C'est marrant d'avoir appris ça en Terminale ! A titre personnel j'ai découvert cela quand j'ai cherché à démontrer le théorème de Mazur-Ulam cette année (en M1) qui énonce que toute isométrie qui est surjective (ce qui est toujours vrai en di finie) d'un espace vectoriel normé réel dans un autre est affine. Le fait de ne plus avoir de produit scalaire rend la chose terriblement plus subtile !
@@philcaldero8964 Oui mais un peu d'aide que m'a soufflée un prof de topologie ! Pour les auditeurs intéressés j'ai découvert récemment que ce théorème était démontré au travers d'un exercice dans le Saint-Raymond de topologie chez Calvage et Mounet.
Sympa, on comprend bien cette idée de droites qui doivent rester des droites. Mais je me demande quelle était la preuve de Mme Loru, car il me semble que simplement développer ||f(a x+y)- a f(x)-f(y)||² (en supposant f(0)=0) permet de conclure rapidement et sans difficulté particulière
J’adore l’image du « théorème que même les lapins connaissent » 😂 mais pour moi un lapin ça fuit en zigzag! 😆 Et à moins d’imaginer Euclide avec une règle (non graduée, servant non à mesurer les distances mais à tracer…des zigzags) en forme d’éclair de Zeus et un compas en tire bouchon, j’ai comme un doute sur le choix du lapin? En fait aucun animal sensé n’utilise à proprement parler « que la géométrie euclidienne » bien qu’il la connaisse très bien manifestement, puisqu’il utilise même au contraire une géométrie riemannienne, et même mieux, pseudo riemanienne, au moins pour échapper au prédateurs. Riemanienne parce que non seulement la proie et le prédateur bougent relativement sans cesse donnant des trajectoires optimales courbes, mais aussi parce que le capital énergétique fond comme neige au soleil (un guépard n’a que quelques secondes d’autonomie à 70-130 km/h) au cours de la course; par suite tout se passe donc comme si la métrique est vraiment courbe (à la manière de l’hyperplan de Poincaré et des tableaux d’Escher homothétiques), et que la ligne droite est plutôt « le plus long chemin » pour ne pas bouffer de si tôt. 😜 Mais plus avant, pseudo riemanienne parce que la course n’est évidemment pas instantanée et se déroule donc fatalement « dans le temps » (au moins celui du cœur et des mitochondries qui pulsent le sang et fournissent l’énergie à une rythme physiologique limité). Et qu’il y a donc forcément des effets « relativistes » dus au fait que tout trajet met un certain temps… Alors quelle image pas trop triviale me semblerait plus pertinente pour l’affinité en métrique euclidienne : un nageur dans une piscine à courant constant « latéral », ou un voiler (qui ne dérive pas) remontant le vent… là ça reste euclidien, et évidemment affine. Et pour bien voir la différence avec une situation non euclidienne mais néanmoins affine, on peut penser à un sauveteur qui part sauver un nageur qui se noie en mer (sans courant!), alors que sa vitesse de déplacement sur le sable et dans la mer est constante mais distincte. C’est là une géométrie non euclidienne mais qui reste affine. Plus précisément euclidienne par morceaux (sur la plage puis sur le sable). La ligne droite euclidienne n’est pas « le plus court chemin » pour sauver le nageur en train de se noyer. Les « lignes droites » de cette géométrie « bimétrique » (euclidienne par morceaux), sont les géodésiques de cette métrique pseudo riemanienne, en forme de « chevron » (de V), dont l’angle est déterminé par le rapport des vitesses relatives de déplacement sur le sable et la mer (appelés indice de réfaction en optique géométrique). C’est cette dernière géométrie en zigzag, affine mais non euclidienne, qu’adoptent les lapins. Elle est plus simple que la pseudo riemanienne «continue » des proies usuelles, et plus efficace contre des prédateurs dont la force est la fulgurance de la vitesse, mais dont la faiblesse en revers de la médaille, est donc l’inertie (énergie cinétique) proportionnelle au carré de la vitesse. Leur vitesse, et donc leur inertie, les empêchant justement de changer brusquement de direction et d’adopter cette géométrie affine non euclidienne en Zigzag qu’adoptent les lapins et tout un tas de types d’antilopes.
