Vielen Dank, Herr Prof. Dr. Taschner. Leider gibt es zu viele Menschen, die selbst diese einfache Darstellung nicht begreifen. Da muss man sich nicht wundern, warum die Politik in der EU so ist, wie sie ist.
Ganz tolle Vortragsreihe. Toll erklärt, nachvollziehbar und diese Begeisterung für die Ästhetik der Mathematik ist absolut authentisch. Sehr sympathischer Vortragsstil. Auch die historischen Einblicke finde ich super interessant. Vielen vielen Dank für diese Vorträge!
Es ist faszinierend, wie mein Schulwissen (Abi 1986) sich endlich geschmeidig in ein Ganzes einfügt. Die Mathematik folgt wohl einer sach-immanenten Entfaltungslogik, wobei dieser Begriff von Jean Piaget, einem Entwicklungspsychologen, stammt, aber auf vieles anwendbar ist. Fazit: Taschner ist ein exzellenter Pädagoge. Auch linguistisch ein Genuss. Den Mann würde ich gerne mal eine Nacht lang mit Lesch, Gaßner, Ganteför und Beutelspacher sprechen hören. Ich weiß, die würden über jedes wissenschaftliche Thema einen wunderbaren Querschnitt durch alle Disziplinen bieten.
Fest gemauert in der Erden Steht die Form aus Lehm gebrannt. Heute muss die Glocke werden! Frisch, Gesellen, seid zur Hand! Von der Stirne heiß Rinnen muss der Schweiß, Soll das Werk den Meister loben; Doch der Segen kommt von oben. (Schiller)
Für alle, die bei diesem Vortrag etwas Schwierigkeiten haben Herrn Taschner zu folgen, hier ein paar kleine Hinweise oder Ergänzungen Es geht um Wahrscheinlichkeiten wenn eine Kugel durch ein ideales Nagelgitter (mit 8 Reihen, wie bei 5:10 zu sehen) fällt, wissen wir nicht wo sie landen wird, das ist reiner Zufall (im Idealfall). Wenn wir das aber sehr oft wiederholen, dann sollte sich eine klare Verteilung ergeben (5:30) und wenn wir die Anzahl der Nagelreihen nun immer weiter erhöhen dann müssten wir (anstelle einzelner Werte 1/256-70/256) eine Formel für jeden beliebigen Punkt bekommen. Taschner zeigt nun, wie eine solche Formel aussehen könnte. e^-x²/2 In seinem Video (Der Irrtum des Chevalier de Méré) erklärt Taschner, dass Menschen auf die Idee gekommen sind, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis (zB Würfel 6) als Verhältnis der Flächen berechnet werden kann wenn die GesamtFläche aller möglichen Ereignisse (Würfel 1,2,3,4,5,6) mit 1 festgelegt wird. (das nennt man auch Normierung - für eine 6 beim Würfeln ergibt sich dann natürlich 1/6 als Wahrscheinlichkeit) daher ist nun die Fläche unter der Glockenkurve interessant / wichtig und so stellt sich die Frage, welchen Zahlenwert hat die Fläche unterhalb der e^-x²/2 -Funktion (25:20) um diesen Wert zu bekommen wendet Taschner einen "Trick" an, anstelle der Fläche unter dieser Glockenkurve interessiert er sich erstmal für das Volumen unter der Fläche der "Glocke" die entsteht, wenn ich die Kurve um die y-Achse drehe und für dieses Volumen hat er zwei verschiedene Rechenwege a) Schachbrett: Die Fläche wird in kleine Rechtecke (27:27) geteilt (du*dv) wobei sich der Funktionswert leicht über x²=u²+v² ergibt und (obwohl ich finde, dass er sich hier etwas unglücklich ausdrückt*), der ZAHLWERT des gesamten Volumens "zufällig" gleich dem Quadrat der Fläche ist. b) Ringe: In einem Kreis (34:34) um den Ursprung ergibt sich für ein Rechteck (dx*xda) mit dem Funktionswert e^-x²/2 wiederum "zufällig", dass der ZAHLWERT des gesamten Volumens gleich 2pi mal der Fläche unter dem negativen Bereich der e-Funktion ist. *wir sollten allerdings beachten, dass dieses ein Livevortrag ist und kein aufwändig produziertes Video wie es zB Mathologer perfekt online stellt)
Deine Erklärung ist schon nicht schlecht, aber offenbar gibt es zu wenige Menschen, die selbst diese Erklärung nicht kapieren, zumindest interpretiere ich die meisten Kommentare so.
