✅ QUESTÃO 160 ENEM 2019 (Caderno Amarelo) 👉🏻 Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são
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- Опубликовано: 6 фев 2025
- QUESTÃO 160 ENEM 2019
Amarelo 160, Rosa 164, Azul 156, Cinza 174
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Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos.
De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?
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![[ENEM 2019] 156 📘 ANÁLISE COMBINATÓRIA Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são](/img/tr.png)
estamos em 2022 e essa continua sendo a melhor resolução desse site. parabéns prof, seu trabalho é incrível!
Meu Deus, o professor nunca acha uma questão difícil kkk. Enquanto eu estou na terceira resolução aqui do RUclips, buscando entender a lógica de resolução. Obrigadãoooo.
Vi outras resoluções na internet, e essa realmente é a mais simples, tantos outros professores enrolando mais que simplificando, parabéns pela forma, simples e fácil de ensinar a resolver
A matemática, em muitos problemas, apresenta diferentes caminhos logicamente consistentes para chegar ao mesmo resultado. Cabe ao estudante escolher aquele que lhe parece mais compreensível. A matemática é um desafio para alunos e professores. O que vale é a argumentação sólida sobre o tema em questão.
Nossa realmente não é tão complicado, tinha visto de outra maneira, mas essa ficou claro, obrigado, sempre ajudando professor
Professor Paulo eu sou muito grato a Deus pela sua vida. Porque com suas aulas entendi o que é matemática como um todo. Muito obrigado mesmo desejo muita sorte para você
Olá boa madruga, muito obrigado, essa explicação tá mto melhor do que os 4 vídeos que eu assisti sobre essa questão, sucesso e Deus te abençoe
O unico que fez da forma mais compreensivel possivel essaa questão! Esse professor é foda!
O problema é como ter essas sacadas q tornam a situação simples... Como pensar nessas saídas...
fazendo muitas questões... elas sempre têm um padrão.
Faz bastante questão e perceba os passos a passos que podem ser repetidos em outras questões parecidas
@@mabelangelo6457 Tô melhorando aos pouquinhos...obrigada por se importar. Sucesso pra vc também!
@@adriaolii achei que eu tinha facilidade com matemática a minha vida toda, mas análise combinatória é completamente imprevisível para mim, tipo mesmo depois de fazer várias questões elas sempre embrulham minha cabeça .
Eu pensaria. Porem n em 3 min
tem outros videos resolvendo essa questão de maneiras mais dificeis, porém você facilitou o raciocinio! Obrigada!
A minha resolução foi assim:
Inicialmente, nós temos 8 jogadores, sendo dois canhotos e 6 destros, e não queremos os dois canhotos jogando entre si. Logo, podemos fazer o total menos o que não serve para determinar o total de duplas. Vamos primeiro ao total de possibilidades, que não considera se o jogador é canhoto ou destro. As duplas serão divididas por meio de combinações, pois a ordem dos jogadores não importa.
Total de possibilidades sem restrições:
Queremos formar 4 duplas para o torneio. Para escolher a primeira dupla, temos uma combinação de 8 pra escolher 2, e sobram 6. Para a segunda dupla, temos uma combinação de 6 pra escolher 2 e sobram 4. Para a terceira dupla, temos uma combinação de 4 pra escolher 2 e sobram 2. Para a última dupla, temos os dois que sobraram. Multiplicando essas 4 combinações, devemos dividir o resultado por 4!, porque, senão, as duplas podem permutar entre si e serão contadas mais de uma vez, o que a gente não quer que aconteça.
Total: (C8,2 x C6,2 x C4,2 x C2x2)/4!
Total de possibilidades apenas em cima da restrição:
Quando a gente forma as duplas, a dupla de canhotos é fixa, ou seja, ela não é escolhida. Logo, ela não entra na composição da rotação das outras duplas. Com a dupla de canhotos fixa e determinada, sobram os 6 destros, e queremos escolher 2 para formar a segunda dupla. Logo, temos uma combinação de 6 pra escolher 2 e sobram 4. Para a terceira dupla, temos uma combinação de 4 pra escolher 2 e sobram os 2 últimos pra formar a última dupla. Multiplicando essas combinações, devemos dividir o resultado por 3!, porque inclui apenas as duplas que foram escolhidas. Se essas 3 duplas puderem permutar, elas serão consideradas mais de uma vez, o que a gente não quer que aconteça.