@@philcaldero8964Ce serait avec grand’joie mais sous ton contrôle car tu as vu comme je peux « partir loin » 😂 Faut cadrer le dragon 😋. Et toi tu es si bien cadré (en apparence du moins) avec des présentations impeccables à chaque fois, d’une merveilleuse pédagogie, sans excess. Très zen, rien de trop, l’essentiel; esprit concours! Avec quelques bulles de champagne d’humour ça et là pour faire pétiller les yeux. C’est assez énorme ce que tu fais, franchement. Y’a pas d’équivalent sur le net, à ma connaissance, pas même en anglais. Tu fais un travail vraiment extra pour les Mathématiques et les élèves, j’adore! C’est de l’or pur. 🙏 D’ailleurs, j’étais en train de préparer la commande de tes 4 bouquins car il faut absolument que j’ai ton œuvre dans ma grande bibliothèque, même si j’ai déjà tellement de livres, entre autre de sciences et de Maths, qu’il me faudrait 10 vies pour tout lire. Surtout que y’en a forcément certains qu’on aime tellement qu’on les lis 10 fois avec toujours de nouvelles trouvailles et émerveillements. Et pire encore, car je sais pas toi, mais moi, dès que je lis une page, je pars en recherche et création sur 10 pages minimum. Comment veux tu gérer ça? 😂😂😂 En tout cas toi tu chaumes pas, quasi une vidéo par jour! C’est de la rage, du feu sacré!!! Bravo bravo bravo. Et puis c’est rarement des trucs très triviaux, ça envoie du lourd quand même assez souvent… Qualité bois dur exotique genre bois de fer! Les agregs en ont de la chance! J’ai eu d’excellents profs, en terminale, prépa, Deug, Master 1, 2 (DEA), Doctorat, etc, mais tu as une générosité, un feu sacré vraiment particulière et communicatif. Tu es bien plus qu’un bon enseignant, tu as du Druide, du Barde. Si, si! 😅 C’est pour cela qu’une fois je t’ai demandé dans un commentaire si ce ne serait pas une bonne idée que tu fasses une vidéo autobiographique, pour raconter un peu ton parcours scientifique, ta vison des Maths, des sciences, du monde, etc. Car l’aspect humain fait souvent plus pour susciter des vocations que de la « simple technique », même excellente… 😜 Et je pense que tu dois en avoir des vertes et des pas mûres à raconter. On sous estime souvent le pouvoir d’accroche psychologique de tous ces détails humains personnels d’une odyssée individuelle. Plus on est subjectif et personnels plus cela fait écho dans l’objectif et l’universel. Par identification, comparaison, contraste, inspiration, etc. Et donc pour tes chers bouquins, serait-il possible que je te les commande directement à toi même, d’une façon ou d’une autre, pour avoir une petite dédicace évidemment dans chacun… 😛 ça serait royal! En attendant j’aimerai bien ta réponse mûrement réfléchie à ma réponse sur ton lapin, car il y quelque chose qui me chiffonne toujours malgré tout dessous, potentiellement d’assez important. C’est sur le sens précis de « affine », en particulier de « vectoriel ». Car justement dans Rn, lorsqu’on parle d’affine et vectoriel on pense toujours peu ou prou, par atavisme physiologique, à « euclidien ». Une « droite » quoi! Mais justement, même en géométrie affine élémentaire, la fameuse « Relation de Chasles » qui est au fond la clé de la définition même (relativement arbitraire! Et « élémentaire », certes, mais emblématique) de la « somme vectorielle », donc d’espace vectoriel (avec Thalès décrivant les homothéties), est déjà elle-même une « (pré?)structure euclidienne ». Car le bon « parallélogramme » qui pilote cette construction (géométrique ou algébrique), n’est pas seulement « affine ». Il est en outre « plan », avec entre autre les rigidités imposées par les propriétés d’intersection de ses diagonales. Autrement dit, la structure même d’espace vectoriel, de somme vectorielle, de linéarité, est historiquement structurelle fondée, modelée, calquée sur cette fameuse « Relation de Chasles ». Mais celle-ci est très arbitraire. Elle est « physique ». Au sens où « elle marche » autour de nous, dans notre