Ich bin wie immer begeistert! Aber ich als Ingenieurwissenschaftler habe ein kleines Problem damit, dass zwei Flächen miteinander multipliziert ein Volumen ergeben sollen- Ich würde stattdessen einen vierdimensionalen Körper erwarten: ein Quadratmeter mal einem Quadratmeter ist ein Meter hoch 4 🙂! (OK, OK! Prof. Taschner normiert die Zahlen!)
Anmerkung: Symmetrieeigenschaft der Rotation ausnutzend, kann bei 28:02 vereinfachend angenommen werden, dass du = dv ist, somit hat die Säule eine quadratische Grundfläche. Bei 31:37 scheint jedoch ein Fehler, denn das Volumen ergibt sich nicht als Produkt zweier Flächen, sondern als Fläche mal Länge... oder anders formuliert: die Fläche müsste entlang der 3. Dimension aufaddiert werden, so dass viele Rechteck-Scheiben dann das Volumen ergeben. Einverstanden?
Ein faszinierendes Thema, das beim Nachvollzug geistige Schwerarbeit verlangt. Ob ich alle diese Zusammenhänge jemals GENAU verstehen werde, bleibe dahingestellt. Aber etwas bleibt mir unverständlich: „Diese beiden Flächen miteinander multipliziert ergeben das Volumen“. Sind Volumina neuerdings vierdimensional? UND: „Diese Fläche ist der Strahl, der von … weggeht.“ Ist neuerdings die Fläche eindimensional oder der Strahl zweidimensional? Huch!
Bei 41:07 sollte deutlich werden, dass der Funktionsterm deshalb durch Wurzel (2 x pi) dividiert wird, damit dann die Fläche unter der Glockenkurve gerade 1 ergibt (Normierung). Einverstanden?
ab 31:00 - die Säule sollte(ist) kleiner als jede der Seitenteile (insbesondere der rote) .. in der Grafik sieht es so aus als wäre ca. der Mittelwert genommen. Begründung: u,v beide kleiner als x --> deren Funktionswert größer als f(x)
Welche Zahlen hat man benutzt um das aquedukt zu bauen da ja die Römer keine 0 hatten, welche zahlen haben die Griechen benutzt grichische zahlen oder römische oder persische was sind Ägypten zahlen wie schauen die aus so ne pi Rechnung von damals ???
Wie funktioniert die Flut Ebbe mathematische sprich welche Kraft braucht man um das Wasser zu bewegen gibt's da ne Rechnung, so Kräfteberechne axial und so wie ist das bei der Flut und ebbe
@@exotischematerie1769 Hi dachte es geht um force, welche Kraft wird da angewendet wen ja Masse mal Geschwindigkeit die Formel ist wie geht das bei der erdrotation und da ja der Mond nicht rotiert welcher vektor ist da vorhanden da ja das Vakuum da ist müsste nicht der moond von der Sonne weggezogen werden mit der Zeit, siehe die grössen bzw Massen da wir uns ja um die Sonne drehen
@@exotischematerie1769 genau wie die Meteoriten am Mond wo sind die Reste da ja keiner am Mond ist und kein Wind dort ist, warum sieht man die Reste der dichten Materie die den Krater verursacht hat sind ja nicht alle sehr klein manchen sieht man von der weite sprich sehr grosser radius
@@exotischematerie1769 da auch der Mond im vektor mit der Erde ist und der Sonne warum dreht sich der Mond nicht nach so vielen Jahren denke der ist Millionen Jahre da
@@exotischematerie1769 da gibt's da ein Experiment mit der Vakuumkammmer in us und a, wo der probandt fast gestorben ist,.Warum werden nicht test dort weiter gemacht da ja der super anzug die Kräfte aushalten soll siehe outdoor work von dem austronauten