Total: 1 x (C6,2 x C4,2 x C2,2)/3!
Total de maneiras distintas:
(C8,2 x C6,2 x C4,2 x C2,2)/4! - 1 x (C6,2 x C4,2 x C2,2)/3! = 90. Letra C.
Amei
Melhor explicação.....Bem melhor que a enrolação que esse professor fez...Parabéns...
A minha dúvida era na parte da restrição, eu estava dividindo por 4!, e não por 3! Sua explicação me salvou, agora eu entendi, é que ela é fixa e não entra na rotação. Acho engraçado que vi a resolução de vários professores e nenhum comentou esse detalhe importante. Obrigado :)
@@ceticoquimicooii, td bem? Vc pode me explicar porque ela é fixa? Tipo por que a gnt sabe que ela n vai permutar com as outras duplas
@@luanalopes723 bom, o método dele se consistiu em descobrir o total de casos e subtrair os casos desfavoráveis(dupla formada por dois canhotos)
para descobrir o total de casos desfavoráveis, ele ja considerou que os canhotos foram sorteados juntos para formarem dupla, o que significa que eles não vão participar da escolha dos times, pois ja estão de time formado, sobrando então apenas 3 duplas a serem escolhidas de um total de 6 jogadores.
Show! Melhor maneira de se resolver esse problema! Obrigado!
Prof, tenho uma dúvida, depois que eu já ''me livrei'' dos canhotos, pq que pra escolher os demais destros eu não poderia usar o PFC assim: 4x3x2x1 já que ainda restavam 4 destros para escolher? ah! obrigada pelos vídeos, o sr é incrível!!!
tb tive essa mesma dúvida
creio que pelo motivo da análise da questão ser de dupla em dupla, então, uma vez que uma pessoa é selecionada e começa a análise daquela dupla, so existe mais uma possibilidade de adição à ela, pra formar uma dupla completa. Assim que essa outra pessoa é colocada vem o pensamento de quantos outros indivíduos DISPONÍVEIS faltam pro cálculo acabar.
ou seja, o cálculo reinicia cada vez que começa a análise de outra dupla, seria da mesma forma se ele pedisse em Trios.
Ele faz tudo ser simples, professor, tu é f0da, velho!
Fala Paulo!
Consegui entender c vc! O jeito q meu professor fez foi por partiçao nao ordenada e eu nao tinha entendido nada.
Tenho muita dificuldade em analise combinatoria, e sempre olho pra questao e nao consigo enxergar nada.
Mas consegui entender essa questao valeu!
Mas que raciocínio incrível! E eu aqui me matando fazendo tantas contas kk
Ajudou muito. Mas mesmo assim é uma questão de análise combinatória diferente, pois você tem que escolher a partir da terceira dupla em que só tem 4 destros, um destro com valor 1 e não 4. A explicação foi ótima mas a questão... Já vi muitas do ITA mais fáceis. O ENEM está alto nível. Parabéns mestre. 👏👏👏
Sim. É difícil. Mas pq a gente tá acostumado a fazer questão de duplas usando combinação. Se usarmos combinação nessa, que dá pra fazer, teremos que corrigir o excesso que vai acarretar.
@@equacionamatematica Compreendo mestre. Parabéns pelo excelente e irretocável trabalho.
Que coisa, pra mim não faria nenhum sentido isso.
1º se tem dois canhotos, no primeiro espaço, temos 2 possbilidades. Para formar dupla com ele, temos, então, 6 possibilidades de destros para o segundo espaço.
2º no terceiro espaço, 1 possibilidade que é o outro canhoto. Para formar a dupla, 5 possibilçidades de destros no quarto espaço.
3º no quinto espaço, 4 possibilidades de destros. No sexto espaço, 3 possibilidades, no penúltimo, 2 possibilidades e no último espaço, 1 possibilidade.
Tudo isso resultaria em 1440.
ele especifou quem estava escolhendo, no caso no primeiro espaço ele especificou que seria o C1, e só temos um C1, logo é só colocar o valor 1.
A melhor resolução da internet até agora!
