三角関数の中に三角関数がる関数の極限

[@アサイチ-z1c]

tanx/x=1/cosx×sinx/xより
lim[x→0]tanx/x=1
tanx=-tan(π-x)を用いると、
tan(πcos^2x)/sin(2πsin^2x)
=-(tan(πsin^2x)/πsin^2x)÷
(sin(2πsin^2x)/2πsin^2x)×1/2
ここで、
πsin^2x,2πsin^2x→0(x→0)より、
tan(πsin^2x)/sin(2πsin^2x)
→-1/2(x→0)を得る

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

素晴らしい！

[@大妖怪-w5w]

tanをマクローリン展開するんじゃなくてsin/cosになおしてlimx→0 sinx/x=1を使えばもっと楽になりますね

[@tonaiSE]

tan=sin/cosの変換を試してみましたが、limx→0 sinx/x=1を使うまでもないです。
加法定理や2倍角の公式を使うと、綺麗に約分で不定形から脱出できるので、-1/2という解が得られました。

[@自由律俳句とかいう無法地]

物理の人みたいな解法ですね。

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

この近似、良く使いますよね。

[@Satou_Takashi]

愚直にロピタルの法則を2回使っても解けそうな気がする

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

そうかも知れません。自分は計算が大変そうなので止めました。

[@うっちゃん-e8e]

cos^2x₌tと置いて与式をf(T)/g(t)とおくとx→0のときt→1となるので
与式₌sin(πt)/cos(πt)sin{2π(1₋t)}₌f(t)/g(t)とおくと
lim(t→1)f(t)/g(t)₌0/0となるのでロピタルの定理を用いてlim(t→1)f’(t)/g’(t)₌₋π/2π₌₋1/2
となりました。

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

視聴者の方々が良い解法を示していただき有難いです。自分の解法が一番イマイチな気がします。。。

[@ねるねるねるね-c2i]

豆腐を日本刀で切るような解法

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

おっしゃる通りです。。。

[@HirotoCB4]

他の方もおっしゃるように高校数学の範囲でも解けるので、どこかの大学が小問集合の１つとして出題していても違和感のない問題だと思います。
解法もいくつかありそうなので、頭の体操にはちょうどいい感じですね。

[@72hf83]

tanとsinをマクローリン展開じゃダメなのか…
そしたら一気に1/{2tan^2(x)}までいけるのに

[@hukuzawa6816]

珍しく自力でわかりました。まず分母のsin^2xを1-cos^2xにすると分母は-sin(2πcos^2x)となります。sinの二倍角とtanがsin/cosであることを使って変換。sin(πcos^2x)はxが0の時0では無いので分子分母が割れてあとは整理してxに0を入れて終了。

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

その解法の方が良いですね！

[@匿名希望-w8f]

慣れてると
lim[x→0] tan(πcos²x)/sin(2πsin²x)
=lim[x→0] (πcos²x-π)/(2πsin²x)
=-1/2
で即答できる

[@wswsan]

sinx/x→1(x→0)使うのかと思ったら違った...

[@bx4hy7kr7p]

分かりません、解けません。