o l'incremento percentuale, ossia la funzione y=a^x s'incrementa sempre dello stesso fattore, ad esempio del 10%, sullo stesso intervallo h. Abbiamo infatti "incremento relativo" = "incremento totale / valore iniziale" = Dy/yo = Dy/a^x = (a^h-1), che è costante in ogni punto x. La velocità di accrescimento relativo, o rapporto di accrescimento relativo, sarà poi (a^h-1)/h, si tratta di una velocità media calcolata sull'intervallo h, per trovare la velocità istantane dobbiamo far tendere h a 0. Ora possiamo chiederci per quale potenza la velocità di accrescimento relativo istantanea è 1. Come intervallo h scegliamo un N-esimo dell'intervallo unitario h=1/N e imponiamo (a^1/N-1)/(1/N)=1 da cui si ottiene a=(1+1/N)^N che passando al limite ci porta alla definizione di e. Abbiamo cioè trovato che per e^x la velocità di accrescimento relativo è pari a 1. Questo significa che la funzione ha un rapporto di crescita, cioè una derivata, pari al valore assunto dalla funzione, infatti per una funzione y=f(x), l'acrescimento può essere linearizzato con il differenziale dy=f'dx e l'accrescimento relativo con il differenziale dy/f = (f'/f)dx e il rapporto di accrescimento relativo, cioè la velocità di accrescimento relativo sarà (dy/f)/dx=f'/f e quando questa vale 1 si ha f'=f, dunque la derivata di e^x è pari alla funzione stessa perché e può essere definito come la base per la quale la potenza e^x è la funzione che ha rapporto di crescita relativo unitario. Si possono trovare numerosi esempi per illustrare tutto questo, uno che a me piace è l'esempio di una valanga che più è grande più velocemente s'ingrossa, se ad esempio diciamo che la valanga raddoppia di volume ogni M metri percorsi potremo scrivere che il suo volume evolve come V=Vo*2^x con x=m/M dove Vo è il volume iniziale e m sono i metri percorsi. Potremo chiederci per quale fattore moltiplicativo di accrescimento a su M metri una valanga il cui volume evolva come V=Vo*a^x cresce con una velocità istantanea numericamente uguale al volume stesso, ossia cresca con rapporto di crescita relativo istantaneo unitario? I conti precedenti ci mostrano che ciò avviene per a=e.
Manca un passaggio concettuale importante a 9:33 a mio parere - giustificare perché il limite si può portare "dentro" al logaritmo. Ovvero lim ln (...) = ln ( lim (...) ) = ln (e) = 1
Il numero “e” è molto affascinante per questo. In generale, partendo dalla derivata di una funzione esponenziale f(x)=n^x => f’(x)=n^x*C, dove C è una costante che, guarda un po’, è C=ln(n). Quindi per n=e, segue la proprietà dimostrata nel video. C’è un bel video del canale “blackpenredpen” su questa cosa.
Scusi, potrebbe fare un video sulla nuova dimostrazione (ce ne sono a decine, benché la scuola ne insegni solo una ...) del Teorema di Pitagora delle due ragazze Afroamericane ? Una cosa, però, non la capisco : perché dicono che mancava la dimostrazione trigonometrica ? ... Il Teorema di Pitagora è notoriamente un caso particolare con Cos. 90° = 0 del Teorema di Carnot , giusto ?
Sono curioso, ma come mai usare il commento in evidenza per i collegamenti agli altri video invece che usare l'apposita descrizione del video? È legittimo pensare che la semantica del commento in evidenza sia qualcosa di utile comparso nei commenti dopo l'uscita del video,
“L’episodio dei simpson di questa sera è stato offerto dal simbolo umlaut, e dal numero e, non dalla lettera e, ma dal numero, la cui funzione esponenziale è il derivato di se stesso.”
Perchè complicarsi la vita con limiti ? basta dire: y=e exp x, logy=loge expx, quindi logy=x*loge, quindi logy=x. passando alle derivate: 1/y*y' =1, per cui y'=y, cioè eexpx. fine
@@ValerioPattaro E se non so che derivata ha, come faccio ? del resto si da per scontato che esistano le derivate, se no, il quesito sarebbe sbagliato .