Resolução mais simples que vi em várias, muito obg
única resolução que consegui entender de forma tão simples, obrigado
Caralho, sua resolução foi extremamente objetiva. Apesar de ter muitas dificuldades em mtm, essa resolução passa confiança!
A matemática, em muitos problemas, apresenta diferentes caminhos logicamente consistentes para chegar ao mesmo resultado. A solução apresentada no vídeo é elegantemente simples. No entanto, outras formas de resolver atraem o desafio de raciocinar. Então, ao resolver um problema, devemos nos perguntar; existe outra forma de fazer? E aceite o desafio de fazer e observe que ao longo do tempo o seu aprendizado irá se enriquecer. Se errar, sorria. Afinal, todo erro é uma descoberta.
Desconheço abordagem mais pedagógica que essa pra resolução de combinatória. parabéns, professor!
esse cara explica muito beeeeeem. Melhor professor!!!!!
a resolução mais clara que vi até agora, pqp... valeu, mestre
Salve, professor. Seus vídeos são excelentes!!!
Agora eu entendi, agora todas peças se encaixam, agora tudo faz sentido!!!
A melhor que vir até agora
Braboooo demais !
Obrigado!
resolução simplesmente brilhante e simples de entender, valeu mesmo,professor paulo
Parabéns caro amigo.
ótima resolução!! obrigada
Por que a resolução 1×6×1×5×4×3×2×1 tá errada?
um dos motivos é que a ordem não importa
Achei ótima a explicação! Obrigado
Eu não entendi por que ficou 1 possibilidade apenas pro D6 e o D1 ali (duplas sem os canhotos). Eu tinha pensado que seriam 4! pras outras duplas sem os canhotos pq já tinham sido usadas 4 pessoas, logo outras 4 sobrando
A ideia é que pra escolher a primeira pessoa da dupla, você não precisa considerar possibilidade. Escolhe uma pessoa e ela terá n possibilidades.
Tbm não consegui entender isso ainda. Se não há restrição, eu poderia colocar tanto o D1 quanto o D3, D5 ou D6, logo, há 4 possibilidades
De fato, sobram 4 pessoas, porém uma já fará parte da dupla. Se considerarmos 4 possibilidades para a terceira dupla, permitiremos ao D6 fazer dupla com si próprio (o que é impossível!).
vc é incrível, cara ficou fácil de entender e explicar!
melhor método de resolução .
vc explicando parece ser realmente a questão mais fácil
Melhor explicação até agora. Valeu!!!
Melhor resolução
Obrigado Professor!
Essa resolução eu nunca vi. excelente.
Show!
Até vendo a resolução achei difícil, kkkk
Resolução muito simples de entender. Valeu, Paulo.
Ótima resolução! Professor, tenho uma dúvida: a possibilidade para o primeiro aluno da dupla é 1 pq estão todos fixos né? Errei pq no primeiro canhoto coloquei 2, ai na próxima dupla com canhoto foi que coloquei 1. Agradeço desde já se puder responder!!!
eu também fiz isso, tava querendo saber o pq foi 1
prof. mas na primeira dupla, pra colocar o primeiro canhoto, eu não tenho duas possibilidades de colocar, em 1? então não seria 2 possibilidades iniciais, e só depois na outra dupla restaria apenas 1 possibilidade de canhoto?
carambaaaaa, parabéns, professor. Muito obrigada
resolução simplesmente fantástica!!!!!!!
Ótima resolução!
Eu fiz tipo fatorial, excluí os 2 jogadores canhotos, e fui multiplicando do 6 até o 1. Quando deu o resultado q foi 720 dividi pelo total de jogadores (8). E deu 90.
Paulo, você tem alguma lista de exercícios sobre análise combinatória?
Pensei de uma maneira tranquila: supondo que haja o jogador A, B, C, D, E , F, G e H, sendo o G e H canhotos, não podendo, portanto, estarem na mesma dupla. Com isso, o G pode fazer dupla com A, B,C,D,E e F. Assim, tiramos uma dupla ( G e A por exemplo), sobrando B,C,D, E e F. O H pode fazer com estes cinco. Desta forma, o H faz dupla com o B. Desta forma sobram apenas três possibilidades e posteriormente uma. 6*5*3=90.