Das hängt damit zusammen, dass es hier nicht um echte Längen geht, die in Metern gemessen werden, sondern um dimensionslose Größen. Die Glockenkurve bestimmt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Daher könnte x irgendwas sein, was vom Zufall bestimmt wird - zum Beispiel ein Börsenkurs. Und die Höhe der Glockenkurve über x ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, den Wert x zu erhalten - also auch nichts, was man in Metern misst. Es gilt: Volumen der Säule über dem Punkt (u,v)=du*dv*(Wahrscheinlichkeit für den Wert (u,v)). Nichts davon sind in Metern gemessene Längen, denn u und v sind, ebenso wie x, zufallsbestimmte Größen, und eine Wahrscheinlichkeit ist eben eine Wahrscheinlichkeit. Wie Prof. Taschner im Vortrag ausführt, ist die Wahrscheinlichkeit für den Wert (u,v) gleich der Wahrscheinlichkeit für den Wert u mal der Wahrscheinlichkeit für den Wert v. Das ist keineswegs selbstverständlich, sondern es beruht auf dem Satz des Pythagoras und darauf, dass die Formel der Glockenkurve eben e^(-x²/2) und nichts anderes ist. Daraus folgt: Volumen der Säule über dem Punkt (u,v)=du*dv*(Wahrscheinlichkeit für den Wert u)*(Wahrscheinlichkeit für den Wert v). Aber du*(Wahrscheinlichkeit für den Wert u) ist die Fläche des Streifens unter der Glockenkurve im Punkt u, und dv*(Wahrscheinlichkeit für den Wert v) ist die Fläche des Streifens unter der Glockenkurve im Punkt v. Folglich ist das Volumen der Säule gleich dem Produkt der Flächen der beiden Streifen. Nochmals: freimachen von der Vorstellung von Längen. Wir haben dimensionslose Größen vor uns, und nichts, was man in Metern messen könnte.
Martin Wilke Zwei nicht identische und nicht parallele Geraden spannen eine Fläche auf. Zwei nicht identische und nicht parallele Flächen spannen einen Raum (R^3) auf. Das gilt im besonderen für senkrecht aufeinander stehende Geraden und Flächen. Bei zwei solchen Flächen hast du aber keine vier geraden. Viel mehr liegt eine Gerade der einen Fläche jeweils in der Ebene der anderen Fläche. x _| y =(x,y); y _| z = (y,z) => (x,y) _| (y,z) = (x,y,z) Das "_|" soll hier bedeuten das die Geraden bzw. Flächen orthogonal, sprich senkrecht aufeinander stehen und so Flächen bzw. einen Raum R^3 aufspannen. Diesen R^3 kann man dann auch in (x,y) _| (x,z) oder (x,z) _| (y,z) zerlegen, die jeweils ebenfalls den Raum aufspannen können. Je zwei Flächen teilen sich also immer eine Gerade. Um einen 4-dimensionalen Raum R^4 aufzuspannen braucht es dann zwei nicht identische und nicht parallele 3-dimensionale Räume R^3, usw. usf.
Das liegt einfach gesagt daran, dass das Integral von einem Integral keine Fläche von einer Fläche ist sonder das Volumen dieser Fläche. Er hat es hier aber Fläche * Fläche aufgeschrieben...
Ich kann dir leider nicht sagen, wie man es sich herleitet, aber in der Mathematik wird ein Volumen auch aus dem Produkt von 2 Flächen berechnet. Das ist kein Fehler!
Vielen Dank, Herr Prof. Dr. Taschner. Leider gibt es zu viele Menschen, die selbst diese einfache Darstellung nicht begreifen. Da muss man sich nicht wundern, warum die Politik in der EU so ist, wie sie ist.
Ganz tolle Vortragsreihe. Toll erklärt, nachvollziehbar und diese Begeisterung für die Ästhetik der Mathematik ist absolut authentisch. Sehr sympathischer Vortragsstil. Auch die historischen Einblicke finde ich super interessant.
Vielen vielen Dank für diese Vorträge!
Es ist faszinierend, wie mein Schulwissen (Abi 1986) sich endlich geschmeidig in ein Ganzes einfügt. Die Mathematik folgt wohl einer sach-immanenten Entfaltungslogik, wobei dieser Begriff von Jean Piaget, einem Entwicklungspsychologen, stammt, aber auf vieles anwendbar ist.
Fazit: Taschner ist ein exzellenter Pädagoge. Auch linguistisch ein Genuss.
Den Mann würde ich gerne mal eine Nacht lang mit Lesch, Gaßner, Ganteför und Beutelspacher sprechen hören. Ich weiß, die würden über jedes wissenschaftliche Thema einen wunderbaren Querschnitt durch alle Disziplinen bieten.