@@ValerioPattaro In tal caso si deve dire: calcolo il limite del rapporto incrementale, il cui risultato io lo chiamerò dervata.Infatti derivare significa originare da. Prima del risultato del limite, la derivata NON esiste, almeno in lingua italiana. Saluti.
![KSI - Thick Of It (feat. Trippie Redd) [Official Music Video]](http://i.ytimg.com/vi/At8v_Yc044Y/mqdefault.jpg)
![Tee Grizzley - Robbery 8 [Official Video]](http://i.ytimg.com/vi/34_vkNV6wrU/mqdefault.jpg)
Il numero di Eulero: cos'è in concreto. ruclips.net/video/O5lHVxzEFVc/видео.html
Cosa sono le derivate, capiamolo veramente! ruclips.net/video/f5c0WaPbNUE/видео.html
❤❤❤❤ 🎉🎉🎉🎉
Non ti seguo da molto (ti do del tu perché potresti essere mio figlio 🤗), ma ormai ho visto un bel numero di tuoi interventi e li ho trovati tutti molto ben fatti: linguaggio rigoroso, ma non oscuro, né pedante, attenzione ai dettagli, richiamo a concetti fondamentali, molto utile per una piena comprensione. Sono laureato in matematica e quindi parlo con cognizione di causa. Bravo, vai avanti così 👏👏👏
Grazie mille Enrico
Complimenti per l'ottimo lavoro Valerio, dai che manca poco ai 100.000 iscritti!
Grazie Elia, ho iniziato a fare i video nella pandemia e tu mi sei stato di ispirazione.
Signor Professore Matematico Pattaro : Grazie di esistere !
Non trovo le parole….Le vostre dimostrazioni sono così limpide e esatte che rendete la matematica affascinante rendendomi un pochino meno ignorante !
Che chiarezza nello spiegare complimenti!
Fantastico. Non potevi essere più chiaro!
Sempre molto interessante. Grazie ♾️ per il tuo lavoro su questo canale. Un altro argomento da copiare nei miei appunti sui tuoi video.
Ogni tanto rinfresco le basi delle 2 lauree econnomico-scientifiche che dovrei avere....ma l'ignoranza di ritorno è sempre in agguato e quindi qualche magnifica passeggiata in questi video rigorosi e mai saccenti semmai molto appetitosi sono sempre un balsamo rivitalizzante! A me queste cose servono come ansiolitico.....insieme allo sport. Quando il cervello sta impegnato in capriole di precisione.....finisce di rovinare la vita alla persona che lo porta a spasso e dovrebbe usarlo di più.....parlo di me stessa. Grazie!!!
Ciao! Interessante, come sempre... 👍
Ciao Valerio, video molto bello! Hai un po' semplificato quando dal minuto 8:48 in poi hai usato la posizione t=1/k: a quel punto per fare le cose in maniera più pulita andava separato il caso t->0+ dal caso t->0-. Unico piccolo difetto di un video molto ben fatto e ben strutturato
Mi è piaciuto perché:
1) perché si fa vedere concretamente cosa significhi l"uguaglianza ossia la funzione derivata assume gli stessi valori della funzione (e questo è a mio avviso nella chiara direzione di togliere mnemonicita')
2) bella componente di sostituzione delle variabili nel calcolo dei lim, ma con attenzione (può capitare di trascurare questo aspetto entrando in un automatismo sbagliato) a cosa tenda la variabile
3) limiti notevoli (ovvero primo grado sviluppo di Taylor) quindi una sorta di prima modalità di risolvere i limiti
Insomma un bel ripassone, ma ben ragionato, sui lim
Complimenti 👏
Spettacolare!