quotidien, depuis des millénaires où les pithécanthropes puis les égyptiens commençaient à tirer à plusieurs des objets lourds, des arbres, des mégalithes, des barques, des péniches, etc. Mais en dehors de cette bulle pragmatique de « géométrie physique du quotidien », cette « relation de Chasles » n’a pas forcément plus de valeur universelle que cela. Elle n’est pas vraie en soi! Elle est même potentiellement fausse « presque partout ». Et là il me semble y avoir un os! Un gros. Alors bien sûr, le Mathématicien moderne, post XIX ème siècle « s’en contre fout », car il prend sa part « comme un voleur » en laissant à Archimède ses leviers et à Kheops ses Pyramides, et disant en « claquant la porte » : l’essentiel c’est que vous les philosophes de la Nature, vous m’ayez inspiré fructueusement en déterrant de bonnes idées pour ma besace. Et de Chasles en particulier je garde un axiome que je rend autonome de toute réalité concrète ce qui m’absout de toute corrélation de fait au « réel » ». Autrement dit « mon réel est un Autre ». Oui sauf que le « philosophe de la Nature » lambda, relabellisé « Physicien » au passage, n’a pas forcément suivit tout ce « glissement ». Et continue de penser « l’axiome » comme une « évidence physique », en s’appuyant dessus, alors qu’il devrait la questionner au contraire. Et le Mathématicien à l’inverse, baliser son jeu de rôle et son musée des outils avec des « Ci-gît le parallélogramme d’Euclide et d’Archimède. Cessez d’amalgamer affine et euclidien, etc. ». Le problème concret demeure, que beaucoup de Mathématiciens sont hermétiques à la Physis, et beaucoup de Physiciens à l’inverse, gravitent en gros autour de la règle de trois, en exagérant à peine. Moins aujourd’hui, mais quand même, par la force des choses, par la complexité exponentielle des théories, et surtout l’augmentation plus exponentielle encore de la quantité d’information, il est un réel problème de perméabilité entre les deux mondes. Même entre un physicien théoricien et un non théoricien c’est du chinois! Poincaré par exemple en a fait les frais. De chaque côtés! Et même deux mathématiciens, travaillant dans deux bureaux mitoyens, ne comprennent pas toujours 10 lignes de ce que fait son collègue, pour peu que les domaines de recherches soient pointus. J’en reviens donc à ma question. Par delà toute définition formelle qui masque souvent le problème, mais qui peut aussi le résoudre si elle est très bien faite, que signifie véritablement «affine »? Que signifie « vectoriel »? Quel est le protocole exact, l’algorithme précise de construction d’un parallélogramme ? Car derrière, y’a pas trop à tortiller, il faut bien donner un sens précis, constructif, au concept de « transport parallèle ». Ce qui est un peu une façon détournée de dire en fait exactement la même chose, mais plus pédant! Et de fil en aiguille on s’aperçoit vite que l’on a pas trop le choix que de construire pour cela le concept d’espace « tangent » (pas plus physiquement tangent nécessairement que de beurre en branche), donc de « fibré tangent » et « cotangeant », donc de « connection », de « revêtement universel », de « courbure » et de « torsion », etc. Voilà pourquoi je crois fermement qu’il faut les enseignants les plus forts techniquement, pour les plus petites classes. Car il faut que bien que connaissant toutes les subtilités des arcanes de ce qui est caché aux yeux profanes, il sache en faire concrètement « abstraction », en trouvant le génie de présenter et d’expliquer les choses, sans mentir, trahir, biaiser et déformer, mais aussi sans l’arsenal à priori nécessaire pour véritablement appréhender sereinement l’âme de chaque problématique. Et pour donner un exemple de cette problématique pédagogique à la fois muette, tabou même, et pourtant criante, hurlante, je discutais il y a quelques années avec un inspecteur d’académie. Et je lui posait la question « qu’est-ce qu’une droite? ». Car lui disais-je, je vois dans tous les livres scolaires, des inepties omniprésentes, grosses comme des maisons. Et les pires sont celles qui endoctrinent les plus jeunes enfants avec des absurdités littérales. Comme la définition d’une droite justement, par exemple dans les manuels de sixième : « une droite est un ensemble de points alignés ». 