Dieser Vortag ist das Beste, was ich je zu diesem Thema gehört/gesehen habe. Man
spürt am Bildschirm ihre Begeisterung für die Genialität der "Glocke"
Fest gemauert in der Erden
Steht die Form aus Lehm gebrannt.
Heute muss die Glocke werden!
Frisch, Gesellen, seid zur Hand!
Von der Stirne heiß
Rinnen muss der Schweiß,
Soll das Werk den Meister loben;
Doch der Segen kommt von oben.
(Schiller)
Wie immer faszinierend und erhellend !
Fantastisch! Herzlichen Dank.
Für alle, die bei diesem Vortrag etwas Schwierigkeiten haben Herrn Taschner zu folgen, hier ein paar kleine Hinweise oder Ergänzungen
Es geht um Wahrscheinlichkeiten
wenn eine Kugel durch ein ideales Nagelgitter (mit 8 Reihen, wie bei 5:10 zu sehen) fällt, wissen wir nicht wo sie landen wird, das ist reiner Zufall (im Idealfall). Wenn wir das aber sehr oft wiederholen, dann sollte sich eine klare Verteilung ergeben (5:30) und wenn wir die Anzahl der Nagelreihen nun immer weiter erhöhen dann müssten wir (anstelle einzelner Werte 1/256-70/256) eine Formel für jeden beliebigen Punkt bekommen.
Taschner zeigt nun, wie eine solche Formel aussehen könnte. e^-x²/2
In seinem Video (Der Irrtum des Chevalier de Méré) erklärt Taschner, dass Menschen auf die Idee gekommen sind, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis (zB Würfel 6) als Verhältnis der Flächen berechnet werden kann wenn die GesamtFläche aller möglichen Ereignisse (Würfel 1,2,3,4,5,6) mit 1 festgelegt wird.
(das nennt man auch Normierung - für eine 6 beim Würfeln ergibt sich dann natürlich 1/6 als Wahrscheinlichkeit)
daher ist nun die Fläche unter der Glockenkurve interessant / wichtig und so stellt sich die Frage,
welchen Zahlenwert hat die Fläche unterhalb der e^-x²/2 -Funktion (25:20)
um diesen Wert zu bekommen wendet Taschner einen "Trick" an, anstelle der Fläche unter dieser Glockenkurve interessiert er sich erstmal für das Volumen unter der Fläche der "Glocke" die entsteht, wenn ich die Kurve um die y-Achse drehe und für dieses Volumen hat er zwei verschiedene Rechenwege
a) Schachbrett: Die Fläche wird in kleine Rechtecke (27:27) geteilt (du*dv) wobei sich der Funktionswert leicht über x²=u²+v² ergibt
und (obwohl ich finde, dass er sich hier etwas unglücklich ausdrückt*),
der ZAHLWERT des gesamten Volumens "zufällig" gleich dem Quadrat der Fläche ist.
b) Ringe: In einem Kreis (34:34) um den Ursprung ergibt sich für ein Rechteck (dx*xda) mit dem Funktionswert e^-x²/2
wiederum "zufällig", dass der ZAHLWERT des gesamten Volumens gleich 2pi mal der Fläche unter dem negativen Bereich der e-Funktion ist.
*wir sollten allerdings beachten, dass dieses ein Livevortrag ist und kein aufwändig produziertes Video wie es zB Mathologer perfekt online stellt)
Deine Erklärung ist schon nicht schlecht, aber offenbar gibt es zu wenige Menschen, die selbst diese Erklärung nicht kapieren, zumindest interpretiere ich die meisten Kommentare so.
Klasse Vortrag Herr Taschner. Mir steht wie Ihnen am Ende der Schweiss im Gesicht.
Ich bin wie immer begeistert! Aber ich als Ingenieurwissenschaftler habe ein kleines Problem damit, dass zwei Flächen miteinander multipliziert ein Volumen ergeben sollen- Ich würde stattdessen einen vierdimensionalen Körper erwarten: ein Quadratmeter mal einem Quadratmeter ist ein Meter hoch 4 🙂! (OK, OK! Prof. Taschner normiert die Zahlen!)