Io 2 mesi fa ho provato a fare la stessa dimostrazione ma diversamente, praticamente, siccome ogni funzione può essere scritta come sviluppo in serie di una successione ho posto: f(x)=f'(x), così facendo ho imposto tre cose che a(n)=(a(n+1))' così, ci sono due funzioni che soddisfano questa condizione: f(x)=0, e una funzione che abbia questo sviluppo qua: 0+1+x+x²/2+x³/6+.......+x^n/n! Che è proprio lo sviluppo di e^x, solo che alle superiori non si trattano gli sviluppi in serie perciò come dimostrazione non va tanto bene, la tua è migliore
bello!
Però lo sviluppo di Taylor si dimostra con le derivate.
Io per l'ennesima volta sono senza parole. Il video più bello del canale rimane quello che dimostra 0!=1 e che accenna ai fattoriali con i numeri non interi (per chi non l'ha visto cercatelo!!!), ma anche questo è da podio. Grazie grazie grazie.
grazie Fabio
Bellissimo! Grazie.
Spiegato molto bene. Ed hai dimostrato pure un limite notevole.
Buongiorno e innanzitutto complimenti per quedto canale che rappresenta senz'altro una risorsa utile per ogni studente.
Nulla da ridire sulla correttezza del procedimento seguito, che ha anche il pregio di presentare alcuni limiti notevoli, mi sembra però che il motivo per cui la derivata della funzione y=e^x coincida con la funzione stessa resti un po' nascosto sotto ai tecnicismi impiegati, quando è invece possibile ricondurre, con breve riflessione, la ragione di ciò direttamente alla definizione di e come limite di (1+1/N)^N. Propongo qui un approccio diverso, un po' meno formale e più discorsivo, ma che credo faccia ben capire cosa ci sia dietro a questa sorprendente coincidenza della funzione con la sua derivata.
Cominciamo col notare che ogni potenza y=a^x cresce proporzionalmente al suo valore. Lei in effetti ha già fatto vedere questo per y=e^x. Per ogni valore di x l'incremento da x a x+h è dato da Dy=a^(x+h)-a^x=a^x(a^h-1) (D sta per il simbolo "delta"). L'incremento è proporzionale ad a^x cioè al valore della funzione. Quanto più grande è la funzione tanto più grande è il suo incremento e quindi la sua velocità d'incremento Dy/Dx e quindi la sua derivata.
Possiamo anche dire che a parità d'intervallo h, per la potenza y=a^x è costante l'incremento relativo, o l'incremento percentuale, ossia la funzione y=a^x s'incrementa sempre dello stesso fattore, ad esempio del 10%, sullo stesso intervallo h. Abbiamo infatti "incremento relativo" = "incremento totale / valore iniziale" = Dy/yo = Dy/a^x = (a^h-1), che è costante in ogni punto x. La velocità di accrescimento relativo, o rapporto di accrescimento relativo, sarà poi (a^h-1)/h, si tratta di una velocità media calcolata sull'intervallo h, per trovare la velocità istantane dobbiamo far tendere h a 0.
Ora possiamo chiederci per quale potenza la velocità di accrescimento relativo istantanea è 1. Come intervallo h scegliamo un N-esimo dell'intervallo unitario h=1/N e imponiamo (a^1/N-1)/(1/N)=1 da cui si ottiene a=(1+1/N)^N che passando al limite ci porta alla definizione di e.
Abbiamo cioè trovato che per e^x la velocità di accrescimento relativo è pari a 1. Questo significa che la funzione ha un rapporto di crescita, cioè una derivata, pari al valore assunto dalla funzione, infatti per una funzione y=f(x), l'acrescimento può essere linearizzato con il differenziale dy=f'dx e l'accrescimento relativo con il differenziale dy/f = (f'/f)dx e il rapporto di accrescimento relativo, cioè la velocità di accrescimento relativo sarà (dy/f)/dx=f'/f e quando questa vale 1 si ha f'=f, dunque la derivata di e^x è pari alla funzione stessa perché e può essere definito come la base per la quale la potenza e^x è la funzione che ha rapporto di crescita relativo unitario.