🥳 🥳🥳 C’est génial, franchement! Lapalisse s’en retourne dans sa tombe. J’imagine déjà pas quel genre d’imbecile a pu pondre une telle définition aussi pourrie. Mais encore moins ce que ce genre de charabia produit au juste comme dégât dans la tête d’un enfant. Mais ça sent pas bon à priori! Mais le pire ce n’est pas tout ça. Le pire c’est la tête de l’inspecteur lorsque je lui fais part de ces absurdités inacceptable, en lui donnant en outre la solution très simple : « une droite (pour un enfant de sixième) c’est une corde tendue ». J’ai cru qu’il allait faire une syncope. Et c’est ce genre de pingouins qui dirigent l’éducation nationale. Le vrai problème est là. D’ailleurs la société mathématique de France ne cesse depuis 50 ans de se plaindre à l’académie du massacre des programmes, notamment de mathématiques. Quelle est donc cette citadelle, cette Bastille, en laquelle cette ex auguste organisation d’instruction s’est muée, pour le pire! Raison pourquoi Laurent Lafforgue est vent debout! 🙏
Limpide. Donc, si je comprends bien, toute isométrie phi qui vaut 0 en 0 envoie x sur (pour n’importe quelle base orthonormée (e_i)) le produit de la matrice (dans n'importe quelle base) dont les colonnes sont les phi(e_i) multiplié avec la matrice dont les lignes e_i^T multiplié avec x
I was today years old when j'ai appris que ce résultat n'était pas une vacherie intorchable. Merci beaucoup (beaucoup !)
C'est marrant d'avoir appris ça en Terminale ! A titre personnel j'ai découvert cela quand j'ai cherché à démontrer le théorème de Mazur-Ulam cette année (en M1) qui énonce que toute isométrie qui est surjective (ce qui est toujours vrai en di finie) d'un espace vectoriel normé réel dans un autre est affine. Le fait de ne plus avoir de produit scalaire rend la chose terriblement plus subtile !
@@nicolas_chess oui j'imagine que ça doit être plus ardu. 'et tu as réussi à démontrer ça ?
@@philcaldero8964 Oui mais un peu d'aide que m'a soufflée un prof de topologie ! Pour les auditeurs intéressés j'ai découvert récemment que ce théorème était démontré au travers d'un exercice dans le Saint-Raymond de topologie chez Calvage et Mounet.
il existe une très belle preuve utilisant astucieusement le théorème des fermés emboîtés dans un espace de Banach
"Une démonstration connue par les lapins !"
Mais uniquement les lapins très bien élevés !!!
😂😂😂
@@ciaopeople9664 le résultat est connu par les lapins mais je pense pas pour la démonstration 😅
Limpide comme solution, merci !
@@h1percube oui j'adore le final on se dit mais pourquoi j'y avais pas pensé plus tôt?
Sympa, on comprend bien cette idée de droites qui doivent rester des droites. Mais je me demande quelle était la preuve de Mme Loru, car il me semble que simplement développer ||f(a x+y)- a f(x)-f(y)||² (en supposant f(0)=0) permet de conclure rapidement et sans difficulté particulière
Également vu en terminale C dans un lycée lambda en 85-86. Il faut croire que c'était bel et bien au programme.
@@herveclavier5857 Merci de confirmer ! 😊
J’adore l’image du « théorème que même les lapins connaissent » 😂 mais pour moi un lapin ça fuit en zigzag! 😆 Et à moins d’imaginer Euclide avec une règle (non graduée, servant non à mesurer les distances mais à tracer…des zigzags) en forme d’éclair de Zeus et un compas en tire bouchon, j’ai comme un doute sur le choix du lapin?
En fait aucun animal sensé n’utilise à proprement parler « que la géométrie euclidienne » bien qu’il la connaisse très bien manifestement, puisqu’il utilise même au contraire une géométrie riemannienne, et même mieux, pseudo riemanienne, au moins pour échapper au prédateurs.