Zahlwert
Anmerkung: Symmetrieeigenschaft der Rotation ausnutzend, kann bei 28:02 vereinfachend angenommen werden, dass du = dv ist, somit hat die Säule eine quadratische Grundfläche. Bei 31:37 scheint jedoch ein Fehler, denn das Volumen ergibt sich nicht als Produkt zweier Flächen, sondern als Fläche mal Länge...
oder anders formuliert: die Fläche müsste entlang der 3. Dimension aufaddiert werden, so dass viele Rechteck-Scheiben dann das Volumen ergeben.
Einverstanden?
Fantastish, das kann verstanden in yeder Sprache.
Ein faszinierendes Thema, das beim Nachvollzug geistige Schwerarbeit verlangt. Ob ich alle diese Zusammenhänge jemals GENAU verstehen werde, bleibe dahingestellt. Aber etwas bleibt mir unverständlich: „Diese beiden Flächen miteinander multipliziert ergeben das Volumen“. Sind Volumina neuerdings vierdimensional? UND: „Diese Fläche ist der Strahl, der von … weggeht.“ Ist neuerdings die Fläche eindimensional oder der Strahl zweidimensional? Huch!
Die Flächen erhalten ja durch die Rotation Volumen bitte..:D
Bei 41:07 sollte deutlich werden, dass der Funktionsterm deshalb durch Wurzel (2 x pi) dividiert wird, damit dann die Fläche unter der Glockenkurve gerade 1 ergibt (Normierung).
Einverstanden?
Wo sind alte rechen Aufzeichnungen oder habe die Könige nie gerechnet wie viel sie bekommen
Super erklärt😀
Super Video!
Aber wie kommt man nun auf e^(-(x^2)/2)?????
Das würde mich echt mal interessieren :-)
Und ich war immer der Ansicht dass man die Funktion der Dichte der Standardnormalverteilung nicht elementar integrieren könnte
ab 31:00 - die Säule sollte(ist) kleiner als jede der Seitenteile (insbesondere der rote) .. in der Grafik sieht es so aus als wäre ca. der Mittelwert genommen. Begründung: u,v beide kleiner als x --> deren Funktionswert größer als f(x)
Welche Zahlen hat man benutzt um das aquedukt zu bauen da ja die Römer keine 0 hatten, welche zahlen haben die Griechen benutzt grichische zahlen oder römische oder persische was sind Ägypten zahlen wie schauen die aus so ne pi Rechnung von damals ???
Diese Fragen kannst du dir selber beantworten, wenn du weiterhin solche Videos schaust.
@@exotischematerie1769 lol bist dir da sicher hast ne Garantie oder ist das ne Irreführung
Ist das die Glocke, die man bei yt immer drücken soll?
Gut erkannt. Aber vorher abonnieren.
23:36-23:39 der psychomoment "ja, ja, ja"
P Winkler mathspacewien
Wie funktioniert die Flut Ebbe mathematische sprich welche Kraft braucht man um das Wasser zu bewegen gibt's da ne Rechnung, so Kräfteberechne axial und so wie ist das bei der Flut und ebbe
Na klar! Es geht dabei um Vektoren.
@@exotischematerie1769 Hi dachte es geht um force, welche Kraft wird da angewendet wen ja Masse mal Geschwindigkeit die Formel ist wie geht das bei der erdrotation und da ja der Mond nicht rotiert welcher vektor ist da vorhanden da ja das Vakuum da ist müsste nicht der moond von der Sonne weggezogen werden mit der Zeit, siehe die grössen bzw Massen da wir uns ja um die Sonne drehen
@@exotischematerie1769 genau wie die Meteoriten am Mond wo sind die Reste da ja keiner am Mond ist und kein Wind dort ist, warum sieht man die Reste der dichten Materie die den Krater verursacht hat sind ja nicht alle sehr klein manchen sieht man von der weite sprich sehr grosser radius
@@exotischematerie1769 da auch der Mond im vektor mit der Erde ist und der Sonne warum dreht sich der Mond nicht nach so vielen Jahren denke der ist Millionen Jahre da
@@exotischematerie1769 da gibt's da ein Experiment mit der Vakuumkammmer in us und a, wo der probandt fast gestorben ist,.Warum werden nicht test dort weiter gemacht da ja der super anzug die Kräfte aushalten soll siehe outdoor work von dem austronauten
Pi kommt deshalb ins Spiel weil die natiuerliche Zahl e ins Spiel kam, den e hoch pi mal i ist minus eins und das ist wirklich komisch
Ist das 2 mal elle ist gleich pi oder wie
Mir erschließt sich nicht, warum Fläche mal Fläche das Volumen ergeben soll: m² x m² = m^4 m^3
Das hängt damit zusammen, dass es hier nicht um echte Längen geht, die in Metern gemessen werden, sondern um dimensionslose Größen. Die Glockenkurve bestimmt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Daher könnte x irgendwas sein, was vom Zufall bestimmt wird - zum Beispiel ein Börsenkurs. Und die Höhe der Glockenkurve über x ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, den Wert x zu erhalten - also auch nichts, was man in Metern misst.