Mas foi da mesma maneira que o professor explicou no vídeo kkkkkk
@@marcosaquino8709 exatamente kkkkkkk
Fiz da mesma forma e tava procurando uma resolução assim com medo da linha estar errada! Hahaaha
Parabéns.
melhor resolucao toppp
obrigada
nossa, que fácil. valeu, professor!
Excelente!!!
Resolução tranquila demais Mestre, com certeza havia questões mais difíceis!
Obrigado, professor Paulo.
Explicação muito boa
meu deus, ele é um gênio
ótima explicação
Essa foi a única resolução simples que eu achei dessa questão
A dificuldade (ou diferenciação) dessa questão é devido ao fato de estarmos interessados em construir mais de um conjunto (duplas) com os dados disponíveis (destros e canhotos). As questões que tratam desse assunto geralmente pedem apenas a quantidade de combinações possíveis para se fazer APENAS UM GRUPO, enquanto essa questão ai pede para serem feitos QUATRO grupos. Isso muda a forma de se fazer a contagem desses grupos.
Exatamente!
Gostei muito, prof! ❤️ Obrigada!
A resolução mais fácil que encontrei, obrigada Prof!
Muito bom! Obrigada professor!
o modo como ele resolveu deixou a questão bem facinho, mas é no mínimo estranha, nunca tinha visto alguém resolvendo assim
Resolução muito prática. Parabéns 🍾
boa noite professor, lá por janeiro você poderia fazer uns 3 dias de maratona ou live sobre geometria, probabilidade e entre outras? você explica muito bem e fica SUPER explícito os conteúdos, só consegui interpretar problemas porque maratonei quase todos os seus vídeos kklll
professor, consegue fazer de oitra maneira esse exercício? Não consegui entender muito bem...
João, até há outras formas. No entanto, confesso que essa forma é a menos complocada que eu percebo.
gostei da resolução , mais ñ teria uma forma de calcular todas as possibilidades e dps subtrair a que eu ñ quero, que nesse caso seria 2 canhotos?
É simples mano apenas multiplique os destros e dívida pelos canhotos
Depois basta dividir o resultado dessa conta por quatro que é o número de duplas que a questão pede
Ex:
6.5.4.3.2.1/2 =360
360/4=90
Se fosse apenas uma dupla daria sim. Como são 4, fica mais complicado de fazer.
@@equacionamatematica ss entendi obg
@@aperturescience8854 obg mano
A outra forma de fazer, por meio da combinação, seria assim (bem mais complicada, claro):
Primeira dupla: combin(8,2)
Segunda dupla: combin(6,2)
Terceira dupla: combin(4,2)
Quarta dupla: combin(2,2)
Multiplica tudo. Mas, tem que dividir esse produto por 4!, pois a ordem das duplas não importa.
Agora, vamos contar as configurações que contém a dupla de canhotos para subtrair deste resultado:
Considerando que os dois canhotos formam uma dupla, restam:
Primeira dupla: combin(6,2)
Segunda dupla: combin(4,2)
Terceira dupla: combin(2,2)
Multiplica estes três valores e em seguida divide por 3!, pois a ordem destas duplas não importa.
Subtraindo este último resultado do primeiro, temos as 90 configurações de duplas possíveis.
Só não entendi porque divide por 4! e o segundo pq divide por 3! Está relacionado ao número de combinações?
@@pedrohenriquelessadeolivei4049 É porque as duplas não tem nome, certo? Se as duplas tivessem nomes, por exemplo, dupla A, dupla B, etc, aí não precisaria reduzir as combinações, pois a dupla A=João/Maria e B=Pedro/Marco é Diferente de fazer dupla A=Pedro/Marco e dupla B=João/Maria, logo tem de considerar todas estas configurações, não precisa reduzir.. Agora, do jeito que está na questão, as duplas não tem nome, então João/Maria e Pedro/Marco é a mesma configuração de Pedro/Marco e João/Maria, logo, tem de diminuir essa quantidade, dividindo pelos respectivos fatoriais das quantidades de duplas.
@@pedrohenriquelessadeolivei4049 Sabe por quê? Porque o número de elementos de cada grupo é o mesmo! Por isso acaba contando as permutações entre os grupos! Já que são os elementos do grupo que o caracteriza! Se o número de elementos dos grupos fosse diferente, não precisava fazer nenhuma divisão!