Riemanienne parce que non seulement la proie et le prédateur bougent relativement sans cesse donnant des trajectoires optimales courbes, mais aussi parce que le capital énergétique fond comme neige au soleil (un guépard n’a que quelques secondes d’autonomie à 70-130 km/h) au cours de la course; par suite tout se passe donc comme si la métrique est vraiment courbe (à la manière de l’hyperplan de Poincaré et des tableaux d’Escher homothétiques), et que la ligne droite est plutôt « le plus long chemin » pour ne pas bouffer de si tôt. 😜
Mais plus avant, pseudo riemanienne parce que la course n’est évidemment pas instantanée et se déroule donc fatalement « dans le temps » (au moins celui du cœur et des mitochondries qui pulsent le sang et fournissent l’énergie à une rythme physiologique limité). Et qu’il y a donc forcément des effets « relativistes » dus au fait que tout trajet met un certain temps…
Alors quelle image pas trop triviale me semblerait plus pertinente pour l’affinité en métrique euclidienne : un nageur dans une piscine à courant constant « latéral », ou un voiler (qui ne dérive pas) remontant le vent… là ça reste euclidien, et évidemment affine.
Et pour bien voir la différence avec une situation non euclidienne mais néanmoins affine, on peut penser à un sauveteur qui part sauver un nageur qui se noie en mer (sans courant!), alors que sa vitesse de déplacement sur le sable et dans la mer est constante mais distincte.
C’est là une géométrie non euclidienne mais qui reste affine. Plus précisément euclidienne par morceaux (sur la plage puis sur le sable). La ligne droite euclidienne n’est pas « le plus court chemin » pour sauver le nageur en train de se noyer. Les « lignes droites » de cette géométrie « bimétrique » (euclidienne par morceaux), sont les géodésiques de cette métrique pseudo riemanienne, en forme de « chevron » (de V), dont l’angle est déterminé par le rapport des vitesses relatives de déplacement sur le sable et la mer (appelés indice de réfaction en optique géométrique).
C’est cette dernière géométrie en zigzag, affine mais non euclidienne, qu’adoptent les lapins. Elle est plus simple que la pseudo riemanienne «continue » des proies usuelles, et plus efficace contre des prédateurs dont la force est la fulgurance de la vitesse, mais dont la faiblesse en revers de la médaille, est donc l’inertie (énergie cinétique) proportionnelle au carré de la vitesse. Leur vitesse, et donc leur inertie, les empêchant justement de changer brusquement de direction et d’adopter cette géométrie affine non euclidienne en Zigzag qu’adoptent les lapins et tout un tas de types d’antilopes.
@@mpcformation9646 pour mon prochain livre je veux que tu me fasses la préface 😂
@@philcaldero8964Ce serait avec grand’joie mais sous ton contrôle car tu as vu comme je peux « partir loin » 😂 Faut cadrer le dragon 😋. Et toi tu es si bien cadré (en apparence du moins) avec des présentations impeccables à chaque fois, d’une merveilleuse pédagogie, sans excess. Très zen, rien de trop, l’essentiel; esprit concours! Avec quelques bulles de champagne d’humour ça et là pour faire pétiller les yeux. C’est assez énorme ce que tu fais, franchement. Y’a pas d’équivalent sur le net, à ma connaissance, pas même en anglais. Tu fais un travail vraiment extra pour les Mathématiques et les élèves, j’adore! C’est de l’or pur. 🙏
D’ailleurs, j’étais en train de préparer la commande de tes 4 bouquins car il faut absolument que j’ai ton œuvre dans ma grande bibliothèque, même si j’ai déjà tellement de livres, entre autre de sciences et de Maths, qu’il me faudrait 10 vies pour tout lire. Surtout que y’en a forcément certains qu’on aime tellement qu’on les lis 10 fois avec toujours de nouvelles trouvailles et émerveillements.
Et pire encore, car je sais pas toi, mais moi, dès que je lis une page, je pars en recherche et création sur 10 pages minimum. Comment veux tu gérer ça? 😂😂😂 En tout cas toi tu chaumes pas, quasi une vidéo par jour! C’est de la rage, du feu sacré!!! Bravo bravo bravo. Et puis c’est rarement des trucs très triviaux, ça envoie du lourd quand même assez souvent… Qualité bois dur exotique genre bois de fer!