Es gilt: Volumen der Säule über dem Punkt (u,v)=du*dv*(Wahrscheinlichkeit für den Wert (u,v)). Nichts davon sind in Metern gemessene Längen, denn u und v sind, ebenso wie x, zufallsbestimmte Größen, und eine Wahrscheinlichkeit ist eben eine Wahrscheinlichkeit.
Wie Prof. Taschner im Vortrag ausführt, ist die Wahrscheinlichkeit für den Wert (u,v) gleich der Wahrscheinlichkeit für den Wert u mal der Wahrscheinlichkeit für den Wert v. Das ist keineswegs selbstverständlich, sondern es beruht auf dem Satz des Pythagoras und darauf, dass die Formel der Glockenkurve eben e^(-x²/2) und nichts anderes ist.
Daraus folgt: Volumen der Säule über dem Punkt (u,v)=du*dv*(Wahrscheinlichkeit für den Wert u)*(Wahrscheinlichkeit für den Wert v). Aber du*(Wahrscheinlichkeit für den Wert u) ist die Fläche des Streifens unter der Glockenkurve im Punkt u, und dv*(Wahrscheinlichkeit für den Wert v) ist die Fläche des Streifens unter der Glockenkurve im Punkt v. Folglich ist das Volumen der Säule gleich dem Produkt der Flächen der beiden Streifen.
Nochmals: freimachen von der Vorstellung von Längen. Wir haben dimensionslose Größen vor uns, und nichts, was man in Metern messen könnte.
Martin Wilke Zwei nicht identische und nicht parallele Geraden spannen eine Fläche auf. Zwei nicht identische und nicht parallele Flächen spannen einen Raum (R^3) auf. Das gilt im besonderen für senkrecht aufeinander stehende Geraden und Flächen. Bei zwei solchen Flächen hast du aber keine vier geraden. Viel mehr liegt eine Gerade der einen Fläche jeweils in der Ebene der anderen Fläche. x _| y =(x,y); y _| z = (y,z) => (x,y) _| (y,z) = (x,y,z) Das "_|" soll hier bedeuten das die Geraden bzw. Flächen orthogonal, sprich senkrecht aufeinander stehen und so Flächen bzw. einen Raum R^3 aufspannen.
Diesen R^3 kann man dann auch in (x,y) _| (x,z) oder (x,z) _| (y,z) zerlegen, die jeweils ebenfalls den Raum aufspannen können. Je zwei Flächen teilen sich also immer eine Gerade.
Um einen 4-dimensionalen Raum R^4 aufzuspannen braucht es dann zwei nicht identische und nicht parallele 3-dimensionale Räume R^3, usw. usf.
Das liegt einfach gesagt daran, dass das Integral von einem Integral keine Fläche von einer Fläche ist sonder das Volumen dieser Fläche.
Er hat es hier aber Fläche * Fläche aufgeschrieben...
Ich kann dir leider nicht sagen, wie man es sich herleitet, aber in der Mathematik wird ein Volumen auch aus dem Produkt von 2 Flächen berechnet.
Das ist kein Fehler!
Fläche mal Höhe ergibt Volumen
tres speciale
,, brauchen siesichnichzu merken, ich fax ihnn das! *
Erzähl den'n sonstwas, die laufen spaeter alle sinnlos mit Masken durch die Gegend und lassen sich genspritzen.
Es gibt keinen Zufall. Wir nenne es nur Zufall wenn wir es nicht berechnen können!
Katastrophaler Zusammenschnitt. Man kann sich nicht auf die Mathematik konzentrieren, da der Vortragende immer lange ins Bild kommt.
Wenn du Konzentrationsprobleme hast, dann ist es halt so, aber der Vortrag ist genial!