Si possono trovare numerosi esempi per illustrare tutto questo, uno che a me piace è l'esempio di una valanga che più è grande più velocemente s'ingrossa, se ad esempio diciamo che la valanga raddoppia di volume ogni M metri percorsi potremo scrivere che il suo volume evolve come V=Vo*2^x con x=m/M dove Vo è il volume iniziale e m sono i metri percorsi. Potremo chiederci per quale fattore moltiplicativo di accrescimento a su M metri una valanga il cui volume evolva come V=Vo*a^x cresce con una velocità istantanea numericamente uguale al volume stesso, ossia cresca con rapporto di crescita relativo istantaneo unitario? I conti precedenti ci mostrano che ciò avviene per a=e.
Ciao Andrea, come al solito le tue proposte sono illuminanti (e illuminate!). Un saluto
@@GaetanoDiCaprio 😊 Grazie.
grazie per il commento, molto interessante.
Manca un passaggio concettuale importante a 9:33 a mio parere - giustificare perché il limite si può portare "dentro" al logaritmo.
Ovvero lim ln (...) = ln ( lim (...) ) = ln (e) = 1
Il numero “e” è molto affascinante per questo. In generale, partendo dalla derivata di una funzione esponenziale f(x)=n^x => f’(x)=n^x*C, dove C è una costante che, guarda un po’, è C=ln(n). Quindi per n=e, segue la proprietà dimostrata nel video. C’è un bel video del canale “blackpenredpen” su questa cosa.
Bel video, anche se già lo sapevo perché l'ho studiato nei giorni scorsi per analisi 1. Speriamo bene😅
Che bello! Grazie.
Scusi, potrebbe fare un video sulla nuova dimostrazione (ce ne sono a decine, benché la scuola ne insegni solo una ...) del Teorema di Pitagora delle due ragazze Afroamericane ?
Una cosa, però, non la capisco : perché dicono che mancava la dimostrazione trigonometrica ?
... Il Teorema di Pitagora è notoriamente un caso particolare con Cos. 90° = 0 del Teorema di Carnot , giusto ?
MAGNIFICA DIMOSTRAZIONE!!😲
Ma perché i logaritmo in base e è detto "naturale"?
Probabilmente proprio in base a questa proprietà. Inoltre puoi riscrivere ogni logaritmo come ln semplificando molto integrazioni e derivate
Grande
Bravissimo
Senza parole!!!!
Ciao Valerio, che programma usi per fare le slide? Per caso utilizzi math type per i testi?
power point
Sono curioso, ma come mai usare il commento in evidenza per i collegamenti agli altri video invece che usare l'apposita descrizione del video? È legittimo pensare che la semantica del commento in evidenza sia qualcosa di utile comparso nei commenti dopo l'uscita del video,
non lo trovi comodo?
“L’episodio dei simpson di questa sera è stato offerto dal simbolo umlaut, e dal numero e, non dalla lettera e, ma dal numero, la cui funzione esponenziale è il derivato di se stesso.”
👍❤
Non sono molto daccordo con questa dimostrazione.
Perchè complicarsi la vita con limiti ? basta dire: y=e exp x, logy=loge expx, quindi logy=x*loge, quindi logy=x. passando alle derivate: 1/y*y' =1, per cui y'=y, cioè eexpx. fine
Ma non puoi applicare le regole di derivazione.
Altrimenti calcoli la derivata di y=e^x e hai già finito.
@@ValerioPattaro E se non so che derivata ha, come faccio ? del resto si da per scontato che esistano le derivate, se no, il quesito sarebbe sbagliato .
Si parte dalla definizione, come ho fatto nel video.
@@ValerioPattaro In tal caso si deve dire: calcolo il limite del rapporto incrementale, il cui risultato io lo chiamerò dervata.Infatti derivare significa originare da. Prima del risultato del limite, la derivata NON esiste, almeno in lingua italiana. Saluti.
Questa è matematica
Io chiedo di sposarti.
😂😂😂
20 Anni dopo continuo a non capirci niente
Anche questo video l'ho trovato molto istruttivo.. ruclips.net/video/m2MIpDrF7Es/видео.html