Les agregs en ont de la chance! J’ai eu d’excellents profs, en terminale, prépa, Deug, Master 1, 2 (DEA), Doctorat, etc, mais tu as une générosité, un feu sacré vraiment particulière et communicatif. Tu es bien plus qu’un bon enseignant, tu as du Druide, du Barde. Si, si! 😅
C’est pour cela qu’une fois je t’ai demandé dans un commentaire si ce ne serait pas une bonne idée que tu fasses une vidéo autobiographique, pour raconter un peu ton parcours scientifique, ta vison des Maths, des sciences, du monde, etc. Car l’aspect humain fait souvent plus pour susciter des vocations que de la « simple technique », même excellente… 😜 Et je pense que tu dois en avoir des vertes et des pas mûres à raconter. On sous estime souvent le pouvoir d’accroche psychologique de tous ces détails humains personnels d’une odyssée individuelle. Plus on est subjectif et personnels plus cela fait écho dans l’objectif et l’universel. Par identification, comparaison, contraste, inspiration, etc.
Et donc pour tes chers bouquins, serait-il possible que je te les commande directement à toi même, d’une façon ou d’une autre, pour avoir une petite dédicace évidemment dans chacun… 😛 ça serait royal!
En attendant j’aimerai bien ta réponse mûrement réfléchie à ma réponse sur ton lapin, car il y quelque chose qui me chiffonne toujours malgré tout dessous, potentiellement d’assez important. C’est sur le sens précis de « affine », en particulier de « vectoriel ».
Car justement dans Rn, lorsqu’on parle d’affine et vectoriel on pense toujours peu ou prou, par atavisme physiologique, à « euclidien ». Une « droite » quoi! Mais justement, même en géométrie affine élémentaire, la fameuse « Relation de Chasles » qui est au fond la clé de la définition même (relativement arbitraire! Et « élémentaire », certes, mais emblématique) de la « somme vectorielle », donc d’espace vectoriel (avec Thalès décrivant les homothéties), est déjà elle-même une « (pré?)structure euclidienne ».
Car le bon « parallélogramme » qui pilote cette construction (géométrique ou algébrique), n’est pas seulement « affine ». Il est en outre « plan », avec entre autre les rigidités imposées par les propriétés d’intersection de ses diagonales.
Autrement dit, la structure même d’espace vectoriel, de somme vectorielle, de linéarité, est historiquement structurelle fondée, modelée, calquée sur cette fameuse « Relation de Chasles ». Mais celle-ci est très arbitraire. Elle est « physique ». Au sens où « elle marche » autour de nous, dans notre quotidien, depuis des millénaires où les pithécanthropes puis les égyptiens commençaient à tirer à plusieurs des objets lourds, des arbres, des mégalithes, des barques, des péniches, etc.
Mais en dehors de cette bulle pragmatique de « géométrie physique du quotidien », cette « relation de Chasles » n’a pas forcément plus de valeur universelle que cela. Elle n’est pas vraie en soi! Elle est même potentiellement fausse « presque partout ». Et là il me semble y avoir un os! Un gros.
Alors bien sûr, le Mathématicien moderne, post XIX ème siècle « s’en contre fout », car il prend sa part « comme un voleur » en laissant à Archimède ses leviers et à Kheops ses Pyramides, et disant en « claquant la porte » : l’essentiel c’est que vous les philosophes de la Nature, vous m’ayez inspiré fructueusement en déterrant de bonnes idées pour ma besace. Et de Chasles en particulier je garde un axiome que je rend autonome de toute réalité concrète ce qui m’absout de toute corrélation de fait au « réel » ». Autrement dit « mon réel est un Autre ».
Oui sauf que le « philosophe de la Nature » lambda, relabellisé « Physicien » au passage, n’a pas forcément suivit tout ce « glissement ». Et continue de penser « l’axiome » comme une « évidence physique », en s’appuyant dessus, alors qu’il devrait la questionner au contraire. Et le Mathématicien à l’inverse, baliser son jeu de rôle et son musée des outils avec des « Ci-gît le parallélogramme d’Euclide et d’Archimède. Cessez d’amalgamer affine et euclidien, etc. ».