@@professorrogeriocesar Sim. Mas mas se o número de elementos de cada grupo fosse diferente, mesmo o grupo não tendo um nome, não seria preciso dividir.
@@cristianosiqueira1536 Concordo, seria outra situação que não precisaria dividir.
Top demais
moço eu te amo
Olá, prof. Por que eu não posso calcular a combinação de 8 tomados a 2 para ver o total de duplas e subtrair 1 queseria a dupla dos canhotos? Isso não entra na minha cabeça.
Existe uma outra questão praticamente igual do ENEM que se faz com esse raciocínio. Segue a questão:
O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro.
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos.
Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?
A maneira mais facil q eu vi de resolver
professor, mas não faz sentido considerar so o D6, pq tem 4 opções pra ocupar o lugar, não só uma. Do mesmo jeito o D1
Paulo eu tenho uma dúvida... porquê eu não poderia fazer a combinação de 8 elementos 4 a 4 e depois subtrair a dupla de canhotos? já q 2 canhotos conseguem formar apenas uma dupla. Pensando assim, ficaria C⁸ 4 a 4= 70-1(dupla de canhotos)= 69 letra A
Uai, mas aí o que impede de no lugar do 5 eu colocar um pq eu chamei essa posição de D5? Não entendi... Obrigado.
Tive dificuldade! Vou assistir várias vezes até entender o que estou fazendo
Tem outra resolução,prof?
Tem sim. Mas essa acredito ser essa a mais tranquila. A questao é bem diferente dos padrões e é difícil mesmo.
Análise combinatória é um assunto extremamente difícel, numa questão é jogado fora td aquilio q foi estudado, é o caso dessa questão. Sim, essa 'simples questão', ela é de q parte da análise combinatória? Permutação, arranjo, combinação. Não sabemos diretamente. É uma questão de análise combonatória. Então, vamos comentar a resolução do professor PP. Bom, a resolução foi um pouco forçada, mas, aproveitando parte dessa resolução podemos fazer algumas adequações: 1º: As duplas podem ser, sim, formadas de 1x6, 1x5, 1x3 e 1x1 vezes, só que devemos observar que podemos alterar essa ordem (da escolha das duplas), daí pq devemos usar o princípio multiplicativo nesses valores, fazendo o produto deles. Assim, obtendo o valor 90. É isso aí, valeu mestre PP.
Fala mestre !! Dava pra fazer por combinação ??
Foi realmente mais fácil com ele.
Por que no lugar do D6 não pode colocar 4! ?
Já que sobrou 4 jogadores
Eu pulei essa questão de tão difícil que achei.
vendo essa resolução percebe-se que nem era taooo dificil.... era apenas questão de organização
mas eu achei q teriam q permutar as duplas no final, ja q n obrigatoriamente tem q ser nessa ordem
Pq n pode resolver essa questão como se fosse uma permutação com 6 elementos repetidos (destros) + dois elementos repetidos (canhotos)?
nao poderia fazer por formula de combinação?
Dá mas tendo que fazer correções do excesso. O que daria Laís trabalho.
Caso tivéssemos 4 canhotos e 6 destros, com a mesma restrição aos canhotos, como seria?
Não entendi. Porque, na quarta posição não deveria ser 4 possibilidades, já quem 4 amigos, depois 3 possibilidade e por última uma pra cada vaga?
No primeiro tracinho não era pra ser 2 não? Porque poderia ser um dos 2 canhotos
top
Talvez seja até de fácil compreensão; Mas durante a prova pode ter muito nervosismo e “Dar Branco”. Um forte abraço
D2 mas mantenha o respeito
Eu resolvi de outra maneira
Sabendo que existem oito amigos e dois são canhotos então temos seis amigos destros no total logo se multiplica o número de amigos destros e dividi-se pelo número de amigos canhotos
6.5.4.3.2.1/2=360
agora você deve estar se perguntando "deu 360 o que é bem longe da resposta que é 90" Mas lembre-se que no enunciado da questão ela deixa bem explícito que são quatro duplas logo você deve dividir o resultado por 4 e teremos a resposta
360/4=90
Essa resolução sempre vai dá certo pra esse tipo de problema?
@@anacarolinasouza6112 Definitivamente não, isso foi sorte!