Le problème concret demeure, que beaucoup de Mathématiciens sont hermétiques à la Physis, et beaucoup de Physiciens à l’inverse, gravitent en gros autour de la règle de trois, en exagérant à peine. Moins aujourd’hui, mais quand même, par la force des choses, par la complexité exponentielle des théories, et surtout l’augmentation plus exponentielle encore de la quantité d’information, il est un réel problème de perméabilité entre les deux mondes.
Même entre un physicien théoricien et un non théoricien c’est du chinois! Poincaré par exemple en a fait les frais. De chaque côtés! Et même deux mathématiciens, travaillant dans deux bureaux mitoyens, ne comprennent pas toujours 10 lignes de ce que fait son collègue, pour peu que les domaines de recherches soient pointus.
J’en reviens donc à ma question. Par delà toute définition formelle qui masque souvent le problème, mais qui peut aussi le résoudre si elle est très bien faite, que signifie véritablement «affine »? Que signifie « vectoriel »? Quel est le protocole exact, l’algorithme précise de construction d’un parallélogramme ? Car derrière, y’a pas trop à tortiller, il faut bien donner un sens précis, constructif, au concept de « transport parallèle ». Ce qui est un peu une façon détournée de dire en fait exactement la même chose, mais plus pédant!
Et de fil en aiguille on s’aperçoit vite que l’on a pas trop le choix que de construire pour cela le concept d’espace « tangent » (pas plus physiquement tangent nécessairement que de beurre en branche), donc de « fibré tangent » et « cotangeant », donc de « connection », de « revêtement universel », de « courbure » et de « torsion », etc.
Voilà pourquoi je crois fermement qu’il faut les enseignants les plus forts techniquement, pour les plus petites classes. Car il faut que bien que connaissant toutes les subtilités des arcanes de ce qui est caché aux yeux profanes, il sache en faire concrètement « abstraction », en trouvant le génie de présenter et d’expliquer les choses, sans mentir, trahir, biaiser et déformer, mais aussi sans l’arsenal à priori nécessaire pour véritablement appréhender sereinement l’âme de chaque problématique.
Et pour donner un exemple de cette problématique pédagogique à la fois muette, tabou même, et pourtant criante, hurlante, je discutais il y a quelques années avec un inspecteur d’académie. Et je lui posait la question « qu’est-ce qu’une droite? ». Car lui disais-je, je vois dans tous les livres scolaires, des inepties omniprésentes, grosses comme des maisons. Et les pires sont celles qui endoctrinent les plus jeunes enfants avec des absurdités littérales.
Comme la définition d’une droite justement, par exemple dans les manuels de sixième : « une droite est un ensemble de points alignés ». 🥳 🥳🥳 C’est génial, franchement! Lapalisse s’en retourne dans sa tombe. J’imagine déjà pas quel genre d’imbecile a pu pondre une telle définition aussi pourrie. Mais encore moins ce que ce genre de charabia produit au juste comme dégât dans la tête d’un enfant. Mais ça sent pas bon à priori!
Mais le pire ce n’est pas tout ça. Le pire c’est la tête de l’inspecteur lorsque je lui fais part de ces absurdités inacceptable, en lui donnant en outre la solution très simple : « une droite (pour un enfant de sixième) c’est une corde tendue ». J’ai cru qu’il allait faire une syncope. Et c’est ce genre de pingouins qui dirigent l’éducation nationale. Le vrai problème est là.
D’ailleurs la société mathématique de France ne cesse depuis 50 ans de se plaindre à l’académie du massacre des programmes, notamment de mathématiques. Quelle est donc cette citadelle, cette Bastille, en laquelle cette ex auguste organisation d’instruction s’est muée, pour le pire! Raison pourquoi Laurent Lafforgue est vent debout! 🙏
Limpide. Donc, si je comprends bien, toute isométrie phi qui vaut 0 en 0 envoie x sur (pour n’importe quelle base orthonormée (e_i)) le produit de la matrice (dans n'importe quelle base) dont les colonnes sont les phi(e_i) multiplié avec la matrice dont les lignes e_i^T multiplié avec x
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